1 下列直线中，直线上每个点的坐标都是二元一次方程$x-2y=2$的解的是 （）

1. C

【分析】
要找到所有点坐标都是方程$x-2y=2$解的直线，本质是找该二元一次方程对应的一次函数图像。首先将方程变形为一次函数$y=kx+b$的形式，再求出函数与x轴、y轴的交点坐标，最后对比各选项的图像，匹配交点的即为正确答案。
【解析】
先将二元一次方程$x-2y=2$整理为一次函数形式：
移项得：$-2y = -x + 2$，
两边同时除以$-2$，得：$y = \frac{1}{2}x - 1$。
接下来求该一次函数与坐标轴的交点：
① 求与y轴交点：令$x=0$，代入得$y = \frac{1}{2}×0 -1 = -1$，即交点为$(0,-1)$；
② 求与x轴交点：令$y=0$，代入得$0 = \frac{1}{2}x -1$，解得$x=2$，即交点为$(2,0)$。
观察四个选项的图像，只有选项C的直线经过$(2,0)$和$(0,-1)$两个点，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系；一次函数的交点计算
【点评】
本题核心是利用二元一次方程和一次函数的对应关系解题，将方程转化为一次函数解析式后，通过求坐标轴交点即可快速匹配图像，是对基础概念应用的考查。
【难度系数】
0.8

2 已知直线$y=ax+b$（$a,b$是常数，且$a≠0$）过点$(2,-\frac{1}{2})$，则关于$x$的方程$ax+b=-\frac{1}{2}$的解是。

2. $x=2$

【分析】
解题时要结合一次函数图象与一元一次方程的关系思考：一次函数$y=ax+b$的图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，方程$ax+b=-\frac{1}{2}$的实质是求函数值$y=-\frac{1}{2}$时对应的自变量$x$的取值。已知直线过点$(2,-\frac{1}{2})$，说明当$x=2$时，函数$y$的值恰好是$-\frac{1}{2}$，对应即可得到方程的解。
【解析】
∵ 直线$y=ax+b$过点$(2,-\frac{1}{2})$，
∴ 将$x=2$，$y=-\frac{1}{2}$代入函数解析式，得：
$2a + b = -\frac{1}{2}$，
对比方程$ax+b=-\frac{1}{2}$，可知当$x=2$时，方程左右两边相等，
∴ 关于$x$的方程$ax+b=-\frac{1}{2}$的解是$x=2$。
【答案】
$x=2$
【知识点】
一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是理解一次函数的函数值与对应一元一次方程的关系，掌握“一次函数取某一函数值时，对应的自变量取值就是对应一元一次方程的解”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3 教材 P129 随堂练习 T1 变式 已知关于 $ x, y $ 的方程组 $\begin{cases} x - y = 1, \\ x + y = 5 \end{cases}$ 的解为 $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2, \end{cases}$ 则直线 $ l_1: y = x - 1 $ 与直线 $ l_2: y = -x + 5 $ 的交点 $ P $ 的坐标为 $\quad (\quad)$

A.$(2,3)$
B.$(3,2)$
C.$(-2,3)$
D.$(-3,2)$

3. B

【分析】
解题的核心是明确一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系：两条直线的交点坐标同时满足两条直线的解析式，也就是两个解析式联立得到的二元一次方程组的解。首先将两条直线的解析式变形，可发现其正好对应题干给出的二元一次方程组，直接套用已知的方程组解即可得到交点坐标，无需重新计算。
【解析】
根据一次函数与二元一次方程组的关系：两条一次函数图象的交点坐标，就是两个函数解析式联立组成的二元一次方程组的解。
对两条直线的解析式变形：
直线$l_1:y=x-1$移项可得$x-y=1$；
直线$l_2:y=-x+5$移项可得$x+y=5$。
因此联立两条直线解析式得到的方程组就是题中给出的$\begin{cases} x - y = 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$，已知该方程组的解为$\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$，即两直线交点$P$的坐标为$(3,2)$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程与一次函数的关系；二元一次方程组的解
【点评】
本题考查一次函数和二元一次方程组的对应联系，只要掌握“两个一次函数的交点坐标就是对应联立方程组的解”这一核心规律，就能直接根据已知条件快速得出结果，是对基础概念的直接考查。
【难度系数】
0.9

4 用图象法解方程组$\begin{cases}x - 2y = 4, \\ 2x + y = 4\end{cases}$时，下列作图正确的是（ ）

4. C

【分析】
要判断哪个选项的作图正确，首先明确图像法解二元一次方程组的原理：方程组中每个二元一次方程都对应一条一次函数的图像，两条直线的交点即为方程组的解。解题时第一步先将两个二元一次方程变形为一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的形式，第二步根据$k$和$b$的取值判断两条直线的走势和与y轴的交点位置，第三步对比选项选出符合特征的图像即可。
【解析】
首先将方程组中的两个方程转化为一次函数的形式：
1. 整理方程$x-2y=4$：
移项得：$-2y=-x+4$，
两边同时除以$-2$，得：$y=\frac{1}{2}x-2$。
该函数的斜率$k=\frac{1}{2}＞0$，图像呈上升趋势，与y轴的交点为$(0,-2)$，图像经过第一、三、四象限。
2. 整理方程$2x+y=4$：
移项得：$y=-2x+4$。
该函数的斜率$k=-2＜0$，图像呈下降趋势，与y轴的交点为$(0,4)$，图像经过第一、二、四象限。
对比各选项的图像，只有选项C的两条直线符合上述特征，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二元一次方程组的图像解法
2. 一次函数的图像与性质
【点评】
本题考查图像法解二元一次方程组的应用，解题核心是熟练掌握二元一次方程到一次函数的变形方法，能通过一次函数的解析式准确判断对应图像的特征，是一次函数与二元一次方程关系的基础应用题型。
【难度系数】
0.7

5 如图，直线$l_1:y=-x+3$与直线$l_2:y=kx+1$相交于点$P(1,m)$，则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+y=3,\\y-kx=1\end{cases}$的解为________。

5. $\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$

【分析】
解题思路清晰：首先明确两个一次函数图象的交点坐标就是对应两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。第一步先求交点P的纵坐标：已知P点横坐标为1，且在直线$l_1$上，代入$l_1$的解析式即可求出m，得到P点完整坐标；再观察所给方程组，可发现它是两条直线解析式变形得到的，因此P点坐标就是方程组的解。
【解析】
1. 求点P的纵坐标：
因为点$P(1,m)$在直线$l_1:y=-x+3$上，将$x=1$代入解析式得：
$m=-1+3=2$，即点P的坐标为$(1,2)$。
2. 分析方程组与直线解析式的关系：
方程组$\begin{cases}x+y=3\\y-kx=1\end{cases}$变形可得$\begin{cases}y=-x+3\\y=kx+1\end{cases}$，恰好对应两条直线$l_1$、$l_2$的解析式。
根据二元一次方程组与一次函数的关系：两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，因此该方程组的解就是P点的坐标。
【答案】
$\begin{cases} x=1,\\ y=2 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系，一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数与二元一次方程结合的基础题，核心考查两者的对应关系，熟练掌握“两直线交点即对应方程组的解”这一规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6 教材P129随堂练习T2变式 如果一次函数$y=3x-6$与$y=2x+2$的图象的交点坐标为$(a,b)$，那么$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$是方程组 ______ 的解。

6. 答案不唯一，如$\begin{cases}3x-y=6,\\2x-y=-2\end{cases}$

【分析】
本题可根据一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系解题。两个一次函数图象的交点坐标，会同时满足两个函数的解析式，因此只需将两个一次函数的解析式变形为二元一次方程的形式，二者组成的方程组的解就是交点的横、纵坐标。对原方程进行同解变形得到的方程组也符合要求，因此答案不唯一。
【解析】
∵ 一次函数$y=3x-6$与$y=2x+2$的图象交点坐标为$(a,b)$
∴ $x=a$，$y=b$同时满足两个一次函数的解析式，即：
$\begin{cases} b=3a-6 \\ b=2a+2 \end{cases}$
将两个等式移项变形，把含$x$、$y$的项移到等式左侧，常数项移到等式右侧，可得：
$\begin{cases} 3x-y=6 \\ 2x-y=-2 \end{cases}$
因此$\begin{cases}x=a \\ y=b\end{cases}$就是上述方程组的解，若对两个方程进行同解变形，得到的方程组也满足要求，故答案不唯一。
【答案】
答案不唯一，如$\begin{cases}3x-y=6,\\2x-y=-2\end{cases}$
【知识点】
1. 一次函数与二元一次方程的关系
2. 二元一次方程组的解的意义
【点评】
本题考查一次函数交点和二元一次方程组解的对应关系，理解“两个一次函数的交点坐标就是对应两个二元一次方程组成的方程组的解”是解题核心，熟练掌握一次函数解析式和二元一次方程的互化即可轻松解答。
【难度系数】
0.8

7 教材P132习题T2变式 在平面直角坐标系中有两条直线: $y=x+1$ 和 $y=ax+b$,这两条直线的交点在 y 轴上,那么方程组 $\begin{cases}y=x+1, \\ y=ax+b\end{cases}$ 的解是 ______ .

7. $\begin{cases} x=0,\\ y=1 \end{cases}$

【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程组的解和对应的两个一次函数图象交点的关系：方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标。接下来结合“交点在y轴上”的条件，y轴上所有点的横坐标都是0，我们可以先把x=0代入已知直线y=x+1求出交点的纵坐标，就能得到交点坐标，也就是方程组的解。
【解析】
首先，二元一次方程组$\begin{cases}y=x+1 \\ y=ax+b\end{cases}$的解就是直线$y=x+1$和$y=ax+b$的交点坐标。
已知两条直线的交点在y轴上，y轴上的点横坐标为0，即$x=0$。
把$x=0$代入$y=x+1$，得$y=0+1=1$，所以两条直线的交点坐标为$(0,1)$。
因此该方程组的解为$\begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}$。
【答案】
$\begin{cases} x=0 \\ y=1 \end{cases}$
【知识点】
一次函数与二元一次方程组的关系；坐标轴上点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，核心是理解一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的对应关系，结合坐标轴上点的坐标特征即可快速求解，是对函数与方程对应思想的基础考察。
【难度系数】
0.8

8 用图象法解二元一次方程组：
(1) $\begin{cases} x - y = 5, \\ y = 3 - x; \end{cases}$
(2) $\begin{cases} 2x + 3y = 5, \\ 3x - y = 2. \end{cases}$

8. (1) 如图①，直线$x-y=5$和直线$y=3-x$的交点坐标为$(4,-1)$。所以方程组$\begin{cases} x - y = 5, \\ y = 3 - x \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=-1 \end{cases}$
(2) 如图②，直线$2x+3y=5$和直线$3x-y=2$的交点坐标为$(1,1)$。所以方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 5, \\ 3x - y = 2 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=1 \end{cases}$

【分析】
二元一次方程组的每个方程都可转化为一次函数的形式，两个一次函数图象的交点坐标同时满足两个函数解析式，因此交点的横坐标就是方程组中x的解，纵坐标就是y的解。求解本题时，只需分别在对应图象中找到两个方程组对应的两条直线的交点，读出交点坐标即可得到方程组的解。
【解析】
(1) 观察图①，直线$x-y=5$和直线$y=3-x$的交点坐标为$(4,-1)$，根据二元一次方程组与一次函数的对应关系，该交点坐标就是方程组$\begin{cases} x - y = 5, \\ y = 3 - x \end{cases}$的解。
(2) 观察图②，直线$2x+3y=5$和直线$3x-y=2$的交点坐标为$(1,1)$，同理，该交点坐标就是方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 5, \\ 3x - y = 2 \end{cases}$的解。
【答案】
(1) 方程组$\begin{cases} x - y = 5, \\ y = 3 - x \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=4,\\ y=-1 \end{cases}$
(2) 方程组$\begin{cases} 2x + 3y = 5, \\ 3x - y = 2 \end{cases}$的解为$\begin{cases} x=1,\\ y=1 \end{cases}$

【知识点】
二元一次方程组与一次函数的关系，图象法解二元一次方程组
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，解题核心是掌握二元一次方程组的解与对应两个一次函数图象交点坐标的对应关系，只需准确读取图象交点坐标即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】
0.8