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三、解答题(第19—20题每题8分,第21—26题每题6分,共52分)
19 已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，求下列各式的值：
(1) $x^2 - xy + y^2$；
(2) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$。
19 已知$x=\sqrt{7}+\sqrt{5}$，$y=\sqrt{7}-\sqrt{5}$，求下列各式的值：
(1) $x^2 - xy + y^2$；
(2) $\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$。
答案
19.(1) 22 (2) $2\sqrt{35}$
解析
【分析】
观察到x和y是共轭二次根式，若直接代入所求式子计算过程繁琐，因此可以先计算x+y、xy、x-y的值，再将所求的代数式通过因式分解、公式变形转化为含有x+y、xy、x-y的形式，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
先计算x+y、xy、x-y的值：
$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$
$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$
(1) 对$x^2 - xy + y^2$变形：
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2-3xy$
将$x+y=2\sqrt{7}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - 3×2=28-6=22$
(2) 对$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$通分变形：
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$
将$x+y=2\sqrt{7}$，$x-y=2\sqrt{5}$，$xy=2$代入得：
原式$=\frac{2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}{2}=\frac{4\sqrt{35}}{2}=2\sqrt{35}$
【答案】
(1) $\boxed{22}$；(2) $\boxed{2\sqrt{35}}$
【知识点】
二次根式化简求值，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的代数式求值，解题核心是运用整体代入的思想，先求出x+y、xy等整体的数值，再将所求代数式合理变形后代入计算，有效降低了直接代入计算的复杂度，是二次根式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
观察到x和y是共轭二次根式，若直接代入所求式子计算过程繁琐，因此可以先计算x+y、xy、x-y的值，再将所求的代数式通过因式分解、公式变形转化为含有x+y、xy、x-y的形式，最后整体代入计算即可，能大幅简化运算过程。
【解析】
先计算x+y、xy、x-y的值：
$x+y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})+(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{7}$
$xy=(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})=(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2=7-5=2$
$x-y=(\sqrt{7}+\sqrt{5})-(\sqrt{7}-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$
(1) 对$x^2 - xy + y^2$变形：
$x^2 - xy + y^2=(x+y)^2-3xy$
将$x+y=2\sqrt{7}$，$xy=2$代入得：
原式$=(2\sqrt{7})^2 - 3×2=28-6=22$
(2) 对$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$通分变形：
$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}=\frac{x^2-y^2}{xy}=\frac{(x+y)(x-y)}{xy}$
将$x+y=2\sqrt{7}$，$x-y=2\sqrt{5}$，$xy=2$代入得：
原式$=\frac{2\sqrt{7}×2\sqrt{5}}{2}=\frac{4\sqrt{35}}{2}=2\sqrt{35}$
【答案】
(1) $\boxed{22}$；(2) $\boxed{2\sqrt{35}}$
【知识点】
二次根式化简求值，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的代数式求值，解题核心是运用整体代入的思想，先求出x+y、xy等整体的数值，再将所求代数式合理变形后代入计算，有效降低了直接代入计算的复杂度，是二次根式运算中的常见题型。
【难度系数】
0.8
20 解方程：
(1) $2(x^2 - 1) = 3(x + 4)$；
(2) $\dfrac{6x}{x^2 - 1} + \dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{x + 4}{x + 1}$。
(1) $2(x^2 - 1) = 3(x + 4)$；
(2) $\dfrac{6x}{x^2 - 1} + \dfrac{5}{x - 1} = \dfrac{x + 4}{x + 1}$。
答案
20.(1) $x_1=\dfrac{7}{2}, x_2=-2$ (2) $x=9$
解析
【分析】
第(1)题是一元二次方程，解题时先将方程去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可；第(2)题是分式方程，首先要确定分母不为0的取值范围，再给方程两边同乘最简公分母将其转化为整式方程求解，最后必须验根，排除使分母为0的增根。
【解析】
(1) 解：原方程去括号得：
$2x^2 - 2 = 3x + 12$
移项、合并同类项得：
$2x^2 - 3x - 14 = 0$
因式分解得：
$(2x - 7)(x + 2) = 0$
则$2x - 7 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1=\dfrac{7}{2}, x_2=-2$。
(2) 解：由分母不为0可得$x^2 - 1 ≠ 0$，即$x ≠ \pm1$，
方程两边同乘最简公分母$(x^2 - 1)$，消去分母得：
$6x + 5(x + 1) = (x + 4)(x - 1)$
展开整理得：
$11x + 5 = x^2 + 3x - 4$
$x^2 - 8x - 9 = 0$
因式分解得：
$(x - 9)(x + 1) = 0$
解得$x_1=9, x_2=-1$，
检验：当$x=-1$时，$x^2 - 1 = 0$，是增根，舍去；当$x=9$时，$x^2 -1 = 80 ≠ 0$，是原方程的解。
故原方程的解为$x=9$。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{7}{2}, x_2=-2$ (2) $x=9$
【知识点】
一元二次方程解法，分式方程解法，增根检验
【点评】
本题是方程求解的基础题型，重点考查整式方程和分式方程的常规解法，其中分式方程求解后的验根步骤是易错点，解题时要注意不要遗漏。
【难度系数】
0.7
第(1)题是一元二次方程，解题时先将方程去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的标准形式，再通过因式分解法求解即可；第(2)题是分式方程，首先要确定分母不为0的取值范围，再给方程两边同乘最简公分母将其转化为整式方程求解，最后必须验根，排除使分母为0的增根。
【解析】
(1) 解：原方程去括号得：
$2x^2 - 2 = 3x + 12$
移项、合并同类项得：
$2x^2 - 3x - 14 = 0$
因式分解得：
$(2x - 7)(x + 2) = 0$
则$2x - 7 = 0$或$x + 2 = 0$，
解得$x_1=\dfrac{7}{2}, x_2=-2$。
(2) 解：由分母不为0可得$x^2 - 1 ≠ 0$，即$x ≠ \pm1$，
方程两边同乘最简公分母$(x^2 - 1)$，消去分母得：
$6x + 5(x + 1) = (x + 4)(x - 1)$
展开整理得：
$11x + 5 = x^2 + 3x - 4$
$x^2 - 8x - 9 = 0$
因式分解得：
$(x - 9)(x + 1) = 0$
解得$x_1=9, x_2=-1$，
检验：当$x=-1$时，$x^2 - 1 = 0$，是增根，舍去；当$x=9$时，$x^2 -1 = 80 ≠ 0$，是原方程的解。
故原方程的解为$x=9$。
【答案】
(1) $x_1=\dfrac{7}{2}, x_2=-2$ (2) $x=9$
【知识点】
一元二次方程解法，分式方程解法，增根检验
【点评】
本题是方程求解的基础题型，重点考查整式方程和分式方程的常规解法，其中分式方程求解后的验根步骤是易错点，解题时要注意不要遗漏。
【难度系数】
0.7
21 解方程：$\dfrac{1}{x^2 + x - 2} + \dfrac{1}{x^2 + 7x + 10} = 2$。
答案
21.$\dfrac{1}{x^2 + x - 2} + \dfrac{1}{x^2 + 7x + 10} = 2$, $\dfrac{1}{(x + 2)(x - 1)} + \dfrac{1}{(x + 2)(x + 5)} = 2$, $\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 2}) + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x + 5}) = 2$, $\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 5} = 6$,解得 $x_1=-2-\sqrt{10}$, $x_2=-2+\sqrt{10}$。
解析
【分析】
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先对两个分式的分母进行因式分解，观察发现分解后的因式具有可裂项的特征，通过裂项相消法抵消中间相同的分式项，将原方程简化为较简单的分式方程，再通过去分母转化为一元二次方程求解，最后检验所得根是否为原方程的增根。
【解析】
解：首先对分母因式分解：
$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$，$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$
原方程可化为：
$\dfrac{1}{(x + 2)(x - 1)} + \dfrac{1}{(x + 2)(x + 5)} = 2$
利用裂项规律$\dfrac{1}{n(n+m)}=\dfrac{1}{m}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+m})$，对两个分式裂项：
$\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 2}) + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x + 5}) = 2$
合并后抵消中间项$\dfrac{1}{x+2}$，两边同时乘3得：
$\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 5} = 6$
对左边通分计算：
$\dfrac{(x+5)-(x-1)}{(x-1)(x+5)}=6$
化简分子得：
$\dfrac{6}{(x-1)(x+5)}=6$
两边同时除以6，再去分母得：
$(x-1)(x+5)=1$
展开整理为一元二次方程：
$x^2+4x-6=0$
用求根公式解得：
$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-6)}}{2×1}=\dfrac{-4\pm2\sqrt{10}}{2}=-2\pm\sqrt{10}$
检验：将$x_1=-2-\sqrt{10}$、$x_2=-2+\sqrt{10}$代入原方程分母，各分母均不为0，是原方程的根。
【答案】
$x_1=-2-\sqrt{10}$，$x_2=-2+\sqrt{10}$
【知识点】
分式方程求解、因式分解、裂项相消
【点评】
本题属于分式方程的典型计算问题，巧妙运用裂项相消法可大幅简化运算，避免直接去分母产生高次方程增加计算量，求解后切记要检验根是否满足原方程分母不为0的要求，排除增根。
【难度系数】
0.6
本题是分式方程求解问题，解题思路如下：首先对两个分式的分母进行因式分解，观察发现分解后的因式具有可裂项的特征，通过裂项相消法抵消中间相同的分式项，将原方程简化为较简单的分式方程，再通过去分母转化为一元二次方程求解，最后检验所得根是否为原方程的增根。
【解析】
解：首先对分母因式分解：
$x^2+x-2=(x+2)(x-1)$，$x^2+7x+10=(x+2)(x+5)$
原方程可化为：
$\dfrac{1}{(x + 2)(x - 1)} + \dfrac{1}{(x + 2)(x + 5)} = 2$
利用裂项规律$\dfrac{1}{n(n+m)}=\dfrac{1}{m}(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+m})$，对两个分式裂项：
$\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 2}) + \dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{x + 2} - \dfrac{1}{x + 5}) = 2$
合并后抵消中间项$\dfrac{1}{x+2}$，两边同时乘3得：
$\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 5} = 6$
对左边通分计算：
$\dfrac{(x+5)-(x-1)}{(x-1)(x+5)}=6$
化简分子得：
$\dfrac{6}{(x-1)(x+5)}=6$
两边同时除以6，再去分母得：
$(x-1)(x+5)=1$
展开整理为一元二次方程：
$x^2+4x-6=0$
用求根公式解得：
$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4×1×(-6)}}{2×1}=\dfrac{-4\pm2\sqrt{10}}{2}=-2\pm\sqrt{10}$
检验：将$x_1=-2-\sqrt{10}$、$x_2=-2+\sqrt{10}$代入原方程分母，各分母均不为0，是原方程的根。
【答案】
$x_1=-2-\sqrt{10}$，$x_2=-2+\sqrt{10}$
【知识点】
分式方程求解、因式分解、裂项相消
【点评】
本题属于分式方程的典型计算问题，巧妙运用裂项相消法可大幅简化运算，避免直接去分母产生高次方程增加计算量，求解后切记要检验根是否满足原方程分母不为0的要求，排除增根。
【难度系数】
0.6
22 如图，已知CD是$△ ABC$的AB边上的中线，且$CD=\frac{1}{2}AB$。
（1）求证：$△ ABC$是直角三角形；
（2）若$AC=8$，$CD=5$，求$△ ABC$的面积。
（1）求证：$△ ABC$是直角三角形；
（2）若$AC=8$，$CD=5$，求$△ ABC$的面积。
答案
22.(1) 因为 CD 是△ABC 的中线,$CD=\dfrac{1}{2}AB$,所以 $CD=AD=DB=\dfrac{1}{2}AB$,所以 $∠ A=∠ ACD$, $∠ B=∠ BCD$。因为 $∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$,即 $∠ A+∠ ACD+∠ B+∠ BCD=180°$,所以 $2(∠ ACD+∠ BCD)=180°$,所以 $∠ ACB=90°$,所以 △ABC 是直角三角形。 (2) 24。
解析
【分析】
（1）要证明△ABC是直角三角形，核心是推导∠ACB=90°。首先根据中线定义可得AD=BD=½AB，结合已知CD=½AB，可推出CD=AD=BD，再利用等腰三角形等边对等角的性质得到两组等角，最后代入三角形内角和公式推导，即可得到∠ACB的度数。
（2）借助第一问得出的直角三角形结论，先根据CD的长度求出斜边AB的长，再用勾股定理计算另一条直角边BC的长度，最后代入直角三角形面积公式求解即可。
【解析】
（1）证明：
∵CD是△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD=½AB，
又
∵CD=½AB，
∴CD=AD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
将∠ACB拆分为∠ACD+∠BCD，代入得：
∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°，
把∠A替换为∠ACD、∠B替换为∠BCD，可得：
2∠ACD + 2∠BCD = 180°，即2(∠ACD+∠BCD)=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形。
（2）解：
∵CD=5，CD=½AB，
∴AB=2CD=10，
由（1）可知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，已知AC=8，
根据勾股定理得：BC=√(AB²-AC²)=√(10²-8²)=√36=6，
∴△ABC的面积=½×AC×BC=½×8×6=24。
【答案】
（1）证明见解析，△ABC是直角三角形；（2）24
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查直角三角形的判定、勾股定理及面积计算，解题关键是通过线段相等的条件推导角度关系，进而判定三角形形状，整体解题思路直接，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ABC是直角三角形，核心是推导∠ACB=90°。首先根据中线定义可得AD=BD=½AB，结合已知CD=½AB，可推出CD=AD=BD，再利用等腰三角形等边对等角的性质得到两组等角，最后代入三角形内角和公式推导，即可得到∠ACB的度数。
（2）借助第一问得出的直角三角形结论，先根据CD的长度求出斜边AB的长，再用勾股定理计算另一条直角边BC的长度，最后代入直角三角形面积公式求解即可。
【解析】
（1）证明：
∵CD是△ABC的AB边上的中线，
∴AD=BD=½AB，
又
∵CD=½AB，
∴CD=AD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
将∠ACB拆分为∠ACD+∠BCD，代入得：
∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180°，
把∠A替换为∠ACD、∠B替换为∠BCD，可得：
2∠ACD + 2∠BCD = 180°，即2(∠ACD+∠BCD)=180°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形。
（2）解：
∵CD=5，CD=½AB，
∴AB=2CD=10，
由（1）可知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，已知AC=8，
根据勾股定理得：BC=√(AB²-AC²)=√(10²-8²)=√36=6，
∴△ABC的面积=½×AC×BC=½×8×6=24。
【答案】
（1）证明见解析，△ABC是直角三角形；（2）24
【知识点】
等腰三角形性质、三角形内角和定理、勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查直角三角形的判定、勾股定理及面积计算，解题关键是通过线段相等的条件推导角度关系，进而判定三角形形状，整体解题思路直接，掌握基础几何性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
