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1 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BD$是$△ ABC$的角平分线，$DE ⊥ AB$，垂足为点$E$。若$AC=3$，$BC=4$，则$△ AED$的周长为（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：BD是角平分线，∠C和∠DEB都是直角，首先根据角平分线的性质可得DE=DC；再通过HL证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BC=BE。接着用勾股定理计算AB的长度，最后将△AED的周长中的DE替换为DC，把周长转化为AE+AC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 利用角平分线性质和全等三角形推导等量关系：
∵BD是$∠ ABC$的角平分线，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$DE=DC$。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中：
$\begin{cases}BD=BD\\DC=DE\end{cases}$
∴$Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
∴$BE=BC=4$。
3. 计算$△ AED$的周长：
$AE=AB-BE=5-4=1$，
$△ AED$的周长$=AE+DE+AD$，
∵$DE=DC$，
∴$DE+AD=DC+AD=AC=3$，
∴$△ AED$的周长$=1+3=4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算类题目，核心是利用角平分线的性质实现线段的等量转化，避免单独计算各条线段的长度，是角平分线应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：BD是角平分线，∠C和∠DEB都是直角，首先根据角平分线的性质可得DE=DC；再通过HL证明Rt△BCD和Rt△BED全等，得到BC=BE。接着用勾股定理计算AB的长度，最后将△AED的周长中的DE替换为DC，把周长转化为AE+AC的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 计算AB的长度：
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 利用角平分线性质和全等三角形推导等量关系：
∵BD是$∠ ABC$的角平分线，$∠ C=90°$，$DE⊥ AB$，
∴根据角平分线的性质，$DE=DC$。
在$Rt△ BCD$和$Rt△ BED$中：
$\begin{cases}BD=BD\\DC=DE\end{cases}$
∴$Rt△ BCD≌ Rt△ BED(HL)$，
∴$BE=BC=4$。
3. 计算$△ AED$的周长：
$AE=AB-BE=5-4=1$，
$△ AED$的周长$=AE+DE+AD$，
∵$DE=DC$，
∴$DE+AD=DC+AD=AC=3$，
∴$△ AED$的周长$=1+3=4$。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础计算类题目，核心是利用角平分线的性质实现线段的等量转化，避免单独计算各条线段的长度，是角平分线应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
② 满足下列条件中的$△ ABC$，不是直角三角形的是(
A.$BC^2 = AC^2 - AB^2$
B.$∠ A - ∠ B = ∠ C$
C.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$
D.$a : b : c = 7 : 24 : 25$
C
)。A.$BC^2 = AC^2 - AB^2$
B.$∠ A - ∠ B = ∠ C$
C.$∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$
D.$a : b : c = 7 : 24 : 25$
答案
2.C
解析
【分析】
要判断三角形是否为直角三角形，可从两个角度入手：①利用角的关系：结合三角形内角和为180°，判断是否有一个内角为90°，或两个内角之和等于第三个内角；②利用边的关系：根据勾股定理的逆定理，判断两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个分析每个选项，找出不符合直角三角形特征的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：由$BC^2 = AC^2 - AB^2$移项可得$BC^2 + AB^2 = AC^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，斜边为$AC$，不符合题意。
选项B：已知$∠A - ∠B = ∠C$，变形得$∠A = ∠B + ∠C$。根据三角形内角和为$180°$，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，将$∠B + ∠C$替换为$∠A$，得$2∠A = 180°$，解得$∠A = 90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
选项C：已知$∠A:∠B:∠C = 3:4:5$，总份数为$3+4+5=12$，每份对应的角度为$180° ÷ 12 = 15°$，因此三个内角分别为$3×15°=45°$，$4×15°=60°$，$5×15°=75°$，没有$90°$的角，因此$△ ABC$不是直角三角形，符合题意。
选项D：已知边长比$a:b:c=7:24:25$，设三边长分别为$7k$、$24k$、$25k$（$k＞0$），计算得$(7k)^2 + (24k)^2 = 49k^2 + 576k^2 = 625k^2 = (25k)^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两种判定方法，解题时需注意区分角度比例和边长比例的不同处理方式，避免将角度的3:4:5误判为边长比例导致出错，认真验证每个选项即可准确作答。
【难度系数】
0.75
要判断三角形是否为直角三角形，可从两个角度入手：①利用角的关系：结合三角形内角和为180°，判断是否有一个内角为90°，或两个内角之和等于第三个内角；②利用边的关系：根据勾股定理的逆定理，判断两条较短边的平方和是否等于最长边的平方。我们只需逐个分析每个选项，找出不符合直角三角形特征的选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：由$BC^2 = AC^2 - AB^2$移项可得$BC^2 + AB^2 = AC^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，斜边为$AC$，不符合题意。
选项B：已知$∠A - ∠B = ∠C$，变形得$∠A = ∠B + ∠C$。根据三角形内角和为$180°$，即$∠A + ∠B + ∠C = 180°$，将$∠B + ∠C$替换为$∠A$，得$2∠A = 180°$，解得$∠A = 90°$，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
选项C：已知$∠A:∠B:∠C = 3:4:5$，总份数为$3+4+5=12$，每份对应的角度为$180° ÷ 12 = 15°$，因此三个内角分别为$3×15°=45°$，$4×15°=60°$，$5×15°=75°$，没有$90°$的角，因此$△ ABC$不是直角三角形，符合题意。
选项D：已知边长比$a:b:c=7:24:25$，设三边长分别为$7k$、$24k$、$25k$（$k＞0$），计算得$(7k)^2 + (24k)^2 = 49k^2 + 576k^2 = 625k^2 = (25k)^2$，符合勾股定理的逆定理，因此$△ ABC$是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理
【点评】
本题考查直角三角形的两种判定方法，解题时需注意区分角度比例和边长比例的不同处理方式，避免将角度的3:4:5误判为边长比例导致出错，认真验证每个选项即可准确作答。
【难度系数】
0.75
3 如图，在长方形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM于点E，若DE=DC=$\sqrt{5}$，AE=2EM，则CM的长为(
A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.2
C
)。A.$\frac{\sqrt{5}}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.1
D.2
答案
3.C
解析
【分析】
首先利用长方形的性质得到AB=CD=DE，∠B=90°、AD//BC且AD=BC，由AD//BC可得内错角∠DAE=∠AMB，结合DE⊥AM得到∠AED=∠B=90°，可证明△ABM和△DEA全等，得到对应边BM=AE、AM=AD。再设EM=x，根据AE=2EM表示出AE=2x、AM=3x，即AD=3x，最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求出x的值，通过CM=BC-BM=AD-AE即可求出CM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=DC，∠B=90°，AD//BC，AD=BC，
∵DE=DC=$\sqrt{5}$，
∴AB=DE=$\sqrt{5}$，
∵DE⊥AM，
∴∠AED=90°=∠B，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AMB，
在△ABM和△DEA中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ AED\\ ∠ AMB=∠ DAE\\ AB=DE\end{array} $
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴BM=AE，AM=AD，
设EM=x，
∵AE=2EM，
∴AE=2x，AM=AE+EM=3x，即AD=3x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入数据得：$(2x)^2 + (\sqrt{5})^2 = (3x)^2$，
整理得$4x^2 +5 =9x^2$，解得$x^2=1$，
∵x＞0，
∴x=1，
∴BC=AD=3x=3，BM=AE=2x=2，
∴CM=BC - BM=3-2=1。
【答案】
C
【知识点】
长方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是结合长方形的性质找到全等三角形的判定条件，再通过设未知数结合勾股定理列方程求解，能较好地考察学生对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先利用长方形的性质得到AB=CD=DE，∠B=90°、AD//BC且AD=BC，由AD//BC可得内错角∠DAE=∠AMB，结合DE⊥AM得到∠AED=∠B=90°，可证明△ABM和△DEA全等，得到对应边BM=AE、AM=AD。再设EM=x，根据AE=2EM表示出AE=2x、AM=3x，即AD=3x，最后在Rt△ADE中用勾股定理列方程求出x的值，通过CM=BC-BM=AD-AE即可求出CM的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AB=DC，∠B=90°，AD//BC，AD=BC，
∵DE=DC=$\sqrt{5}$，
∴AB=DE=$\sqrt{5}$，
∵DE⊥AM，
∴∠AED=90°=∠B，
∵AD//BC，
∴∠DAE=∠AMB，
在△ABM和△DEA中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ AED\\ ∠ AMB=∠ DAE\\ AB=DE\end{array} $
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴BM=AE，AM=AD，
设EM=x，
∵AE=2EM，
∴AE=2x，AM=AE+EM=3x，即AD=3x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得$AE^2 + DE^2 = AD^2$，
代入数据得：$(2x)^2 + (\sqrt{5})^2 = (3x)^2$，
整理得$4x^2 +5 =9x^2$，解得$x^2=1$，
∵x＞0，
∴x=1，
∴BC=AD=3x=3，BM=AE=2x=2，
∴CM=BC - BM=3-2=1。
【答案】
C
【知识点】
长方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是结合长方形的性质找到全等三角形的判定条件，再通过设未知数结合勾股定理列方程求解，能较好地考察学生对几何基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
4 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$CD$为斜边$AB$上的中线，过点$D$作$DE ⊥ AB$，连接$AE$、$BE$，若$CD=4$，$AE=5$，则$DE$的长为________。
答案
4.3
解析
【分析】
解题时先从已知条件逐步推导：首先利用直角三角形斜边中线的性质，由CD的长度得到BD的长度；再根据DE垂直AB且D为AB中点，判断DE是AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到BE的长度；最后在直角三角形BDE中用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，CD是斜边AB上的中线，$CD=4$，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BD=AD=CD=4$。
∵ $DE⊥ AB$，且D是AB的中点，
∴ DE是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$BE=AE=5$。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ $△BDE$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形性质、垂直平分线性质和勾股定理结合考查，解题的关键是梳理清楚各线段的数量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件逐步推导：首先利用直角三角形斜边中线的性质，由CD的长度得到BD的长度；再根据DE垂直AB且D为AB中点，判断DE是AB的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到BE的长度；最后在直角三角形BDE中用勾股定理即可求出DE的长度。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，CD是斜边AB上的中线，$CD=4$，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BD=AD=CD=4$。
∵ $DE⊥ AB$，且D是AB的中点，
∴ DE是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$BE=AE=5$。
∵ $DE⊥ AB$，
∴ $△BDE$是直角三角形，
在$\mathrm{Rt}△BDE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{BE^2-BD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，将直角三角形性质、垂直平分线性质和勾股定理结合考查，解题的关键是梳理清楚各线段的数量关系，熟练掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5 把两个同样大小的含$45°$角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B、C、D在同一直线上。若$AB=\sqrt{2}$，则$CD=$
$\sqrt{3}-1$
。答案
5.$\sqrt{3}-1$
解析
【分析】
解题思路如下：首先明确两个含45°角的三角尺都是全等的等腰直角三角形，我们可以先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出△ABC的斜边BC长度、斜边上的高以及线段FC的长度；再根据两个三角尺大小相等得到AD的长度，最后在直角三角形AFD中用勾股定理求出FD的长度，通过线段差即可算出CD的长度。
【解析】
过点A作$AF⊥ BD$，垂足为F。
$\because △ BAC$是含$45°$的直角三角尺，
$\therefore △ BAC$是等腰直角三角形，$AB=AC=\sqrt{2}$，$∠ BAC=90°$。
由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
$\because AF⊥ BD$，等腰直角三角形斜边上的高、中线重合，且等于斜边的一半，
$\therefore AF=BF=FC=\frac{1}{2}BC=1$。
$\because$两个三角尺大小相同，
$\therefore AD=BC=2$。
在$Rt△ AFD$中，由勾股定理可得：
$FD=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore CD=FD-FC=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线，结合等腰直角三角形的性质得到相关线段的长度，再利用勾股定理求解，解题过程中需要准确找到各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：首先明确两个含45°角的三角尺都是全等的等腰直角三角形，我们可以先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出△ABC的斜边BC长度、斜边上的高以及线段FC的长度；再根据两个三角尺大小相等得到AD的长度，最后在直角三角形AFD中用勾股定理求出FD的长度，通过线段差即可算出CD的长度。
【解析】
过点A作$AF⊥ BD$，垂足为F。
$\because △ BAC$是含$45°$的直角三角尺，
$\therefore △ BAC$是等腰直角三角形，$AB=AC=\sqrt{2}$，$∠ BAC=90°$。
由勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
$\because AF⊥ BD$，等腰直角三角形斜边上的高、中线重合，且等于斜边的一半，
$\therefore AF=BF=FC=\frac{1}{2}BC=1$。
$\because$两个三角尺大小相同，
$\therefore AD=BC=2$。
在$Rt△ AFD$中，由勾股定理可得：
$FD=\sqrt{AD^2-AF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
$\therefore CD=FD-FC=\sqrt{3}-1$。
【答案】
$\sqrt{3}-1$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的关键是合理作出辅助线，结合等腰直角三角形的性质得到相关线段的长度，再利用勾股定理求解，解题过程中需要准确找到各线段之间的数量关系。
【难度系数】
0.65
6 在$△ ABC$中，若$AB=17$，$BC=25$，$AC=28$，则$△ ABC$的面积为
210
。答案
6.210
解析
【分析】
已知三角形三边长度求面积，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，利用勾股定理建立方程求出高的长度，再代入三角形面积公式计算即可。解题步骤可分为：1. 选择长度为25的BC边为底边，过点A作BC边上的高AD；2. 设BD=x，用含x的式子表示CD；3. 分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AD的平方，根据AD的平方相等列方程求解x；4. 求出高AD的长度，计算三角形面积。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=BC-BD=25-x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 28^2 - (25 - x)^2 = 784 - (625 - 50x + x^2) = 159 + 50x - x^2$
联立两个等式得：
$289 - x^2 = 159 + 50x - x^2$
消去$x^2$后解得：$50x = 130$，即$x = 2.6$
将$x=2.6$代入$AD^2=289 - x^2$得：
$AD^2 = 289 - 2.6^2 = 289 - 6.76 = 282.24$
所以$AD = \sqrt{282.24} = 16.8$
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×25×16.8 = 210$
【答案】
210
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题是已知三边求三角形面积的典型题型，通过作高构造直角三角形，利用公共高建立等量关系列方程是解题的核心，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长度求面积，我们可以通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形，利用勾股定理建立方程求出高的长度，再代入三角形面积公式计算即可。解题步骤可分为：1. 选择长度为25的BC边为底边，过点A作BC边上的高AD；2. 设BD=x，用含x的式子表示CD；3. 分别在两个直角三角形中用勾股定理表示AD的平方，根据AD的平方相等列方程求解x；4. 求出高AD的长度，计算三角形面积。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=BC-BD=25-x。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AB^2 - BD^2 = 17^2 - x^2 = 289 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 28^2 - (25 - x)^2 = 784 - (625 - 50x + x^2) = 159 + 50x - x^2$
联立两个等式得：
$289 - x^2 = 159 + 50x - x^2$
消去$x^2$后解得：$50x = 130$，即$x = 2.6$
将$x=2.6$代入$AD^2=289 - x^2$得：
$AD^2 = 289 - 2.6^2 = 289 - 6.76 = 282.24$
所以$AD = \sqrt{282.24} = 16.8$
则△ABC的面积为：$\frac{1}{2}×BC×AD = \frac{1}{2}×25×16.8 = 210$
【答案】
210
【知识点】
勾股定理；三角形面积公式
【点评】
本题是已知三边求三角形面积的典型题型，通过作高构造直角三角形，利用公共高建立等量关系列方程是解题的核心，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
7 如图，四边形OABC是长方形，已知OA=8，OC=4，把长方形OABC沿OB折叠，点C落在点D处，BD与AO交于点E，则OE=
5
。答案
7.5
⑧ 若等边三角形的高为4，则它的面积是
$\frac{16}{3}\sqrt{3}$
。答案
8.$\frac{16}{3}\sqrt{3}$
解析
【分析】
要计算等边三角形的面积，已知高为4，只需求出等边三角形的边长即可。根据等边三角形“三线合一”的性质，高同时是底边的中线，因此高可将等边三角形分成两个全等的直角三角形，直角三角形的三边分别为等边三角形的边长、边长的一半、高，我们可以借助勾股定理列方程求出边长，再代入三角形面积公式计算结果。
【解析】
设该等边三角形的边长为$a$。
∵ 等边三角形的高与中线重合，
∴ 高将底边分为长度均为$\frac{a}{2}$的两段，
高、半段底边、等边三角形的边构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$(\frac{a}{2})^2 + 4^2 = a^2$
整理得：$\frac{a^2}{4} + 16 = a^2$
移项合并得：$\frac{3a^2}{4}=16$
解得：$a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$（边长为正数，舍去负根）
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{16\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{16}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等边三角形性质的典型应用题目，解题的核心是利用“三线合一”构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求出边长，再计算面积，解题时要注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.7
要计算等边三角形的面积，已知高为4，只需求出等边三角形的边长即可。根据等边三角形“三线合一”的性质，高同时是底边的中线，因此高可将等边三角形分成两个全等的直角三角形，直角三角形的三边分别为等边三角形的边长、边长的一半、高，我们可以借助勾股定理列方程求出边长，再代入三角形面积公式计算结果。
【解析】
设该等边三角形的边长为$a$。
∵ 等边三角形的高与中线重合，
∴ 高将底边分为长度均为$\frac{a}{2}$的两段，
高、半段底边、等边三角形的边构成直角三角形，根据勾股定理可得：
$(\frac{a}{2})^2 + 4^2 = a^2$
整理得：$\frac{a^2}{4} + 16 = a^2$
移项合并得：$\frac{3a^2}{4}=16$
解得：$a=\frac{8\sqrt{3}}{3}$（边长为正数，舍去负根）
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得：
$S=\frac{1}{2}×\frac{8\sqrt{3}}{3}×4=\frac{16\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\frac{16}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是等边三角形性质的典型应用题目，解题的核心是利用“三线合一”构造直角三角形，通过勾股定理建立方程求出边长，再计算面积，解题时要注意二次根式的化简规则。
【难度系数】
0.7
9 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ A=90°$, $AB=AC$, $BC=\sqrt{2}+1$,点$M$、$N$分别是边$BC$、$AB$上的动点,沿$MN$所在的直线折叠$∠ B$,使点$B$的对应点$B'$落在边$AC$上。若$△ MB'C$为直角三角形,则$BM$的长为
$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$或1
。答案
9.$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$或1
[提示:在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,所以∠B=∠C=45°。当∠MB'C=90°时,∠B'MC=∠C=45°。设BM=x,则B'M=B'C=x,在Rt△MB'C中,由勾股定理得MC=$\sqrt{2}x$,所以$\sqrt{2}x+x=\sqrt{2}+1$,解得x=1,所以BM=1。如图,当∠B'MC=90°时,点B'与点A重合,此时BM=$\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。]
解析
【分析】
本题属于折叠类几何动点问题，首先从已知条件入手：Rt△ABC是等腰直角三角形，可推出∠C=45°；再结合折叠的性质，折叠前后对应边相等，即BM=B'M。题目要求△MB'C为直角三角形，但未明确直角顶点，因此需要分类讨论两种合理的直角情况（∠C为45°，不可能为直角，无需讨论）：①∠MB'C=90°；②∠B'MC=90°，最后分别结合等腰直角三角形的性质列方程求解即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°。
根据折叠的性质可得：BM=B'M，分两种情况讨论：
1. 当∠MB'C=90°时：
在Rt△MB'C中，∠C=45°，因此△MB'C为等腰直角三角形，即B'M=B'C。
设BM=x，则B'M=x，由勾股定理得$MC=\sqrt{B'M^2+B'C^2}=\sqrt{2}x$。
∵$BC=BM+MC=\sqrt{2}+1$，
∴$x+\sqrt{2}x=\sqrt{2}+1$，解得$x=1$，即$BM=1$。
2. 当∠B'MC=90°时：
此时∠B'MC=90°，∠C=45°，点B'与点A重合，M为BC的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
综上，BM的长为1或$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$或1
【知识点】
折叠的性质；等腰直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是折叠性质与等腰直角三角形结合的典型题型，解题核心是抓住折叠前后的不变量，同时对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题属于折叠类几何动点问题，首先从已知条件入手：Rt△ABC是等腰直角三角形，可推出∠C=45°；再结合折叠的性质，折叠前后对应边相等，即BM=B'M。题目要求△MB'C为直角三角形，但未明确直角顶点，因此需要分类讨论两种合理的直角情况（∠C为45°，不可能为直角，无需讨论）：①∠MB'C=90°；②∠B'MC=90°，最后分别结合等腰直角三角形的性质列方程求解即可。
【解析】
解：
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°。
根据折叠的性质可得：BM=B'M，分两种情况讨论：
1. 当∠MB'C=90°时：
在Rt△MB'C中，∠C=45°，因此△MB'C为等腰直角三角形，即B'M=B'C。
设BM=x，则B'M=x，由勾股定理得$MC=\sqrt{B'M^2+B'C^2}=\sqrt{2}x$。
∵$BC=BM+MC=\sqrt{2}+1$，
∴$x+\sqrt{2}x=\sqrt{2}+1$，解得$x=1$，即$BM=1$。
2. 当∠B'MC=90°时：
此时∠B'MC=90°，∠C=45°，点B'与点A重合，M为BC的中点，
∴$BM=\frac{1}{2}BC=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
综上，BM的长为1或$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$或1
【知识点】
折叠的性质；等腰直角三角形的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是折叠性质与等腰直角三角形结合的典型题型，解题核心是抓住折叠前后的不变量，同时对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
