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1. 在$△ ABC$中，$∠ BAC$是钝角，下列画AC边上的高线正确的是（
D
）答案
1.D
解析
【分析】
要判断AC边上的高线是否正确，首先明确三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高线。首先确定AC边所对的顶点是点B，因此AC边上的高必须过点B，且垂直于AC所在的直线；又因为∠BAC是钝角，所以AC边的高会落在三角形外部，垂足在CA的延长线上，结合这两个特征逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高是过点B向AC所在直线作的垂线段：
1. 选项A：线段过点A，垂足在BC边上，是BC边上的高，不符合要求，排除；
2. 选项B：线段过点C，不是过AC边的对顶点B作的垂线，不符合要求，排除；
3. 选项C：线段过点A，垂足在BC边上，是BC边上的高，不符合要求，排除；
4. 选项D：线段过点B，且垂直于AC所在的直线，垂足H在CA的延长线上，符合钝角三角形AC边上高的画法，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高线的画法，解题核心是找准对应边所对的顶点，明确高线要垂直于对应边所在的直线，尤其要注意钝角三角形的两条高位于三角形外部。
【难度系数】
0.7
要判断AC边上的高线是否正确，首先明确三角形高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条边上的高线。首先确定AC边所对的顶点是点B，因此AC边上的高必须过点B，且垂直于AC所在的直线；又因为∠BAC是钝角，所以AC边的高会落在三角形外部，垂足在CA的延长线上，结合这两个特征逐一判断选项即可。
【解析】
根据三角形高的定义，AC边上的高是过点B向AC所在直线作的垂线段：
1. 选项A：线段过点A，垂足在BC边上，是BC边上的高，不符合要求，排除；
2. 选项B：线段过点C，不是过AC边的对顶点B作的垂线，不符合要求，排除；
3. 选项C：线段过点A，垂足在BC边上，是BC边上的高，不符合要求，排除；
4. 选项D：线段过点B，且垂直于AC所在的直线，垂足H在CA的延长线上，符合钝角三角形AC边上高的画法，正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的高的定义
【点评】
本题考查三角形高线的画法，解题核心是找准对应边所对的顶点，明确高线要垂直于对应边所在的直线，尤其要注意钝角三角形的两条高位于三角形外部。
【难度系数】
0.7
2. 数学文化·九章算术 2026·淮北期中 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB，AC的中点D，E，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成长方形BCHG.若DE=10，AF=6，则△ABC的面积是（
A.60
B.120
C.90
D.100
（第2题）（第3题）
B
）A.60
B.120
C.90
D.100
（第2题）（第3题）
答案
2.B 【点拨】由题意，得 $BG=CH=AF=6,DG=DF$，$EF=EH$,所以 $DG+EH=DE=10$. 所以 $BC=GH=10+10=20$. 又因为$△ ABC$的边 $BC$ 上的高为 $AF+BG=12$. 所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × 12 × 20=120$. 故选 B.
解析
【分析】
本题可结合出入相补法拼接前后图形对应边相等的性质，先求出△ABC的底BC的长度和BC边上的高，再代入三角形面积公式计算即可。首先根据拼接性质得到各对应线段的等量关系，先推导BC的长度，再推导BC边上的高，最后计算面积。
【解析】
解：由出入相补拼接的性质可得：
$BG=CH=AF=6$，$DG=DF$，$EF=EH$，
∴ $DG+EH=DF+EF=DE=10$，
∵ 长方形对边相等，$GH=DE+DG+EH$，
∴ $BC=GH=10+10=20$，
又
∵ △ABC的边BC上的高为 $AF+BG=6+6=12$，
根据三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}×底×高$，
可得 $S_{△ABC}=\frac{1}{2} × 20 × 12=120$。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，图形拼接性质，长方形的性质
【点评】
本题结合中国古代数学中的出入相补法命题，既渗透了数学文化，又考查了学生对图形变换中等量关系的把握能力，解题关键是找准拼接前后对应边、对应高的等量关系。
【难度系数】
0.7
本题可结合出入相补法拼接前后图形对应边相等的性质，先求出△ABC的底BC的长度和BC边上的高，再代入三角形面积公式计算即可。首先根据拼接性质得到各对应线段的等量关系，先推导BC的长度，再推导BC边上的高，最后计算面积。
【解析】
解：由出入相补拼接的性质可得：
$BG=CH=AF=6$，$DG=DF$，$EF=EH$，
∴ $DG+EH=DF+EF=DE=10$，
∵ 长方形对边相等，$GH=DE+DG+EH$，
∴ $BC=GH=10+10=20$，
又
∵ △ABC的边BC上的高为 $AF+BG=6+6=12$，
根据三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}×底×高$，
可得 $S_{△ABC}=\frac{1}{2} × 20 × 12=120$。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积计算，图形拼接性质，长方形的性质
【点评】
本题结合中国古代数学中的出入相补法命题，既渗透了数学文化，又考查了学生对图形变换中等量关系的把握能力，解题关键是找准拼接前后对应边、对应高的等量关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4$,下列结论错误的是（
A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
D
）A.BD是$△ ABC$的角平分线
B.CE是$△ BCD$的角平分线
C.$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$
D.CE是$△ ABC$的角平分线
答案
3.D
解析
【分析】
解题的核心依据是三角形角平分线的定义：三角形的角平分线是从三角形的一个内角顶点出发，平分该内角，且另一个端点在这个角的对边上的线段，它能将对应内角分成两个相等的小角。解题时我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐一对照定义判断每个选项是否正确即可。
【解析】
我们结合三角形角平分线的定义逐个分析选项：
1. 判断选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD的端点分别为B、D，D在△ABC的AC边上，符合△ABC角平分线的定义，故A结论正确。
2. 判断选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE的端点分别为C、E，E在△BCD的BD边上，符合△BCD角平分线的定义，故B结论正确。
3. 判断选项C：∠ACB=∠3+∠4，结合∠3=∠4，可得∠ACB=2∠3，即$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，故C结论正确。
4. 判断选项D：若CE是△ABC的角平分线，除了要平分∠ACB外，CE的另一个端点需要在△ABC的AB边上，题图中CE的端点E在BD上，不在AB边上，不符合△ABC角平分线的定义，故D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线定义、角平分线定义、角的和差运算
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要区分“角平分线”和“三角形的角平分线”的差异，三角形的角平分线是一条线段，除了满足平分对应内角外，两个端点必须分别是三角形的顶点和该顶点对边上的点，不能仅通过角相等就判定为三角形的角平分线。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是三角形角平分线的定义：三角形的角平分线是从三角形的一个内角顶点出发，平分该内角，且另一个端点在这个角的对边上的线段，它能将对应内角分成两个相等的小角。解题时我们结合已知∠1=∠2、∠3=∠4的条件，逐一对照定义判断每个选项是否正确即可。
【解析】
我们结合三角形角平分线的定义逐个分析选项：
1. 判断选项A：已知∠1=∠2，说明BD平分∠ABC，且BD的端点分别为B、D，D在△ABC的AC边上，符合△ABC角平分线的定义，故A结论正确。
2. 判断选项B：已知∠3=∠4，说明CE平分∠BCD，且CE的端点分别为C、E，E在△BCD的BD边上，符合△BCD角平分线的定义，故B结论正确。
3. 判断选项C：∠ACB=∠3+∠4，结合∠3=∠4，可得∠ACB=2∠3，即$∠ 3=\frac{1}{2}∠ ACB$，故C结论正确。
4. 判断选项D：若CE是△ABC的角平分线，除了要平分∠ACB外，CE的另一个端点需要在△ABC的AB边上，题图中CE的端点E在BD上，不在AB边上，不符合△ABC角平分线的定义，故D结论错误。
【答案】
D
【知识点】
三角形角平分线定义、角平分线定义、角的和差运算
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要区分“角平分线”和“三角形的角平分线”的差异，三角形的角平分线是一条线段，除了满足平分对应内角外，两个端点必须分别是三角形的顶点和该顶点对边上的点，不能仅通过角相等就判定为三角形的角平分线。
【难度系数】
0.8
4.如图，AE是△ABC的角平分线，AD是△AEC的角平分线.若∠BAC=80°，则∠EAD=
20°
. 答案
4.20°
解析
【分析】
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会将一个角平均分成两个度数相等的角。本题已知两个角平分线，我们可以先利用AE是△ABC的角平分线，求出∠EAC的度数，再利用AD是△AEC的角平分线，求出∠EAD的度数即可。
【解析】
解：
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴$∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×80°=40°$，
又
∵AD是△AEC的角平分线，
∴$∠ EAD = \frac{1}{2}∠ EAC = \frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
角平分线的定义、三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义，分步计算所求角的度数即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆角平分线的定义：角平分线会将一个角平均分成两个度数相等的角。本题已知两个角平分线，我们可以先利用AE是△ABC的角平分线，求出∠EAC的度数，再利用AD是△AEC的角平分线，求出∠EAD的度数即可。
【解析】
解：
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=80°，
∴$∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×80°=40°$，
又
∵AD是△AEC的角平分线，
∴$∠ EAD = \frac{1}{2}∠ EAC = \frac{1}{2}×40°=20°$。
【答案】
20°
【知识点】
角平分线的定义、三角形的角平分线
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义，分步计算所求角的度数即可，计算量小，难度较低。
【难度系数】
0.8
5.如图,已知P是$△ ABC$的重心,连接AP并延长交BC于点D,若$△ ABC$的面积为20,则$△ ADC$的面积为
10
.答案
5.10
解析
【分析】
首先回忆三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此连接重心与顶点的线段延长后与对边的交点是对边的中点，即AD是△ABC中BC边上的中线。再根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半，代入已知的△ABC面积即可求出△ADC的面积。
【解析】
解：
∵P是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的BC边上的中线，即D为BC的中点，BD=DC。
△ABD和△ADC的底BD=DC，高均为点A到BC边的垂线段长度，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=20$，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形重心的定义，三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是明确重心的性质得到AD是三角形的中线，再结合等底同高的三角形面积相等的规律求解，计算量小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
首先回忆三角形重心的定义：重心是三角形三条中线的交点，因此连接重心与顶点的线段延长后与对边的交点是对边的中点，即AD是△ABC中BC边上的中线。再根据三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，二者面积相等，均为原三角形面积的一半，代入已知的△ABC面积即可求出△ADC的面积。
【解析】
解：
∵P是△ABC的重心，
∴AD是△ABC的BC边上的中线，即D为BC的中点，BD=DC。
△ABD和△ADC的底BD=DC，高均为点A到BC边的垂线段长度，
∴$S_{△ ADC}=S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
∵$S_{△ ABC}=20$，
∴$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}×20=10$。
【答案】
10
【知识点】
三角形重心的定义，三角形中线的性质
【点评】
本题属于基础题，解题关键是明确重心的性质得到AD是三角形的中线，再结合等底同高的三角形面积相等的规律求解，计算量小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.8
6.[2026合肥模拟] 如图，AD是$△ ABC$的中线，则下列结论正确的是（
A.$AD⊥ BC$
B.$∠ BAD=∠ CAD$
C.$AB=AC$
D.$BD=CD$
D
）A.$AD⊥ BC$
B.$∠ BAD=∠ CAD$
C.$AB=AC$
D.$BD=CD$
答案
6.D
解析
【分析】
这道题考查三角形中线的基本概念，解题时先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。接下来结合定义逐一分析选项，注意区分三角形中线、高、角平分线的性质，不要混淆普通三角形和等腰三角形的特殊性质即可推出答案。
【解析】
根据三角形中线的定义可知，AD是△ABC的中线，说明D是BC边的中点，据此逐一判断选项：
A. AD⊥BC是三角形的高的性质，只有等腰三角形底边的中线才同时是高，普通三角形的中线不垂直于对边，该结论不一定成立，故A错误；
B. ∠BAD=∠CAD是三角形角平分线的性质，只有等腰三角形底边的中线才同时是角平分线，普通三角形的中线不平分顶角，该结论不一定成立，故B错误；
C. 仅由AD是中线无法推出AB=AC，只有等腰三角形才有两边相等的性质，该结论不一定成立，故C错误；
D. 因为AD是BC边上的中线，D是BC中点，所以BD=CD，该结论一定成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形中线、高、角平分线的不同性质，注意“三线合一”是等腰三角形特有的性质，不可直接套用到所有三角形中。
【难度系数】
0.9
这道题考查三角形中线的基本概念，解题时先明确三角形中线的定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。接下来结合定义逐一分析选项，注意区分三角形中线、高、角平分线的性质，不要混淆普通三角形和等腰三角形的特殊性质即可推出答案。
【解析】
根据三角形中线的定义可知，AD是△ABC的中线，说明D是BC边的中点，据此逐一判断选项：
A. AD⊥BC是三角形的高的性质，只有等腰三角形底边的中线才同时是高，普通三角形的中线不垂直于对边，该结论不一定成立，故A错误；
B. ∠BAD=∠CAD是三角形角平分线的性质，只有等腰三角形底边的中线才同时是角平分线，普通三角形的中线不平分顶角，该结论不一定成立，故B错误；
C. 仅由AD是中线无法推出AB=AC，只有等腰三角形才有两边相等的性质，该结论不一定成立，故C错误；
D. 因为AD是BC边上的中线，D是BC中点，所以BD=CD，该结论一定成立，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
三角形的中线定义
【点评】
本题属于基础概念题，核心是区分三角形中线、高、角平分线的不同性质，注意“三线合一”是等腰三角形特有的性质，不可直接套用到所有三角形中。
【难度系数】
0.9
7.如图,在数学活动课上,小沐同学画了两个三角形,它们面积之间的关系是 (
A.$S_{△ ABC} ＞ S_{△ DEF}$
B.$S_{△ ABC} ＜ S_{△ DEF}$
C.$S_{△ ABC} = S_{△ DEF}$
D.不能确定
C
)A.$S_{△ ABC} ＞ S_{△ DEF}$
B.$S_{△ ABC} ＜ S_{△ DEF}$
C.$S_{△ ABC} = S_{△ DEF}$
D.不能确定
答案
7.C 【点拨】因为 $AC=DF=5,∠BAC+∠EDF=60°+120°=180°$,所以可将 $△ ABC$ 和 $△ DEF$ 拼在一起，如图所示,则点 $B,D(A),E$ 在同一条直线上. 因为 $AB=DE=4$,所以 $FD$ 为 $△ BEF$ 的边 $BE$ 上的中线,即 $△ ABC$ 与 $△ DEF$ 等底同高,所以 $S_{△ ABC}=S_{△ DEF}$,故选 C.
解析
【分析】
要判断两个三角形的面积关系，首先观察它们的边角特征：△ABC的边AC=5、AB=4，夹角∠A=60°；△DEF的边DF=5、DE=4，夹角∠D=120°，可得两组夹边对应相等，两个夹角之和为180°（互补）。我们可以通过拼接两个三角形的思路推导：利用两角互补的特点，将两个三角形的等长边重合，判断是否为等底同高的三角形，进而得到面积关系。
【解析】
已知$AC=DF=5$，$AB=DE=4$，$∠ BAC=60°$，$∠ EDF=120°$，因此$∠ BAC + ∠ EDF = 60°+120°=180°$。
将$△ ABC$的点A与$△ DEF$的点D重合，使边AC与边DF完全重合，此时$∠ BAC$和$∠ EDF$正好组成一个平角，可得点B、$D(A)$、E在同一条直线上。
因为$AB=DE=4$，所以D（A）是线段BE的中点，$△ ABC$和$△ DEF$的底AB=DE，且两者的高都是从点$F(C)$到直线BE的垂线段长度，属于等底同高的三角形，因此面积相等。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，等底同高三角形面积相等，三角形中线的性质
【点评】
本题灵活考查三角形面积的判断方法，解题的关键是发现两个三角形夹边相等、夹角互补的特征，通过拼接转化为熟悉的等底同高三角形面积比较问题，能有效锻炼图形转化和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形的面积关系，首先观察它们的边角特征：△ABC的边AC=5、AB=4，夹角∠A=60°；△DEF的边DF=5、DE=4，夹角∠D=120°，可得两组夹边对应相等，两个夹角之和为180°（互补）。我们可以通过拼接两个三角形的思路推导：利用两角互补的特点，将两个三角形的等长边重合，判断是否为等底同高的三角形，进而得到面积关系。
【解析】
已知$AC=DF=5$，$AB=DE=4$，$∠ BAC=60°$，$∠ EDF=120°$，因此$∠ BAC + ∠ EDF = 60°+120°=180°$。
将$△ ABC$的点A与$△ DEF$的点D重合，使边AC与边DF完全重合，此时$∠ BAC$和$∠ EDF$正好组成一个平角，可得点B、$D(A)$、E在同一条直线上。
因为$AB=DE=4$，所以D（A）是线段BE的中点，$△ ABC$和$△ DEF$的底AB=DE，且两者的高都是从点$F(C)$到直线BE的垂线段长度，属于等底同高的三角形，因此面积相等。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，等底同高三角形面积相等，三角形中线的性质
【点评】
本题灵活考查三角形面积的判断方法，解题的关键是发现两个三角形夹边相等、夹角互补的特征，通过拼接转化为熟悉的等底同高三角形面积比较问题，能有效锻炼图形转化和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
8. 在$△ ABC$中，$∠ B=30°$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，$∠ CAD=22°$，则$∠ BAC=$
82°或38°
。答案
8.82°或38° 【点拨】如图,当$△ ABC$是锐角三角形时,因为 $AD ⊥ BC$,所以 $∠ ADB=90°$. 所以 $∠ BAD=180°-90°-30°=60°$,所以 $∠ BAC=∠ BAD+∠ DAC=60°+22°=82°$; 当$△ ABC'$是钝角三角形时, $∠ BAC'=∠ BAD-∠ DAC'=60°-22°=38°$. 综上, $∠ BAC=82°$ 或 $38°$.
解析
【分析】
本题未明确△ABC的形状，需根据高AD的位置分类讨论：首先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再分两种情况计算∠BAC：①当△ABC是锐角三角形时，高AD在三角形内部，∠BAC为∠BAD与∠CAD的和；②当△ABC是钝角三角形时，高AD在三角形外部，∠BAC为∠BAD与∠CAD的差。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，根据直角三角形两锐角互余，
得∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
又
∵∠CAD=22°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+22°=82°；
2. 当△ABC为钝角三角形（对应图中△ABC'）时：
同理可得∠BAD=60°，此时∠C'AD=22°，
∴∠BAC'=∠BAD-∠C'AD=60°-22°=38°。
综上，∠BAC的度数为82°或38°。
【答案】
82°或38°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形高的位置的两种可能性，造成漏解。求解无明确图形的三角形高相关问题时，要先判断高在三角形内部还是外部，分类讨论后再计算。
【难度系数】
0.6
本题未明确△ABC的形状，需根据高AD的位置分类讨论：首先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAD的度数，再分两种情况计算∠BAC：①当△ABC是锐角三角形时，高AD在三角形内部，∠BAC为∠BAD与∠CAD的和；②当△ABC是钝角三角形时，高AD在三角形外部，∠BAC为∠BAD与∠CAD的差。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，∠B=30°，根据直角三角形两锐角互余，
得∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°，
又
∵∠CAD=22°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+22°=82°；
2. 当△ABC为钝角三角形（对应图中△ABC'）时：
同理可得∠BAD=60°，此时∠C'AD=22°，
∴∠BAC'=∠BAD-∠C'AD=60°-22°=38°。
综上，∠BAC的度数为82°或38°。
【答案】
82°或38°
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形的高；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三角形高的位置的两种可能性，造成漏解。求解无明确图形的三角形高相关问题时，要先判断高在三角形内部还是外部，分类讨论后再计算。
【难度系数】
0.6
9. 如图，AD，BE，CF分别是$△ ABC$的中线、高和角平分线，$∠ ABC=90°$，CF交AD于点G，交BE于点H，AB=BD。给出下列结论：①$AB=CD$；②$FG=GC$；③$∠ ABE=2∠ FCB$；④$∠ BFH=∠ BHF$。其中一定正确的是（
A.①③④
B.②③④
C.①②③
D.①②④
A
）A.①③④
B.②③④
C.①②③
D.①②④
答案
9.A 【点拨】因为 $AD$ 是 $△ ABC$ 的中线,所以 $BD=CD$. 又因为 $AB=BD$,所以 $AB=CD$,故①正确. 因为 $BE,CF$ 分别是 $△ ABC$ 的高和角平分线,所以 $∠ AEB=∠ BEC=90°,∠ ACB=2∠ ACF=2∠ FCB$,所以 $∠ ABE+∠ BAC=90°$. 因为 $∠ ABC=90°$,所以 $∠ ACB+∠ BAC=90°$. 所以 $∠ ABE=∠ ACB=2∠ FCB$,故 ③ 正确. 因为 $∠ ABC=90°,∠ BEC=90°$,所以 $∠ BFH+∠ FCB=90°,∠ ECF+∠ CHE=90°$. 因为 $∠ BCF=∠ ECF$,所以 $∠ BFH=∠ CHE$. 又因为 $∠ CHE=∠ BHF$,所以 $∠ BFH=∠ BHF$,故④正确. 由已知条件无法得到 $FG=GC$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时需结合三角形中线、高、角平分线的定义与性质，逐一验证4个结论是否正确：1.先利用中线平分对边的性质，结合题干AB=BD验证结论①；2.判断结论②时，看现有条件能否推出G是CF中点或对应等腰三角形的性质，发现无对应条件支撑；3.验证结论③时，利用直角三角形两锐角互余得到∠ABE=∠ACB，再结合角平分线平分角的性质推导即可；4.验证结论④时，利用等角的余角相等、对顶角相等推导角的等量关系即可。
【解析】
①
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，又已知AB=BD，
∴AB=CD，故①正确；
②由题中给出的已知条件，无法推导得出FG=GC，故②错误；
③
∵BE是△ABC的高，∠ABC=90°，
∴∠AEB=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACB+∠BAC=90°，根据同角的余角相等可得∠ABE=∠ACB。又
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB=2∠FCB，
∴∠ABE=2∠FCB，故③正确；
④
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△BFC中，∠BFH+∠FCB=90°；
∵BE是高，
∴∠BEC=90°，在Rt△HEC中，∠ECF+∠CHE=90°。
∵CF平分∠ACB，
∴∠FCB=∠ECF，
∴∠BFH=∠CHE。又
∵∠CHE和∠BHF是对顶角，
∴∠CHE=∠BHF，
∴∠BFH=∠BHF，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线性质；直角三角形两锐角互余；角平分线定义
【点评】
本题综合考查三角形中三类重要线段的性质，解题的关键是灵活运用等角的余角相等、对顶角相等推导角的等量关系，对结论逐一排查即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时需结合三角形中线、高、角平分线的定义与性质，逐一验证4个结论是否正确：1.先利用中线平分对边的性质，结合题干AB=BD验证结论①；2.判断结论②时，看现有条件能否推出G是CF中点或对应等腰三角形的性质，发现无对应条件支撑；3.验证结论③时，利用直角三角形两锐角互余得到∠ABE=∠ACB，再结合角平分线平分角的性质推导即可；4.验证结论④时，利用等角的余角相等、对顶角相等推导角的等量关系即可。
【解析】
①
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，又已知AB=BD，
∴AB=CD，故①正确；
②由题中给出的已知条件，无法推导得出FG=GC，故②错误；
③
∵BE是△ABC的高，∠ABC=90°，
∴∠AEB=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，∠ACB+∠BAC=90°，根据同角的余角相等可得∠ABE=∠ACB。又
∵CF是△ABC的角平分线，
∴∠ACB=2∠FCB，
∴∠ABE=2∠FCB，故③正确；
④
∵∠ABC=90°，
∴在Rt△BFC中，∠BFH+∠FCB=90°；
∵BE是高，
∴∠BEC=90°，在Rt△HEC中，∠ECF+∠CHE=90°。
∵CF平分∠ACB，
∴∠FCB=∠ECF，
∴∠BFH=∠CHE。又
∵∠CHE和∠BHF是对顶角，
∴∠CHE=∠BHF，
∴∠BFH=∠BHF，故④正确。
综上，正确的结论是①③④，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形中线性质；直角三角形两锐角互余；角平分线定义
【点评】
本题综合考查三角形中三类重要线段的性质，解题的关键是灵活运用等角的余角相等、对顶角相等推导角的等量关系，对结论逐一排查即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
