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10. 如图所示,在$△ ABC$中,D是BC上一点,$CD=2BD$,E是AC的中点,把$△ ADC,△ ABD,△ AOE,△ OEC$的面积分别记作$S_{△ ADC},S_{△ ABD},S_{△ AOE},S_{△ OEC}$,给出下面四个结论:①$S_{△ AOE}=S_{△ OEC}$;②$S_{△ ADC}=2S_{△ ABD}$;③$△ ABE$与$△ BCE$的周长相等;④$\frac{AO}{OD}=3$.上述结论中,所有正确结论的序号是
①②④
.答案
10.①②④ 【点拨】①因为 $E$ 是 $AC$ 的中点,所以易得 $S_{△ AOE}=S_{△ OEC}$,所以①正确,符合题意;
②因为 $CD=2BD$,所以 $S_{△ ADC}=2S_{△ ABD}$,所以②正确,符合题意;
③因为 $BE=BE,AE=CE$,但 $AB$ 与 $BC$ 不一定相等,所以$△ ABE$与$△ BCE$的周长不一定相等,所以③不正确,不符合题意;
④因为 $CD=2BD$,所以 $S_{△ COD}=2S_{△ BOD}$. 因为 $E$ 是 $AC$ 的中点,所以易得 $S_{△ ABE}=S_{△ BEC},S_{△ AOE}=S_{△ OEC}$,所以 $S_{△ ABO}=S_{△ BOC}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}=3S_{△ BOD}$,所以 $\frac{AO}{OD}=3$,所以④正确,符合题意.
综上,①②④正确.
②因为 $CD=2BD$,所以 $S_{△ ADC}=2S_{△ ABD}$,所以②正确,符合题意;
③因为 $BE=BE,AE=CE$,但 $AB$ 与 $BC$ 不一定相等,所以$△ ABE$与$△ BCE$的周长不一定相等,所以③不正确,不符合题意;
④因为 $CD=2BD$,所以 $S_{△ COD}=2S_{△ BOD}$. 因为 $E$ 是 $AC$ 的中点,所以易得 $S_{△ ABE}=S_{△ BEC},S_{△ AOE}=S_{△ OEC}$,所以 $S_{△ ABO}=S_{△ BOC}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}=3S_{△ BOD}$,所以 $\frac{AO}{OD}=3$,所以④正确,符合题意.
综上,①②④正确.
解析
【分析】
解题时可结合三角形面积、周长的相关性质，逐个验证4个结论：1. 涉及中点的三角形面积判断，利用“同高三角形底相等则面积相等”分析；2. 涉及底成比例的同高三角形面积关系，用“同高三角形面积比等于底的比”判断；3. 周长比较需拆分两个三角形的周长，对比公共边和相等边，剩余边长度不确定则周长不一定相等；4. 求线段比例可转化为同高三角形的面积比，通过面积等量代换得到对应三角形的面积比即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 因为E是AC的中点，所以$AE=EC$，$△ AOE$和$△ OEC$同高，根据同高三角形底相等则面积相等，可得$S_{△ AOE}=S_{△ OEC}$，故①正确；
② $△ ADC$和$△ ABD$同高，且$CD=2BD$，根据同高三角形面积比等于底的比，可得$S_{△ ADC}=2S_{△ ABD}$，故②正确；
③ $△ ABE$的周长为$AB+BE+AE$，$△ BCE$的周长为$BC+BE+CE$，已知E是AC中点，所以$AE=CE$，又BE是公共边，但AB与BC长度不一定相等，因此两个三角形的周长不一定相等，故③错误；
④ 设$S_{△ BOD}=x$，因为$CD=2BD$，$△ BOD$和$△ COD$同高，所以$S_{△ COD}=2S_{△ BOD}=2x$，则$S_{△ BOC}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}=3x$。
因为E是AC中点，所以$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$，$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，将两个等式相减得：$S_{△ ABE}-S_{△ AOE}=S_{△ CBE}-S_{△ COE}$，即$S_{△ ABO}=S_{△ BOC}=3x$。
$△ ABO$和$△ BOD$同高，面积比等于底的比，即$\frac{AO}{OD}=\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ BOD}}=\frac{3x}{x}=3$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形面积与底高关系；三角形中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题综合考查了三角形中线段比例与面积的关联、中线的性质、周长比较等内容，核心是灵活运用同高（同底）三角形的面积比等于对应底（高）的比这一规律，对学生的面积转化和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时可结合三角形面积、周长的相关性质，逐个验证4个结论：1. 涉及中点的三角形面积判断，利用“同高三角形底相等则面积相等”分析；2. 涉及底成比例的同高三角形面积关系，用“同高三角形面积比等于底的比”判断；3. 周长比较需拆分两个三角形的周长，对比公共边和相等边，剩余边长度不确定则周长不一定相等；4. 求线段比例可转化为同高三角形的面积比，通过面积等量代换得到对应三角形的面积比即可。
【解析】
我们逐个分析结论：
① 因为E是AC的中点，所以$AE=EC$，$△ AOE$和$△ OEC$同高，根据同高三角形底相等则面积相等，可得$S_{△ AOE}=S_{△ OEC}$，故①正确；
② $△ ADC$和$△ ABD$同高，且$CD=2BD$，根据同高三角形面积比等于底的比，可得$S_{△ ADC}=2S_{△ ABD}$，故②正确；
③ $△ ABE$的周长为$AB+BE+AE$，$△ BCE$的周长为$BC+BE+CE$，已知E是AC中点，所以$AE=CE$，又BE是公共边，但AB与BC长度不一定相等，因此两个三角形的周长不一定相等，故③错误；
④ 设$S_{△ BOD}=x$，因为$CD=2BD$，$△ BOD$和$△ COD$同高，所以$S_{△ COD}=2S_{△ BOD}=2x$，则$S_{△ BOC}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}=3x$。
因为E是AC中点，所以$S_{△ ABE}=S_{△ CBE}$，$S_{△ AOE}=S_{△ COE}$，将两个等式相减得：$S_{△ ABE}-S_{△ AOE}=S_{△ CBE}-S_{△ COE}$，即$S_{△ ABO}=S_{△ BOC}=3x$。
$△ ABO$和$△ BOD$同高，面积比等于底的比，即$\frac{AO}{OD}=\frac{S_{△ ABO}}{S_{△ BOD}}=\frac{3x}{x}=3$，故④正确。
综上，正确结论为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
三角形面积与底高关系；三角形中线性质；三角形周长计算
【点评】
本题综合考查了三角形中线段比例与面积的关联、中线的性质、周长比较等内容，核心是灵活运用同高（同底）三角形的面积比等于对应底（高）的比这一规律，对学生的面积转化和逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
11. 如图，AD是$△ ABC$的中线，G是AD上的一点，E，F分别是CG，BG的中点，若$△ ABC$的面积是24，则阴影部分的面积为
6
。答案
11.6 【点拨】因为$△ ABC$的面积是 24,$AD$ 是$△ ABC$的中线,所以$△ ADC$的面积为 12,点 $D$ 是 $BC$ 的中点,所以 $GD$ 是$△ GBC$的中线,所以 $S_{△ AGD}=S_{△ BGD}$. 因为 $E,F$ 分别是 $CG,BG$ 的中点,所以 $S_{△ DGF}=S_{△ DFB}=\frac{1}{2}S_{△ DGB}=\frac{1}{2}S_{△ CGD},S_{△ AEG}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}$,所以阴影部分的面积为 $S_{△ AEG}+S_{△ DGF}=\frac{1}{2}S_{△ AGC}+\frac{1}{2}S_{△ DGC}=\frac{1}{2}S_{△ ADC}=6$.
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的核心性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高的小三角形，二者面积相等。解题步骤可按以下思路推进：1. 先利用AD是△ABC的中线，求出△ADC的面积为△ABC面积的一半；2. 再结合D是BC中点，得到△CGD和△BGD面积相等；3. 最后利用E、F分别是CG、BG的中点，得到两个阴影三角形分别是对应大三角形面积的一半，将阴影面积求和后转化为△ADC面积的一半即可算出结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=24$，
∴D为BC的中点，$S_{△ADC} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = \frac{1}{2}×24 = 12$。
∵D为BC的中点，
∴GD是△GBC的中线，
∴$S_{△CGD} = S_{△BGD}$。
∵E是CG的中点，
∴AE是△AGC的中线，
∴$S_{△AEG} = \frac{1}{2}S_{△AGC}$。
∵F是BG的中点，
∴DF是△BGD的中线，
∴$S_{△DGF} = \frac{1}{2}S_{△BGD} = \frac{1}{2}S_{△CGD}$。
∴阴影部分面积 = $S_{△AEG} + S_{△DGF}$
= $\frac{1}{2}S_{△AGC} + \frac{1}{2}S_{△CGD}$
= $\frac{1}{2}(S_{△AGC} + S_{△CGD})$
= $\frac{1}{2}S_{△ADC}$
= $\frac{1}{2}×12 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
1.三角形中线的面积性质 2.等积变换
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心考查对三角形中线面积性质的灵活运用，解题的关键是通过中线的等积关系，将分散的阴影部分面积转化为已知面积的三角形的一部分，避免单独计算各阴影部分面积时缺少条件的问题。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆三角形中线的核心性质：三角形的中线将三角形分为两个等底同高的小三角形，二者面积相等。解题步骤可按以下思路推进：1. 先利用AD是△ABC的中线，求出△ADC的面积为△ABC面积的一半；2. 再结合D是BC中点，得到△CGD和△BGD面积相等；3. 最后利用E、F分别是CG、BG的中点，得到两个阴影三角形分别是对应大三角形面积的一半，将阴影面积求和后转化为△ADC面积的一半即可算出结果。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，$S_{△ABC}=24$，
∴D为BC的中点，$S_{△ADC} = \frac{1}{2}S_{△ABC} = \frac{1}{2}×24 = 12$。
∵D为BC的中点，
∴GD是△GBC的中线，
∴$S_{△CGD} = S_{△BGD}$。
∵E是CG的中点，
∴AE是△AGC的中线，
∴$S_{△AEG} = \frac{1}{2}S_{△AGC}$。
∵F是BG的中点，
∴DF是△BGD的中线，
∴$S_{△DGF} = \frac{1}{2}S_{△BGD} = \frac{1}{2}S_{△CGD}$。
∴阴影部分面积 = $S_{△AEG} + S_{△DGF}$
= $\frac{1}{2}S_{△AGC} + \frac{1}{2}S_{△CGD}$
= $\frac{1}{2}(S_{△AGC} + S_{△CGD})$
= $\frac{1}{2}S_{△ADC}$
= $\frac{1}{2}×12 = 6$。
【答案】
6
【知识点】
1.三角形中线的面积性质 2.等积变换
【点评】
本题是三角形面积计算的典型题型，核心考查对三角形中线面积性质的灵活运用，解题的关键是通过中线的等积关系，将分散的阴影部分面积转化为已知面积的三角形的一部分，避免单独计算各阴影部分面积时缺少条件的问题。
【难度系数】
0.6
12. ★★★ 新考法 特殊点定位法 如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=8\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=10\ \mathrm{cm}$，若动点$P$从点$C$开始，按$C\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C$的路径运动，且速度为$3\ \mathrm{cm/s}$，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t=$
(2)当$t=$
(3)当$t=$
(1)当$t=$
4
时，$CP$把$△ ABC$的周长分成相等的两部分.(2)当$t=$
$\frac{13}{3}$
时，$CP$把$△ ABC$的面积分成相等的两部分.(3)当$t=$
2 或 $\frac{7}{2}$
时，$△ BCP$的面积为$18\ \mathrm{cm}^2$.答案
12.(1)4 (2)$\frac{13}{3}$
(3)2 或 $\frac{7}{2}$ 【点拨】如图①,当点 $P$ 在 $AC$ 上时,$CP=3t\ \mathrm{cm}$. 因为 $S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$,所以 $\frac{1}{2} × 6 × 3t=18$,所以 $t=2$;
如图②,当点 $P$ 在 $AB$ 上时,过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$.
因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$,
所以 $CD=\frac{8 × 6}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$.
因为 $S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$,所以易得 $\frac{1}{2} × (10+8-3t) × \frac{24}{5}=18$. 所以 $t=\frac{7}{2}$.
综上所述,当 $t$ 为 2 或 $\frac{7}{2}$ 时,$△ BCP$ 的面积为 $18\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
(1) 先计算△ABC的总周长，周长被CP分成相等的两部分时每部分长度为总周长的一半，结合点P的运动速度和路径，列方程即可求解t。
(2) 根据三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，可知当P为AB中点时CP平分面积，计算此时点P走过的总路程，结合速度即可求出t。
(3) 分两种情况讨论：①点P在AC上时，△BCP以CP为底、BC为高，根据面积公式列方程求解；②点P在AB上时，先用等面积法求出AB边上的高CD，再以BP为底、CD为高，根据面积公式列方程求解，排除P在BC上的无效情况即可得到结果。
【解析】
(1) △ABC的周长为$AC+BC+AB=8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，CP平分周长时，每部分周长为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
点P运动路程为$3t\ \mathrm{cm}$，当路程为$12\ \mathrm{cm}$时满足条件，即$3t=12$，解得$t=4$。
(2) 当CP为△ABC的中线（P为AB中点）时，CP平分△ABC的面积。
此时$AP=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$，点P总运动路程为$AC+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，即$3t=13$，解得$t=\frac{13}{3}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点P在AC上时，$CP=3t\ \mathrm{cm}$，由$S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{1}{2}× BC× CP=\frac{1}{2}×6×3t=18$，解得$t=2$。
② 当点P在AB上时，过C作$CD⊥ AB$于D，由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值解得$CD=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
此时$BP=AC+AB-3t=18-3t$，由$S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{1}{2}×(18-3t)×\frac{24}{5}=18$，解得$t=\frac{7}{2}$。
点P在BC上时△BCP面积为0，不符合要求，故舍去该情况。
【答案】
(1) 4
(2) $\frac{13}{3}$
(3) 2 或 $\frac{7}{2}$
【点拨】如图①,当点 $P$ 在 $AC$ 上时,$CP=3t\ \mathrm{cm}$. 因为 $S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$,所以 $\frac{1}{2} × 6 × 3t=18$,所以 $t=2$;
如图②,当点 $P$ 在 $AB$ 上时,过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$.
因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$,
所以 $CD=\frac{8 × 6}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$.
因为 $S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$,所以易得 $\frac{1}{2} × (10+8-3t) × \frac{24}{5}=18$. 所以 $t=\frac{7}{2}$.
综上所述,当 $t$ 为 2 或 $\frac{7}{2}$ 时,$△ BCP$ 的面积为 $18\ \mathrm{cm}^2$.
【知识点】
三角形周长与面积计算，三角形中线的性质，动点分类讨论
【点评】
本题结合动点场景考查三角形的相关性质，解题时需要根据点P的位置分类讨论，避免漏解，同时用到了等面积法求高、中线平分面积等常用方法，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
(1) 先计算△ABC的总周长，周长被CP分成相等的两部分时每部分长度为总周长的一半，结合点P的运动速度和路径，列方程即可求解t。
(2) 根据三角形中线的性质：三角形的中线平分三角形的面积，可知当P为AB中点时CP平分面积，计算此时点P走过的总路程，结合速度即可求出t。
(3) 分两种情况讨论：①点P在AC上时，△BCP以CP为底、BC为高，根据面积公式列方程求解；②点P在AB上时，先用等面积法求出AB边上的高CD，再以BP为底、CD为高，根据面积公式列方程求解，排除P在BC上的无效情况即可得到结果。
【解析】
(1) △ABC的周长为$AC+BC+AB=8+6+10=24\ \mathrm{cm}$，CP平分周长时，每部分周长为$24÷2=12\ \mathrm{cm}$。
点P运动路程为$3t\ \mathrm{cm}$，当路程为$12\ \mathrm{cm}$时满足条件，即$3t=12$，解得$t=4$。
(2) 当CP为△ABC的中线（P为AB中点）时，CP平分△ABC的面积。
此时$AP=\frac{1}{2}AB=5\ \mathrm{cm}$，点P总运动路程为$AC+AP=8+5=13\ \mathrm{cm}$，即$3t=13$，解得$t=\frac{13}{3}$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当点P在AC上时，$CP=3t\ \mathrm{cm}$，由$S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{1}{2}× BC× CP=\frac{1}{2}×6×3t=18$，解得$t=2$。
② 当点P在AB上时，过C作$CD⊥ AB$于D，由$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$，代入数值解得$CD=\frac{8×6}{10}=\frac{24}{5}\ \mathrm{cm}$。
此时$BP=AC+AB-3t=18-3t$，由$S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$得：
$\frac{1}{2}×(18-3t)×\frac{24}{5}=18$，解得$t=\frac{7}{2}$。
点P在BC上时△BCP面积为0，不符合要求，故舍去该情况。
【答案】
(1) 4
(2) $\frac{13}{3}$
(3) 2 或 $\frac{7}{2}$
【点拨】如图①,当点 $P$ 在 $AC$ 上时,$CP=3t\ \mathrm{cm}$. 因为 $S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$,所以 $\frac{1}{2} × 6 × 3t=18$,所以 $t=2$;
如图②,当点 $P$ 在 $AB$ 上时,过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$.
因为 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC · BC=\frac{1}{2}AB · CD$,
所以 $CD=\frac{8 × 6}{10}=\frac{24}{5}(\mathrm{cm})$.
因为 $S_{△ BCP}=18\ \mathrm{cm}^2$,所以易得 $\frac{1}{2} × (10+8-3t) × \frac{24}{5}=18$. 所以 $t=\frac{7}{2}$.
综上所述,当 $t$ 为 2 或 $\frac{7}{2}$ 时,$△ BCP$ 的面积为 $18\ \mathrm{cm}^2$.
【知识点】
三角形周长与面积计算，三角形中线的性质，动点分类讨论
【点评】
本题结合动点场景考查三角形的相关性质，解题时需要根据点P的位置分类讨论，避免漏解，同时用到了等面积法求高、中线平分面积等常用方法，对综合分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
13. 如图,在$△ ABC$中$(AB＞BC)$,$AC=2BC$,$BC$边上的中线$AD$把三角形$ABC$的周长分成70和50两部分,求$AC$和$AB$的长. 
答案
13.【解】设 $BC=2x$,则 $BD=CD=x$,$AC=2BC=4x$.
①当 $AC+CD=70$,$AB+BD=50$ 时,$4x+x=70$,解得 $x=14$,所以 $AC=4x=4 × 14=56$,$BD=CD=14$,$BC=2 × 14=28$,所以 $AB=50-BD=50-14=36$. 因为 $AB=36＞BC=28$,满足条件,$BC+AB=28+36=64＞AC=56$,满足三边关系,所以 $AC=56$,$AB=36$.
②当 $AC+CD=50$,$AB+BD=70$ 时,$4x+x=50$,解得 $x=10$,所以 $AC=4x=4 × 10=40$,$BD=CD=10$,$BC=2 × 10=20$,所以 $AB=70-BD=70-10=60$. 因为 $BC+AC=AB=60$,不满足三边关系,所以舍去. 综上,$AC=56$,$AB=36$.
①当 $AC+CD=70$,$AB+BD=50$ 时,$4x+x=70$,解得 $x=14$,所以 $AC=4x=4 × 14=56$,$BD=CD=14$,$BC=2 × 14=28$,所以 $AB=50-BD=50-14=36$. 因为 $AB=36＞BC=28$,满足条件,$BC+AB=28+36=64＞AC=56$,满足三边关系,所以 $AC=56$,$AB=36$.
②当 $AC+CD=50$,$AB+BD=70$ 时,$4x+x=50$,解得 $x=10$,所以 $AC=4x=4 × 10=40$,$BD=CD=10$,$BC=2 × 10=20$,所以 $AB=70-BD=70-10=60$. 因为 $BC+AC=AB=60$,不满足三边关系,所以舍去. 综上,$AC=56$,$AB=36$.
解析
【分析】
首先根据AD是BC边上的中线，可得BD=CD，结合已知AC=2BC，可设未知数表示出各相关边的长度；由于AD把△ABC的周长分成70和50两部分，未明确哪部分对应AC+CD、哪部分对应AB+BD，因此需要分两种情况讨论计算；最后结合题中AB＞BC的条件，以及三角形三边关系验证计算结果是否合理，舍去不符合条件的解即可得到最终答案。
【解析】
设 $ BC=2x $，因为AD是BC边上的中线，所以 $ BD=CD=x $，又因为 $ AC=2BC $，所以 $ AC=4x $，分两种情况讨论：
① 当 $ AC+CD=70 $，$ AB+BD=50 $ 时：
代入得 $ 4x+x=70 $，解得 $ x=14 $。
因此 $ AC=4x=4×14=56 $，$ BD=CD=14 $，$ BC=2x=2×14=28 $，
$ AB=50-BD=50-14=36 $。
验证：$ AB=36＞BC=28 $，满足题设条件；且 $ BC+AB=28+36=64＞AC=56 $，满足三角形三边关系，该组解有效。
② 当 $ AC+CD=50 $，$ AB+BD=70 $ 时：
代入得 $ 4x+x=50 $，解得 $ x=10 $。
因此 $ AC=4x=4×10=40 $，$ BD=CD=10 $，$ BC=2x=2×10=20 $，
$ AB=70-BD=70-10=60 $。
验证：$ BC+AC=20+40=60=AB $，不满足三角形三边关系，该组解舍去。
综上，AC的长为56，AB的长为36。
【答案】
$ AC=56 $，$ AB=36 $
【知识点】
三角形中线的定义，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是利用中线的性质设未知数，结合周长分段的不确定性进行分类讨论，求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系和题目的限定条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
首先根据AD是BC边上的中线，可得BD=CD，结合已知AC=2BC，可设未知数表示出各相关边的长度；由于AD把△ABC的周长分成70和50两部分，未明确哪部分对应AC+CD、哪部分对应AB+BD，因此需要分两种情况讨论计算；最后结合题中AB＞BC的条件，以及三角形三边关系验证计算结果是否合理，舍去不符合条件的解即可得到最终答案。
【解析】
设 $ BC=2x $，因为AD是BC边上的中线，所以 $ BD=CD=x $，又因为 $ AC=2BC $，所以 $ AC=4x $，分两种情况讨论：
① 当 $ AC+CD=70 $，$ AB+BD=50 $ 时：
代入得 $ 4x+x=70 $，解得 $ x=14 $。
因此 $ AC=4x=4×14=56 $，$ BD=CD=14 $，$ BC=2x=2×14=28 $，
$ AB=50-BD=50-14=36 $。
验证：$ AB=36＞BC=28 $，满足题设条件；且 $ BC+AB=28+36=64＞AC=56 $，满足三角形三边关系，该组解有效。
② 当 $ AC+CD=50 $，$ AB+BD=70 $ 时：
代入得 $ 4x+x=50 $，解得 $ x=10 $。
因此 $ AC=4x=4×10=40 $，$ BD=CD=10 $，$ BC=2x=2×10=20 $，
$ AB=70-BD=70-10=60 $。
验证：$ BC+AC=20+40=60=AB $，不满足三角形三边关系，该组解舍去。
综上，AC的长为56，AB的长为36。
【答案】
$ AC=56 $，$ AB=36 $
【知识点】
三角形中线的定义，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是利用中线的性质设未知数，结合周长分段的不确定性进行分类讨论，求出边长后必须验证是否符合三角形三边关系和题目的限定条件，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
14. 在△ABC中，AD是角平分线，∠B＜∠C.
(1)如图①，AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
(2)如图②，点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并说明理由；
(3)如图③，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于F，则∠DEF与∠B，∠C存在怎样的数量关系.
(1)如图①，AE是高，∠B=35°，∠C=65°，求∠DAE的度数；
(2)如图②，点E在AD上，EF⊥BC于F，试探究∠DEF与∠B，∠C的大小关系，并说明理由；
(3)如图③，点E在AD的延长线上，EF⊥BC于F，则∠DEF与∠B，∠C存在怎样的数量关系.
答案
14.【解】(1) 因为 $AD$ 平分 $∠ BAC$,所以 $∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$. 因为 $AE ⊥ BC$,所以 $∠ CAE=180°-90°-∠ C=90°-∠ C$. 所以 $∠ DAE=∠ CAD-∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$. 因为 $∠ B=35°$,$∠ C=65°$,所以 $∠ DAE=\frac{1}{2} × (65°-35°)=15°$.
(2)$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
理由:如图①,过 $A$ 作 $AG ⊥ BC$ 于 $G$. 因为 $EF ⊥ BC$,所以 $AG // EF$,所以 $∠ DAG=∠ DEF$.
同(1)可得,$∠ DAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$,所以 $∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
(3)如图②,过 $A$ 作 $AG ⊥ BC$ 于 $G$. 因为 $EF ⊥ BC$,所以 $AG // EF$,所以 $∠ DAG=∠ DEF$. 同(1)可得,$∠ DAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$,所以 $∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$.
解析
【分析】
(1) 求∠DAE的度数时，先利用三角形内角和定理求出∠BAC，结合角平分线定义得到∠CAD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，用∠CAD减去∠CAE即可推导得到∠DAE与∠B、∠C的关系，代入数值就能算出结果。
(2) 探究∠DEF和∠B、∠C的关系时，可过A作AG⊥BC于G，由垂直于同一直线的两条直线平行可得AG//EF，利用平行线性质把∠DEF转化为∠DAG，再沿用(1)的结论就能得到∠DEF的表达式。
(3) 与(2)思路一致，过A作AG⊥BC于G，通过AG//EF将∠DEF转化为∠DAG，即可得到和(2)相同的数量关系。
【解析】
(1) 因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
因为$AE ⊥ BC$，所以$∠ CAE=180°-90°-∠ C=90°-∠ C$。
所以$∠ DAE=∠ CAD-∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
因为$∠ B=35°$，$∠ C=65°$，所以$∠ DAE=\frac{1}{2} × (65°-35°)=15°$。
(2)$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
理由:如图①,过$A$作$AG ⊥ BC$于$G$。因为$EF ⊥ BC$，所以$AG // EF$，所以$∠ DAG=∠ DEF$。
同(1)可得，$∠ DAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，所以$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(3)如图②,过$A$作$AG ⊥ BC$于$G$。因为$EF ⊥ BC$，所以$AG // EF$，所以$∠ DAG=∠ DEF$。同(1)可得，$∠ DAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，所以$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
【答案】
(1) $∠ DAE=15°$；
(2) $∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，理由见解析；
(3) $∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题围绕三角形的角平分线、高等重要线段展开，由特殊到一般探究角的数量关系，解题的关键是通过作平行线辅助线实现角的转化，同时注意前后问题的关联性，可借助已推导的结论简化计算和证明过程。
【难度系数】
0.6
(1) 求∠DAE的度数时，先利用三角形内角和定理求出∠BAC，结合角平分线定义得到∠CAD，再根据直角三角形两锐角互余求出∠CAE，用∠CAD减去∠CAE即可推导得到∠DAE与∠B、∠C的关系，代入数值就能算出结果。
(2) 探究∠DEF和∠B、∠C的关系时，可过A作AG⊥BC于G，由垂直于同一直线的两条直线平行可得AG//EF，利用平行线性质把∠DEF转化为∠DAG，再沿用(1)的结论就能得到∠DEF的表达式。
(3) 与(2)思路一致，过A作AG⊥BC于G，通过AG//EF将∠DEF转化为∠DAG，即可得到和(2)相同的数量关系。
【解析】
(1) 因为AD平分$∠ BAC$，所以$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC$。
因为$AE ⊥ BC$，所以$∠ CAE=180°-90°-∠ C=90°-∠ C$。
所以$∠ DAE=∠ CAD-∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}(180°-∠ B-∠ C)-(90°-∠ C)=\frac{1}{2}∠ C-\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
因为$∠ B=35°$，$∠ C=65°$，所以$∠ DAE=\frac{1}{2} × (65°-35°)=15°$。
(2)$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
理由:如图①,过$A$作$AG ⊥ BC$于$G$。因为$EF ⊥ BC$，所以$AG // EF$，所以$∠ DAG=∠ DEF$。
同(1)可得，$∠ DAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，所以$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
(3)如图②,过$A$作$AG ⊥ BC$于$G$。因为$EF ⊥ BC$，所以$AG // EF$，所以$∠ DAG=∠ DEF$。同(1)可得，$∠ DAG=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，所以$∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
【答案】
(1) $∠ DAE=15°$；
(2) $∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$，理由见解析；
(3) $∠ DEF=\frac{1}{2}(∠ C-∠ B)$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题围绕三角形的角平分线、高等重要线段展开，由特殊到一般探究角的数量关系，解题的关键是通过作平行线辅助线实现角的转化，同时注意前后问题的关联性，可借助已推导的结论简化计算和证明过程。
【难度系数】
0.6
