登录
⑧ 在实数范围内因式分解：$-x^2 - xy + y^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
8.$-(x + \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}y)$
解析
【分析】
这是一道双变量二次三项式在实数范围内的因式分解题，解题思路如下：1. 先观察式子特征，$x^2$的系数为负，先提取负号将式子变形为更易处理的$-(x^2+xy-y^2)$；2. 将$y$看作常数，把括号内的式子看作关于$x$的二次三项式，若无法用十字相乘法分解，就采用求根公式法：对于二次三项式$ax^2+bx+c$，若对应方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$；3. 求解关于$x$的一元二次方程$x^2+xy-y^2=0$的两个根，代入公式即可完成分解，注意保留提取的负号。
【解析】
解：第一步，提取负号变形原式：
$-x^2 - xy + y^2 = -(x^2 + xy - y^2)$
第二步，把$y$看作常数，解关于$x$的一元二次方程$x^2 + xy - y^2 = 0$，其中$a=1$，$b=y$，$c=-y^2$：
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = y^2 - 4×1×(-y^2) = 5y^2$
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-y \pm \sqrt{5y^2}}{2} = \frac{-y \pm \sqrt{5}y}{2}$
即方程的两个根为：$x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}y$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}y$
第三步，代入因式分解公式展开：
$x^2 + xy - y^2 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - \frac{-1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \frac{-1-\sqrt{5}}{2}y) = (x + \frac{1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \frac{-1+\sqrt{5}}{2}y)$
第四步，补充提取的负号，得到最终分解结果。
【答案】
$-(x + \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}y)$
【知识点】
1. 提公因式法 2. 求根法因式分解 3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，核心是将双变量多项式转化为关于单一变量的二次式，借助一元二次方程求根公式完成分解，解题时要注意不要遗漏提取的负号，计算根时要准确处理根号内的代数式。
【难度系数】
0.6
这是一道双变量二次三项式在实数范围内的因式分解题，解题思路如下：1. 先观察式子特征，$x^2$的系数为负，先提取负号将式子变形为更易处理的$-(x^2+xy-y^2)$；2. 将$y$看作常数，把括号内的式子看作关于$x$的二次三项式，若无法用十字相乘法分解，就采用求根公式法：对于二次三项式$ax^2+bx+c$，若对应方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1$、$x_2$，则$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$；3. 求解关于$x$的一元二次方程$x^2+xy-y^2=0$的两个根，代入公式即可完成分解，注意保留提取的负号。
【解析】
解：第一步，提取负号变形原式：
$-x^2 - xy + y^2 = -(x^2 + xy - y^2)$
第二步，把$y$看作常数，解关于$x$的一元二次方程$x^2 + xy - y^2 = 0$，其中$a=1$，$b=y$，$c=-y^2$：
计算判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = y^2 - 4×1×(-y^2) = 5y^2$
由求根公式得：
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-y \pm \sqrt{5y^2}}{2} = \frac{-y \pm \sqrt{5}y}{2}$
即方程的两个根为：$x_1 = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}y$，$x_2 = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}y$
第三步，代入因式分解公式展开：
$x^2 + xy - y^2 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - \frac{-1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \frac{-1-\sqrt{5}}{2}y) = (x + \frac{1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \frac{-1+\sqrt{5}}{2}y)$
第四步，补充提取的负号，得到最终分解结果。
【答案】
$-(x + \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}y)(x - \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}y)$
【知识点】
1. 提公因式法 2. 求根法因式分解 3. 实数范围内因式分解
【点评】
本题考查二次三项式的因式分解，核心是将双变量多项式转化为关于单一变量的二次式，借助一元二次方程求根公式完成分解，解题时要注意不要遗漏提取的负号，计算根时要准确处理根号内的代数式。
【难度系数】
0.6
9 已知$a ＜ b$，化简二次根式$\sqrt{-a^3b}$结果是
$-a \sqrt{-ab}$
。答案
9.$-a \sqrt{-ab}$
解析
【分析】
要化简二次根式，首先需满足被开方数为非负数，据此先推导a、b的符号关系，再结合已知条件a＜b确定a、b的正负性，最后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可。解题时需注意：开方后所得的结果一定是非负的，去绝对值时要根据字母的正负性判断符号。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{-a^3b}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$-a^3b≥0$，整理得$a^3b≤0$，进一步得$ab≤0$，说明a和b异号或其中一个为0。
结合已知条件$a＜b$，可推出$a≤0$，$b≥0$（若a为正数，则b＞a也为正数，不符合$ab≤0$的要求）。
对根式进行拆分化简：
$\sqrt{-a^3b}=\sqrt{a^2·(-ab)}=\sqrt{a^2}·\sqrt{-ab}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，又因为$a≤0$，所以$|a|=-a$，代入得：
原式$=-a\sqrt{-ab}$
【答案】
$-a\sqrt{-ab}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，核心是要先根据二次根式的意义确定字母的取值范围，再结合已知的不等关系判断字母符号，避免直接开方忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.6
要化简二次根式，首先需满足被开方数为非负数，据此先推导a、b的符号关系，再结合已知条件a＜b确定a、b的正负性，最后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可。解题时需注意：开方后所得的结果一定是非负的，去绝对值时要根据字母的正负性判断符号。
【解析】
解：要使二次根式$\sqrt{-a^3b}$有意义，需满足被开方数非负，即：
$-a^3b≥0$，整理得$a^3b≤0$，进一步得$ab≤0$，说明a和b异号或其中一个为0。
结合已知条件$a＜b$，可推出$a≤0$，$b≥0$（若a为正数，则b＞a也为正数，不符合$ab≤0$的要求）。
对根式进行拆分化简：
$\sqrt{-a^3b}=\sqrt{a^2·(-ab)}=\sqrt{a^2}·\sqrt{-ab}$
根据二次根式的性质，$\sqrt{a^2}=|a|$，又因为$a≤0$，所以$|a|=-a$，代入得：
原式$=-a\sqrt{-ab}$
【答案】
$-a\sqrt{-ab}$
【知识点】
二次根式有意义的条件，二次根式的化简，绝对值的性质
【点评】
本题是二次根式化简的典型易错题，核心是要先根据二次根式的意义确定字母的取值范围，再结合已知的不等关系判断字母符号，避免直接开方忽略符号导致错误。
【难度系数】
0.6
⑩ 方程$\sqrt{7}x=\sqrt{5}x+4$的解为
$x=2\sqrt{7}+2\sqrt{5}$
。答案
10.$x=2\sqrt{7}+2\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题是带无理数系数的一元一次方程求解问题，解题思路遵循一元一次方程的常规解法：第一步先移项，将含未知数x的项全部移到方程左侧，常数项留在右侧；第二步合并同类项，提取公因式x得到x与无理系数的乘积形式；第三步系数化为1，此时分母是含二次根式的差的形式，需利用平方差公式进行分母有理化，最终化简得到x的解。
【解析】
解：移项，得：
$\sqrt{7}x - \sqrt{5}x = 4$
合并同类项，得：
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})x = 4$
系数化为1，得：
$x = \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$
对右侧进行分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{7} + \sqrt{5}$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算分母：
$x = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$
【答案】
$x=2\sqrt{7}+2\sqrt{5}$
【知识点】
解一元一次方程；二次根式分母有理化；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察一元一次方程的求解步骤和二次根式的运算能力，解题时要注意移项的符号规则，分母有理化时需正确选择共轭根式，结合平方差公式简化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题是带无理数系数的一元一次方程求解问题，解题思路遵循一元一次方程的常规解法：第一步先移项，将含未知数x的项全部移到方程左侧，常数项留在右侧；第二步合并同类项，提取公因式x得到x与无理系数的乘积形式；第三步系数化为1，此时分母是含二次根式的差的形式，需利用平方差公式进行分母有理化，最终化简得到x的解。
【解析】
解：移项，得：
$\sqrt{7}x - \sqrt{5}x = 4$
合并同类项，得：
$(\sqrt{7} - \sqrt{5})x = 4$
系数化为1，得：
$x = \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$
对右侧进行分母有理化，分子、分母同乘$\sqrt{7} + \sqrt{5}$，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$计算分母：
$x = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{7 - 5} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{5})}{2} = 2\sqrt{7} + 2\sqrt{5}$
【答案】
$x=2\sqrt{7}+2\sqrt{5}$
【知识点】
解一元一次方程；二次根式分母有理化；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考察一元一次方程的求解步骤和二次根式的运算能力，解题时要注意移项的符号规则，分母有理化时需正确选择共轭根式，结合平方差公式简化运算，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
11 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$CD$是斜边$AB$上的高，若$AC=6$，$BC=8$，则$CD=\_\_\_\_\_\_$。
答案
11.$\dfrac{24}{5}$
解析
【分析】
拿到这道题，我们可以按两步思路解题：第一步，已知直角三角形的两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，要求斜边上的高CD，我们可以用等积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两种方式算出来的面积相等，建立等式就能求出CD的长度，这是求直角三角形斜边上高的常用技巧。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$
∴ 由勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$
∴ $AB=10$
又
∵ $△ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC$，同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$
∴ 列等式得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$
化简得：$24=5CD$
解得：$CD=\frac{24}{5}$
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等积法应用
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查直角三角形的相关计算，解题关键是掌握等积法建立等量关系的思路，该方法在几何线段长度求解中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
拿到这道题，我们可以按两步思路解题：第一步，已知直角三角形的两条直角边长度，可先通过勾股定理求出斜边AB的长度；第二步，要求斜边上的高CD，我们可以用等积法：直角三角形的面积既可以用两条直角边乘积的一半计算，也可以用斜边乘斜边上高的一半计算，两种方式算出来的面积相等，建立等式就能求出CD的长度，这是求直角三角形斜边上高的常用技巧。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$
∴ 由勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$
∴ $AB=10$
又
∵ $△ABC$的面积可表示为两种形式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AC· BC$，同时$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· CD$
∴ 列等式得：$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× CD$
化简得：$24=5CD$
解得：$CD=\frac{24}{5}$
【答案】
$\dfrac{24}{5}$
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等积法应用
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查直角三角形的相关计算，解题关键是掌握等积法建立等量关系的思路，该方法在几何线段长度求解中应用非常广泛。
【难度系数】
0.8
⑫ 1.6$\dot{1}$=
$\dfrac{29}{18}$
。（填最简分数）答案
12.$\dfrac{29}{18}$
解析
【分析】
要将混循环小数化为最简分数，核心是消去无限循环的小数部分，通常采用设未知数列方程的方法求解。首先观察$1.6\dot{1}$的特点：循环节为1位（数字1），小数点后不循环的部分为1位（数字6）。我们可以先将原数扩大10倍，让不循环的小数部分移到整数位，再扩大10倍（和循环节位数一致），得到两个小数部分完全相同的等式，两式相减即可消去循环部分，解出未知数后约分得到最简分数。
【解析】
设$x=1.6\dot{1}=1.61111···$ ①
将①式两边同时乘10，得：$10x=16.1111···$ ②
将②式两边同时乘10，得：$100x=161.1111···$ ③
用③式减去②式，消去循环的小数部分：
$100x-10x=161.111··· - 16.111···$
$90x=145$
解得$x=\dfrac{145}{90}$，约分（分子分母同时除以最大公因数5）得$x=\dfrac{29}{18}$。
【答案】
$\dfrac{29}{18}$
【知识点】
混循环小数化分数、一元一次方程应用、分数化简
【点评】
本题考查循环小数转化为分数的方法，利用方程构造两个小数部分相同的式子消去循环部分是常用解题技巧，计算结束后需注意将分数约分为最简形式。
【难度系数】
0.7
要将混循环小数化为最简分数，核心是消去无限循环的小数部分，通常采用设未知数列方程的方法求解。首先观察$1.6\dot{1}$的特点：循环节为1位（数字1），小数点后不循环的部分为1位（数字6）。我们可以先将原数扩大10倍，让不循环的小数部分移到整数位，再扩大10倍（和循环节位数一致），得到两个小数部分完全相同的等式，两式相减即可消去循环部分，解出未知数后约分得到最简分数。
【解析】
设$x=1.6\dot{1}=1.61111···$ ①
将①式两边同时乘10，得：$10x=16.1111···$ ②
将②式两边同时乘10，得：$100x=161.1111···$ ③
用③式减去②式，消去循环的小数部分：
$100x-10x=161.111··· - 16.111···$
$90x=145$
解得$x=\dfrac{145}{90}$，约分（分子分母同时除以最大公因数5）得$x=\dfrac{29}{18}$。
【答案】
$\dfrac{29}{18}$
【知识点】
混循环小数化分数、一元一次方程应用、分数化简
【点评】
本题考查循环小数转化为分数的方法，利用方程构造两个小数部分相同的式子消去循环部分是常用解题技巧，计算结束后需注意将分数约分为最简形式。
【难度系数】
0.7
13 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=45°$。按以下步骤作图:①分别以点$B$和$C$为圆心,以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧,两弧相交于点$D$和点$E$;②作直线$DE$交边$AB$于点$F$。若$BF=4$,$AF=2$,则$AC$的长为$\underline{\hspace{2em}}$。
答案
13.$2\sqrt{5}$
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断直线DE是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接CF可得CF=BF；再结合∠B=45°，可推导得出∠AFC为直角，最后在直角三角形AFC中利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接CF，由作图步骤可知，直线DE是线段BC的垂直平分线：
1. 根据垂直平分线的性质，得 $ CF = BF = 4 $；
2. 因为 $ CF=BF $，所以 $ ∠ FCB = ∠ B = 45° $，在$△ BFC$中，$∠ BFC = 180° - ∠ B - ∠ FCB = 180° - 45° - 45° = 90°$，因此$∠ AFC = 180° - ∠ BFC = 90°$，即$△ AFC$是直角三角形；
3. 在$Rt△ AFC$中，$AF=2$，$CF=4$，根据勾股定理：
$ AC = \sqrt{AF^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题的核心是先识别出垂直平分线，再通过角度推导得到直角三角形，最终用勾股定理求解，属于基础综合题，考查对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断直线DE是线段BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此连接CF可得CF=BF；再结合∠B=45°，可推导得出∠AFC为直角，最后在直角三角形AFC中利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
连接CF，由作图步骤可知，直线DE是线段BC的垂直平分线：
1. 根据垂直平分线的性质，得 $ CF = BF = 4 $；
2. 因为 $ CF=BF $，所以 $ ∠ FCB = ∠ B = 45° $，在$△ BFC$中，$∠ BFC = 180° - ∠ B - ∠ FCB = 180° - 45° - 45° = 90°$，因此$∠ AFC = 180° - ∠ BFC = 90°$，即$△ AFC$是直角三角形；
3. 在$Rt△ AFC$中，$AF=2$，$CF=4$，根据勾股定理：
$ AC = \sqrt{AF^2 + CF^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} $
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题将尺规作图与几何计算结合，解题的核心是先识别出垂直平分线，再通过角度推导得到直角三角形，最终用勾股定理求解，属于基础综合题，考查对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
14 如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,点E在边AD上,连接CE,AE=CE。若AD=6,BC=5,BD=3,则DE长为
$\dfrac{5}{3}$
。答案
14.$\dfrac{5}{3}$
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步，先利用CD⊥AB得到直角△BCD，已知BC和BD的长度，用勾股定理先求出CD的长度；第二步，设DE的长为x，根据AE=CE的等量关系，用含x的式子表示CE的长度；第三步，在直角△CDE中再次运用勾股定理列方程，求解即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°
1. 在Rt△BCD中，BC=5，BD=3，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=5^2-3^2=16$，即$CD=4$
2. 设$DE=x$，
∵点E在AD上，$AD=6$，
∴$AE=AD-DE=6-x$
又
∵$AE=CE$，
∴$CE=6-x$
3. 在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2=CD^2+DE^2$
代入数值：$(6-x)^2=4^2+x^2$
展开化简：$36-12x+x^2=16+x^2$
消去$x^2$后整理得：$12x=20$
解得：$x=\frac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，方程解几何问题
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，需要结合等腰三角形边的等量关系，通过设未知数列方程求解，做题时要理清线段之间的关系，正确运用勾股定理列式。
【难度系数】
0.7
解题思路分为三步：第一步，先利用CD⊥AB得到直角△BCD，已知BC和BD的长度，用勾股定理先求出CD的长度；第二步，设DE的长为x，根据AE=CE的等量关系，用含x的式子表示CE的长度；第三步，在直角△CDE中再次运用勾股定理列方程，求解即可得到DE的长度。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠CDE=90°
1. 在Rt△BCD中，BC=5，BD=3，由勾股定理得：
$CD^2=BC^2-BD^2=5^2-3^2=16$，即$CD=4$
2. 设$DE=x$，
∵点E在AD上，$AD=6$，
∴$AE=AD-DE=6-x$
又
∵$AE=CE$，
∴$CE=6-x$
3. 在Rt△CDE中，由勾股定理得：
$CE^2=CD^2+DE^2$
代入数值：$(6-x)^2=4^2+x^2$
展开化简：$36-12x+x^2=16+x^2$
消去$x^2$后整理得：$12x=20$
解得：$x=\frac{5}{3}$
【答案】
$\dfrac{5}{3}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，方程解几何问题
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，需要结合等腰三角形边的等量关系，通过设未知数列方程求解，做题时要理清线段之间的关系，正确运用勾股定理列式。
【难度系数】
0.7
15 如图,在四边形ABCD中,AB=6,AD=AC=8,∠BAD=∠BCD=90°。M、N分别是对角线BD、AC的中点,则MN=
3
。答案
15.3
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线结合特殊三角形的性质求解：首先观察到△ABD和△BCD均为直角三角形，且M是公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AM=CM，得到等腰△AMC；再结合N是AC中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得MN⊥AC，最后通过勾股定理即可计算出MN的长度。
【解析】
解：连接AM、CM。
1. 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，M是BD的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$ AM = \frac{1}{2}BD $
同理，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，M是BD的中点，得：
$ CM = \frac{1}{2}BD $
因此$ AM = CM $，即△AMC为等腰三角形。
2. 在Rt△ABD中，AB=6，AD=8，由勾股定理计算BD：
$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $
所以$ AM = \frac{1}{2}×10 = 5 $。
3. 因为N是AC的中点，AC=8，所以$ AN = \frac{1}{2}AC = 4 $。
又因为△AMC是等腰三角形，N是AC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得MN⊥AC，即△AMN为直角三角形。
4. 在Rt△AMN中，由勾股定理得：
$ MN = \sqrt{AM^2 - AN^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 $
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合中档题，解题的关键是合理连接辅助线，将已知条件转化为特殊三角形的线段关系，结合勾股定理完成线段长度的计算。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造辅助线结合特殊三角形的性质求解：首先观察到△ABD和△BCD均为直角三角形，且M是公共斜边BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出AM=CM，得到等腰△AMC；再结合N是AC中点，利用等腰三角形三线合一的性质可得MN⊥AC，最后通过勾股定理即可计算出MN的长度。
【解析】
解：连接AM、CM。
1. 在Rt△ABD中，∠BAD=90°，M是BD的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，得：
$ AM = \frac{1}{2}BD $
同理，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，M是BD的中点，得：
$ CM = \frac{1}{2}BD $
因此$ AM = CM $，即△AMC为等腰三角形。
2. 在Rt△ABD中，AB=6，AD=8，由勾股定理计算BD：
$ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 $
所以$ AM = \frac{1}{2}×10 = 5 $。
3. 因为N是AC的中点，AC=8，所以$ AN = \frac{1}{2}AC = 4 $。
又因为△AMC是等腰三角形，N是AC中点，根据等腰三角形三线合一的性质，得MN⊥AC，即△AMN为直角三角形。
4. 在Rt△AMN中，由勾股定理得：
$ MN = \sqrt{AM^2 - AN^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 $
【答案】
3
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题属于几何综合中档题，解题的关键是合理连接辅助线，将已知条件转化为特殊三角形的线段关系，结合勾股定理完成线段长度的计算。
【难度系数】
0.6
16 如图，在一块长8m、宽6m的长方形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为$35\ \mathrm{m}^2$，则修建的道路的宽应为
1
m。答案
16.1
解析
【分析】
本题可通过平移法简化图形：将横竖两条道路分别向长方形的边缘平移，剩余栽种花草的部分可拼接成一个新的长方形，面积不变。我们设道路宽为x米，先表示出新长方形的长和宽，再根据绿地面积为35m²列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
设修建的道路的宽为$ x $ m。
将道路平移后，剩余绿地可拼成长为$ (8 - x) $ m、宽为$ (6 - x) $ m的长方形，根据绿地面积为$ 35\ \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(8 - x)(6 - x) = 35$
展开整理得：
$x^2 - 14x + 13 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 13) = 0$
解得$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 13 $。
当$ x = 13 $时，$ 13 ＞ 8 $且$ 13 ＞ 6 $，不符合实际情况，故舍去。
所以$ x = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用，图形面积计算，平移法转化图形
【点评】
本题属于常见的面积类应用题，利用平移法将分散的绿地拼接为规则长方形，可大幅降低计算难度。解题时需注意对一元二次方程的根结合实际场景进行检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
本题可通过平移法简化图形：将横竖两条道路分别向长方形的边缘平移，剩余栽种花草的部分可拼接成一个新的长方形，面积不变。我们设道路宽为x米，先表示出新长方形的长和宽，再根据绿地面积为35m²列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义即可。
【解析】
设修建的道路的宽为$ x $ m。
将道路平移后，剩余绿地可拼成长为$ (8 - x) $ m、宽为$ (6 - x) $ m的长方形，根据绿地面积为$ 35\ \mathrm{m}^2 $，列方程：
$(8 - x)(6 - x) = 35$
展开整理得：
$x^2 - 14x + 13 = 0$
因式分解得：
$(x - 1)(x - 13) = 0$
解得$ x_1 = 1 $，$ x_2 = 13 $。
当$ x = 13 $时，$ 13 ＞ 8 $且$ 13 ＞ 6 $，不符合实际情况，故舍去。
所以$ x = 1 $。
【答案】
1
【知识点】
一元二次方程的应用，图形面积计算，平移法转化图形
【点评】
本题属于常见的面积类应用题，利用平移法将分散的绿地拼接为规则长方形，可大幅降低计算难度。解题时需注意对一元二次方程的根结合实际场景进行检验，舍去不符合题意的解。
【难度系数】
0.7
17 如图,在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$,点 D 是AB 的中点,连接 DC,作 $DE ⊥ DC$ 交AC于点 E。若 $AB=10$, $CE=6$,则 AE 的长为
图17题图
$\dfrac{7}{3}$
。图17题图
答案
17.$\dfrac{7}{3}$
[提示:方法一:过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F,因为点 D 是 AB 中点,$∠ ACB=90°$,所以 $CD=AD=\frac{1}{2}AB=5$。由勾股定理,可得 $DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{11}$。在Rt△CDE 中,$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}CD · DE=\frac{1}{2}CE · DF$,所以 $DF=\frac{5\sqrt{11}}{6}$。所以 $AF=\sqrt{AD^2-DF^2}$, $EF=\sqrt{DE^2-DF^2}$,所以 $AF=\frac{25}{6}$, $EF=\frac{11}{6}$,所以 $AE=AF-EF=\frac{7}{3}$。方法二:如图,延长 ED 至点 F,使 DF=DE,连接 CF、BF。因为点 D 是 AB 的中点,所以 $AD=BD=\frac{1}{2}AB=5$。又因为 $∠ ADE=∠ BDF$,所以 $△ ADE ≌ △ BDF$(SAS),所以 $∠ A=∠ DBF$, AE=BF。因为 $∠ ACB=90°$,所以 $∠ A+∠ ABC=90°$,所以 $∠ DBF+∠ ABC=90°$,即 $∠ FBC=90°$。因为 DE ⊥ DC, DF=DE,所以 CD 为线段 EF 的垂直平分线,所以 CF=CE=6。设 AE=BF=x,则 AC=AE+CE=x+6。在Rt△ABC 中,$BC^2=AB^2-AC^2$,即 $BC^2=10^2-(x+6)^2$。在Rt△BCF 中,$BC^2=CF^2-BF^2$,即 $BC^2=6^2-x^2$,所以 $10^2-(x+6)^2=6^2-x^2$,解得 $x=\frac{7}{3}$,所以 $AE=\frac{7}{3}$。]
解析
【分析】
首先观察题干，已知Rt△ABC中D是斜边AB的中点，可先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=AD=BD=5。要求AE的长度，仅靠现有线段无法直接求解，因此考虑通过倍长ED构造全等三角形，将AE转化为等长的BF，再结合垂直平分线的性质得到CF=CE，最后在两个直角三角形中用勾股定理表示公共边BC的平方，列方程即可求解。
【解析】
解：延长ED至点F，使DF=DE，连接CF、BF。
1. 证明三角形全等：
∵点D是AB的中点，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=5$。
在△ADE和△BDF中：
$\begin{cases}AD=BD \\∠ADE=∠BDF（对顶角相等） \\DE=DF\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ BDF$（SAS），
∴$AE=BF$，$∠A=∠DBF$。
2. 推导直角关系：
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠A+∠ABC=90°$，
将$∠A=∠DBF$代入得：$∠DBF+∠ABC=90°$，即$∠FBC=90°$。
3. 利用垂直平分线性质：
∵$DE⊥DC$，且$DF=DE$，
∴CD是线段EF的垂直平分线，
∴$CF=CE=6$。
4. 勾股定理列方程求解：
设$AE=x$，则$BF=x$，$AC=AE+CE=x+6$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-(x+6)^2$。
在Rt△FBC中，由勾股定理得：$BC^2=CF^2-BF^2=6^2-x^2$。
联立两式得：$10^2-(x+6)^2=6^2-x^2$，
展开计算：$100-x^2-12x-36=36-x^2$，
消去$x^2$后整理得：$64-12x=36$，
解得：$x=\frac{7}{3}$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，核心解题思路是通过倍长线段构造全等三角形实现线段的转化，结合垂直平分线性质和勾股定理建立方程求解，对几何辅助线构造的能力有一定要求，能有效考查学生的知识综合应用能力。
【难度系数】
0.4
首先观察题干，已知Rt△ABC中D是斜边AB的中点，可先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得到CD=AD=BD=5。要求AE的长度，仅靠现有线段无法直接求解，因此考虑通过倍长ED构造全等三角形，将AE转化为等长的BF，再结合垂直平分线的性质得到CF=CE，最后在两个直角三角形中用勾股定理表示公共边BC的平方，列方程即可求解。
【解析】
解：延长ED至点F，使DF=DE，连接CF、BF。
1. 证明三角形全等：
∵点D是AB的中点，
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=5$。
在△ADE和△BDF中：
$\begin{cases}AD=BD \\∠ADE=∠BDF（对顶角相等） \\DE=DF\end{cases}$
∴$△ ADE ≌ △ BDF$（SAS），
∴$AE=BF$，$∠A=∠DBF$。
2. 推导直角关系：
∵$∠ACB=90°$，
∴$∠A+∠ABC=90°$，
将$∠A=∠DBF$代入得：$∠DBF+∠ABC=90°$，即$∠FBC=90°$。
3. 利用垂直平分线性质：
∵$DE⊥DC$，且$DF=DE$，
∴CD是线段EF的垂直平分线，
∴$CF=CE=6$。
4. 勾股定理列方程求解：
设$AE=x$，则$BF=x$，$AC=AE+CE=x+6$。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：$BC^2=AB^2-AC^2=10^2-(x+6)^2$。
在Rt△FBC中，由勾股定理得：$BC^2=CF^2-BF^2=6^2-x^2$。
联立两式得：$10^2-(x+6)^2=6^2-x^2$，
展开计算：$100-x^2-12x-36=36-x^2$，
消去$x^2$后整理得：$64-12x=36$，
解得：$x=\frac{7}{3}$。
【答案】
$\dfrac{7}{3}$
【知识点】
直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，核心解题思路是通过倍长线段构造全等三角形实现线段的转化，结合垂直平分线性质和勾股定理建立方程求解，对几何辅助线构造的能力有一定要求，能有效考查学生的知识综合应用能力。
【难度系数】
0.4
18 如图,有一张长方形纸片ABCD,将长方形纸片沿AF折叠,使点D落在AB边上的点E处,再将纸片沿CG折叠,使点B落在AF的中点O处,则$\frac{AB}{AD}=$
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
。答案
18.$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
[提示:如图,过点 O 作 OH ⊥ DF 于点 H。设 AD=DF=BC=2a,则 $AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=2\sqrt{2}a$。因为 O 是 AF 的中点,所以 $OF=\frac{1}{2}AF=\sqrt{2}a$,从而可得 OH=HF=a。由翻折的性质,可得 BC=CO=2a,所以 $CH=\sqrt{CO^2-OH^2}=\sqrt{3}a$,所以 $AB=CD=a+\sqrt{3}a$,所以 $\frac{AB}{AD}=\frac{a+\sqrt{3}a}{2a}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。]
解析
【分析】
解题时首先抓住折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步先分析第一次折叠：矩形沿AF折叠后点D落在AB上的E处，可推出四边形ADFE是正方形，得到AD=DF=BC；第二步要求AB与AD的比值，可采用设参数的方法，将AD设为参数，再通过构造直角三角形表示出AB的长度即可求出比值。构造辅助线时，过AF的中点O作OH垂直DC于H，可得到等腰直角三角形OHF和直角三角形OHC，两次运用勾股定理分别计算相关线段长度，最终得到AB的表达式。
【解析】
1. 由矩形ABCD的性质及第一次折叠的性质可知：$∠ D=∠ AEF=∠ DAE=90°$，$AD=AE$，$DF=EF$，因此四边形ADFE是正方形，故$AD=DF=BC$。
2. 过点O作$OH⊥ DC$于点H，设$AD=DF=BC=2a$。
3. 在$Rt△ ADF$中，根据勾股定理：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$
4. 因为O是AF的中点，所以$OF=\frac{1}{2}AF=\sqrt{2}a$。
5. 由正方形ADFE的性质得$∠ AFD=45°$，在$Rt△ OHF$中，$∠ OFH=45°$，因此$△ OHF$为等腰直角三角形，故$OH=HF$。由勾股定理$OH^2+HF^2=OF^2$，代入$OF=\sqrt{2}a$，解得$OH=HF=a$。
6. 由第二次折叠的性质，点B折叠后与O重合，因此$CO=BC=2a$。
7. 在$Rt△ OHC$中，根据勾股定理：
$CH=\sqrt{CO^2-OH^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$
8. 矩形中$AB=CD$，而$CD=DH+CH=(DF-HF)+CH=(2a-a)+\sqrt{3}a=a+\sqrt{3}a$，即$AB=(1+\sqrt{3})a$。
9. 因此$\frac{AB}{AD}=\frac{(1+\sqrt{3})a}{2a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常考题型，将折叠变换与特殊四边形、勾股定理相结合，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，通过设参数、构造直角三角形将所求线段用参数表示，最终消去参数得到比值，对几何分析能力有一定的要求。
【难度系数】
0.5
解题时首先抓住折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等。第一步先分析第一次折叠：矩形沿AF折叠后点D落在AB上的E处，可推出四边形ADFE是正方形，得到AD=DF=BC；第二步要求AB与AD的比值，可采用设参数的方法，将AD设为参数，再通过构造直角三角形表示出AB的长度即可求出比值。构造辅助线时，过AF的中点O作OH垂直DC于H，可得到等腰直角三角形OHF和直角三角形OHC，两次运用勾股定理分别计算相关线段长度，最终得到AB的表达式。
【解析】
1. 由矩形ABCD的性质及第一次折叠的性质可知：$∠ D=∠ AEF=∠ DAE=90°$，$AD=AE$，$DF=EF$，因此四边形ADFE是正方形，故$AD=DF=BC$。
2. 过点O作$OH⊥ DC$于点H，设$AD=DF=BC=2a$。
3. 在$Rt△ ADF$中，根据勾股定理：
$AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\sqrt{(2a)^2+(2a)^2}=2\sqrt{2}a$
4. 因为O是AF的中点，所以$OF=\frac{1}{2}AF=\sqrt{2}a$。
5. 由正方形ADFE的性质得$∠ AFD=45°$，在$Rt△ OHF$中，$∠ OFH=45°$，因此$△ OHF$为等腰直角三角形，故$OH=HF$。由勾股定理$OH^2+HF^2=OF^2$，代入$OF=\sqrt{2}a$，解得$OH=HF=a$。
6. 由第二次折叠的性质，点B折叠后与O重合，因此$CO=BC=2a$。
7. 在$Rt△ OHC$中，根据勾股定理：
$CH=\sqrt{CO^2-OH^2}=\sqrt{(2a)^2-a^2}=\sqrt{3}a$
8. 矩形中$AB=CD$，而$CD=DH+CH=(DF-HF)+CH=(2a-a)+\sqrt{3}a=a+\sqrt{3}a$，即$AB=(1+\sqrt{3})a$。
9. 因此$\frac{AB}{AD}=\frac{(1+\sqrt{3})a}{2a}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；正方形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类常考题型，将折叠变换与特殊四边形、勾股定理相结合，解题的核心是利用折叠的性质得到相等的线段，通过设参数、构造直角三角形将所求线段用参数表示，最终消去参数得到比值，对几何分析能力有一定的要求。
【难度系数】
0.5
