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13 如图，$△ ABC$是直角三角形，$∠ BAC=90°$，$D$是斜边$BC$上的中点，点$E$、$F$分别为$AB$、$AC$边上的点，且$DE ⊥ DF$。
（1）如图①，证明：$BE^2 + CF^2 = EF^2$；
（2）如图②，若$AB=AC$，$BE=12$，$CF=5$，求$△ DEF$的面积。
第13题图①
第13题图②
（1）如图①，证明：$BE^2 + CF^2 = EF^2$；
（2）如图②，若$AB=AC$，$BE=12$，$CF=5$，求$△ DEF$的面积。
第13题图①
第13题图②
答案
13 （1）如图①,延长ED至点G,使DG=DE,连接CG、FG。因为DB=DC,∠BDE=∠CDG,所以△BDE≌△CDG(SAS)。所以∠B=∠1,BE=CG。因为∠B+∠2=90°,所以∠1+∠2=90°,即∠FCG=90°。在Rt△FCG中,因为∠FCG=90°,所以$GF^2=CG^2+CF^2$。因为FD垂直平分EG,所以EF=GF。所以$BE^2+CF^2=EF^2$。
（2）如图②,连接AD。因为△ABC是等腰直角三角形,所以AD垂直平分BC,所以AD=DC,∠EAD=∠C=45°。因为∠ADE+∠ADF=90°,∠CDF+∠ADF=90°,所以∠ADE=∠CDF,于是可证△ADE≌△CDF。所以DE=DF,AE=CF=5。所以AF=BE=12。在Rt△AEF中,因为∠BAC=90°,所以$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$。设ED=DF=x,在Rt△EDF中,因为∠EDF=90°,所以$ED^2+DF^2=EF^2$,所以$2x^2=169$,解得$x^2=\frac{169}{2}$。所以$S_{△DEF}=\frac{1}{2}DE·DF=\frac{1}{2}·\frac{169}{2}=\frac{169}{4}$。
解析
【分析】
（1）要证明$BE^2 + CF^2 = EF^2$，符合勾股定理的形式，因此需要将三条线段转化到同一个直角三角形中。我们可以利用D是BC中点的条件，用倍长中线法构造全等三角形，将BE转移为CG，再证明∠FCG=90°，结合DF垂直平分EG得到EF=FG，即可利用勾股定理得证。
（2）已知△ABC是等腰直角三角形，D是斜边中点，根据等腰直角三角形的性质，连接AD可得AD=DC、∠EAD=∠C=45°，再通过同角的余角相等得到∠ADE=∠CDF，证明△ADE≌△CDF，得到DE=DF、AE=CF，进而求出AF的长度，用勾股定理算出EF，再利用等腰直角三角形的边长关系求面积即可。
【解析】
（1）证明：如图①，延长ED至点G，使DG=DE，连接CG、FG。
∵ D是BC中点，
∴ $DB=DC$，
在△BDE和△CDG中：
$\begin{cases} DB=DC \\ ∠ BDE=∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDG(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ B=∠ 1$，$BE=CG$。
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $∠ B+∠ 2=90°$，
∴ $∠ 1+∠ 2=90°$，即$∠ FCG=90°$，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：$GF^2=CG^2+CF^2$，
∵ $DE=DG$，$DE ⊥ DF$，
∴ FD垂直平分EG，
∴ $EF=GF$，
∴ $BE^2+CF^2=EF^2$。
（2）解：如图②，连接AD。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=90°$，D是BC中点，
∴ $AD ⊥ BC$，$AD=DC$，$∠ EAD=∠ C=45°$，
∵ $DE ⊥ DF$，
∴ $∠ EDF=90°$，
∴ $∠ ADE+∠ ADF=90°$，$∠ CDF+∠ ADF=90°$，
∴ $∠ ADE=∠ CDF$，
在△ADE和△CDF中：
$\begin{cases} ∠ EAD=∠ C \\ AD=CD \\ ∠ ADE=∠ CDF \end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴ $DE=DF$，$AE=CF=5$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AB-AE=AC-CF$，即$AF=BE=12$，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
设$ED=DF=x$，在Rt△EDF中，$∠ EDF=90°$，
由勾股定理得：$ED^2+DF^2=EF^2$，即$2x^2=13^2=169$，
解得$x^2=\frac{169}{2}$，
∴ $S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE · DF=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2} × \frac{169}{2}=\frac{169}{4}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{169}{4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，实现边的转移，将所求结论转化为熟悉的勾股定理模型求解，有助于提升构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$BE^2 + CF^2 = EF^2$，符合勾股定理的形式，因此需要将三条线段转化到同一个直角三角形中。我们可以利用D是BC中点的条件，用倍长中线法构造全等三角形，将BE转移为CG，再证明∠FCG=90°，结合DF垂直平分EG得到EF=FG，即可利用勾股定理得证。
（2）已知△ABC是等腰直角三角形，D是斜边中点，根据等腰直角三角形的性质，连接AD可得AD=DC、∠EAD=∠C=45°，再通过同角的余角相等得到∠ADE=∠CDF，证明△ADE≌△CDF，得到DE=DF、AE=CF，进而求出AF的长度，用勾股定理算出EF，再利用等腰直角三角形的边长关系求面积即可。
【解析】
（1）证明：如图①，延长ED至点G，使DG=DE，连接CG、FG。
∵ D是BC中点，
∴ $DB=DC$，
在△BDE和△CDG中：
$\begin{cases} DB=DC \\ ∠ BDE=∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDG(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ B=∠ 1$，$BE=CG$。
∵ $∠ BAC=90°$，
∴ $∠ B+∠ 2=90°$，
∴ $∠ 1+∠ 2=90°$，即$∠ FCG=90°$，
在Rt△FCG中，由勾股定理得：$GF^2=CG^2+CF^2$，
∵ $DE=DG$，$DE ⊥ DF$，
∴ FD垂直平分EG，
∴ $EF=GF$，
∴ $BE^2+CF^2=EF^2$。
（2）解：如图②，连接AD。
∵ $AB=AC$，$∠ BAC=90°$，D是BC中点，
∴ $AD ⊥ BC$，$AD=DC$，$∠ EAD=∠ C=45°$，
∵ $DE ⊥ DF$，
∴ $∠ EDF=90°$，
∴ $∠ ADE+∠ ADF=90°$，$∠ CDF+∠ ADF=90°$，
∴ $∠ ADE=∠ CDF$，
在△ADE和△CDF中：
$\begin{cases} ∠ EAD=∠ C \\ AD=CD \\ ∠ ADE=∠ CDF \end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDF(\mathrm{ASA})$，
∴ $DE=DF$，$AE=CF=5$，
∵ $AB=AC$，
∴ $AB-AE=AC-CF$，即$AF=BE=12$，
在Rt△AEF中，由勾股定理得：$EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$，
设$ED=DF=x$，在Rt△EDF中，$∠ EDF=90°$，
由勾股定理得：$ED^2+DF^2=EF^2$，即$2x^2=13^2=169$，
解得$x^2=\frac{169}{2}$，
∴ $S_{△ DEF}=\frac{1}{2}DE · DF=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2} × \frac{169}{2}=\frac{169}{4}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\frac{169}{4}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是几何综合题，解题的关键是合理作辅助线构造全等三角形，实现边的转移，将所求结论转化为熟悉的勾股定理模型求解，有助于提升构造辅助线解决几何问题的能力。
【难度系数】
0.6
