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8 如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应先行驶10千米至B地，再沿北偏东$45°$方向行驶$8\sqrt{2}$千米到达景区C。小明发现景区C恰好在A地的正北方向，则A、C两地的距离为
14
千米。答案
14
解析
【分析】
解题思路如下：已知景区C在A地正北方向，说明AC为南北走向的线段，我们可以通过过点B作AC的垂线，将图形拆分为两个直角三角形求解。首先根据北偏东45°的方位角，判断B、C、垂足三点构成的三角形是等腰直角三角形，结合BC的长度求出该三角形的两条直角边长；再在A、B、垂足构成的直角三角形中用勾股定理求出剩余的线段长度，两段相加即可得到A、C两地的距离。
【解析】
解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D。
由C在A正北方向、BC为北偏东45°方向，可得∠CBD=45°，因此Rt△BCD是等腰直角三角形。
已知BC=8√2千米，设BD=DC=x，根据勾股定理：
$x^2+x^2=(8\sqrt{2})^2$
$2x^2=128$
解得$x=8$（长度为正，舍去负根），即$BD=DC=8$千米。
在Rt△ABD中，AB=10千米，BD=8千米，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$千米。
因此$AC=AD+DC=6+8=14$千米。
【答案】
14
【知识点】
勾股定理的应用，方位角，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合方位角的实际应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将所求线段拆分为两个直角三角形的边分别计算，解题关键是能根据方位角判断等腰直角三角形，再利用勾股定理计算对应线段长度。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：已知景区C在A地正北方向，说明AC为南北走向的线段，我们可以通过过点B作AC的垂线，将图形拆分为两个直角三角形求解。首先根据北偏东45°的方位角，判断B、C、垂足三点构成的三角形是等腰直角三角形，结合BC的长度求出该三角形的两条直角边长；再在A、B、垂足构成的直角三角形中用勾股定理求出剩余的线段长度，两段相加即可得到A、C两地的距离。
【解析】
解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D。
由C在A正北方向、BC为北偏东45°方向，可得∠CBD=45°，因此Rt△BCD是等腰直角三角形。
已知BC=8√2千米，设BD=DC=x，根据勾股定理：
$x^2+x^2=(8\sqrt{2})^2$
$2x^2=128$
解得$x=8$（长度为正，舍去负根），即$BD=DC=8$千米。
在Rt△ABD中，AB=10千米，BD=8千米，根据勾股定理：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$千米。
因此$AC=AD+DC=6+8=14$千米。
【答案】
14
【知识点】
勾股定理的应用，方位角，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理结合方位角的实际应用题型，核心是通过作辅助线构造直角三角形，将所求线段拆分为两个直角三角形的边分别计算，解题关键是能根据方位角判断等腰直角三角形，再利用勾股定理计算对应线段长度。
【难度系数】
0.7
9 如图，在长方形ABCD中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，则EC的长为
5
。答案
5
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质得到相等线段：折叠后点A与点C重合，故AE=EC。再利用长方形的性质得到直角∠D，以及CD=AB=3、AD=9的边长条件。我们可以设EC的长为x，将ED的长度用含x的式子表示为9-x，此时EC、ED、CD恰好是直角三角形EDC的三条边，代入勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，CD=AB=3，AD=9。
由折叠的性质可得：AE=EC。
设EC=x，则AE=x，ED=AD-AE=9-x。
在Rt△EDC中，根据勾股定理得：
$ED^2 + CD^2 = EC^2$
代入得：$(9-x)^2 + 3^2 = x^2$
展开计算：$81 - 18x + x^2 + 9 = x^2$
整理得：$90 - 18x = 0$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是折叠类求边长的典型题型，解题核心是利用折叠得到相等线段，把未知边和已知边转化到同一个直角三角形中，通过建立方程求解，兼顾考查了几何性质的应用和方程思想。
【难度系数】
0.7
解题时先结合折叠的性质得到相等线段：折叠后点A与点C重合，故AE=EC。再利用长方形的性质得到直角∠D，以及CD=AB=3、AD=9的边长条件。我们可以设EC的长为x，将ED的长度用含x的式子表示为9-x，此时EC、ED、CD恰好是直角三角形EDC的三条边，代入勾股定理列方程即可求解。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°，CD=AB=3，AD=9。
由折叠的性质可得：AE=EC。
设EC=x，则AE=x，ED=AD-AE=9-x。
在Rt△EDC中，根据勾股定理得：
$ED^2 + CD^2 = EC^2$
代入得：$(9-x)^2 + 3^2 = x^2$
展开计算：$81 - 18x + x^2 + 9 = x^2$
整理得：$90 - 18x = 0$
解得：$x=5$
【答案】
5
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；长方形的性质
【点评】
本题是折叠类求边长的典型题型，解题核心是利用折叠得到相等线段，把未知边和已知边转化到同一个直角三角形中，通过建立方程求解，兼顾考查了几何性质的应用和方程思想。
【难度系数】
0.7
10 如图,门上钉子P处挂了一个“欢迎光临”的长方形挂牌ABCD,其中AB=10cm,AD=24cm。如图①,当挂牌水平悬挂(即BC与地面平行)时,测得挂绳总长为40cm,其中AP=DP=20cm,此时点P到BC所在直线的距离为
26
cm。将挂绳的总长度缩短4cm后重新挂上,此时不小心把挂牌弄斜了(如图②),发现此时AC与地面平行,且点P、D、C三点在同一直线上,则点B的高度下降了$\frac{22}{13}$
cm。答案
26, $\frac{22}{13}$ [提示:如图,连接AC,过点P作$PN ⊥ AC$于点N,过点B作$BM ⊥ AC$于点M。由题意可得$AP+PD=40-4=36(\mathrm{cm})$,$AD=24\ \mathrm{cm}$,设$PD=x\ \mathrm{cm}$,则$AP=(36-x)\ \mathrm{cm}$,因为P、D、C共线,所以$∠ ADP=∠ ADC=90°$,所以$AP^2=AD^2+PD^2$,所以$(36-x)^2=24^2+x^2$,解得$x=10$,所以$PD=DC=10\mathrm{cm}$,$AP=26\mathrm{cm}$。又因为$AD ⊥ CD$,所以AD垂直平分CP,所以$AP=AC=26\mathrm{cm}$。因为$S_{△ ACP}=\frac{1}{2}PC· AD=\frac{1}{2}AC· PN$,所以$20×24=26× PN$,所以$PN=\frac{240}{13}\mathrm{cm}$。因为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BM$,所以$10×24=26× BM$,所以$BM=\frac{120}{13}\mathrm{cm}$。所以点B下降的高度为$PN+BM-26=\frac{240}{13}+\frac{120}{13}-26=\frac{22}{13}(\mathrm{cm})$。]
解析
【分析】
本题分两小问逐步求解：
1. 求水平悬挂时点P到BC的距离：水平悬挂时AD与BC平行，AB垂直于AD和BC，因此P到BC的距离等于P到AD的距离加AB的长度。△APD是等腰三角形，利用三线合一得到AD一半的长度，再用勾股定理求出P到AD的高，加上AB的长即可得到第一空结果。
2. 求点B的高度下降值：首先挂绳缩短后总长为36cm，即AP+PD=36cm，由P、D、C共线可知△ADP是直角三角形，设PD为x，用勾股定理列方程求出PD、AP的长度；再结合AD垂直平分CP得AC=AP，分别对△ACP和△ABC用面积法求出P到AC的距离PN、B到AC的距离BM；最后根据高度差关系，用PN+BM减去原来P到BC的距离26，即可得到下降高度。
【解析】
第一空求解：
水平悬挂时，过点P作$PE⊥AD$于点E，
∵$AP=DP=20\mathrm{cm}$，$AD=24\mathrm{cm}$，△APD为等腰三角形，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=12\mathrm{cm}$，
在$Rt△APE$中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{AP^2-AE^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\mathrm{cm}$，
∵ABCD是长方形，$AB⊥AD$，$AB=10\mathrm{cm}$，$AD//BC$，
∴点P到BC所在直线的距离为$PE+AB=16+10=26\mathrm{cm}$。
第二空求解：
挂绳总长缩短4cm后，$AP+PD=40-4=36\mathrm{cm}$，
设$PD=x\mathrm{cm}$，则$AP=(36-x)\mathrm{cm}$，
∵P、D、C三点共线，$∠ADC=90°$，
∴$∠ADP=90°$，△ADP为直角三角形，
由勾股定理得：$AP^2=AD^2+PD^2$，
代入得：$(36-x)^2=24^2+x^2$，
展开化简得：$72x=720$，解得$x=10$，
∴$PD=10\mathrm{cm}$，$AP=26\mathrm{cm}$，
又
∵$DC=AB=10\mathrm{cm}$，
∴$PC=PD+DC=20\mathrm{cm}$，D为PC中点，
∵$AD⊥PC$，
∴AD垂直平分PC，
∴$AC=AP=26\mathrm{cm}$，
过点P作$PN⊥AC$于N，过点B作$BM⊥AC$于M，
对于△ACP，面积$S_{△ACP}=\frac{1}{2}·PC·AD=\frac{1}{2}·AC·PN$，
代入数值：$\frac{1}{2}×20×24=\frac{1}{2}×26×PN$，
解得：$PN=\frac{240}{13}\mathrm{cm}$，
对于△ABC，面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·BC=\frac{1}{2}·AC·BM$，$BC=AD=24\mathrm{cm}$，
代入数值：$\frac{1}{2}×10×24=\frac{1}{2}×26×BM$，
解得：$BM=\frac{120}{13}\mathrm{cm}$，
∴点B下降的高度为$PN+BM-26=\frac{240}{13}+\frac{120}{13}-26=\frac{22}{13}\mathrm{cm}$。
【答案】
26，$\frac{22}{13}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，面积法求高
【点评】
本题结合生活中的挂牌悬挂场景，考查几何知识的综合运用，解题关键是理清不同悬挂状态下线段的位置和数量关系，能有效锻炼学生数形结合思想和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
本题分两小问逐步求解：
1. 求水平悬挂时点P到BC的距离：水平悬挂时AD与BC平行，AB垂直于AD和BC，因此P到BC的距离等于P到AD的距离加AB的长度。△APD是等腰三角形，利用三线合一得到AD一半的长度，再用勾股定理求出P到AD的高，加上AB的长即可得到第一空结果。
2. 求点B的高度下降值：首先挂绳缩短后总长为36cm，即AP+PD=36cm，由P、D、C共线可知△ADP是直角三角形，设PD为x，用勾股定理列方程求出PD、AP的长度；再结合AD垂直平分CP得AC=AP，分别对△ACP和△ABC用面积法求出P到AC的距离PN、B到AC的距离BM；最后根据高度差关系，用PN+BM减去原来P到BC的距离26，即可得到下降高度。
【解析】
第一空求解：
水平悬挂时，过点P作$PE⊥AD$于点E，
∵$AP=DP=20\mathrm{cm}$，$AD=24\mathrm{cm}$，△APD为等腰三角形，
∴$AE=\frac{1}{2}AD=12\mathrm{cm}$，
在$Rt△APE$中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{AP^2-AE^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16\mathrm{cm}$，
∵ABCD是长方形，$AB⊥AD$，$AB=10\mathrm{cm}$，$AD//BC$，
∴点P到BC所在直线的距离为$PE+AB=16+10=26\mathrm{cm}$。
第二空求解：
挂绳总长缩短4cm后，$AP+PD=40-4=36\mathrm{cm}$，
设$PD=x\mathrm{cm}$，则$AP=(36-x)\mathrm{cm}$，
∵P、D、C三点共线，$∠ADC=90°$，
∴$∠ADP=90°$，△ADP为直角三角形，
由勾股定理得：$AP^2=AD^2+PD^2$，
代入得：$(36-x)^2=24^2+x^2$，
展开化简得：$72x=720$，解得$x=10$，
∴$PD=10\mathrm{cm}$，$AP=26\mathrm{cm}$，
又
∵$DC=AB=10\mathrm{cm}$，
∴$PC=PD+DC=20\mathrm{cm}$，D为PC中点，
∵$AD⊥PC$，
∴AD垂直平分PC，
∴$AC=AP=26\mathrm{cm}$，
过点P作$PN⊥AC$于N，过点B作$BM⊥AC$于M，
对于△ACP，面积$S_{△ACP}=\frac{1}{2}·PC·AD=\frac{1}{2}·AC·PN$，
代入数值：$\frac{1}{2}×20×24=\frac{1}{2}×26×PN$，
解得：$PN=\frac{240}{13}\mathrm{cm}$，
对于△ABC，面积$S_{△ABC}=\frac{1}{2}·AB·BC=\frac{1}{2}·AC·BM$，$BC=AD=24\mathrm{cm}$，
代入数值：$\frac{1}{2}×10×24=\frac{1}{2}×26×BM$，
解得：$BM=\frac{120}{13}\mathrm{cm}$，
∴点B下降的高度为$PN+BM-26=\frac{240}{13}+\frac{120}{13}-26=\frac{22}{13}\mathrm{cm}$。
【答案】
26，$\frac{22}{13}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，面积法求高
【点评】
本题结合生活中的挂牌悬挂场景，考查几何知识的综合运用，解题关键是理清不同悬挂状态下线段的位置和数量关系，能有效锻炼学生数形结合思想和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.5
11 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB=5$,$AC=4$。
(1) 如图①,若$BD$平分$∠ ABC$,求$CD$的长;
(2) 如图②,若直线$DE$垂直平分$AB$,求$CE$的长。
(1) 如图①,若$BD$平分$∠ ABC$,求$CD$的长;
(2) 如图②,若直线$DE$垂直平分$AB$,求$CE$的长。
答案
(1) $\frac{3}{2}$ [提示:过点D作$DH ⊥ AB$于点H,易证$BC=3$,$△ BDC ≌ △ BDH$,所以$BC=BH=3$,$CD=CH$,所以$AH=2$。设$CD=DH=x$,则$AD=4-x$。由$AD^2=DH^2+AH^2$,可得$(4-x)^2=x^2+4$,解得$x=\frac{3}{2}$,所以$CD=\frac{3}{2}$。]
(2) $\frac{7}{8}$ [提示:连接BE,由DE垂直平分AB,可得$BE=AE$。设$BE=AE=x$,则$CE=4-x$。由$BE^2=CE^2+BC^2$,可得$x^2=9+(4-x)^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,所以$CE=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$。]
(2) $\frac{7}{8}$ [提示:连接BE,由DE垂直平分AB,可得$BE=AE$。设$BE=AE=x$,则$CE=4-x$。由$BE^2=CE^2+BC^2$,可得$x^2=9+(4-x)^2$,解得$x=\frac{25}{8}$,所以$CE=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$。]
解析
【分析】
本题核心是结合特殊线段的性质，利用勾股定理列方程求解线段长度。解题思路如下：首先在$Rt△ ABC$中先由勾股定理算出$BC$的长度；（1）遇到角平分线时，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，作辅助线$DH⊥ AB$，得到相等线段$CD=DH$，再通过全等三角形转化得到$BC=BH$，从而求出$AH$的长度，设$CD$为未知数，在$Rt△ ADH$中用勾股定理列方程求解；（2）遇到垂直平分线时，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，连接$BE$得到$AE=BE$，设$AE$为未知数，在$Rt△ BCE$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
(1) 求$CD$的长
过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DH⊥ AB$
$\therefore CD=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在$Rt△ BDC$和$Rt△ BDH$中：
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DH\end{cases}$
$\therefore Rt△ BDC≌ Rt△ BDH(\rm HL)$
$\therefore BC=BH=3$，则$AH=AB-BH=5-3=2$
设$CD=DH=x$，则$AD=AC-CD=4-x$
在$Rt△ ADH$中，由勾股定理得：
$AD^2=DH^2+AH^2$
代入得$(4-x)^2=x^2+2^2$
展开得$16-8x+x^2=x^2+4$
化简解得$x=\frac{3}{2}$，即$CD=\frac{3}{2}$
(2) 求$CE$的长
连接$BE$。
$\because DE$垂直平分$AB$
$\therefore BE=AE$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
设$BE=AE=x$，则$CE=AC-AE=4-x$
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：
$BE^2=CE^2+BC^2$
代入得$x^2=(4-x)^2+3^2$
展开得$x^2=16-8x+x^2+9$
化简解得$x=\frac{25}{8}$
$\therefore CE=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
勾股定理的应用，角平分线的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何中方程思想的典型应用，解题关键是通过特殊线段的性质转化相等线段，结合勾股定理建立方程求解，能较好地考察学生对几何性质的应用和计算能力。
【难度系数】
0.7
本题核心是结合特殊线段的性质，利用勾股定理列方程求解线段长度。解题思路如下：首先在$Rt△ ABC$中先由勾股定理算出$BC$的长度；（1）遇到角平分线时，根据角平分线上的点到角两边距离相等的性质，作辅助线$DH⊥ AB$，得到相等线段$CD=DH$，再通过全等三角形转化得到$BC=BH$，从而求出$AH$的长度，设$CD$为未知数，在$Rt△ ADH$中用勾股定理列方程求解；（2）遇到垂直平分线时，根据垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，连接$BE$得到$AE=BE$，设$AE$为未知数，在$Rt△ BCE$中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=5$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$
(1) 求$CD$的长
过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$。
$\because BD$平分$∠ ABC$，$∠ C=90°$，$DH⊥ AB$
$\therefore CD=DH$（角平分线上的点到角两边的距离相等）
在$Rt△ BDC$和$Rt△ BDH$中：
$\begin{cases}BD=BD\\CD=DH\end{cases}$
$\therefore Rt△ BDC≌ Rt△ BDH(\rm HL)$
$\therefore BC=BH=3$，则$AH=AB-BH=5-3=2$
设$CD=DH=x$，则$AD=AC-CD=4-x$
在$Rt△ ADH$中，由勾股定理得：
$AD^2=DH^2+AH^2$
代入得$(4-x)^2=x^2+2^2$
展开得$16-8x+x^2=x^2+4$
化简解得$x=\frac{3}{2}$，即$CD=\frac{3}{2}$
(2) 求$CE$的长
连接$BE$。
$\because DE$垂直平分$AB$
$\therefore BE=AE$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
设$BE=AE=x$，则$CE=AC-AE=4-x$
在$Rt△ BCE$中，由勾股定理得：
$BE^2=CE^2+BC^2$
代入得$x^2=(4-x)^2+3^2$
展开得$x^2=16-8x+x^2+9$
化简解得$x=\frac{25}{8}$
$\therefore CE=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$
【答案】
(1) $\frac{3}{2}$；(2) $\frac{7}{8}$
【知识点】
勾股定理的应用，角平分线的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何中方程思想的典型应用，解题关键是通过特殊线段的性质转化相等线段，结合勾股定理建立方程求解，能较好地考察学生对几何性质的应用和计算能力。
【难度系数】
0.7
12 由于大风，山坡上的一棵树(甲树)被拦腰折断，如图，折断处为点A，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处。已知$AB=4$米，$BC=13$米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度。
答案
如图,延长AB,过点C作$CD ⊥ AB$延长线于点D。
由题意可得:$BC=13$米,$DC=12$米,在$\mathrm{Rt}△ CBD$中,因为$∠ D=90°$,所以$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$(米),所以$AD=AB+BD=9$米。在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,因为$∠ D=90°$,所以$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15$(米),所以$AC+AB=15+4=19$(米),所以这棵树原来的高度是19米。
解析
【分析】
要求甲树原来的高度，实际是求折断部分AC与剩余部分AB的长度和，已知AB=4米，因此只需要求出AC的长度即可。已知两棵树的水平距离为12米，没有现成的直角三角形可以直接计算AC，因此考虑作辅助线构造直角三角形：过点C作CD垂直AB的延长线于点D，此时CD就是水平距离12米，结合已知BC=13米，可先在$\mathrm{Rt}△CBD$中用勾股定理求出BD的长度，进而得到AD的长度，再在$\mathrm{Rt}△ACD$中用勾股定理求出AC的长度，最后将AC与AB相加即可得到树原来的高度。
【解析】
解：如图，延长AB，过点C作$CD ⊥ AB$延长线于点D。
由题意可得：$BC=13$米，两棵树的水平距离$DC=12$米，
在$\mathrm{Rt}△ CBD$中，$∠ D=90°$，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$（米），
因此$AD=AB+BD=4+5=9$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ D=90°$，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$（米），
所以树原来的高度为$AC+AB=15+4=19$（米）。
【答案】
这棵树原来的高度是19米。
【知识点】
勾股定理，直角三角形构造，勾股定理应用
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将已知的边长、水平距离等条件转化到直角三角形中，再结合勾股定理计算未知边长，注重考察学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
要求甲树原来的高度，实际是求折断部分AC与剩余部分AB的长度和，已知AB=4米，因此只需要求出AC的长度即可。已知两棵树的水平距离为12米，没有现成的直角三角形可以直接计算AC，因此考虑作辅助线构造直角三角形：过点C作CD垂直AB的延长线于点D，此时CD就是水平距离12米，结合已知BC=13米，可先在$\mathrm{Rt}△CBD$中用勾股定理求出BD的长度，进而得到AD的长度，再在$\mathrm{Rt}△ACD$中用勾股定理求出AC的长度，最后将AC与AB相加即可得到树原来的高度。
【解析】
解：如图，延长AB，过点C作$CD ⊥ AB$延长线于点D。
由题意可得：$BC=13$米，两棵树的水平距离$DC=12$米，
在$\mathrm{Rt}△ CBD$中，$∠ D=90°$，根据勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$（米），
因此$AD=AB+BD=4+5=9$（米）。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ D=90°$，根据勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$（米），
所以树原来的高度为$AC+AB=15+4=19$（米）。
【答案】
这棵树原来的高度是19米。
【知识点】
勾股定理，直角三角形构造，勾股定理应用
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的核心是通过作垂线构造直角三角形，将已知的边长、水平距离等条件转化到直角三角形中，再结合勾股定理计算未知边长，注重考察学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
