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12. 新考法分类讨论法 在$△ ABC$中，AD为边BC上的高，$∠ ABC=30°$，$∠ CAD=20°$，则$∠ BAC$的度数是
80°或40°
。答案
12. 80°或40°
解析
【分析】
本题未给出图形，AD是BC边上的高，其位置会随△ABC的形状发生变化，因此需要分类讨论两种情况：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部。每种情况先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合∠CAD的度数计算∠BAC即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，因此∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角）：
同理，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-30°=60°
此时∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，因此∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
三角形高的性质；直角三角形两锐角互余；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高的位置的多种可能性，未分类讨论导致漏解，遇到无图形的三角形高相关问题时，要全面考虑高在三角形内部、外部的不同情况。
【难度系数】
0.6
本题未给出图形，AD是BC边上的高，其位置会随△ABC的形状发生变化，因此需要分类讨论两种情况：①高AD在△ABC内部；②高AD在△ABC外部。每种情况先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再结合∠CAD的度数计算∠BAC即可。
【解析】
分两种情况求解：
1. 当高AD在△ABC内部时：
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°
在Rt△ABD中，∠ABC=30°，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠BAD=90°-∠ABC=90°-30°=60°
已知∠CAD=20°，因此∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°
2. 当高AD在△ABC外部时（此时∠ACB为钝角）：
同理，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-30°=60°
此时∠BAC为∠BAD与∠CAD的差，因此∠BAC=∠BAD-∠CAD=60°-20°=40°
综上，∠BAC的度数为80°或40°。
【答案】
80°或40°
【知识点】
三角形高的性质；直角三角形两锐角互余；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略高的位置的多种可能性，未分类讨论导致漏解，遇到无图形的三角形高相关问题时，要全面考虑高在三角形内部、外部的不同情况。
【难度系数】
0.6
13. 如图，P是$△ ABC$内一点，连接$BP$，$CP$，已知$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，$∠ A=100°$，则$∠ BPC$的度数为（
A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
D
）A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
13. D【点拨】因为∠1=∠2,∠3=∠4,∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180°,所以∠A+2∠2+2∠4=180°.
又因为∠A=100°,所以∠2+∠4=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−100°)=40°. 又因为∠BPC+∠2+∠4=180°,所以∠BPC=180°−(∠2+∠4)=180°−40°=140°.故选D.
又因为∠A=100°,所以∠2+∠4=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$×(180°−100°)=40°. 又因为∠BPC+∠2+∠4=180°,所以∠BPC=180°−(∠2+∠4)=180°−40°=140°.故选D.
解析
【分析】
解题时首先运用三角形内角和定理，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；再结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，推导得出∠2与∠4的和是∠ABC+∠ACB和的一半；最后再次利用三角形内角和定理，在△BPC中计算出∠BPC的度数即可。思考过程中注意利用整体思想计算∠2+∠4的和，不需要单独求两个角的度数，简化运算。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
即$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
∵$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$
∴代入得$∠ A + 2∠ 2 + 2∠ 4 = 180°$
已知$∠ A=100°$，代入得：
$2(∠ 2 + ∠ 4) = 180° - 100° = 80°$
∴$∠ 2 + ∠ 4 = 40°$
在△BPC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BPC + ∠ 2 + ∠ 4 = 180°$
∴$∠ BPC = 180° - (∠ 2 + ∠ 4) = 180° - 40° = 140°$
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角的和差计算
3.等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是两次运用三角形内角和定理，结合角的等量关系，利用整体思想计算角度，避免单独求解单个角的繁琐步骤，考查学生对基础定理的运用能力和整体计算的思维。
【难度系数】
0.8
解题时首先运用三角形内角和定理，先求出△ABC中∠ABC与∠ACB的和；再结合已知∠1=∠2、∠3=∠4，推导得出∠2与∠4的和是∠ABC+∠ACB和的一半；最后再次利用三角形内角和定理，在△BPC中计算出∠BPC的度数即可。思考过程中注意利用整体思想计算∠2+∠4的和，不需要单独求两个角的度数，简化运算。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ A + ∠ ABC + ∠ ACB = 180°$
即$∠ A + ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 180°$
∵$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$
∴代入得$∠ A + 2∠ 2 + 2∠ 4 = 180°$
已知$∠ A=100°$，代入得：
$2(∠ 2 + ∠ 4) = 180° - 100° = 80°$
∴$∠ 2 + ∠ 4 = 40°$
在△BPC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BPC + ∠ 2 + ∠ 4 = 180°$
∴$∠ BPC = 180° - (∠ 2 + ∠ 4) = 180° - 40° = 140°$
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.角的和差计算
3.等量代换
【点评】
本题是三角形角度计算的基础题型，解题的核心是两次运用三角形内角和定理，结合角的等量关系，利用整体思想计算角度，避免单独求解单个角的繁琐步骤，考查学生对基础定理的运用能力和整体计算的思维。
【难度系数】
0.8
14. 如图，$∠ A+∠ B+∠ C+∠ D+∠ E+∠ F$的度数为
360°
。答案
14. 360°【点拨】因为∠AMB=∠NMP,∠CPD=∠MPN,∠ENF=∠MNP,∠MNP+∠MPN+∠NMP=180°,所以∠AMB+∠CPD+∠ENF=180°.
因为∠A+∠B+∠AMB+∠C+∠D+∠CPD+∠E+∠F+∠ENF=180°+180°+180°=540°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°−180°=360°.
因为∠A+∠B+∠AMB+∠C+∠D+∠CPD+∠E+∠F+∠ENF=180°+180°+180°=540°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=540°−180°=360°.
解析
【分析】
要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数，首先观察六个角的位置：它们分别位于△ABM、△CDP、△EFN三个小三角形中。我们可以先计算这三个小三角形的内角总和，再减去三个小三角形中不属于所求角度的三个角的和即可。这三个角分别是∠AMB、∠CPD、∠ENF，它们与中间△MNP的三个内角互为对顶角，根据对顶角相等，可知这三个角的和等于△MNP的内角和，由此即可求出最终结果。
【解析】
根据对顶角的性质可得：∠AMB=∠NMP，∠CPD=∠MPN，∠ENF=∠MNP。
∵三角形内角和为180°，在△MNP中，∠NMP+∠MPN+∠MNP=180°，
∴∠AMB+∠CPD+∠ENF=∠NMP+∠MPN+∠MNP=180°。
又
∵△ABM、△CDP、△EFN的内角和均为180°，
∴∠A+∠B+∠AMB + ∠C+∠D+∠CPD + ∠E+∠F+∠ENF = 180°×3 = 540°。
将∠AMB+∠CPD+∠ENF=180°代入上式，可得：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 540° - 180° = 360°。
【答案】
360°
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题的关键是将分散的所求角转化到多个三角形中，结合对顶角的性质建立所求角度和与三角形内角和的联系，能够很好地考查学生对基础性质的灵活运用能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
要求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数，首先观察六个角的位置：它们分别位于△ABM、△CDP、△EFN三个小三角形中。我们可以先计算这三个小三角形的内角总和，再减去三个小三角形中不属于所求角度的三个角的和即可。这三个角分别是∠AMB、∠CPD、∠ENF，它们与中间△MNP的三个内角互为对顶角，根据对顶角相等，可知这三个角的和等于△MNP的内角和，由此即可求出最终结果。
【解析】
根据对顶角的性质可得：∠AMB=∠NMP，∠CPD=∠MPN，∠ENF=∠MNP。
∵三角形内角和为180°，在△MNP中，∠NMP+∠MPN+∠MNP=180°，
∴∠AMB+∠CPD+∠ENF=∠NMP+∠MPN+∠MNP=180°。
又
∵△ABM、△CDP、△EFN的内角和均为180°，
∴∠A+∠B+∠AMB + ∠C+∠D+∠CPD + ∠E+∠F+∠ENF = 180°×3 = 540°。
将∠AMB+∠CPD+∠ENF=180°代入上式，可得：
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F = 540° - 180° = 360°。
【答案】
360°
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，解题的关键是将分散的所求角转化到多个三角形中，结合对顶角的性质建立所求角度和与三角形内角和的联系，能够很好地考查学生对基础性质的灵活运用能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.7
15. 新考法推理探究法 (1)在图①中，请写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：
(2)仔细观察，在图②中“8字形”图形的个数是
(3)如果在图②中，∠D＝40°，∠B＝36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线，试求∠P的度数.
(4)如果图②中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)
∠A+∠D=∠C+∠B
.(2)仔细观察，在图②中“8字形”图形的个数是
6
.(3)如果在图②中，∠D＝40°，∠B＝36°，AP与CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线，试求∠P的度数.
(4)如果图②中∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系？(直接写出结论即可)
答案
15.【解】(1)$∠A+∠D=∠C+∠B$ (2)6
(3)因为AP,CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线,
所以∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB.
因为∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②
所以①+②,得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P. 又因为∠D=40°,∠B=36°,所以40°+36°=2∠P. 所以∠P=38°.
(4)$2∠P=∠D+∠B$.
(3)因为AP,CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线,
所以∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB.
因为∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②
所以①+②,得∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P. 又因为∠D=40°,∠B=36°,所以40°+36°=2∠P. 所以∠P=38°.
(4)$2∠P=∠D+∠B$.
解析
【分析】
(1) 观察图①的两个三角形△AOD和△COB，二者有一组相等的对顶角∠AOD和∠COB，结合三角形内角和为180°，去掉相等的对顶角后即可推出四个角的数量关系。
(2) 先明确“8字形”的结构特征：两个三角形共用一组对顶角，按交点分类逐一排查符合结构的图形组合，做到不重不漏即可得到总数。
(3) 利用(1)得到的8字形角的关系，分别找到包含∠D、∠P的8字形和包含∠B、∠P的8字形，列出两个角的等式，再结合角平分线的性质，将两个等式相加抵消相等的角，代入已知角度即可求出∠P的度数。
(4) 将(3)中∠D、∠B的具体数值替换为任意角，沿用(3)的推导逻辑即可得到三者通用的数量关系。
【解析】
(1) 在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，在△COB中，∠C+∠B+∠COB=180°，
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B。
(2) 根据8字形的特征逐一计数，可得符合要求的8字形共6个。
(3)
∵AP、CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB。
根据8字形的角的关系可得：
∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ①，
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ②，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
将∠DAP=∠PAB、∠DCP=∠PCB代入，相等的角抵消后得：∠D+∠B=2∠P，
代入∠D=40°，∠B=36°，得40°+36°=2∠P，解得∠P=38°。
(4) 由(3)的推导过程，去掉具体角度的限制，可得通用关系：2∠P=∠D+∠B。
【答案】
(1)$∠A+∠D=∠C+∠B$
(2)$6$
(3)$38°$
(4)$2∠P=∠D+∠B$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题围绕三角形角的关系展开，重点考查8字形模型的应用，解题核心是准确识别图形结构，灵活运用等式性质推导角的数量关系，渗透了从特殊到一般的探究思想，能有效锻炼图形识别和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 观察图①的两个三角形△AOD和△COB，二者有一组相等的对顶角∠AOD和∠COB，结合三角形内角和为180°，去掉相等的对顶角后即可推出四个角的数量关系。
(2) 先明确“8字形”的结构特征：两个三角形共用一组对顶角，按交点分类逐一排查符合结构的图形组合，做到不重不漏即可得到总数。
(3) 利用(1)得到的8字形角的关系，分别找到包含∠D、∠P的8字形和包含∠B、∠P的8字形，列出两个角的等式，再结合角平分线的性质，将两个等式相加抵消相等的角，代入已知角度即可求出∠P的度数。
(4) 将(3)中∠D、∠B的具体数值替换为任意角，沿用(3)的推导逻辑即可得到三者通用的数量关系。
【解析】
(1) 在△AOD中，∠A+∠D+∠AOD=180°，在△COB中，∠C+∠B+∠COB=180°，
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B。
(2) 根据8字形的特征逐一计数，可得符合要求的8字形共6个。
(3)
∵AP、CP分别是∠DAB和∠DCB的平分线，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB。
根据8字形的角的关系可得：
∠DAP+∠D=∠P+∠DCP ①，
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P ②，
①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
将∠DAP=∠PAB、∠DCP=∠PCB代入，相等的角抵消后得：∠D+∠B=2∠P，
代入∠D=40°，∠B=36°，得40°+36°=2∠P，解得∠P=38°。
(4) 由(3)的推导过程，去掉具体角度的限制，可得通用关系：2∠P=∠D+∠B。
【答案】
(1)$∠A+∠D=∠C+∠B$
(2)$6$
(3)$38°$
(4)$2∠P=∠D+∠B$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角的性质
【点评】
本题围绕三角形角的关系展开，重点考查8字形模型的应用，解题核心是准确识别图形结构，灵活运用等式性质推导角的数量关系，渗透了从特殊到一般的探究思想，能有效锻炼图形识别和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
16. 如图①，$∠ MON=90°$，点$A$，$B$分别在$OM$，$ON$上运动（不与点$O$重合）。
(1)若$BC$是$∠ ABN$的平分线，$BC$的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点$D$.
①若$∠ BAO=60°$，则$∠ D=$
②猜想：$∠ D$的度数是否随$A$，$B$的移动而发生变化？并说明理由.
(2) 如图②，若$∠ OAD = \frac{3}{4}∠ OAB$，$∠ NBC = \frac{3}{4}∠ NBA$，求$∠ D$的度数.
(1)若$BC$是$∠ ABN$的平分线，$BC$的反向延长线与$∠ BAO$的平分线交于点$D$.
①若$∠ BAO=60°$，则$∠ D=$
45°
.②猜想：$∠ D$的度数是否随$A$，$B$的移动而发生变化？并说明理由.
(2) 如图②，若$∠ OAD = \frac{3}{4}∠ OAB$，$∠ NBC = \frac{3}{4}∠ NBA$，求$∠ D$的度数.
答案
16.【解】(1)①45°【点拨】因为∠MON=90°,∠BAO=60°,所以∠OBA=180°−(∠MON+∠BAO)=30°. 所以∠ABN=180°−∠OBA=150°. 因为BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAO=30°,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=75°. 所以∠DBA=180°−∠ABC=105°.
所以在△ABD中,∠D=180°−(∠DBA+∠DAB)=180°−(105°+30°)=45°.
②∠D的度数不随A,B的移动而发生变化,始终是45°.理由如下:设∠BAO=2θ,则∠OBA=180°−(∠MON+∠BAO)=180°−(90°+2θ)=90°−2θ,
所以∠ABN=180°−∠OBA=180°−(90°−2θ)=90°+2θ.
因为BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAO=θ,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=$\frac{1}{2}$×(90°+2θ)=45°+θ.
所以∠DBA=180°−∠ABC=135°−θ.
所以在△ABD中,∠D=180°−(∠DBA+∠DAB)=180°−(135°−θ+θ)=45°.
(2)因为∠OAD=$\frac{3}{4}$∠OAB,∠NBC=$\frac{3}{4}$∠NBA,
所以设∠OAB=4α,∠NBA=4β,则∠OAD=3α,∠NBC=3β.
所以∠DAB=∠OAB−∠OAD=α,∠ABC=∠NBA−∠NBC=β.
所以∠DBA=180°−∠ABC=180°−β.
所以在△ABD中,∠D=180°−(∠DBA+∠DAB)=180°−(180°−β+α)=β−α.
因为∠MON=90°,
所以∠OBA=180°−(∠MON+∠OAB)=180°−(90°+4α)=90°−4α.
因为∠OBA+∠NBA=180°,所以90°−4α+4β=180°.
所以β−α=22.5°. 所以∠D=22.5°.
所以在△ABD中,∠D=180°−(∠DBA+∠DAB)=180°−(105°+30°)=45°.
②∠D的度数不随A,B的移动而发生变化,始终是45°.理由如下:设∠BAO=2θ,则∠OBA=180°−(∠MON+∠BAO)=180°−(90°+2θ)=90°−2θ,
所以∠ABN=180°−∠OBA=180°−(90°−2θ)=90°+2θ.
因为BC是∠ABN的平分线,BC的反向延长线与∠BAO的平分线交于点D,所以∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAO=θ,∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABN=$\frac{1}{2}$×(90°+2θ)=45°+θ.
所以∠DBA=180°−∠ABC=135°−θ.
所以在△ABD中,∠D=180°−(∠DBA+∠DAB)=180°−(135°−θ+θ)=45°.
(2)因为∠OAD=$\frac{3}{4}$∠OAB,∠NBC=$\frac{3}{4}$∠NBA,
所以设∠OAB=4α,∠NBA=4β,则∠OAD=3α,∠NBC=3β.
所以∠DAB=∠OAB−∠OAD=α,∠ABC=∠NBA−∠NBC=β.
所以∠DBA=180°−∠ABC=180°−β.
所以在△ABD中,∠D=180°−(∠DBA+∠DAB)=180°−(180°−β+α)=β−α.
因为∠MON=90°,
所以∠OBA=180°−(∠MON+∠OAB)=180°−(90°+4α)=90°−4α.
因为∠OBA+∠NBA=180°,所以90°−4α+4β=180°.
所以β−α=22.5°. 所以∠D=22.5°.
解析
【分析】
本题围绕三角形内角和、角平分线性质及邻补角关系展开解题：
1. 对于(1)①，先利用三角形内角和求出△AOB中∠OBA的度数，再求其邻补角∠ABN，结合角平分线定义得到∠DAB和∠ABC的度数，最后根据三角形内角和计算∠D即可。
2. 对于(1)②，要判断∠D是否变化，可设∠BAO为参数，仿照①的推导过程，最终参数会抵消，得到固定的∠D度数，即可证明其不随A、B移动变化。
3. 对于(2)，同样采用设参数的方法，分别表示出∠OAB和∠NBA，再结合已知条件表示出△ABD的两个内角，最后利用∠MON=90°找到参数的数量关系，代入即可求出∠D的度数。
【解析】
(1)① 已知∠MON=90°，∠BAO=60°，
在△AOB中，$∠ OBA=180°-(∠ MON+∠ BAO)=180°-(90°+60°)=30°$，
∠ABN是∠OBA的邻补角，故$∠ ABN=180°-∠ OBA=180°-30°=150°$，
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAO=30°$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=75°$，
∴$∠ DBA=180°-∠ ABC=180°-75°=105°$，
在△ABD中，$∠ D=180°-(∠ DBA+∠ DAB)=180°-(105°+30°)=45°$。
②∠D的度数不随A、B的移动发生变化，始终为45°，理由如下：
设$∠ BAO=2θ$，
在△AOB中，$∠ OBA=180°-(∠ MON+∠ BAO)=180°-(90°+2θ)=90°-2θ$，
∴$∠ ABN=180°-∠ OBA=180°-(90°-2θ)=90°+2θ$，
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAO=θ$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=\frac{1}{2}×(90°+2θ)=45°+θ$，
∴$∠ DBA=180°-∠ ABC=180°-(45°+θ)=135°-θ$，
在△ABD中，$∠ D=180°-(∠ DBA+∠ DAB)=180°-(135°-θ+θ)=45°$，
故∠D为定值，不随A、B移动变化。
(2)设$∠ OAB=4α$，$∠ NBA=4β$，
∵$∠ OAD=\frac{3}{4}∠ OAB$，$∠ NBC=\frac{3}{4}∠ NBA$，
∴$∠ OAD=3α$，$∠ NBC=3β$，
∴$∠ DAB=∠ OAB-∠ OAD=4α-3α=α$，$∠ ABC=∠ NBA-∠ NBC=4β-3β=β$，
∴$∠ DBA=180°-∠ ABC=180°-β$，
在△ABD中，$∠ D=180°-(∠ DBA+∠ DAB)=180°-(180°-β+α)=β-α$，
在△AOB中，$∠ OBA=180°-(∠ MON+∠ OAB)=180°-(90°+4α)=90°-4α$，
又
∵$∠ OBA+∠ NBA=180°$，
∴$90°-4α+4β=180°$，整理得$4(β-α)=90°$，即$β-α=22.5°$，
∴$∠ D=22.5°$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45°}$；②$∠ D$的度数不随A，B的移动发生变化，始终为$45°$；(2)$\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，通过设参数表示未知角的方法，能够简化推导过程，避免受动点变化的干扰，解题的关键是熟练掌握角的和差关系、角平分线及三角形内角和的相关性质。
【难度系数】
0.6
本题围绕三角形内角和、角平分线性质及邻补角关系展开解题：
1. 对于(1)①，先利用三角形内角和求出△AOB中∠OBA的度数，再求其邻补角∠ABN，结合角平分线定义得到∠DAB和∠ABC的度数，最后根据三角形内角和计算∠D即可。
2. 对于(1)②，要判断∠D是否变化，可设∠BAO为参数，仿照①的推导过程，最终参数会抵消，得到固定的∠D度数，即可证明其不随A、B移动变化。
3. 对于(2)，同样采用设参数的方法，分别表示出∠OAB和∠NBA，再结合已知条件表示出△ABD的两个内角，最后利用∠MON=90°找到参数的数量关系，代入即可求出∠D的度数。
【解析】
(1)① 已知∠MON=90°，∠BAO=60°，
在△AOB中，$∠ OBA=180°-(∠ MON+∠ BAO)=180°-(90°+60°)=30°$，
∠ABN是∠OBA的邻补角，故$∠ ABN=180°-∠ OBA=180°-30°=150°$，
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAO=30°$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=75°$，
∴$∠ DBA=180°-∠ ABC=180°-75°=105°$，
在△ABD中，$∠ D=180°-(∠ DBA+∠ DAB)=180°-(105°+30°)=45°$。
②∠D的度数不随A、B的移动发生变化，始终为45°，理由如下：
设$∠ BAO=2θ$，
在△AOB中，$∠ OBA=180°-(∠ MON+∠ BAO)=180°-(90°+2θ)=90°-2θ$，
∴$∠ ABN=180°-∠ OBA=180°-(90°-2θ)=90°+2θ$，
∵AD平分∠BAO，BC平分∠ABN，
∴$∠ DAB=\frac{1}{2}∠ BAO=θ$，$∠ ABC=\frac{1}{2}∠ ABN=\frac{1}{2}×(90°+2θ)=45°+θ$，
∴$∠ DBA=180°-∠ ABC=180°-(45°+θ)=135°-θ$，
在△ABD中，$∠ D=180°-(∠ DBA+∠ DAB)=180°-(135°-θ+θ)=45°$，
故∠D为定值，不随A、B移动变化。
(2)设$∠ OAB=4α$，$∠ NBA=4β$，
∵$∠ OAD=\frac{3}{4}∠ OAB$，$∠ NBC=\frac{3}{4}∠ NBA$，
∴$∠ OAD=3α$，$∠ NBC=3β$，
∴$∠ DAB=∠ OAB-∠ OAD=4α-3α=α$，$∠ ABC=∠ NBA-∠ NBC=4β-3β=β$，
∴$∠ DBA=180°-∠ ABC=180°-β$，
在△ABD中，$∠ D=180°-(∠ DBA+∠ DAB)=180°-(180°-β+α)=β-α$，
在△AOB中，$∠ OBA=180°-(∠ MON+∠ OAB)=180°-(90°+4α)=90°-4α$，
又
∵$∠ OBA+∠ NBA=180°$，
∴$90°-4α+4β=180°$，整理得$4(β-α)=90°$，即$β-α=22.5°$，
∴$∠ D=22.5°$。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{45°}$；②$∠ D$的度数不随A，B的移动发生变化，始终为$45°$；(2)$\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型题型，通过设参数表示未知角的方法，能够简化推导过程，避免受动点变化的干扰，解题的关键是熟练掌握角的和差关系、角平分线及三角形内角和的相关性质。
【难度系数】
0.6
