1. [2025 淄博] 如图，$AB// CD$，$∠ 1=36°$，$∠ 2=60°$，则$∠ 3$的度数是（）

A.$36°$
B.$34°$
C.$26°$
D.$24°$
（第1题）

1. D

【分析】
首先观察图形，已知AB//CD，我们可以先利用平行线的性质找到与∠2相等的同位角，该角同时是包含∠1、∠3的三角形的外角，再结合三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），即可推导出∠3的计算方式，代入已知角度数值就能求出结果。
【解析】
设AB与CE的交点为O。
∵AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠EOB=∠2=60°。
又
∵∠EOB是△AOE的外角，根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此∠EOB=∠1+∠3。
将∠1=36°，∠EOB=60°代入上式，得：
∠3=∠EOB-∠1=60°-36°=24°。
故本题选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是平行线性质与三角形角度关系的基础综合题，解题关键是找到平行线截线形成的同位角，再结合三角形外角性质建立角度等量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 新考法 折叠法 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=50°$，将其折叠使点$A$落在$BC$边上的点$A'$处，折痕为$CD$，则$∠ A'DC=$（）

A.$10°$
B.$30°$
C.$65°$
D.$85°$

2. D

【分析】
解题思路如下：首先根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，可得∠CA'D与∠A相等，∠A'CD与∠ACD相等；其次结合已知∠ACB=90°，可算出∠A'CD的度数；最后在△A'DC中，利用三角形内角和为180°，即可求出∠A'DC的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，因此：
∠CA'D = ∠A = 50°，
∠A'CD = ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A'CD = $\frac{1}{2}$×90°=45°，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，在△A'DC中：
∠A'DC = 180° - ∠CA'D - ∠A'CD = 180° - 50° - 45° = 85°。
【答案】
D
【知识点】
折叠的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的基础题，核心是利用折叠的性质得到相等的角，再结合三角形内角和定理即可快速求解，是角度计算类的常见考法。
【难度系数】
0.8

3. 一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB=35°，则∠DFC=。

3. 100°【点拨】如图，由题意得∠BAC=60°,∠C=30°,∠D=45°. 因为∠EAB=35°,所以∠CAD=180°−∠EAB−∠BAC=85°. 所以∠AGD=180°−∠D−∠CAD=50°. 所以∠CGF=∠AGD=50°. 所以∠DFC=180°−∠C−∠CGF=100°.

【分析】
解题时首先回忆一副三角板的固定内角度数，明确已知的特殊角；其次观察角的位置关系，点D、A、E在同一直线上构成平角，结合已知的∠EAB和三角板的∠BAC即可求出∠CAD的度数；接着在△ADG中利用三角形内角和定理求出∠AGD的度数，根据对顶角相等得到△CGF中∠CGF的度数；最后在△CGF中再次利用三角形内角和定理即可求出∠DFC的度数。
【解析】
由三角板的性质可得：$∠ BAC=60°$，$∠ C=30°$，$∠ D=45°$。
∵ 点D、A、E共线，$∠ EAB=35°$，
∴ $∠ CAD=180°-∠ EAB-∠ BAC=180°-35°-60°=85°$。
在$△ ADG$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ AGD=180°-∠ D-∠ CAD=180°-45°-85°=50°$。
∵ $∠ CGF$与$∠ AGD$是对顶角，
∴ $∠ CGF=∠ AGD=50°$。
在$△ CGF$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DFC=180°-∠ C-∠ CGF=180°-30°-50°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；平角的定义
【点评】
本题结合三角板的特殊角度考查基础几何角的计算，解题的核心是先明确三角板的已知角度，再理清角之间的位置关系，逐步推导求解，侧重考查对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7

4.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=∠ ABC=2∠ A,BD⊥ AC$于$D$,则$∠ DBC$的度数为.

4. 18°【点拨】因为∠C=∠ABC=2∠A，所以∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°,所以∠A=36°,所以∠C=∠ABC=2∠A=72°. 因为BD⊥AC,所以∠DBC=180°−90°−∠C=18°.

【分析】
解题时先从题目给出的三个角的数量关系入手，结合三角形内角和为180°的定理，先求出∠A的度数，进而得到∠C的度数；再根据BD⊥AC可知△BDC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠DBC的度数。
【解析】
设∠A的度数为x，则∠C=∠ABC=2x。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$x + 2x + 2x = 180°$
整理得$5x = 180°$，解得$x = 36°$。
因此$∠ C = 2x = 2×36° = 72°$。
因为$BD⊥ AC$，所以$∠ BDC = 90°$，在$Rt△ BDC$中，$∠ DBC + ∠ C = 90°$，
所以$∠ DBC = 90° - ∠ C = 90° - 72° = 18°$。
【答案】
$18°$
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余；角度和差计算
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，解题核心是先利用已知角的倍数关系结合内角和定理求出∠C的度数，再结合垂直的性质推导目标角的度数，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

5. 当三角形中一个内角α的度数是另一个内角β的度数的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”。如果一个“特征三角形”的“特征角”的度数为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为。

5. 30°【点拨】由题意得α=2β,α=100°,则β=50°,则最小内角的度数为180°−100°−50°=30°,故答案为30°.

【分析】
首先准确理解题目给出的“特征三角形”和“特征角”的定义：特征角α是另一个内角β的2倍，即α=2β。解题时第一步先根据已知的特征角α=100°求出β的度数，第二步利用三角形内角和为180°求出第三个内角的度数，最后比较三个内角的大小，就能得到最小内角的度数。
【解析】
根据“特征三角形”的定义可得：α=2β，
已知特征角α=100°，代入得：β=α÷2=100°÷2=50°，
根据三角形内角和为180°，可得第三个内角的度数为：180°-α-β=180°-100°-50°=30°，
三个内角分别为100°、50°、30°，因此最小内角的度数为30°。
【答案】
30°
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 新定义概念应用
【点评】
本题属于结合新定义的基础计算题，核心是先读懂题干给出的新定义，找到两个内角的数量关系，再结合三角形内角和定理即可顺利求解，侧重考查对新定义的理解能力和基础定理的应用能力。
【难度系数】
0.8

6. 在$△ ABC$中，$∠ A:∠ B=1:2$，设$∠ A$的度数为$x°$，$∠ C$的度数为$y°$。
(1)求$y$关于$x$的函数表达式(不需要写$x$的取值范围)；
(2)若$△ ABC$是锐角三角形，请确定$x$的取值范围。

6.【解】(1)因为在△ABC中,∠A:∠B=1:2,∠A的度数为x°,所以∠B的度数为(2x)°. 又因为∠C的度数为y°,所以x+2x+y=180. 所以y=180−x−2x=180−3x.
(2)因为△ABC是锐角三角形，
所以 $\begin{cases}2x＜90,\\180-3x＜90,\end{cases}$ 解得 $30＜x＜45$.
所以x的取值范围为 $30＜x＜45$.

【分析】
（1）要推导y关于x的函数表达式，首先根据∠A与∠B的比例关系，用含x的式子表示出∠B的度数，再结合三角形内角和为180°的性质，将三个角的度数相加等于180，整理式子即可得到y与x的关系式。
（2）要确定锐角三角形中x的取值范围，首先明确锐角三角形的三个内角都是锐角（即小于90°），由于∠A=x是最小的角，只要保证另外两个较大的角∠B、∠C都小于90°，就能保证三个角均为锐角，据此列出不等式组求解即可。
【解析】
（1）已知∠A:∠B=1:2，∠A的度数为x°，因此∠B的度数为2x°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
$x + 2x + y = 180$
整理得：$y = 180 - 3x$
（2）
∵△ABC是锐角三角形，
∴三个内角都小于90°。
其中∠B=2x°，∠C=(180-3x)°，列不等式组：
$\begin{cases}2x ＜ 90 \\ 180-3x ＜ 90\end{cases}$
解第一个不等式：$2x ＜ 90$，得$x ＜ 45$
解第二个不等式：$180 - 3x ＜ 90$，移项得$-3x ＜ -90$，两边同时除以-3，不等号方向改变，得$x ＞ 30$
因此不等式组的解集为$30 ＜ x ＜ 45$
【答案】
（1）$y=180-3x$；（2）$30＜x＜45$
【知识点】
三角形内角和定理，锐角三角形的定义，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题侧重考查三角形角的性质的应用，第一问属于基础题，直接套用内角和定理即可求解；第二问需要准确理解锐角三角形的特点，正确列出不等式组求解，解题时注意不要遗漏内角的范围限制。
【难度系数】
0.7

7.下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡住了，其中不能判断三角形形状的是（）

7. C

【分析】
解题时首先明确三角形按角分类的依据：根据最大内角的类型，可分为锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。判断三角形形状的核心是确定其最大内角的类型：若露出的角是直角或钝角，该角就是三角形的最大角，可直接判断形状；若露出的角是锐角，由于所有三角形都至少有2个锐角，无法确定该锐角是否为最大角，需结合图形进一步判断，再逐一分析选项即可。
【解析】
我们逐个分析四个选项：
A. 露出的角为钝角，是该三角形的最大内角，因此该三角形是钝角三角形，可判断形状；
B. 露出的角带有直角标识，为直角，是该三角形的最大内角，因此该三角形是直角三角形，可判断形状；
C. 露出的角仅为一个锐角，无法确定该角是否为三角形的最大内角，剩余的两个角中可能存在直角、钝角，也可能均为锐角，因此无法判断三角形的形状；
D. 露出的角为钝角，是该三角形的最大内角，因此该三角形是钝角三角形，可判断形状。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形按角分类；三角形内角的特征
【点评】
本题考查三角形分类的相关知识，解题的关键是牢记判断三角形形状需明确最大内角的类型，易错点是误将露出的单个锐角当作最大角，错判为锐角三角形。
【难度系数】
0.7

8. 将一张三角形纸片剪开分成两个三角形，这两个三角形不可能（）

A.都是锐角三角形
B.都是直角三角形
C.都是钝角三角形
D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形

8. A【点拨】如图①,沿三角形一边上的高(虚线)剪开即可得到两个直角三角形.
如图②,钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形.
如图③④,锐角三角形或钝角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形.
因为剪开的边上的两个角是邻补角,不可能都是锐角,故这两个三角形不可能都是锐角三角形.
综上所述,将一张三角形纸片剪开分成两个三角形,这两个三角形不可能都是锐角三角形.故选A.

【分析】
解决本题首先要明确裁剪方式：将一个三角形剪成两个三角形，裁剪线必定是从三角形的一个顶点出发、连接对边上某一点的线段，此时裁剪线与对边相交形成的两个角是邻补角，和为180°。我们可以先通过举例验证各选项是否可行，再结合邻补角的性质判断不可能的情况：若两个三角形都是锐角三角形，说明交点处的两个角都为锐角，两个锐角的和小于180°，与邻补角的性质矛盾，即可推出结论。
【解析】
解：裁剪得到两个三角形时，裁剪线是从三角形一个顶点出发交对边于一点的线段，交点处的两个角为邻补角，和为180°。
1. 可行情况验证：
如图①，沿三角形一边上的高剪开，可得到两个直角三角形，故B选项情况可能；
如图②，钝角三角形沿图中虚线剪开，可得到两个钝角三角形，故C选项情况可能；
如图③④，锐角或钝角三角形沿图中虚线剪开，可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形，故D选项情况可能。
2. 不可能情况分析：
若两个三角形都是锐角三角形，则交点处的两个角都为锐角，两个锐角的和小于180°，与邻补角和为180°的性质矛盾，因此两个三角形不可能都是锐角三角形。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形的分类，邻补角的性质，图形的分割
【点评】
本题结合图形分割考查三角形与角的基础性质，解题时可通过举反例排除可行的选项，再结合角的性质推导结论，借助图形分析会更直观易懂。
【难度系数】
0.7

9. [2026 合肥五十中期末] 在$△ ABC$中，$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，则这个三角形是 （）

A.锐角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.含$30°$角的直角三角形

9. D

【分析】
本题可根据三角形内角和为180°的性质求解，首先观察题目给出的三个角的数量关系，我们可以设最小的∠A为未知数，将∠B、∠C都用含该未知数的式子表示，再代入内角和公式列方程求出各角度数，最后根据角度特征判断三角形的类型即可。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore ∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$x + 2x + 3x = 180°$
合并同类项得：$6x = 180°$
解得：$x = 30°$
$\therefore ∠ A = 30°$，$∠ B = 60°$，$∠ C = 90°$，
因此该三角形是含$30°$角的直角三角形。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 三角形的分类
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形内角和定理的应用，解题的关键是根据角的倍数关系设未知数列方程求出各角的度数，再对应判断三角形类型，熟练掌握内角和定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

10.现有若干个三角形,在所有的内角中,有5个直角,3个钝角,25个锐角,则在这些三角形中锐角三角形有个.

10. 3【点拨】因为在所有的内角中,有5个直角,3个钝角,25个锐角,所以共有(5+3+25)÷3=11(个)三角形.又因为一个三角形中,最多有一个直角或最多有一个钝角,所以11个三角形中,有5个直角三角形和3个钝角三角形,所以有11−5−3=3(个)锐角三角形.故答案为3.

【分析】
要解决这道题，首先要明确两个核心思路：一是每个三角形有3个内角，可先通过所有内角的总数量求出三角形的总个数；二是三角形按角分类的性质：每个三角形中最多只能有1个直角或1个钝角，直角三角形含1个直角和2个锐角，钝角三角形含1个钝角和2个锐角，只有锐角三角形的3个内角都是锐角。我们先算出总三角形数，再减去直角三角形和钝角三角形的个数，就能得到锐角三角形的数量。
【解析】
第一步：计算三角形的总个数
所有内角的总数量为：$5+3+25=33$（个）
因为每个三角形有3个内角，所以三角形总个数为：$33÷3=11$（个）
第二步：确定直角三角形和钝角三角形的个数
根据三角形内角和为$180°$的性质，每个三角形最多只能有1个直角或1个钝角，因此5个直角对应5个直角三角形，3个钝角对应3个钝角三角形。
第三步：计算锐角三角形的个数
锐角三角形个数 = 总三角形个数 - 直角三角形个数 - 钝角三角形个数，即$11-5-3=3$（个）
【答案】
3
【知识点】
三角形内角和性质；三角形的分类；锐角三角形特征
【点评】
本题主要考查三角形按角分类的相关知识，解题的关键是准确掌握不同类型三角形的内角特点，避免出现直接用锐角总数除以3求锐角三角形个数的错误，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7

11. 如图，已知$∠ CAE = ∠ ACD = 90°$，$∠ ADE ＜ ∠ E ＜ ∠ ACD$，请写出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.

11.【解】锐角三角形:△AED,直角三角形:△ACD,钝角三角形:△ABC,△BDC.

【分析】
解题时首先要明确三角形按角分类的判定标准：三个内角均为锐角（小于90°）的三角形是锐角三角形；有一个内角为直角（等于90°）的三角形是直角三角形；有一个内角为钝角（大于90°且小于180°）的三角形是钝角三角形。接下来先找出图中所有的三角形，再结合已知的角的条件，逐个判断每个三角形的最大角的类型，即可确定对应三角形的分类：首先找全图中的三角形为△ACD、△ABC、△BDC、△AED；再先根据已知直角直接判定直角三角形，接着结合角的大小关系判定锐角三角形，最后通过邻补角性质、角的和差关系判定钝角三角形。
【解析】
首先列出图中所有三角形：$△ ACD$、$△ ABC$、$△ BDC$、$△ AED$，逐一判定如下：
1. 直角三角形判定：已知$∠ ACD=90°$，因此$△ ACD$有1个内角为直角，属于直角三角形。
2. 锐角三角形判定：已知$∠ CAE=90°$，且题目给出$∠ ADE ＜ ∠ E ＜ ∠ ACD=90°$，可得$∠ ADE$、$∠ E$均为锐角，$∠ DAE$是$∠ CAE$的一部分，也为锐角，因此$△ AED$的三个内角都是锐角，属于锐角三角形。
3. 钝角三角形判定：
对于$△ BDC$：$\mathrm{Rt}△ ACD$中除直角外的两个内角均为锐角，因此$∠ ADC＜90°$；$∠ BDC$与$∠ ADC$互为邻补角，因此$∠ BDC=180°-∠ ADC＞90°$，即$△ BDC$有1个钝角，属于钝角三角形。
对于$△ ABC$：$∠ ACB=∠ ACD+∠ DCB$，其中$∠ ACD=90°$，$∠ DCB＞0°$，因此$∠ ACB＞90°$，即$△ ABC$有1个钝角，属于钝角三角形。
【答案】
锐角三角形:$△ AED$,直角三角形:$△ ACD$,钝角三角形:$△ ABC$,$△ BDC$
【知识点】
三角形按角分类；邻补角的性质；直角三角形的特征
【点评】
本题属于三角形分类的基础题，解题关键是先找全图中的所有三角形，再结合已知角的关系逐个判断最大角的类型，注意不要漏数三角形，也不要混淆角的和差关系。
【难度系数】
0.7