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12 如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的小长方形（空白区域），则涂色部分的面积为
$72\ \mathrm{cm}^2$
。答案
12. $72\ \mathrm{cm}^2$ 【解析】设小长方形的长、宽分别为$x\ \mathrm{cm},y\ \mathrm{cm}$.
依题意,得$\begin{cases}x+3y=16, \\x+y-2y=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10, \\y=2,\end{cases}$所以小长方形的长、宽分别为$10\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm}$.所以题图中涂色部分的面积$=16×(8+2+2)-6×2×10=72(\mathrm{cm}^2)$.
依题意,得$\begin{cases}x+3y=16, \\x+y-2y=8,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=10, \\y=2,\end{cases}$所以小长方形的长、宽分别为$10\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm}$.所以题图中涂色部分的面积$=16×(8+2+2)-6×2×10=72(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
要求涂色部分的面积，可采用“大长方形ABCD的面积减去6个空白小长方形的面积”的间接法计算，因此首先需要求出小长方形的长和宽。通过观察图形可得到两个等量关系：①水平方向上，大长方形的长16cm等于1个小长方形的长加3个小长方形的宽；②竖直方向上，标注的8cm等于1个小长方形的长减去1个小长方形的宽。据此列二元一次方程组解出小长方形的长宽后，再分别计算大长方形和6个小长方形的面积，作差即可得到涂色部分的面积。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图形的等量关系列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 16 \\x - y = 8\end{cases}$
解方程组：用第一个方程减去第二个方程，得$4y=8$，解得$y=2$。将$y=2$代入$x-y=8$，得$x=10$，即小长方形的长为$10\ \mathrm{cm}$，宽为$2\ \mathrm{cm}$。
大长方形ABCD的宽为$8 + 2y = 8 + 2×2 = 12\ \mathrm{cm}$，因此大长方形面积为$16×12=192\ \mathrm{cm}^2$。
6个小长方形的总面积为$6×10×2=120\ \mathrm{cm}^2$。
因此涂色部分的面积为$192-120=72\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的典型题型，解题核心是通过观察图形挖掘未知量的等量关系，用间接法求解阴影面积，既考查了方程的应用能力，也锻炼了图形观察分析能力。
【难度系数】
0.6
要求涂色部分的面积，可采用“大长方形ABCD的面积减去6个空白小长方形的面积”的间接法计算，因此首先需要求出小长方形的长和宽。通过观察图形可得到两个等量关系：①水平方向上，大长方形的长16cm等于1个小长方形的长加3个小长方形的宽；②竖直方向上，标注的8cm等于1个小长方形的长减去1个小长方形的宽。据此列二元一次方程组解出小长方形的长宽后，再分别计算大长方形和6个小长方形的面积，作差即可得到涂色部分的面积。
【解析】
设小长方形的长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$。
根据图形的等量关系列方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 16 \\x - y = 8\end{cases}$
解方程组：用第一个方程减去第二个方程，得$4y=8$，解得$y=2$。将$y=2$代入$x-y=8$，得$x=10$，即小长方形的长为$10\ \mathrm{cm}$，宽为$2\ \mathrm{cm}$。
大长方形ABCD的宽为$8 + 2y = 8 + 2×2 = 12\ \mathrm{cm}$，因此大长方形面积为$16×12=192\ \mathrm{cm}^2$。
6个小长方形的总面积为$6×10×2=120\ \mathrm{cm}^2$。
因此涂色部分的面积为$192-120=72\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$72\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
二元一次方程组的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是方程与几何结合的典型题型，解题核心是通过观察图形挖掘未知量的等量关系，用间接法求解阴影面积，既考查了方程的应用能力，也锻炼了图形观察分析能力。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13 解下列方程组：
（1）$\begin{cases} x - y = 8, \\ 3x + y = 12; \end{cases}$
（2）$\begin{cases} 0.5x - 1.5y = -1, \\ 5x + y = 6; \end{cases}$
（3）
13 解下列方程组：
（1）$\begin{cases} x - y = 8, \\ 3x + y = 12; \end{cases}$
（2）$\begin{cases} 0.5x - 1.5y = -1, \\ 5x + y = 6; \end{cases}$
（3）
答案
13. （1）$\begin{cases} x=5, \\ y=-3 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
（3）$\begin{cases} x=51, \\ y=-9 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=1, \\ y=1 \end{cases}$
（3）$\begin{cases} x=51, \\ y=-9 \end{cases}$
解析
【分析】
解二元一次方程组的核心思路是消元，即消去一个未知数，将二元方程组转化为一元一次方程求解。对于无分母的标准形式方程组，可直接通过加减消元或代入消元计算；含分数、小数系数的方程组，先通过去分母、乘整倍数消去小数，转化为标准的$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$形式后，再用消元法求解。
【解析】
（1）记方程组为$\begin{cases} x - y = 8&① \\ 3x + y = 12&② \end{cases}$
①+②消去$y$，得：$4x=20$，解得$x=5$
将$x=5$代入①，得：$5-y=8$，解得$y=-3$
（2）记方程组为$\begin{cases} 0.5x - 1.5y = -1&① \\ 5x + y = 6&② \end{cases}$
将①两边同时乘10消去小数，得：$5x-15y=-10$ ③
②-③消去$x$，得：$16y=16$，解得$y=1$
将$y=1$代入②，得：$5x+1=6$，解得$x=1$
（3）先将原方程组去分母化简：
第一个方程两边同时乘6，得：$3(y+x)+2(y-x)=6$，展开合并同类项得：$x+5y=6$ ①
第二个方程两边同时乘12，得：$4(y+x)+3(y-x)=-12$，展开合并同类项得：$x+7y=-12$ ②
②-①消去$x$，得：$2y=-18$，解得$y=-9$
将$y=-9$代入①，得：$x+5×(-9)=6$，解得$x=51$
【答案】
（1）$\begin{cases} x=5 \\ y=-3 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$
（3）$\begin{cases} x=51 \\ y=-9 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，去分母化简
【点评】
本题是二元一次方程组的基础训练题，覆盖了整数系数、小数系数、分数系数三类常见的方程组形式，只要熟练掌握去分母、消元的基本方法，就能准确求解。
【难度系数】
0.7
解二元一次方程组的核心思路是消元，即消去一个未知数，将二元方程组转化为一元一次方程求解。对于无分母的标准形式方程组，可直接通过加减消元或代入消元计算；含分数、小数系数的方程组，先通过去分母、乘整倍数消去小数，转化为标准的$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$形式后，再用消元法求解。
【解析】
（1）记方程组为$\begin{cases} x - y = 8&① \\ 3x + y = 12&② \end{cases}$
①+②消去$y$，得：$4x=20$，解得$x=5$
将$x=5$代入①，得：$5-y=8$，解得$y=-3$
（2）记方程组为$\begin{cases} 0.5x - 1.5y = -1&① \\ 5x + y = 6&② \end{cases}$
将①两边同时乘10消去小数，得：$5x-15y=-10$ ③
②-③消去$x$，得：$16y=16$，解得$y=1$
将$y=1$代入②，得：$5x+1=6$，解得$x=1$
（3）先将原方程组去分母化简：
第一个方程两边同时乘6，得：$3(y+x)+2(y-x)=6$，展开合并同类项得：$x+5y=6$ ①
第二个方程两边同时乘12，得：$4(y+x)+3(y-x)=-12$，展开合并同类项得：$x+7y=-12$ ②
②-①消去$x$，得：$2y=-18$，解得$y=-9$
将$y=-9$代入①，得：$x+5×(-9)=6$，解得$x=51$
【答案】
（1）$\begin{cases} x=5 \\ y=-3 \end{cases}$
（2）$\begin{cases} x=1 \\ y=1 \end{cases}$
（3）$\begin{cases} x=51 \\ y=-9 \end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组解法，加减消元法，去分母化简
【点评】
本题是二元一次方程组的基础训练题，覆盖了整数系数、小数系数、分数系数三类常见的方程组形式，只要熟练掌握去分母、消元的基本方法，就能准确求解。
【难度系数】
0.7
14 [2024安徽]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
已知农作物种植人员共24人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各是多少公顷？
已知农作物种植人员共24人，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各是多少公顷？
答案
14. 设 A 种农作物的种植面积是 $x$ 公顷,B 种农作物的种植面积是 $y$ 公顷.根据题意,得$\begin{cases}4x+3y=24, \\8x+9y=60,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3, \\y=4.\end{cases}$所以 A 种农作物的种植面积是 3 公顷,B 种农作物的种植面积是 4 公顷
解析
【分析】
本题为二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目要求两个未知量，即A、B两种农作物的种植面积，因此可设两个未知数；其次找到题干中两个固定的等量关系：一是种植两种农作物的总人数为24人，二是总投入资金为60万元；再结合表格给出的每公顷种植所需人数、投入资金，将等量关系转化为二元一次方程组，最后解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设A种农作物的种植面积是$x$公顷，B种农作物的种植面积是$y$公顷。
根据总人数为24人，可得方程：$4x+3y=24$ ①
根据总投入资金为60万元，可得方程：$8x+9y=60$ ②
用加减消元法解方程组：
将①×3，得$12x+9y=72$ ③
用③-②，得$4x=12$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$4×3 +3y=24$，解得$y=4$
【答案】
A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是贴近生活实际的应用类题型，解题的关键是准确提取题干中的有效信息，找准等量关系建立方程组，主要考察学生的信息梳理能力和用方程解决实际问题的能力，掌握消元法解方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题为二元一次方程组的实际应用题，解题思路如下：首先明确题目要求两个未知量，即A、B两种农作物的种植面积，因此可设两个未知数；其次找到题干中两个固定的等量关系：一是种植两种农作物的总人数为24人，二是总投入资金为60万元；再结合表格给出的每公顷种植所需人数、投入资金，将等量关系转化为二元一次方程组，最后解方程组即可得到结果。
【解析】
解：设A种农作物的种植面积是$x$公顷，B种农作物的种植面积是$y$公顷。
根据总人数为24人，可得方程：$4x+3y=24$ ①
根据总投入资金为60万元，可得方程：$8x+9y=60$ ②
用加减消元法解方程组：
将①×3，得$12x+9y=72$ ③
用③-②，得$4x=12$，解得$x=3$
把$x=3$代入①，得$4×3 +3y=24$，解得$y=4$
【答案】
A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4公顷
【知识点】
二元一次方程组的应用；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是贴近生活实际的应用类题型，解题的关键是准确提取题干中的有效信息，找准等量关系建立方程组，主要考察学生的信息梳理能力和用方程解决实际问题的能力，掌握消元法解方程组即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15 某工厂将水稻和玉米分别生产加工为大米和玉米糁，大米每袋的生产成本是40元，玉米糁每袋的生产成本是15元，每日两种产品合计生产600袋（每日生产的大米和玉米糁均为整数袋）.
（1）若该工厂某日生产成本为15 000元，则两种产品各生产多少袋？
（2）若大米每袋的售价是46元，玉米糁每袋的售价是17元，该工厂每日所得利润可能是2 810元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由.
（1）若该工厂某日生产成本为15 000元，则两种产品各生产多少袋？
（2）若大米每袋的售价是46元，玉米糁每袋的售价是17元，该工厂每日所得利润可能是2 810元吗？如果可能，请分别求出每日生产大米和玉米糁的袋数；如果不可能，请说明理由.
答案
15. （1）设大米生产了 $x$ 袋,玉米糁生产了 $y$ 袋.根据题意,得$\begin{cases}x+y=600, \\40x+15y=15\ 000,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=240, \\y=360.\end{cases}$所以大米生产了 240 袋,玉米糁生产了 360 袋
（2）该工厂每日所得利润不可能是2 810元 理由:假设该工厂每日所得利润是 2 810 元,设每日生产大米 $m$ 袋, 玉米糁 $n$ 袋. 根据题意,得$\begin{cases}m+n=600, \\(46-40)m+(17-15)n=2\ 810,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=402.5, \\n=197.5.\end{cases}$因为每日生产的大米和玉米糁均为整数袋,所以假设不成立,即该工厂每日所得利润不可能是 2 810 元.
（2）该工厂每日所得利润不可能是2 810元 理由:假设该工厂每日所得利润是 2 810 元,设每日生产大米 $m$ 袋, 玉米糁 $n$ 袋. 根据题意,得$\begin{cases}m+n=600, \\(46-40)m+(17-15)n=2\ 810,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=402.5, \\n=197.5.\end{cases}$因为每日生产的大米和玉米糁均为整数袋,所以假设不成立,即该工厂每日所得利润不可能是 2 810 元.
解析
【分析】
（1）本题可通过建立二元一次方程组求解，题目包含两个明确等量关系：①每日大米和玉米糁总生产袋数为600袋；②两种产品总生产成本为15000元。设生产大米x袋、玉米糁y袋，对应两个等量关系列方程组，求解后验证结果为整数即可。
（2）判断利润是否可达2810元，可先假设利润能达到，根据总袋数为600袋、总利润=单利×数量的等量关系列方程组，若解出的生产袋数为非整数，不符合实际生产要求，即可说明假设不成立。
【解析】
（1）设大米生产了 $x$ 袋，玉米糁生产了 $y$ 袋。
根据题意，得：
$\begin{cases}x+y=600 \\40x+15y=15\ 000\end{cases}$
由$x+y=600$得$y=600-x$，代入第二个方程：
$40x+15(600-x)=15000$
$25x=6000$，解得$x=240$
则$y=600-240=360$，结果均为正整数，符合实际要求。
（2）该工厂每日所得利润不可能是2810元，理由如下：
假设该工厂每日所得利润是 2810 元，设每日生产大米 $m$ 袋， 玉米糁 $n$ 袋。
根据题意，得：
$\begin{cases}m+n=600 \\(46-40)m+(17-15)n=2\ 810\end{cases}$
化简第二个方程得$3m+n=1405$，将$n=600-m$代入得：
$3m+600-m=1405$
$2m=805$，解得$m=402.5$，则$n=197.5$
因为每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，$m、n$的结果不是整数，不符合实际要求，故假设不成立。
【答案】
（1）大米生产了 240 袋，玉米糁生产了 360 袋；
（2）不可能，理由见解析。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题解的检验
【点评】
本题是二元一次方程组在生产经营场景的典型应用，解题关键是精准梳理题干等量关系建立方程组，需要格外注意实际问题的解要符合现实约束，本题中生产袋数为整数就是重要的检验条件，避免忽略实际要求导致解题错误。
【难度系数】
0.75
（1）本题可通过建立二元一次方程组求解，题目包含两个明确等量关系：①每日大米和玉米糁总生产袋数为600袋；②两种产品总生产成本为15000元。设生产大米x袋、玉米糁y袋，对应两个等量关系列方程组，求解后验证结果为整数即可。
（2）判断利润是否可达2810元，可先假设利润能达到，根据总袋数为600袋、总利润=单利×数量的等量关系列方程组，若解出的生产袋数为非整数，不符合实际生产要求，即可说明假设不成立。
【解析】
（1）设大米生产了 $x$ 袋，玉米糁生产了 $y$ 袋。
根据题意，得：
$\begin{cases}x+y=600 \\40x+15y=15\ 000\end{cases}$
由$x+y=600$得$y=600-x$，代入第二个方程：
$40x+15(600-x)=15000$
$25x=6000$，解得$x=240$
则$y=600-240=360$，结果均为正整数，符合实际要求。
（2）该工厂每日所得利润不可能是2810元，理由如下：
假设该工厂每日所得利润是 2810 元，设每日生产大米 $m$ 袋， 玉米糁 $n$ 袋。
根据题意，得：
$\begin{cases}m+n=600 \\(46-40)m+(17-15)n=2\ 810\end{cases}$
化简第二个方程得$3m+n=1405$，将$n=600-m$代入得：
$3m+600-m=1405$
$2m=805$，解得$m=402.5$，则$n=197.5$
因为每日生产的大米和玉米糁均为整数袋，$m、n$的结果不是整数，不符合实际要求，故假设不成立。
【答案】
（1）大米生产了 240 袋，玉米糁生产了 360 袋；
（2）不可能，理由见解析。
【知识点】
1. 二元一次方程组的应用
2. 实际问题解的检验
【点评】
本题是二元一次方程组在生产经营场景的典型应用，解题关键是精准梳理题干等量关系建立方程组，需要格外注意实际问题的解要符合现实约束，本题中生产袋数为整数就是重要的检验条件，避免忽略实际要求导致解题错误。
【难度系数】
0.75
