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23 已知关于$x$的方程$x^2 -4x +k +1=0$有两个实数根。
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = x_1x_2 -4$，求实数$k$的值。
（1）求实数$k$的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为$x_1$、$x_2$，且$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = x_1x_2 -4$，求实数$k$的值。
答案
23.(1) $k ≤ 3$ (2) 由题意可知 $x_1 + x_2 = 4$, $x_1x_2 = k + 1$。因为 $\dfrac{3}{x_1} + \dfrac{3}{x_2} = x_1x_2 - 4$,所以 $\dfrac{3(x_1 + x_2)}{x_1x_2}=x_1x_2 - 4$,所以 $\dfrac{3×4}{k + 1}=k + 1 - 4$,解得 $k=5$ 或 $k=-3$。由(1)可知 $k ≤ 3$,因此 $k=5$ 舍去,所以 $k=-3$。
解析
【分析】
（1）对于一元二次方程有两个实数根的问题，首先考虑根的判别式Δ的取值规则：当Δ≥0时方程有两个实数根，我们只需代入方程对应系数计算Δ，列出不等式求解即可得到k的取值范围。
（2）题中给出了含两根的等式关系，我们先利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再将等式左边的分式通分变形，代入两根和与积的表达式得到关于k的方程，求解后结合第（1）问得到的k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到k的准确值。
【解析】
（1）
∵关于x的一元二次方程$x^2 -4x +k +1=0$有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
代入$a=1,b=-4,c=k+1$得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(k+1) = 16 - 4k - 4 = 12 - 4k ≥ 0$
解不等式得$k≤3$
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = k+1$
将$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$通分可得：$\frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2}$
代入已知等式$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = x_1x_2 -4$得：
$\frac{3×4}{k+1} = (k+1) - 4$
整理得：$\frac{12}{k+1} = k - 3$
两边同乘$k+1$（$k≠-1$）得：$12 = (k-3)(k+1)$
整理得：$k^2 - 2k - 15 = 0$
解得$k=5$或$k=-3$
结合（1）中$k≤3$的取值范围，$k=5$不符合条件，舍去
∴$k=-3$
【答案】
（1）$k≤3$；（2）$k=-3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用题，第一问属于基础考察，第二问解题时要注意解出k的值后，需结合第一问的取值范围进行取舍，避免因忽略限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
（1）对于一元二次方程有两个实数根的问题，首先考虑根的判别式Δ的取值规则：当Δ≥0时方程有两个实数根，我们只需代入方程对应系数计算Δ，列出不等式求解即可得到k的取值范围。
（2）题中给出了含两根的等式关系，我们先利用一元二次方程根与系数的关系写出两根之和、两根之积的表达式，再将等式左边的分式通分变形，代入两根和与积的表达式得到关于k的方程，求解后结合第（1）问得到的k的取值范围舍去不符合条件的解，即可得到k的准确值。
【解析】
（1）
∵关于x的一元二次方程$x^2 -4x +k +1=0$有两个实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
代入$a=1,b=-4,c=k+1$得：
$\Delta = (-4)^2 - 4×1×(k+1) = 16 - 4k - 4 = 12 - 4k ≥ 0$
解不等式得$k≤3$
（2）由根与系数的关系可得：
$x_1 + x_2 = 4$，$x_1x_2 = k+1$
将$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2}$通分可得：$\frac{3(x_1+x_2)}{x_1x_2}$
代入已知等式$\frac{3}{x_1} + \frac{3}{x_2} = x_1x_2 -4$得：
$\frac{3×4}{k+1} = (k+1) - 4$
整理得：$\frac{12}{k+1} = k - 3$
两边同乘$k+1$（$k≠-1$）得：$12 = (k-3)(k+1)$
整理得：$k^2 - 2k - 15 = 0$
解得$k=5$或$k=-3$
结合（1）中$k≤3$的取值范围，$k=5$不符合条件，舍去
∴$k=-3$
【答案】
（1）$k≤3$；（2）$k=-3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程根的性质的综合应用题，第一问属于基础考察，第二问解题时要注意解出k的值后，需结合第一问的取值范围进行取舍，避免因忽略限制条件导致多解错误。
【难度系数】
0.7
24 阅读材料，解决问题：
我们可以在正方形网格纸(每个小正方形的边长都是1)中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图①中，线段AB的长度为$\sqrt{5}$，线段BC的长度为$\sqrt{2}$，显然，$\sqrt{2}＜\sqrt{5}$。
(1) 试比较$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{5}$的大小，并说明理由。
(2) 请在图②中尝试用构造图形的方法比较$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$与$\sqrt{17}$的大小，在图③中尝试用构造图形的方法比较$\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}$与$\sqrt{61}$的大小。
(3) 请运用以上的构图思想，在图④中构图，并求出$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(10-x)^2+16}$的最小值。
我们可以在正方形网格纸(每个小正方形的边长都是1)中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图①中，线段AB的长度为$\sqrt{5}$，线段BC的长度为$\sqrt{2}$，显然，$\sqrt{2}＜\sqrt{5}$。
(1) 试比较$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{5}$的大小，并说明理由。
(2) 请在图②中尝试用构造图形的方法比较$\sqrt{5}+2\sqrt{2}$与$\sqrt{17}$的大小，在图③中尝试用构造图形的方法比较$\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}$与$\sqrt{61}$的大小。
(3) 请运用以上的构图思想，在图④中构图，并求出$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(10-x)^2+16}$的最小值。
答案
24.(1) $\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$,理由如下:由图 ① 可知,$BC=\sqrt{2}$, $AC=1$, $AB=\sqrt{5}$,在 △ABC 中, $BC+AC＞AB$,所以 $\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$。 (2) 如图①,$AB=\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{17}$,因为 $AB+BC＞AC$,所以 $\sqrt{5}+2\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。 如图②,$AB=\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{10}$, $AD=\sqrt{61}$,因为 $AB+BC+CD＞AD$,所以 $\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}＞\sqrt{61}$。 (3) 如图③,取线段 BD=10,分别过点 B、D 作 AB ⊥ BD 于点 B,ED ⊥ BD 于点 D(点 A、点 E 在直线 BD 的两侧),且 AB=2, DE=4,连接 AE。当点 C 是线段 BD 上的动点时,设 BC=x,则 CD=10-x, $AC=\sqrt{x^2 + 4}$, $CE=\sqrt{(10 - x)^2 + 16}$, $AC+CE=\sqrt{x^2 + 4}+\sqrt{(10 - x)^2 + 16}$。由两点之间,线段最短,可知 AC+CE 的最小值为线段 AE 的长度,$AE=\sqrt{10^2 + 6^2}=2\sqrt{34}$,所以 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(10 - x)^2 + 16}$ 的最小值为 $2\sqrt{34}$。
解析
【分析】
本题主要运用数形结合思想，将无理数转化为网格中线段的长度，借助几何性质解决代数问题：
(1) 比较$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{5}$的大小，可将三者分别看作三角形的三条边，利用三角形“两边之和大于第三边”的性质判断；
(2) 比较多个无理数的和与另一个无理数的大小，同样把每个无理数对应为网格中的线段，构造连接两点的折线和线段，依据“两点之间线段最短”，折线长度大于线段长度即可得出大小关系；
(3) 求带根号的式子的最小值，先把两个根号分别对应为直角三角形的斜边长，构造共线的直角边，将式子转化为两条线段的和，再利用两点之间线段最短，计算两点连线的长度即为最小值。
【解析】
(1) 观察图①，由勾股定理得：$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=1$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，因此在$△ ABC$中，$BC+AC＞AB$，代入得$\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$。
(2) ①在图②中构造三角形：由勾股定理可得，长度为$\sqrt{5}$的线段对应直角边为1、2的直角三角形斜边，长度为$2\sqrt{2}$的线段对应直角边为2、2的直角三角形斜边，长度为$\sqrt{17}$的线段对应直角边为1、4的直角三角形斜边。将三条线段构造为$△ ABC$，$AB=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{17}$，由两边之和大于第三边得$AB+BC＞AC$，即$\sqrt{5}+2\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。
②在图③中构造折线：$AB=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{10}$（$\sqrt{10}$对应直角边1、3的直角三角形斜边），$AD=\sqrt{61}$（$\sqrt{61}$对应直角边5、6的直角三角形斜边），A到D的折线$AB+BC+CD$与线段$AD$，由两点之间线段最短得$AB+BC+CD＞AD$，即$\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}＞\sqrt{61}$。
(3) 在图④中构图：取线段$BD=10$，分别过B、D作$AB⊥ BD$于B，$ED⊥ BD$于D，且A、E在BD两侧，$AB=2$，$DE=4$，连接AE交BD于点C。设$BC=x$，则$CD=10-x$，由勾股定理得$AC=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，$CE=\sqrt{(10-x)^2+4^2}=\sqrt{(10-x)^2+16}$，因此$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(10-x)^2+16}=AC+CE$。根据两点之间线段最短，$AC+CE$的最小值为线段AE的长，过A作$AF⊥ ED$交ED的延长线于F，可得$AF=BD=10$，$EF=AB+DE=2+4=6$，由勾股定理得$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，即原式的最小值为$2\sqrt{34}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$，理由如下：由图 ① 可知,$BC=\sqrt{2}$, $AC=1$, $AB=\sqrt{5}$,在 △ABC 中, $BC+AC＞AB$,所以 $\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$。
(2) 如图①,$AB=\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{17}$,因为 $AB+BC＞AC$,所以 $\sqrt{5}+2\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。
如图②,$AB=\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{10}$, $AD=\sqrt{61}$,因为 $AB+BC+CD＞AD$,所以 $\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}＞\sqrt{61}$。
(3) 如图③,取线段 BD=10,分别过点 B、D 作 AB ⊥ BD 于点 B,ED ⊥ BD 于点 D(点 A、点 E 在直线 BD 的两侧),且 AB=2, DE=4,连接 AE。当点 C 是线段 BD 上的动点时,设 BC=x,则 CD=10-x, $AC=\sqrt{x^2 + 4}$, $CE=\sqrt{(10 - x)^2 + 16}$, $AC+CE=\sqrt{x^2 + 4}+\sqrt{(10 - x)^2 + 16}$。由两点之间,线段最短,可知 AC+CE 的最小值为线段 AE 的长度,$AE=\sqrt{10^2 + 6^2}=2\sqrt{34}$,所以 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(10 - x)^2 + 16}$ 的最小值为 $2\sqrt{34}$。
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系；两点之间线段最短
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数中的无理数大小比较、代数式最值问题转化为几何中的线段长度问题，既考查了勾股定理的灵活应用，也引导学生建立几何与代数问题相互转化的思维，解题的关键是准确将无理数对应为合适直角三角形的斜边。
【难度系数】
0.6
本题主要运用数形结合思想，将无理数转化为网格中线段的长度，借助几何性质解决代数问题：
(1) 比较$\sqrt{2}+1$与$\sqrt{5}$的大小，可将三者分别看作三角形的三条边，利用三角形“两边之和大于第三边”的性质判断；
(2) 比较多个无理数的和与另一个无理数的大小，同样把每个无理数对应为网格中的线段，构造连接两点的折线和线段，依据“两点之间线段最短”，折线长度大于线段长度即可得出大小关系；
(3) 求带根号的式子的最小值，先把两个根号分别对应为直角三角形的斜边长，构造共线的直角边，将式子转化为两条线段的和，再利用两点之间线段最短，计算两点连线的长度即为最小值。
【解析】
(1) 观察图①，由勾股定理得：$BC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=1$，$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，因此在$△ ABC$中，$BC+AC＞AB$，代入得$\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$。
(2) ①在图②中构造三角形：由勾股定理可得，长度为$\sqrt{5}$的线段对应直角边为1、2的直角三角形斜边，长度为$2\sqrt{2}$的线段对应直角边为2、2的直角三角形斜边，长度为$\sqrt{17}$的线段对应直角边为1、4的直角三角形斜边。将三条线段构造为$△ ABC$，$AB=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{17}$，由两边之和大于第三边得$AB+BC＞AC$，即$\sqrt{5}+2\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。
②在图③中构造折线：$AB=\sqrt{5}$，$BC=2\sqrt{2}$，$CD=\sqrt{10}$（$\sqrt{10}$对应直角边1、3的直角三角形斜边），$AD=\sqrt{61}$（$\sqrt{61}$对应直角边5、6的直角三角形斜边），A到D的折线$AB+BC+CD$与线段$AD$，由两点之间线段最短得$AB+BC+CD＞AD$，即$\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}＞\sqrt{61}$。
(3) 在图④中构图：取线段$BD=10$，分别过B、D作$AB⊥ BD$于B，$ED⊥ BD$于D，且A、E在BD两侧，$AB=2$，$DE=4$，连接AE交BD于点C。设$BC=x$，则$CD=10-x$，由勾股定理得$AC=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}$，$CE=\sqrt{(10-x)^2+4^2}=\sqrt{(10-x)^2+16}$，因此$\sqrt{x^2+4}+\sqrt{(10-x)^2+16}=AC+CE$。根据两点之间线段最短，$AC+CE$的最小值为线段AE的长，过A作$AF⊥ ED$交ED的延长线于F，可得$AF=BD=10$，$EF=AB+DE=2+4=6$，由勾股定理得$AE=\sqrt{AF^2+EF^2}=\sqrt{10^2+6^2}=\sqrt{136}=2\sqrt{34}$，即原式的最小值为$2\sqrt{34}$。
【答案】
(1) $\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$，理由如下：由图 ① 可知,$BC=\sqrt{2}$, $AC=1$, $AB=\sqrt{5}$,在 △ABC 中, $BC+AC＞AB$,所以 $\sqrt{2}+1＞\sqrt{5}$。
(2) 如图①,$AB=\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{2}$, $AC=\sqrt{17}$,因为 $AB+BC＞AC$,所以 $\sqrt{5}+2\sqrt{2}＞\sqrt{17}$。
如图②,$AB=\sqrt{5}$, $BC=2\sqrt{2}$, $CD=\sqrt{10}$, $AD=\sqrt{61}$,因为 $AB+BC+CD＞AD$,所以 $\sqrt{5}+2\sqrt{2}+\sqrt{10}＞\sqrt{61}$。
(3) 如图③,取线段 BD=10,分别过点 B、D 作 AB ⊥ BD 于点 B,ED ⊥ BD 于点 D(点 A、点 E 在直线 BD 的两侧),且 AB=2, DE=4,连接 AE。当点 C 是线段 BD 上的动点时,设 BC=x,则 CD=10-x, $AC=\sqrt{x^2 + 4}$, $CE=\sqrt{(10 - x)^2 + 16}$, $AC+CE=\sqrt{x^2 + 4}+\sqrt{(10 - x)^2 + 16}$。由两点之间,线段最短,可知 AC+CE 的最小值为线段 AE 的长度,$AE=\sqrt{10^2 + 6^2}=2\sqrt{34}$,所以 $\sqrt{x^2 + 4} + \sqrt{(10 - x)^2 + 16}$ 的最小值为 $2\sqrt{34}$。
【知识点】
勾股定理；三角形三边关系；两点之间线段最短
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将代数中的无理数大小比较、代数式最值问题转化为几何中的线段长度问题，既考查了勾股定理的灵活应用，也引导学生建立几何与代数问题相互转化的思维，解题的关键是准确将无理数对应为合适直角三角形的斜边。
【难度系数】
0.6
25 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=40°,点D是△ABC外角∠ACF平分线上的一点,连接AD、BD,若∠ADB=∠ACB,求∠DAC的度数。
答案
25. 如图,过点 D 作 DM ⊥ AC 于点 M,DN ⊥ BF 于点 N。因为 ∠ABC=90°,∠BAC=40°,所以 ∠ACB=90°-∠BAC=50°,所以 ∠ACF=180°-∠ACB=130°。因为 CD 平分 ∠ACF,所以 ∠ACD=∠DCN=$\dfrac{1}{2}∠ACF=65°$。因为 DM ⊥ AC, DN ⊥ CF,所以 DM=DN, ∠MDC=∠NDC=25°,所以 ∠MDN=50°。因为 ∠ACB=∠ADB=50°,所以 ∠ADB=∠MDN=50°,所以 ∠ADB+∠BDM=∠MDN+∠BDM,即 ∠ADM=∠BDN。又因为 DM=DN, ∠AMD=∠BND=90°,所以 △ADM ≌ △BDN,所以 AD=BD,所以 ∠DAB=∠ABD。因为 ∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°,所以 ∠ABD=∠BAD=65°,所以 ∠DAC=∠BAD - ∠BAC=65°-40°=25°。
解析
【分析】
这道题可按以下思路推导：①看到CD是∠ACF的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DM⊥AC、DN⊥BF，得到DM=DN，这是后续证明全等的关键边条件；②先计算△ABC中已知的角度，得到∠ACB、∠ACF的度数，再结合角平分线算出∠ACD、∠DCN，进而得到∠MDN的度数，发现它和已知的∠ADB相等；③利用角度和差得到∠ADM=∠BDN，结合两个直角和DM=DN，证明△ADM和△BDN全等，得到AD=BD，推出△ADB是等腰三角形；④计算等腰△ADB的底角∠BAD，再减去已知的∠BAC，即可得到所求的∠DAC的度数。
【解析】
过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BF于点N。
1. 计算基础角度：
∵∠ABC=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=50°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=130°。
2. 利用角平分线性质推导：
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCN=$\dfrac{1}{2}∠ACF=65°$。
∵DM⊥AC，DN⊥CF，根据角平分线的性质可得DM=DN，且∠MDC=90°-∠ACD=25°，∠NDC=90°-∠DCN=25°，
∴∠MDN=∠MDC+∠NDC=50°。
3. 推导全等条件：
∵已知∠ADB=∠ACB=50°，
∴∠ADB=∠MDN=50°，
等式两边同时加∠BDM可得：∠ADB+∠BDM=∠MDN+∠BDM，即∠ADM=∠BDN。
4. 证明三角形全等：
在△ADM和△BDN中：
$\{\begin{array}{l}∠AMD=∠BND=90°\\DM=DN\\∠ADM=∠BDN\end{array} $
∴△ADM≌△BDN（ASA），
∴AD=BD，即△ADB为等腰三角形。
5. 计算所求角度：
在△ADB中，∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°，且∠DAB=∠ABD，
∴∠BAD=$\dfrac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
∴∠DAC=∠BAD - ∠BAC=65°-40°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的综合题，解题的突破口是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将已知的角度条件、边条件进行转化，进而推导等腰三角形的边角关系求解，对辅助线的构造能力和角度推导逻辑有一定要求。
【难度系数】
0.6
这道题可按以下思路推导：①看到CD是∠ACF的角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DM⊥AC、DN⊥BF，得到DM=DN，这是后续证明全等的关键边条件；②先计算△ABC中已知的角度，得到∠ACB、∠ACF的度数，再结合角平分线算出∠ACD、∠DCN，进而得到∠MDN的度数，发现它和已知的∠ADB相等；③利用角度和差得到∠ADM=∠BDN，结合两个直角和DM=DN，证明△ADM和△BDN全等，得到AD=BD，推出△ADB是等腰三角形；④计算等腰△ADB的底角∠BAD，再减去已知的∠BAC，即可得到所求的∠DAC的度数。
【解析】
过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BF于点N。
1. 计算基础角度：
∵∠ABC=90°，∠BAC=40°，
∴∠ACB=90°-∠BAC=50°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=130°。
2. 利用角平分线性质推导：
∵CD平分∠ACF，
∴∠ACD=∠DCN=$\dfrac{1}{2}∠ACF=65°$。
∵DM⊥AC，DN⊥CF，根据角平分线的性质可得DM=DN，且∠MDC=90°-∠ACD=25°，∠NDC=90°-∠DCN=25°，
∴∠MDN=∠MDC+∠NDC=50°。
3. 推导全等条件：
∵已知∠ADB=∠ACB=50°，
∴∠ADB=∠MDN=50°，
等式两边同时加∠BDM可得：∠ADB+∠BDM=∠MDN+∠BDM，即∠ADM=∠BDN。
4. 证明三角形全等：
在△ADM和△BDN中：
$\{\begin{array}{l}∠AMD=∠BND=90°\\DM=DN\\∠ADM=∠BDN\end{array} $
∴△ADM≌△BDN（ASA），
∴AD=BD，即△ADB为等腰三角形。
5. 计算所求角度：
在△ADB中，∠DAB+∠ABD+∠ADB=180°，且∠DAB=∠ABD，
∴∠BAD=$\dfrac{1}{2}×(180°-50°)=65°$，
∴∠DAC=∠BAD - ∠BAC=65°-40°=25°。
【答案】
25°
【知识点】
角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的综合题，解题的突破口是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，将已知的角度条件、边条件进行转化，进而推导等腰三角形的边角关系求解，对辅助线的构造能力和角度推导逻辑有一定要求。
【难度系数】
0.6
