登录
13 如图是小宇所在的小组在学校组织的研学活动中合作搭建的帐篷的支架示意图。在$△ ABC$中，帐篷的顶点为$A$，点$B$、$D$、$E$、$C$在地面上的同一水平线上，$AB$、$AC$、$AD$、$AE$均为支架，且$AD ⊥ BC$，$AE=CE$。经测量知，$AB=1.5\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$CD=1.6\ \mathrm{m}$。
(1) 求$DE$的长；
(2) 当帐篷支架$AB$与$AC$所成的角度为直角时，帐篷最为稳定。请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是否最为稳定。
(1) 求$DE$的长；
(2) 当帐篷支架$AB$与$AC$所成的角度为直角时，帐篷最为稳定。请你通过计算说明该小组搭建的帐篷是否最为稳定。
答案
(1) 设$AE=x\ \mathrm{m}$,则$CE=AE=x\ \mathrm{m}$,$ED=CD-CE=(1.6-x)\ \mathrm{m}$。因为$AD ⊥ BC$,所以$∠ ADC=∠ ADB=90°$。在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,因为$∠ ADE=90°$,所以$AD^2+ED^2=AE^2$,所以$1.2^2+(1.6-x)^2=x^2$,解得$x=1.25$。所以$DE=1.6-x=1.6-1.25=0.35(\mathrm{m})$,所以$DE$的长为0.35 m。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,因为$∠ ADB=90°$,所以$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{1.5^2-1.2^2}=0.9(\mathrm{m})$。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,因为$∠ ADC=90°$,所以$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{1.6^2+1.2^2}=2(\mathrm{m})$,所以$BC=BD+CD=2.5\ \mathrm{m}$。因为$AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25$,$BC^2=2.5^2=6.25$,所以$AB^2+AC^2=BC^2$,所以$△ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$,所以该小组搭建的帐篷最为稳定。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,因为$∠ ADB=90°$,所以$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{1.5^2-1.2^2}=0.9(\mathrm{m})$。在$\mathrm{Rt}△ ADC$中,因为$∠ ADC=90°$,所以$AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{1.6^2+1.2^2}=2(\mathrm{m})$,所以$BC=BD+CD=2.5\ \mathrm{m}$。因为$AB^2+AC^2=2^2+1.5^2=6.25$,$BC^2=2.5^2=6.25$,所以$AB^2+AC^2=BC^2$,所以$△ ABC$是直角三角形,$∠ BAC=90°$,所以该小组搭建的帐篷最为稳定。
解析
【分析】
(1) 要求DE的长，已知AE=CE且AD⊥BC，△ADE是直角三角形，我们可以设AE的长度为x m，则CE=x m，DE可表示为(1.6-x)m，再利用Rt△ADE的三边满足勾股定理，列一元一次方程即可求解。
(2) 要判断帐篷是否最稳定，本质是判断∠BAC是否为直角，根据勾股定理的逆定理，只需计算△ABC三边的长度，验证AB²+AC²是否等于BC²即可。首先在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长度，在Rt△ADC中算出AC的长度，再求出BC的总长度，最后代入验证即可。
【解析】
(1) 设$AE=x\ \mathrm{m}$，
$\because AE=CE$，$\therefore CE=x\ \mathrm{m}$，
$\because CD=1.6\ \mathrm{m}$，$\therefore ED=CD-CE=(1.6-x)\ \mathrm{m}$，
$\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2+ED^2=AE^2$，
代入数据得：$1.2^2+(1.6-x)^2=x^2$，
展开化简得：$4 - 3.2x = 0$，解得$x=1.25$，
$\therefore DE=1.6 - x=1.6 - 1.25=0.35(\mathrm{m})$。
(2) $\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{1.5^2 - 1.2^2}=\sqrt{0.81}=0.9(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{1.2^2 + 1.6^2}=\sqrt{4}=2(\mathrm{m})$，
$\therefore BC=BD+CD=0.9 + 1.6=2.5(\mathrm{m})$，
$\because AB^2+AC^2=1.5^2 + 2^2=6.25$，$BC^2=2.5^2=6.25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，因此该小组搭建的帐篷最为稳定。
【答案】
(1) $DE$的长为$0.35\ \mathrm{m}$；
(2) 该小组搭建的帐篷最为稳定。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，方程思想
【点评】
本题结合实际研学场景考查几何知识的应用，既需要熟练运用勾股定理求解线段长度，也需要掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，能有效锻炼将实际问题转化为数学问题的能力，解题时注意方程思想的合理运用。
【难度系数】
0.7
(1) 要求DE的长，已知AE=CE且AD⊥BC，△ADE是直角三角形，我们可以设AE的长度为x m，则CE=x m，DE可表示为(1.6-x)m，再利用Rt△ADE的三边满足勾股定理，列一元一次方程即可求解。
(2) 要判断帐篷是否最稳定，本质是判断∠BAC是否为直角，根据勾股定理的逆定理，只需计算△ABC三边的长度，验证AB²+AC²是否等于BC²即可。首先在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长度，在Rt△ADC中算出AC的长度，再求出BC的总长度，最后代入验证即可。
【解析】
(1) 设$AE=x\ \mathrm{m}$，
$\because AE=CE$，$\therefore CE=x\ \mathrm{m}$，
$\because CD=1.6\ \mathrm{m}$，$\therefore ED=CD-CE=(1.6-x)\ \mathrm{m}$，
$\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADE=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2+ED^2=AE^2$，
代入数据得：$1.2^2+(1.6-x)^2=x^2$，
展开化简得：$4 - 3.2x = 0$，解得$x=1.25$，
$\therefore DE=1.6 - x=1.6 - 1.25=0.35(\mathrm{m})$。
(2) $\because AD ⊥ BC$，$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{1.5^2 - 1.2^2}=\sqrt{0.81}=0.9(\mathrm{m})$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{1.2^2 + 1.6^2}=\sqrt{4}=2(\mathrm{m})$，
$\therefore BC=BD+CD=0.9 + 1.6=2.5(\mathrm{m})$，
$\because AB^2+AC^2=1.5^2 + 2^2=6.25$，$BC^2=2.5^2=6.25$，
$\therefore AB^2+AC^2=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，因此该小组搭建的帐篷最为稳定。
【答案】
(1) $DE$的长为$0.35\ \mathrm{m}$；
(2) 该小组搭建的帐篷最为稳定。
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，方程思想
【点评】
本题结合实际研学场景考查几何知识的应用，既需要熟练运用勾股定理求解线段长度，也需要掌握勾股定理的逆定理判断直角三角形，能有效锻炼将实际问题转化为数学问题的能力，解题时注意方程思想的合理运用。
【难度系数】
0.7
