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⑩ 在长方形ABCD中，$BC=2\sqrt{2}$，点E是AD的中点，将$△ ABE$沿BE折叠后得到$△ GBE$，延长BG交射线DC于点F，若$CD=2CF$，则AB的长为
2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
。答案
10.2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
[提示:设AB=DC=x(x＞0),因为CD=2CF,所以CF=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}x$,分两种情况:①当点F在线段DC上时,连接EF,如图①。根据翻折的性质可得,BG=BA=x,∠BGE=∠BAE=90°,AE=GE,所以∠EGF=180°-∠BGE=90°。因为点E是AD的中点,所以AE=DE,所以GE=DE。在Rt△EGF和Rt△EDF中,因为$\begin{cases}GE=DE,\\EF=EF,\end{cases}$所以Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),所以GF=DF。因为DF=CD-CF=x-$\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$,所以GF=$\frac{1}{2}x$,BF=BG+GF=x+$\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$。在Rt△BCF中,∠BCF=90°,所以$BC^2+CF^2=BF^2$,即$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{3}{2}x)^2$,解得$x_1=2$,$x_2=-2$(舍去),所以此时AB的长为2。②当点F在线段DC的延长线上时,连接EF,如图②。同理可得Rt△EGF≌Rt△EDF(HL),所以GF=DF。因为DF=CD+CF=x+$\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$,所以GF=$\frac{3}{2}x$,BF=BG+GF=x+$\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}x$。在Rt△BCF中,∠BCF=90°,所以$BC^2+CF^2=BF^2$,即$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{5}{2}x)^2$,解得$x_1=\frac{2}{3}\sqrt{3}$,$x_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$(舍去),所以此时AB的长为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。综上所述,AB的长为2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。]
解析
【分析】
这是一道矩形与折叠结合的几何计算题，解题时首先注意到“延长BG交射线DC于点F”，射线说明F的位置有两种：在线段DC上、在线段DC的延长线上，需分类讨论。解题步骤如下：1. 设AB的长为x，由CD=2CF可得CF的长度用x表示；2. 利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合E是AD中点，可证Rt△EGF和Rt△EDF全等，得到GF=DF；3. 用含x的式子表示BF的长度，在Rt△BCF中利用勾股定理列方程求解，舍去负根即可得到对应情况的AB长度，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
设$AB=DC=x(x＞0)$，由$CD=2CF$得$CF=\frac{1}{2}x$，分两种情况讨论：
① 当点F在线段DC上时，连接EF，如图①：
根据折叠的性质可得：$BG=BA=x$，$∠ BGE=∠ BAE=90°$，$AE=GE$，因此$∠ EGF=180°-∠ BGE=90°$。
因为E是AD的中点，所以$AE=DE$，进而$GE=DE$。
在$Rt△ EGF$和$Rt△ EDF$中：
$\begin{cases}GE=DE\\EF=EF\end{cases}$
所以$Rt△ EGF≌ Rt△ EDF(HL)$，因此$GF=DF$。
此时$DF=CD-CF=x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$，故$GF=\frac{1}{2}x$，$BF=BG+GF=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$。
在$Rt△ BCF$中，$∠ BCF=90°$，由勾股定理得$BC^2+CF^2=BF^2$，代入数值：
$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{3}{2}x)^2$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（不符合x＞0的要求，舍去），即此时AB长为2。
② 当点F在线段DC的延长线上时，连接EF，如图②：
同理可证$Rt△ EGF≌ Rt△ EDF(HL)$，因此$GF=DF$。
此时$DF=CD+CF=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，故$GF=\frac{3}{2}x$，$BF=BG+GF=x+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}x$。
在$Rt△ BCF$中，由勾股定理得$BC^2+CF^2=BF^2$，代入数值：
$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{5}{2}x)^2$
解得$x_1=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$（不符合x＞0的要求，舍去），即此时AB长为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。
综上，AB的长为2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。
【答案】
2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题考查几何折叠问题中的分类讨论思想，解题时需注意“射线”所包含的两种位置情况，避免漏解；结合折叠的全等性质和勾股定理列方程是求解这类问题的常用方法，最后要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.4
这是一道矩形与折叠结合的几何计算题，解题时首先注意到“延长BG交射线DC于点F”，射线说明F的位置有两种：在线段DC上、在线段DC的延长线上，需分类讨论。解题步骤如下：1. 设AB的长为x，由CD=2CF可得CF的长度用x表示；2. 利用折叠的性质得到对应边、对应角相等，结合E是AD中点，可证Rt△EGF和Rt△EDF全等，得到GF=DF；3. 用含x的式子表示BF的长度，在Rt△BCF中利用勾股定理列方程求解，舍去负根即可得到对应情况的AB长度，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
设$AB=DC=x(x＞0)$，由$CD=2CF$得$CF=\frac{1}{2}x$，分两种情况讨论：
① 当点F在线段DC上时，连接EF，如图①：
根据折叠的性质可得：$BG=BA=x$，$∠ BGE=∠ BAE=90°$，$AE=GE$，因此$∠ EGF=180°-∠ BGE=90°$。
因为E是AD的中点，所以$AE=DE$，进而$GE=DE$。
在$Rt△ EGF$和$Rt△ EDF$中：
$\begin{cases}GE=DE\\EF=EF\end{cases}$
所以$Rt△ EGF≌ Rt△ EDF(HL)$，因此$GF=DF$。
此时$DF=CD-CF=x-\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x$，故$GF=\frac{1}{2}x$，$BF=BG+GF=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$。
在$Rt△ BCF$中，$∠ BCF=90°$，由勾股定理得$BC^2+CF^2=BF^2$，代入数值：
$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{3}{2}x)^2$
解得$x_1=2$，$x_2=-2$（不符合x＞0的要求，舍去），即此时AB长为2。
② 当点F在线段DC的延长线上时，连接EF，如图②：
同理可证$Rt△ EGF≌ Rt△ EDF(HL)$，因此$GF=DF$。
此时$DF=CD+CF=x+\frac{1}{2}x=\frac{3}{2}x$，故$GF=\frac{3}{2}x$，$BF=BG+GF=x+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}x$。
在$Rt△ BCF$中，由勾股定理得$BC^2+CF^2=BF^2$，代入数值：
$(2\sqrt{2})^2+(\frac{1}{2}x)^2=(\frac{5}{2}x)^2$
解得$x_1=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，$x_2=-\frac{2}{3}\sqrt{3}$（不符合x＞0的要求，舍去），即此时AB长为$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。
综上，AB的长为2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$。
【答案】
2或$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题考查几何折叠问题中的分类讨论思想，解题时需注意“射线”所包含的两种位置情况，避免漏解；结合折叠的全等性质和勾股定理列方程是求解这类问题的常用方法，最后要注意舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.4
11 如图,在长方形ABCD中,AB=8cm,BC=10cm,沿AE折叠,使点D落在边BC上的F处,求EC的长。
答案
11 由△ADE≌△AFE,得AD=AF=10,设CE=x,则DE=EF=8-x,在Rt△ABF中,BF=$\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,所以CF=10-6=4,因此,在Rt△EFC中,$EF^2=EC^2+FC^2$,即$(8-x)^2=x^2+4^2$,解得x=3,所以EC=3。
解析
【分析】
解决这道题首先要利用折叠的性质，折叠前后的两个三角形全等，可得到对应边相等：AD=AF，DE=EF。首先在Rt△ABF中，已知AB和AF的长度，用勾股定理可以算出BF的长度，进而得到CF的长度。接下来要求EC的长，我们可以设EC为x，将EF用含x的式子表示，再在Rt△EFC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出EC的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知$△ ADE ≌ △ AFE$，
$\therefore AD=AF=BC=10\mathrm{cm}$，$DE=EF$，$∠ AFE=∠ D=90°$。
设$EC$的长为$x\mathrm{cm}$，则$DE=CD-CE=AB-CE=(8-x)\mathrm{cm}$，$\therefore EF=DE=(8-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AB=8\mathrm{cm}$，$AF=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
$\therefore CF=BC-BF=10-6=4\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：$EF^2=EC^2+CF^2$，
代入得：$(8-x)^2=x^2+4^2$，
展开得：$64-16x+x^2=x^2+16$，
移项化简得：$16x=48$，
解得：$x=3$。
【答案】
$EC$的长为$3\mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是折叠类几何题的典型考法，解题的核心是抓住折叠前后图形全等得到相等的边，再结合勾股定理构造方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要利用折叠的性质，折叠前后的两个三角形全等，可得到对应边相等：AD=AF，DE=EF。首先在Rt△ABF中，已知AB和AF的长度，用勾股定理可以算出BF的长度，进而得到CF的长度。接下来要求EC的长，我们可以设EC为x，将EF用含x的式子表示，再在Rt△EFC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出EC的长度。
【解析】
解：由折叠的性质可知$△ ADE ≌ △ AFE$，
$\therefore AD=AF=BC=10\mathrm{cm}$，$DE=EF$，$∠ AFE=∠ D=90°$。
设$EC$的长为$x\mathrm{cm}$，则$DE=CD-CE=AB-CE=(8-x)\mathrm{cm}$，$\therefore EF=DE=(8-x)\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$AB=8\mathrm{cm}$，$AF=10\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$BF=\sqrt{AF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6\mathrm{cm}$，
$\therefore CF=BC-BF=10-6=4\mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，由勾股定理得：$EF^2=EC^2+CF^2$，
代入得：$(8-x)^2=x^2+4^2$，
展开得：$64-16x+x^2=x^2+16$，
移项化简得：$16x=48$，
解得：$x=3$。
【答案】
$EC$的长为$3\mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质，勾股定理，方程思想
【点评】
本题是折叠类几何题的典型考法，解题的核心是抓住折叠前后图形全等得到相等的边，再结合勾股定理构造方程求解，体现了数形结合和方程思想在几何计算中的应用，需要熟练掌握相关性质并灵活运用。
【难度系数】
0.6
12 如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE,延长BG交CD于点F,连接EF。若AB=6,BC=$\sqrt{96}$,求FD的长。
答案
12 易证Rt△EDF≌Rt△EGF(HL),所以DF=GF。设DF=x,则BF=6+x,CF=6-x。由勾股定理,得$(\sqrt{96})^2+(6-x)^2=(6+x)^2$,解得x=4,所以FD=4。
解析
【分析】
解决这道题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边、对应角相等，可得AE=EG、∠A=∠BGE=90°；结合E是AD中点，可推出ED=EG，此时发现Rt△EDF和Rt△EGF满足斜边公共、直角边相等，可通过HL判定全等，得到DF=GF的等量关系；接下来设FD的长度为x，把Rt△BCF的三条边用含x的式子表示，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD=6，AD=BC=$\sqrt{96}$，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE。
由折叠的性质可得：△ABE≌△GBE，
∴AE=EG，∠A=∠BGE=90°，AB=BG=6，
∴EG=ED，∠EGF=∠D=90°。
在Rt△EDF和Rt△EGF中：
$\{\begin{array}{l}ED=EG\\ EF=EF\end{array} $
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=GF。
设DF=x，则GF=x，BF=BG+GF=6+x，CF=CD-DF=6-x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：$BC^2+CF^2=BF^2$，
代入数值得：$(\sqrt{96})^2+(6-x)^2=(6+x)^2$，
化简得：$96 + 36 -12x +x^2 = 36 +12x +x^2$，
整理得：$24x=96$，解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型计算题，解题核心是灵活运用折叠性质得到相等的边角关系，通过全等三角形转化未知线段，再结合勾股定理构造方程求解，很好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先从折叠的性质入手，折叠前后对应边、对应角相等，可得AE=EG、∠A=∠BGE=90°；结合E是AD中点，可推出ED=EG，此时发现Rt△EDF和Rt△EGF满足斜边公共、直角边相等，可通过HL判定全等，得到DF=GF的等量关系；接下来设FD的长度为x，把Rt△BCF的三条边用含x的式子表示，最后利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠D=∠C=90°，AB=CD=6，AD=BC=$\sqrt{96}$，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE。
由折叠的性质可得：△ABE≌△GBE，
∴AE=EG，∠A=∠BGE=90°，AB=BG=6，
∴EG=ED，∠EGF=∠D=90°。
在Rt△EDF和Rt△EGF中：
$\{\begin{array}{l}ED=EG\\ EF=EF\end{array} $
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=GF。
设DF=x，则GF=x，BF=BG+GF=6+x，CF=CD-DF=6-x，
在Rt△BCF中，由勾股定理得：$BC^2+CF^2=BF^2$，
代入数值得：$(\sqrt{96})^2+(6-x)^2=(6+x)^2$，
化简得：$96 + 36 -12x +x^2 = 36 +12x +x^2$，
整理得：$24x=96$，解得$x=4$。
【答案】
4
【知识点】
折叠的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理的应用
【点评】
本题是几何折叠类的典型计算题，解题核心是灵活运用折叠性质得到相等的边角关系，通过全等三角形转化未知线段，再结合勾股定理构造方程求解，很好地考查了几何推理能力和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
