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10. 如图①所示，将长为8的长方形纸片沿虚线折成3个长方形，其中上下两端长方形的宽相等，若要将其围成如图②所示的物体，则图中a的值可以是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10. C 【点拨】由题意可知长为8的线段围成的等腰三角形的腰长为a，则底边长为8−2a. 由题意得
$\begin{cases}2a＞8-2a,\\8-2a＞0,\end{cases}$ 解得$2＜a＜4$. 故选C.
$\begin{cases}2a＞8-2a,\\8-2a＞0,\end{cases}$ 解得$2＜a＜4$. 故选C.
解析
【分析】
解题时首先要明确长方形纸片折叠后围成的是底面为等腰三角形的直三棱柱，上下两端宽为a的部分对应底面等腰三角形的两条腰，中间剩余部分的长度对应底面等腰三角形的底边长。接下来根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，且各边长均为正数，列出关于a的一元一次不等式组，求解得到a的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：由题意可知，围成的几何体的底面是等腰三角形，该等腰三角形的腰长为$a$，底边长为$8-2a$。
根据三角形三边关系及边长为正的要求，列不等式组：
$\begin{cases}2a ＞ 8-2a \\8-2a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$4a＞8$，得$a＞2$；
解第二个不等式：$-2a＞-8$，得$a＜4$。
因此$a$的取值范围是$2＜a＜4$，观察选项，只有3在该范围内。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组应用；几何体展开与折叠
【点评】
本题将几何体折叠和三角形三边关系结合考查，解题的关键是建立平面展开图和立体几何底面边长的对应关系，再结合三边关系列不等式求解，既考查了空间想象能力，也考查了不等式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确长方形纸片折叠后围成的是底面为等腰三角形的直三棱柱，上下两端宽为a的部分对应底面等腰三角形的两条腰，中间剩余部分的长度对应底面等腰三角形的底边长。接下来根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，且各边长均为正数，列出关于a的一元一次不等式组，求解得到a的取值范围，最后对照选项选出符合范围的数值即可。
【解析】
解：由题意可知，围成的几何体的底面是等腰三角形，该等腰三角形的腰长为$a$，底边长为$8-2a$。
根据三角形三边关系及边长为正的要求，列不等式组：
$\begin{cases}2a ＞ 8-2a \\8-2a ＞ 0\end{cases}$
解第一个不等式：$4a＞8$，得$a＞2$；
解第二个不等式：$-2a＞-8$，得$a＜4$。
因此$a$的取值范围是$2＜a＜4$，观察选项，只有3在该范围内。
【答案】
C
【知识点】
三角形三边关系；一元一次不等式组应用；几何体展开与折叠
【点评】
本题将几何体折叠和三角形三边关系结合考查，解题的关键是建立平面展开图和立体几何底面边长的对应关系，再结合三边关系列不等式求解，既考查了空间想象能力，也考查了不等式的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
11. [成都青羊区自主招生]已知7条长度分别为整数$a_1,a_2,\dots,a_7$的线段，它们中的任意三条都不能构成三角形，若$a_1=1＜a_2＜a_3＜a_4＜a_5＜a_6＜a_7=21$，则$a_6=$（
A.18
B.13
C.8
D.5
B
）A.18
B.13
C.8
D.5
答案
11. B 【点拨】不能构成三角形，那么前两个数之和小于或等于第三个数字，最小的$a_1$是1，最小情况如下：1，2，3，5，8，13，21，满足条件，若$a_1=1,a_7=21$，则$a_6=13$. 故选B.
解析
【分析】
拿到题目首先提取核心条件：任意三条线段不能构成三角形，线段长度为严格递增的整数，已知首项$a_1=1$、末项$a_7=21$。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，反过来，若三条线段不能构成三角形，则两条较短线段的长度之和≤最长线段的长度。结合数列严格递增的特点，只要保证从第三项开始，每一项都≥前两项的和，就能满足任意三条都不能构成三角形的要求。我们按照这个规则从$a_2$开始逐步推导，再结合$a_7=21$的限制，即可求出$a_6$的取值。
【解析】
解：根据三角形三边关系，若三条线段无法构成三角形，则两条较短线段的长度之和≤最长线段的长度。
已知$a_1=1＜a_2＜a_3＜\dots＜a_7=21$，且均为正整数，要满足任意三条都不能构成三角形，需满足对所有$n≥3$，$a_n≥ a_{n-1}+a_{n-2}$：
1. $a_2＞a_1=1$，若$a_2$取大于2的整数，后续推导的$a_7$会超过21，因此取$a_2=2$；
2. $a_3≥ a_1+a_2=1+2=3$，又$a_3＞a_2=2$，得$a_3=3$；
3. $a_4≥ a_2+a_3=2+3=5$，又$a_4＞a_3=3$，得$a_4=5$；
4. $a_5≥ a_3+a_4=3+5=8$，又$a_5＞a_4=5$，得$a_5=8$；
5. $a_6≥ a_4+a_5=5+8=13$，又$a_7≥ a_5+a_6$，已知$a_7=21$，代入得$21≥8+a_6$，即$a_6≤13$。
综上$a_6=13$。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的应用
【点评】
本题的核心是将“任意三条线段不能构成三角形”的条件转化为相邻三项的不等关系，结合整数的取值限制和首尾项的约束逐步推导，考查了条件转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
拿到题目首先提取核心条件：任意三条线段不能构成三角形，线段长度为严格递增的整数，已知首项$a_1=1$、末项$a_7=21$。首先回忆三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，反过来，若三条线段不能构成三角形，则两条较短线段的长度之和≤最长线段的长度。结合数列严格递增的特点，只要保证从第三项开始，每一项都≥前两项的和，就能满足任意三条都不能构成三角形的要求。我们按照这个规则从$a_2$开始逐步推导，再结合$a_7=21$的限制，即可求出$a_6$的取值。
【解析】
解：根据三角形三边关系，若三条线段无法构成三角形，则两条较短线段的长度之和≤最长线段的长度。
已知$a_1=1＜a_2＜a_3＜\dots＜a_7=21$，且均为正整数，要满足任意三条都不能构成三角形，需满足对所有$n≥3$，$a_n≥ a_{n-1}+a_{n-2}$：
1. $a_2＞a_1=1$，若$a_2$取大于2的整数，后续推导的$a_7$会超过21，因此取$a_2=2$；
2. $a_3≥ a_1+a_2=1+2=3$，又$a_3＞a_2=2$，得$a_3=3$；
3. $a_4≥ a_2+a_3=2+3=5$，又$a_4＞a_3=3$，得$a_4=5$；
4. $a_5≥ a_3+a_4=3+5=8$，又$a_5＞a_4=5$，得$a_5=8$；
5. $a_6≥ a_4+a_5=5+8=13$，又$a_7≥ a_5+a_6$，已知$a_7=21$，代入得$21≥8+a_6$，即$a_6≤13$。
综上$a_6=13$。
【答案】
B
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 不等式的应用
【点评】
本题的核心是将“任意三条线段不能构成三角形”的条件转化为相邻三项的不等关系，结合整数的取值限制和首尾项的约束逐步推导，考查了条件转化能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
12. 已知关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - a ＜ 0,① \\ 2x - 1 ≥ 7②\end{cases}$至少有两个整数解，且存在以3，$a$，7为边长的三角形，则满足条件的整数$a$有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
12. C 【点拨】
|1. 解不等式组|解不等式①，可得$x＜a$；解不等式②，可得$x≥4$|
|----|----|
|2. 写出整数解|因为至少有两个整数解，所以最少包含4，5|
|3. 画数轴|$\begin{array}{cccccccc}&&&&&&&&\\ \hline -1&0&1&2&3&\boldsymbol 4&\boldsymbol 5&a&6\end{array}\longrightarrow$|
|4. 定范围|因为不等式组至少有两个整数解，表示$a$的点是空心点，所以$a＞5$|
由存在以3，$a$，7为边长的三角形，得$4＜a＜10$. 故$5＜a＜10$，所以满足条件的整数$a$有4个，故选C.
|1. 解不等式组|解不等式①，可得$x＜a$；解不等式②，可得$x≥4$|
|----|----|
|2. 写出整数解|因为至少有两个整数解，所以最少包含4，5|
|3. 画数轴|$\begin{array}{cccccccc}&&&&&&&&\\ \hline -1&0&1&2&3&\boldsymbol 4&\boldsymbol 5&a&6\end{array}\longrightarrow$|
|4. 定范围|因为不等式组至少有两个整数解，表示$a$的点是空心点，所以$a＞5$|
由存在以3，$a$，7为边长的三角形，得$4＜a＜10$. 故$5＜a＜10$，所以满足条件的整数$a$有4个，故选C.
解析
【分析】
解决本题需结合两个约束条件分别推导a的取值范围，再取公共区间统计整数解：首先解一元一次不等式组，根据“至少有两个整数解”的要求确定a的第一个取值范围，注意不等式解集的空心边界不能取到；再利用三角形三边关系推导a的第二个取值范围，最后在两个范围的公共部分找出整数a的个数即可。
【解析】
1. 求解不等式组：
解不等式①$x-a＜0$，可得$x＜a$；
解不等式②$2x-1≥7$，移项得$2x≥8$，系数化为1得$x≥4$，因此不等式组的解集为$4≤x＜a$。
2. 根据整数解要求确定a的范围：
不等式组至少有2个整数解，则最小的两个整数解为4、5，由于解集边界$x＜a$是空心点，不包含a本身，因此要保证5是解集中的整数，需满足$a＞5$。
3. 根据三角形三边关系确定a的范围：
长度为3、a、7的三条线段可构成三角形，根据“三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，可得$7-3 ＜ a ＜ 7+3$，即$4＜a＜10$。
4. 取公共范围统计整数解：
结合两个条件，a的取值范围为$5＜a＜10$，其中整数为6、7、8、9，共4个。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解；三角形三边关系
【点评】
本题属于不等式与三角形的综合基础题，解题核心是准确根据两个约束条件推导a的取值范围，易错点是容易忽略不等式解集的空心边界，错误将a的下限定为$a≥5$，做题时要注意边界值的验证。
【难度系数】
0.65
解决本题需结合两个约束条件分别推导a的取值范围，再取公共区间统计整数解：首先解一元一次不等式组，根据“至少有两个整数解”的要求确定a的第一个取值范围，注意不等式解集的空心边界不能取到；再利用三角形三边关系推导a的第二个取值范围，最后在两个范围的公共部分找出整数a的个数即可。
【解析】
1. 求解不等式组：
解不等式①$x-a＜0$，可得$x＜a$；
解不等式②$2x-1≥7$，移项得$2x≥8$，系数化为1得$x≥4$，因此不等式组的解集为$4≤x＜a$。
2. 根据整数解要求确定a的范围：
不等式组至少有2个整数解，则最小的两个整数解为4、5，由于解集边界$x＜a$是空心点，不包含a本身，因此要保证5是解集中的整数，需满足$a＞5$。
3. 根据三角形三边关系确定a的范围：
长度为3、a、7的三条线段可构成三角形，根据“三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边”，可得$7-3 ＜ a ＜ 7+3$，即$4＜a＜10$。
4. 取公共范围统计整数解：
结合两个条件，a的取值范围为$5＜a＜10$，其中整数为6、7、8、9，共4个。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次不等式组；不等式组的整数解；三角形三边关系
【点评】
本题属于不等式与三角形的综合基础题，解题核心是准确根据两个约束条件推导a的取值范围，易错点是容易忽略不等式解集的空心边界，错误将a的下限定为$a≥5$，做题时要注意边界值的验证。
【难度系数】
0.65
13. 在综合与实践活动中，数学兴趣小组对各边长度都是整数、最大边长为$k$的三角形的个数$m$进行了探究.发现:当$k=1$时，三角形的各边长度只有1,1,1一种情况，即$m=1$；当$k=2$时，三角形的各边长度有1,2,2和2,2,2两种情况，即$m=2$；当$k=3$时，三角形的各边长度有1,3,3；2,2,3；2,3,3和3,3,3四种情况，即$m=4$；….若$k=6$，则$m$的值为
12
；若$k=19$，则$m$的值为100
.答案
13. 12；100 【点拨】由题可知，当$k=1$时，$m=1$；当$k=2$时，$m=2$；当$k=3$时，$m=4$；当$k=4$时，三角形的各边长度有1,4,4；2,3,4；2,4,4；3,3,4；3,4,4和4,4,4六种情况，所以$m=6$. 以此类推，当$k=5$时，$m=9$；当$k=6$时，$m=12$；…. 因为$1=1,2=1+1,4=1+2+1,6=1+2+2+1,9=1+2+3+2+1,12=1+2+3+3+2+1,\dots$，所以当$k=19$时，$m=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=100$. 故答案为12；100.
解析
【分析】
解决本题首先明确三角形的核心约束条件：①三边长均为正整数；②最大边长为k，即另外两边长都不超过k；③满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。为避免重复计数，可设三边长为$a ≤ b ≤ k$，此时只需满足$a+b＞k$即可。我们可以先通过枚举较小的k值梳理计数方法，再归纳出m与k的通用规律，最终计算对应k值下的m。
【解析】
我们按$a ≤ b ≤ k$且$a+b＞k$的规则分类计数：
1. 计算$k=6$时的m值：
按b的取值从1到6逐一分析：
$b=1、2、3$时，均无法满足$a+b＞6$，无符合条件的a；
$b=4$时，$a＞6-4=2$，且$a ≤ 4$，a可取3、4，共2种；
$b=5$时，$a＞6-5=1$，且$a ≤ 5$，a可取2、3、4、5，共4种；
$b=6$时，$a＞6-6=0$，且$a ≤ 6$，a可取1、2、3、4、5、6，共6种；
合计$2+4+6=12$，即$k=6$时$m=12$。
2. 计算$k=19$时的m值：
观察已知规律：
当k为奇数时，$k=1$时$m=1=1^2$，$k=3$时$m=4=2^2$，$k=5$时$m=9=3^2$，可得规律：若$k=2n-1$（n为正整数），则$m=n^2$。
$k=19$为奇数，代入$2n-1=19$得$n=10$，因此$m=10^2=100$。
【答案】
12；100
【知识点】
三角形三边关系；规律探究；分类计数
【点评】
本题结合三角形三边关系考查归纳探究能力，计数时需要做到不重不漏，同时能从给定示例中总结通用规律，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决本题首先明确三角形的核心约束条件：①三边长均为正整数；②最大边长为k，即另外两边长都不超过k；③满足三角形三边关系：两边之和大于第三边。为避免重复计数，可设三边长为$a ≤ b ≤ k$，此时只需满足$a+b＞k$即可。我们可以先通过枚举较小的k值梳理计数方法，再归纳出m与k的通用规律，最终计算对应k值下的m。
【解析】
我们按$a ≤ b ≤ k$且$a+b＞k$的规则分类计数：
1. 计算$k=6$时的m值：
按b的取值从1到6逐一分析：
$b=1、2、3$时，均无法满足$a+b＞6$，无符合条件的a；
$b=4$时，$a＞6-4=2$，且$a ≤ 4$，a可取3、4，共2种；
$b=5$时，$a＞6-5=1$，且$a ≤ 5$，a可取2、3、4、5，共4种；
$b=6$时，$a＞6-6=0$，且$a ≤ 6$，a可取1、2、3、4、5、6，共6种；
合计$2+4+6=12$，即$k=6$时$m=12$。
2. 计算$k=19$时的m值：
观察已知规律：
当k为奇数时，$k=1$时$m=1=1^2$，$k=3$时$m=4=2^2$，$k=5$时$m=9=3^2$，可得规律：若$k=2n-1$（n为正整数），则$m=n^2$。
$k=19$为奇数，代入$2n-1=19$得$n=10$，因此$m=10^2=100$。
【答案】
12；100
【知识点】
三角形三边关系；规律探究；分类计数
【点评】
本题结合三角形三边关系考查归纳探究能力，计数时需要做到不重不漏，同时能从给定示例中总结通用规律，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
14. (新考法构造法)如图,小红欲从A地前往B地,有三条路线可走:①$A→B$;②$A→D→B$;③$A→C→B$.
(1)在不考虑其他因素的情况下,我们可以肯定小红会走路线①,理由是
(2)小红绝对不会走路线③,因为路线③的路程最长,即$AC+BC＞AD+BD$.你能说明其中的原因吗？
(1)在不考虑其他因素的情况下,我们可以肯定小红会走路线①,理由是
三角形中任意两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
。(2)小红绝对不会走路线③,因为路线③的路程最长,即$AC+BC＞AD+BD$.你能说明其中的原因吗？
答案
14. 【解】(1)三角形中任意两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
(2)如图，延长$BD$交$AC$于点$E$. 在$△CBE$中，由三角形的三边关系，得$BC+CE＞BE$ ①. 在$△ADE$中，由三角形的三边关系，得$AE+DE＞AD$ ②.
①+②，得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$. 又因为$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，所以$AC+BC＞AD+BD$.
解析
【分析】
(1) 观察三条路线可知，路线①是直接连接A、B两点的线段，路线②、③都是连接A、B的折线，结合线段的性质或三角形三边关系即可判断最短路线；
(2) 要证明$AC+BC＞AD+BD$，仅靠现有图形无法直接推导，因此构造辅助线：延长$BD$交$AC$于点$E$，将待比较的线段拆分到$△ CBE$和$△ ADE$两个三角形中，分别利用三角形三边关系列出不等式，再将两个不等式相加，通过等量代换消去公共线段$DE$，即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 两点之间的所有连线中线段最短，因此路线①的路程最短，对应理由为两点之间线段最短，也可根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：路线②、③均可看作三角形的两条边之和，必然大于第三边$AB$。
(2) 证明：
延长$BD$交$AC$于点$E$，
在$△ CBE$中，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得$BC+CE＞BE$ ①；
在$△ ADE$中，同理可得$AE+DE＞AD$ ②；
将①和②左右两边分别相加，得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$，
又因为$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，代入上式得：
$BC+AC+DE＞BD+DE+AD$，
两边同时减去$DE$，即可推出$AC+BC＞AD+BD$。
【答案】
(1) 三角形中任意两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
(2) 如图，延长$BD$交$AC$于点$E$. 在$△CBE$中，由三角形的三边关系，得$BC+CE＞BE$ ①. 在$△ADE$中，由三角形的三边关系，得$AE+DE＞AD$ ②.
①+②，得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$. 又因为$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，所以$AC+BC＞AD+BD$.
【知识点】
线段的性质；三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题结合实际场景考查线段性质和三角形三边关系的应用，证明线段不等关系时，可通过构造辅助线将分散的线段转化到多个三角形中，再结合不等式性质整合推导结论，此类辅助线构造思路是几何证明的常用技巧。
【难度系数】
0.7
(1) 观察三条路线可知，路线①是直接连接A、B两点的线段，路线②、③都是连接A、B的折线，结合线段的性质或三角形三边关系即可判断最短路线；
(2) 要证明$AC+BC＞AD+BD$，仅靠现有图形无法直接推导，因此构造辅助线：延长$BD$交$AC$于点$E$，将待比较的线段拆分到$△ CBE$和$△ ADE$两个三角形中，分别利用三角形三边关系列出不等式，再将两个不等式相加，通过等量代换消去公共线段$DE$，即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 两点之间的所有连线中线段最短，因此路线①的路程最短，对应理由为两点之间线段最短，也可根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”判断：路线②、③均可看作三角形的两条边之和，必然大于第三边$AB$。
(2) 证明：
延长$BD$交$AC$于点$E$，
在$△ CBE$中，根据三角形任意两边之和大于第三边，可得$BC+CE＞BE$ ①；
在$△ ADE$中，同理可得$AE+DE＞AD$ ②；
将①和②左右两边分别相加，得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$，
又因为$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，代入上式得：
$BC+AC+DE＞BD+DE+AD$，
两边同时减去$DE$，即可推出$AC+BC＞AD+BD$。
【答案】
(1) 三角形中任意两边的和大于第三边(或两点之间线段最短)
(2) 如图，延长$BD$交$AC$于点$E$. 在$△CBE$中，由三角形的三边关系，得$BC+CE＞BE$ ①. 在$△ADE$中，由三角形的三边关系，得$AE+DE＞AD$ ②.
①+②，得$BC+CE+AE+DE＞BE+AD$. 又因为$CE+AE=AC$，$BE=BD+DE$，所以$AC+BC＞AD+BD$.
【知识点】
线段的性质；三角形三边关系；不等式的基本性质
【点评】
本题结合实际场景考查线段性质和三角形三边关系的应用，证明线段不等关系时，可通过构造辅助线将分散的线段转化到多个三角形中，再结合不等式性质整合推导结论，此类辅助线构造思路是几何证明的常用技巧。
【难度系数】
0.7
15. 新题型新定义题 若三边均不相等的三角形的三边$a,b,c$满足$a-b＞b-c$($a$为最长边,$c$为最短边),则称它为“不均衡三角形”.例如:一个三角形的三边长分别为7,5,4,因为$7-5＞5-4$,所以称这个三角形为“不均衡三角形”.
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为
①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;
③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
(2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为$2x+2,16,2x-6$($x$为整数),求$x$的值.
(1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为
②
.(填序号)①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;
③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
(2)已知“不均衡三角形”的三边长分别为$2x+2,16,2x-6$($x$为整数),求$x$的值.
答案
15. 【解】(1)② 【点拨】①因为$1+2＜4$，不满足三角形三边关系，所以长度为4 cm，2 cm，1 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”；②因为$18-13＞13-9$，所以长度为13 cm，18 cm，9 cm的小木棍能组成“不均衡三角形”；③不满足“三边均不相等”这一条件，所以长度为19 cm，20 cm，19 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”；④因为$9-8＜8-6$，所以长度为9 cm，8 cm，6 cm的小木棍不能组成“不均衡三角形”.
(2)分三种情况讨论：①当$16＞2x+2$，即$x＜7$时，$16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6)$，解得$x＜3$. 因为$2x-6＞0$，所以$x＞3$，故不符合题意；②当$2x+2＞16＞2x-6$，即$7＜x＜11$时，$2x+2-16＞16-(2x-6)$，解得$x＞9$，所以$9＜x＜11$. 因为$x$为整数，所以$x=10$. 经检验，当$x=10$时，可构成三角形；③当$2x-6＞16$，即$x＞11$时，$2x+2-(2x-6)＞2x-6-16$，解得$x＜15$，所以$11＜x＜15$. 因为$x$为整数，所以$x=12$或13或14. 经检验，$x=12$或13或14时都可以构成三角形. 综上所述，$x$的值为10或12或13或14.
(2)分三种情况讨论：①当$16＞2x+2$，即$x＜7$时，$16-(2x+2)＞2x+2-(2x-6)$，解得$x＜3$. 因为$2x-6＞0$，所以$x＞3$，故不符合题意；②当$2x+2＞16＞2x-6$，即$7＜x＜11$时，$2x+2-16＞16-(2x-6)$，解得$x＞9$，所以$9＜x＜11$. 因为$x$为整数，所以$x=10$. 经检验，当$x=10$时，可构成三角形；③当$2x-6＞16$，即$x＞11$时，$2x+2-(2x-6)＞2x-6-16$，解得$x＜15$，所以$11＜x＜15$. 因为$x$为整数，所以$x=12$或13或14. 经检验，$x=12$或13或14时都可以构成三角形. 综上所述，$x$的值为10或12或13或14.
解析
【分析】
（1）第一问需先明确“不均衡三角形”的三个判定条件：①满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）；②三边均不相等；③最长边a、次长边b、最短边c满足a-b＞b-c，据此对4组长度逐一验证即可。
（2）第二问首先可得2x+2＞2x-6，因此分三种情况讨论最长边和次长边的位置：①16为最长边；②2x+2为最长边、16为次长边；③2x+2为最长边、2x-6为次长边。每种情况先根据边长大小确定x的初步范围，再代入不均衡的不等式求解，同时保证三边为正、满足三角形三边关系，最后结合x为整数得到结果。
【解析】
(1) 逐组判断：
① 1+2=3＜4，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，不符合；
② 边长排序为18cm＞13cm＞9cm，三边均不相等，验证不等式：18-13=5，13-9=4，5＞4，满足a-b＞b-c，符合要求；
③ 有两条边长均为19cm，不满足“三边均不相等”的条件，不符合；
④ 边长排序为9cm＞8cm＞6cm，验证不等式：9-8=1，8-6=2，1＜2，不满足a-b＞b-c，不符合。
(2) 首先边长为正，故2x-6＞0，得x＞3，且2x+2＞2x-6，分三种情况讨论：
① 当16为最长边，即16＞2x+2，解得x＜7时，三边排序为16＞2x+2＞2x-6，代入不均衡条件：
$16-(2x+2)＞(2x+2)-(2x-6)$
化简得$14-2x＞8$，解得x＜3，与x＞3矛盾，无符合条件的x；
② 当2x+2为最长边、16为次长边，即$2x+2＞16$且$16＞2x-6$，解得7＜x＜11时，三边排序为2x+2＞16＞2x-6，代入不均衡条件：
$(2x+2)-16＞16-(2x-6)$
化简得$2x-14＞22-2x$，解得x＞9，结合7＜x＜11得9＜x＜11，x为整数故x=10，验证得三边长22、16、14满足三角形三边关系，符合要求；
③ 当2x+2为最长边、2x-6为次长边，即$2x-6＞16$，解得x＞11时，三边排序为2x+2＞2x-6＞16，代入不均衡条件：
$(2x+2)-(2x-6)＞(2x-6)-16$
化简得$8＞2x-22$，解得x＜15，结合x＞11得11＜x＜15，x为整数故x=12、13、14，验证均满足三角形三边关系，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) $x$的值为$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{14}$
【知识点】
三角形三边关系，新定义应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题为新定义类题型，解题关键是准确理解新定义的判定规则，同时需要熟练运用分类讨论思想对边长的不同大小情况逐一分析，求解后注意验证是否满足三角形的构成条件，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
（1）第一问需先明确“不均衡三角形”的三个判定条件：①满足三角形三边关系（两边之和大于第三边）；②三边均不相等；③最长边a、次长边b、最短边c满足a-b＞b-c，据此对4组长度逐一验证即可。
（2）第二问首先可得2x+2＞2x-6，因此分三种情况讨论最长边和次长边的位置：①16为最长边；②2x+2为最长边、16为次长边；③2x+2为最长边、2x-6为次长边。每种情况先根据边长大小确定x的初步范围，再代入不均衡的不等式求解，同时保证三边为正、满足三角形三边关系，最后结合x为整数得到结果。
【解析】
(1) 逐组判断：
① 1+2=3＜4，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，不符合；
② 边长排序为18cm＞13cm＞9cm，三边均不相等，验证不等式：18-13=5，13-9=4，5＞4，满足a-b＞b-c，符合要求；
③ 有两条边长均为19cm，不满足“三边均不相等”的条件，不符合；
④ 边长排序为9cm＞8cm＞6cm，验证不等式：9-8=1，8-6=2，1＜2，不满足a-b＞b-c，不符合。
(2) 首先边长为正，故2x-6＞0，得x＞3，且2x+2＞2x-6，分三种情况讨论：
① 当16为最长边，即16＞2x+2，解得x＜7时，三边排序为16＞2x+2＞2x-6，代入不均衡条件：
$16-(2x+2)＞(2x+2)-(2x-6)$
化简得$14-2x＞8$，解得x＜3，与x＞3矛盾，无符合条件的x；
② 当2x+2为最长边、16为次长边，即$2x+2＞16$且$16＞2x-6$，解得7＜x＜11时，三边排序为2x+2＞16＞2x-6，代入不均衡条件：
$(2x+2)-16＞16-(2x-6)$
化简得$2x-14＞22-2x$，解得x＞9，结合7＜x＜11得9＜x＜11，x为整数故x=10，验证得三边长22、16、14满足三角形三边关系，符合要求；
③ 当2x+2为最长边、2x-6为次长边，即$2x-6＞16$，解得x＞11时，三边排序为2x+2＞2x-6＞16，代入不均衡条件：
$(2x+2)-(2x-6)＞(2x-6)-16$
化简得$8＞2x-22$，解得x＜15，结合x＞11得11＜x＜15，x为整数故x=12、13、14，验证均满足三角形三边关系，符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{②}$；(2) $x$的值为$\boldsymbol{10}$或$\boldsymbol{12}$或$\boldsymbol{13}$或$\boldsymbol{14}$
【知识点】
三角形三边关系，新定义应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题为新定义类题型，解题关键是准确理解新定义的判定规则，同时需要熟练运用分类讨论思想对边长的不同大小情况逐一分析，求解后注意验证是否满足三角形的构成条件，避免出现增解或漏解。
【难度系数】
0.6
