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1 若$\sqrt{12} + \sqrt{y} = \sqrt{27}$，则y的值为(
A.8
B.15
C.3
D.2
C
)。A.8
B.15
C.3
D.2
答案
C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减相关运算，解题思路如下：第一步，回忆二次根式加减的运算要求，只有同类二次根式可以合并，因此需要先将等式中不是最简形式的√12和√27化简为最简二次根式；第二步，将化简后的根式代入原式，通过移项把√y单独放在等式一侧，合并另一侧的同类二次根式，得到√y的结果；第三步，对√y的等式两边同时平方，即可求出y的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先化简等式中的非最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
将化简结果代入原等式得：
$2\sqrt{3} + \sqrt{y} = 3\sqrt{3}$
移项得：
$\sqrt{y}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
等式两边同时平方得：
$y=3$
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式化简及同类二次根式合并的基本方法，解题步骤清晰，掌握二次根式加减的基本运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减相关运算，解题思路如下：第一步，回忆二次根式加减的运算要求，只有同类二次根式可以合并，因此需要先将等式中不是最简形式的√12和√27化简为最简二次根式；第二步，将化简后的根式代入原式，通过移项把√y单独放在等式一侧，合并另一侧的同类二次根式，得到√y的结果；第三步，对√y的等式两边同时平方，即可求出y的值，对应选项选出答案即可。
【解析】
解：先化简等式中的非最简二次根式：
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$
将化简结果代入原等式得：
$2\sqrt{3} + \sqrt{y} = 3\sqrt{3}$
移项得：
$\sqrt{y}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}=\sqrt{3}$
等式两边同时平方得：
$y=3$
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式化简；二次根式加减运算；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式化简及同类二次根式合并的基本方法，解题步骤清晰，掌握二次根式加减的基本运算规则即可轻松求解。
【难度系数】
0.8
② $a\sqrt{-a} + 6a\sqrt{\dfrac{-a}{4}} - 5a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}$ 的值（
A.是正数
B.是负数
C.是非负数
D.可为正也可为负
B
）。A.是正数
B.是负数
C.是非负数
D.可为正也可为负
答案
B [提示:由题意得：$\begin{cases}-a ≥ 0,\\a ≠ 0,\\a ＜ 0,\end{cases}$ 所以$a ＜ 0$,所以原式中的三项都小于0,所以原式$＜ 0$。]
解析
【分析】
要判断代数式的值的符号，首先需根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为0）确定a的取值范围，再将各项二次根式化为最简形式，结合a的符号判断每一项的正负，最终就能确定整个代数式的正负性。
【解析】
解：第一步：确定a的取值范围
要使原式中所有二次根式有意义，需满足：
$\begin{cases}-a≥0 \\ -\dfrac{1}{a}≥0 \\ a≠0\end{cases}$
解得$a＜0$，因此$\sqrt{-a}＞0$。
第二步：判断每一项的符号
1. 第一项$a\sqrt{-a}$：$a＜0$，$\sqrt{-a}＞0$，乘积为负数；
2. 第二项$6a\sqrt{\dfrac{-a}{4}}=6a×\dfrac{\sqrt{-a}}{2}=3a\sqrt{-a}$：$a＜0$，$\sqrt{-a}＞0$，乘积为负数；
3. 第三项$-5a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-5a^2×\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=-5a^2×\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=5a\sqrt{-a}$：$a＜0$，$\sqrt{-a}＞0$，乘积为负数。
第三步：判断整体符号
三个负数相加的和仍为负数，因此原式的值是负数。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题的易错点是忽略a为负数的前提，在化简带平方的二次根式时符号判断错误，解题时一定要先确定字母的取值范围，再进行二次根式的相关运算。
【难度系数】
0.6
要判断代数式的值的符号，首先需根据二次根式有意义的条件（被开方数非负、分母不为0）确定a的取值范围，再将各项二次根式化为最简形式，结合a的符号判断每一项的正负，最终就能确定整个代数式的正负性。
【解析】
解：第一步：确定a的取值范围
要使原式中所有二次根式有意义，需满足：
$\begin{cases}-a≥0 \\ -\dfrac{1}{a}≥0 \\ a≠0\end{cases}$
解得$a＜0$，因此$\sqrt{-a}＞0$。
第二步：判断每一项的符号
1. 第一项$a\sqrt{-a}$：$a＜0$，$\sqrt{-a}＞0$，乘积为负数；
2. 第二项$6a\sqrt{\dfrac{-a}{4}}=6a×\dfrac{\sqrt{-a}}{2}=3a\sqrt{-a}$：$a＜0$，$\sqrt{-a}＞0$，乘积为负数；
3. 第三项$-5a^2\sqrt{-\dfrac{1}{a}}=-5a^2×\dfrac{\sqrt{-a}}{|a|}=-5a^2×\dfrac{\sqrt{-a}}{-a}=5a\sqrt{-a}$：$a＜0$，$\sqrt{-a}＞0$，乘积为负数。
第三步：判断整体符号
三个负数相加的和仍为负数，因此原式的值是负数。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；二次根式的加减运算
【点评】
本题的易错点是忽略a为负数的前提，在化简带平方的二次根式时符号判断错误，解题时一定要先确定字母的取值范围，再进行二次根式的相关运算。
【难度系数】
0.6
3 已知整数$x$、$y$满足$\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = \sqrt{50}$，那么能满足条件的整数对$(x,y)$的个数是（
A.0
B.1
C.2
D.3
D
）。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
D [提示:$\sqrt{50}=5\sqrt{2}$,所以$y=0,x=50$,或$y=2,x=18$,或$y=8,x=2$,所以整数对$(x,y)$的个数有3个。]
解析
【分析】
解题时首先要将等式右侧的$\sqrt{50}$化为最简二次根式，根据二次根式加减运算的规则，只有同类二次根式才能合并，因此左侧的$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$化简后被开方数必须和右侧最简二次根式的被开方数一致。再结合$x$、$y$为非负整数的条件，可通过参数法找出所有符合条件的取值，注意不要遗漏被开方数为0的特殊情况。
【解析】
第一步：化简等式右侧的二次根式：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，原等式可变为$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5\sqrt{2}$。
第二步：根据二次根式的性质，根号下的数非负，因此$x≥0$，$y≥0$；且只有同类二次根式才能合并，因此$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$均为与$\sqrt{2}$同类的二次根式。
设$\sqrt{y}=n\sqrt{2}$（$n$为非负整数），则$2\sqrt{y}=2n\sqrt{2}$，代入等式得：
$\sqrt{x}=5\sqrt{2}-2n\sqrt{2}=(5-2n)\sqrt{2}$
第三步：两边同时平方得$x=2×(5-2n)^2$，由于$x≥0$，因此$5-2n≥0$，即$n≤2.5$。
又因为$n$为非负整数，因此$n$可取0、1、2三个值：
①当$n=0$时，$y=2×0^2=0$，$x=2×5^2=50$，整数对为$(50,0)$；
②当$n=1$时，$y=2×1^2=2$，$x=2×(5-2)^2=18$，整数对为$(18,2)$；
③当$n=2$时，$y=2×2^2=8$，$x=2×(5-4)^2=2$，整数对为$(2,8)$。
因此符合条件的整数对共有3个。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；二次根式非负性
【点评】
本题核心考查二次根式加减运算的本质（同类二次根式合并），解题的关键是先将非最简二次根式化为最简，再结合整数约束条件筛选可能的取值，解题时容易遗漏$y=0$的情况，需要特别注意二次根式被开方数可以为0。
【难度系数】
0.7
解题时首先要将等式右侧的$\sqrt{50}$化为最简二次根式，根据二次根式加减运算的规则，只有同类二次根式才能合并，因此左侧的$\sqrt{x}$和$\sqrt{y}$化简后被开方数必须和右侧最简二次根式的被开方数一致。再结合$x$、$y$为非负整数的条件，可通过参数法找出所有符合条件的取值，注意不要遗漏被开方数为0的特殊情况。
【解析】
第一步：化简等式右侧的二次根式：
$\sqrt{50}=\sqrt{25×2}=5\sqrt{2}$，原等式可变为$\sqrt{x}+2\sqrt{y}=5\sqrt{2}$。
第二步：根据二次根式的性质，根号下的数非负，因此$x≥0$，$y≥0$；且只有同类二次根式才能合并，因此$\sqrt{x}$、$\sqrt{y}$均为与$\sqrt{2}$同类的二次根式。
设$\sqrt{y}=n\sqrt{2}$（$n$为非负整数），则$2\sqrt{y}=2n\sqrt{2}$，代入等式得：
$\sqrt{x}=5\sqrt{2}-2n\sqrt{2}=(5-2n)\sqrt{2}$
第三步：两边同时平方得$x=2×(5-2n)^2$，由于$x≥0$，因此$5-2n≥0$，即$n≤2.5$。
又因为$n$为非负整数，因此$n$可取0、1、2三个值：
①当$n=0$时，$y=2×0^2=0$，$x=2×5^2=50$，整数对为$(50,0)$；
②当$n=1$时，$y=2×1^2=2$，$x=2×(5-2)^2=18$，整数对为$(18,2)$；
③当$n=2$时，$y=2×2^2=8$，$x=2×(5-4)^2=2$，整数对为$(2,8)$。
因此符合条件的整数对共有3个。
【答案】
D
【知识点】
二次根式化简；同类二次根式；二次根式非负性
【点评】
本题核心考查二次根式加减运算的本质（同类二次根式合并），解题的关键是先将非最简二次根式化为最简，再结合整数约束条件筛选可能的取值，解题时容易遗漏$y=0$的情况，需要特别注意二次根式被开方数可以为0。
【难度系数】
0.7
(1) $\sqrt{24} - \sqrt{6} =$
$\sqrt{6}$
；(2) $\sqrt{25x} + \sqrt{36x} =$ $11\sqrt{x}$
；(3) $\sqrt{8} - \sqrt{\frac{1}{2}} =$ $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
。答案
(1) $\sqrt{6}$ (2) $11\sqrt{x}$ (3) $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
解析
【分析】
二次根式加减法的核心解题思路分为两步：第一步，先将每个二次根式化为最简二次根式（即被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步，找出被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变即可。三个小题均按照该思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{24}$：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{24}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=(2-1)\sqrt{6}=\sqrt{6}$
(2) 分别化简两个二次根式：$\sqrt{25x}=\sqrt{25}×\sqrt{x}=5\sqrt{x}$，$\sqrt{36x}=\sqrt{36}×\sqrt{x}=6\sqrt{x}$，再合并：
$\sqrt{25x}+\sqrt{36x}=5\sqrt{x}+6\sqrt{x}=(5+6)\sqrt{x}=11\sqrt{x}$
(3) 分别化简：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再合并：
$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=(2-\frac{1}{2})\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}$ (2) $11\sqrt{x}$ (3) $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础运算题，重点考察对二次根式化简规则和同类二次根式合并方法的掌握，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.85
二次根式加减法的核心解题思路分为两步：第一步，先将每个二次根式化为最简二次根式（即被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式）；第二步，找出被开方数相同的同类二次根式，将它们的系数相加减，被开方数保持不变即可。三个小题均按照该思路逐步计算即可。
【解析】
(1) 先化简$\sqrt{24}$：$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，再合并同类二次根式：
$\sqrt{24}-\sqrt{6}=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=(2-1)\sqrt{6}=\sqrt{6}$
(2) 分别化简两个二次根式：$\sqrt{25x}=\sqrt{25}×\sqrt{x}=5\sqrt{x}$，$\sqrt{36x}=\sqrt{36}×\sqrt{x}=6\sqrt{x}$，再合并：
$\sqrt{25x}+\sqrt{36x}=5\sqrt{x}+6\sqrt{x}=(5+6)\sqrt{x}=11\sqrt{x}$
(3) 分别化简：$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，再合并：
$\sqrt{8}-\sqrt{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}=(2-\frac{1}{2})\sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$
【答案】
(1) $\sqrt{6}$ (2) $11\sqrt{x}$ (3) $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
二次根式化简、同类二次根式合并、二次根式加减运算
【点评】
本题是二次根式加减的基础运算题，重点考察对二次根式化简规则和同类二次根式合并方法的掌握，熟练掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键。
【难度系数】
0.85
若最简二次根式$\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{3b+4a}$是同类二次根式，则$a^3 + b^3 =$
$2$
答案
2
解析
【分析】
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：首先回忆二次根式和同类二次根式的定义，①二次根式的根指数为2，题目中$\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式，说明它的根指数$a+1$必须等于2，由此先求出$a$的值；②同类二次根式是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，已知两个根式是同类二次根式，因此它们的被开方数相等，将求出的$a$代入即可算出$b$的值，最后把$a$、$b$代入$a^3 + b^3$计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式
∴ 根指数$a+1=2$，解得$a=1$
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{3b+4a}$是同类二次根式
∴ 两个根式的被开方数相等，即$2a+5=3b+4a$
将$a=1$代入上式：
$2×1 + 5 = 3b + 4×1$
$7 = 3b + 4$
解得$b=1$
代入代数式计算得：
$a^3 + b^3 = 1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式，同类二次根式，代数式求值
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定规则，解题时不要遗漏二次根式根指数为2的隐含条件，只要牢记相关概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，可按以下思路逐步推导：首先回忆二次根式和同类二次根式的定义，①二次根式的根指数为2，题目中$\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式，说明它的根指数$a+1$必须等于2，由此先求出$a$的值；②同类二次根式是指化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，已知两个根式是同类二次根式，因此它们的被开方数相等，将求出的$a$代入即可算出$b$的值，最后把$a$、$b$代入$a^3 + b^3$计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$是最简二次根式
∴ 根指数$a+1=2$，解得$a=1$
∵ $\sqrt[a+1]{2a+5}$与$\sqrt{3b+4a}$是同类二次根式
∴ 两个根式的被开方数相等，即$2a+5=3b+4a$
将$a=1$代入上式：
$2×1 + 5 = 3b + 4×1$
$7 = 3b + 4$
解得$b=1$
代入代数式计算得：
$a^3 + b^3 = 1^3 + 1^3 = 1 + 1 = 2$
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式，同类二次根式，代数式求值
【点评】
本题重点考查同类二次根式的判定规则，解题时不要遗漏二次根式根指数为2的隐含条件，只要牢记相关概念就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
⑥ 合并同类二次根式：$\frac{1}{3}\sqrt{a} + 6\sqrt{ab} -5\sqrt{a} - \frac{3}{4}\sqrt{ab} =$
$-\dfrac{14}{3}\sqrt{a} + \dfrac{21}{4}\sqrt{ab}$
。答案
$-\dfrac{14}{3}\sqrt{a} + \dfrac{21}{4}\sqrt{ab}$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确同类二次根式的概念：被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，合并同类二次根式可类比合并同类项的方法，只把系数相加减，根式部分保持不变。解题时第一步先找出式子中的同类二次根式，将它们分组，第二步分别计算每组同类二次根式的系数和差，最后整理得到结果即可。
【解析】
首先对原式中的同类二次根式分组，再分别合并：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{3}\sqrt{a} - 5\sqrt{a}) + (6\sqrt{ab} - \frac{3}{4}\sqrt{ab})\\&=(\frac{1}{3} - 5)\sqrt{a} + (6 - \frac{3}{4})\sqrt{ab}\\&=(\frac{1}{3} - \frac{15}{3})\sqrt{a} + (\frac{24}{4} - \frac{3}{4})\sqrt{ab}\\&=-\frac{14}{3}\sqrt{a} + \frac{21}{4}\sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{14}{3}\sqrt{a} + \dfrac{21}{4}\sqrt{ab}$
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础题型，解题核心是准确识别同类二次根式，计算时注意分数通分的规则，避免系数运算出错。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要明确同类二次根式的概念：被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，合并同类二次根式可类比合并同类项的方法，只把系数相加减，根式部分保持不变。解题时第一步先找出式子中的同类二次根式，将它们分组，第二步分别计算每组同类二次根式的系数和差，最后整理得到结果即可。
【解析】
首先对原式中的同类二次根式分组，再分别合并：
$\begin{aligned}原式&=(\frac{1}{3}\sqrt{a} - 5\sqrt{a}) + (6\sqrt{ab} - \frac{3}{4}\sqrt{ab})\\&=(\frac{1}{3} - 5)\sqrt{a} + (6 - \frac{3}{4})\sqrt{ab}\\&=(\frac{1}{3} - \frac{15}{3})\sqrt{a} + (\frac{24}{4} - \frac{3}{4})\sqrt{ab}\\&=-\frac{14}{3}\sqrt{a} + \frac{21}{4}\sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】
$-\dfrac{14}{3}\sqrt{a} + \dfrac{21}{4}\sqrt{ab}$
【知识点】
1. 同类二次根式
2. 二次根式加减运算
【点评】
本题属于二次根式加减的基础题型，解题核心是准确识别同类二次根式，计算时注意分数通分的规则，避免系数运算出错。
【难度系数】
0.85
7 合并同类二次根式：$3\sqrt{x} - 2y\sqrt{2x} + 6y\sqrt{2x} - \frac{1}{5}\sqrt{x} =$
$\dfrac{14}{5}\sqrt{x} + 4y\sqrt{2x}$
。答案
$\dfrac{14}{5}\sqrt{x} + 4y\sqrt{2x}$
解析
【分析】
解决本题的核心是先识别同类二次根式，同类二次根式是指被开方数相同的最简二次根式，合并同类二次根式的规则为仅将系数相加减，根式部分保持不变。解题时先把式子中被开方数相同的二次根式分为不同组别，再分别对每组的系数做加减运算即可得到结果。
【解析】
第一步：识别同类二次根式：$3\sqrt{x}$与$-\frac{1}{5}\sqrt{x}$的被开方数均为$x$，属于同类二次根式；$-2y\sqrt{2x}$与$6y\sqrt{2x}$的被开方数均为$2x$，属于同类二次根式。
第二步：分组合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&3\sqrt{x} - 2y\sqrt{2x} + 6y\sqrt{2x} - \frac{1}{5}\sqrt{x}\\=&(3\sqrt{x} - \frac{1}{5}\sqrt{x}) + (-2y\sqrt{2x} + 6y\sqrt{2x})\\=&(3 - \frac{1}{5})\sqrt{x} + (-2y + 6y)\sqrt{2x}\\=&\frac{14}{5}\sqrt{x} + 4y\sqrt{2x}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{14}{5}\sqrt{x} + 4y\sqrt{2x}$
【知识点】
同类二次根式；合并同类二次根式
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题，解题关键是准确识别同类二次根式，合并时仅对系数进行加减运算，注意不要漏看系数的符号，根式部分始终保持不变即可。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先识别同类二次根式，同类二次根式是指被开方数相同的最简二次根式，合并同类二次根式的规则为仅将系数相加减，根式部分保持不变。解题时先把式子中被开方数相同的二次根式分为不同组别，再分别对每组的系数做加减运算即可得到结果。
【解析】
第一步：识别同类二次根式：$3\sqrt{x}$与$-\frac{1}{5}\sqrt{x}$的被开方数均为$x$，属于同类二次根式；$-2y\sqrt{2x}$与$6y\sqrt{2x}$的被开方数均为$2x$，属于同类二次根式。
第二步：分组合并同类二次根式：
$\begin{aligned}&3\sqrt{x} - 2y\sqrt{2x} + 6y\sqrt{2x} - \frac{1}{5}\sqrt{x}\\=&(3\sqrt{x} - \frac{1}{5}\sqrt{x}) + (-2y\sqrt{2x} + 6y\sqrt{2x})\\=&(3 - \frac{1}{5})\sqrt{x} + (-2y + 6y)\sqrt{2x}\\=&\frac{14}{5}\sqrt{x} + 4y\sqrt{2x}\end{aligned}$
【答案】
$\dfrac{14}{5}\sqrt{x} + 4y\sqrt{2x}$
【知识点】
同类二次根式；合并同类二次根式
【点评】
本题是二次根式加减运算的基础题，解题关键是准确识别同类二次根式，合并时仅对系数进行加减运算，注意不要漏看系数的符号，根式部分始终保持不变即可。
【难度系数】
0.8
⑧已知$a$为$\sqrt{24}$的整数部分，$b$为$\sqrt{24}$的小数部分，则$a - b + \sqrt{6} =$
$8-\sqrt{6}$
。答案
$8-\sqrt{6}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步先确定$\sqrt{24}$的整数部分$a$，需要先估算$\sqrt{24}$介于哪两个相邻整数之间，找到比24小的最大完全平方数和比24大的最小完全平方数，就能得到$\sqrt{24}$的范围，整数部分就是较小的那个整数；第二步确定小数部分$b$，一个无理数的小数部分等于这个数本身减去它的整数部分；第三步把$a$、$b$代入所求代数式，先化简二次根式，再合并同类二次根式就能得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{24}$的取值范围：
∵ $16 ＜ 24 ＜ 25$
∴ $\sqrt{16} ＜ \sqrt{24} ＜ \sqrt{25}$，即$4 ＜ \sqrt{24} ＜ 5$
∴ $\sqrt{24}$的整数部分$a = 4$
$\sqrt{24}$的小数部分$b = \sqrt{24} - a = \sqrt{24} - 4 = 2\sqrt{6} - 4$
将$a=4$，$b=2\sqrt{6} - 4$代入代数式$a - b + \sqrt{6}$：
$\begin{aligned}原式 &= 4 - (2\sqrt{6} - 4) + \sqrt{6} \\&= 4 - 2\sqrt{6} + 4 + \sqrt{6} \\&= (4 + 4) + (-2\sqrt{6} + \sqrt{6}) \\&= 8 - \sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$8-\sqrt{6}$
【知识点】
无理数估算、二次根式化简、二次根式加减
【点评】
本题核心考查无理数整数与小数部分的判定规则，以及二次根式的基本运算，解题的关键是准确估算无理数的取值范围，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们分三步思考：第一步先确定$\sqrt{24}$的整数部分$a$，需要先估算$\sqrt{24}$介于哪两个相邻整数之间，找到比24小的最大完全平方数和比24大的最小完全平方数，就能得到$\sqrt{24}$的范围，整数部分就是较小的那个整数；第二步确定小数部分$b$，一个无理数的小数部分等于这个数本身减去它的整数部分；第三步把$a$、$b$代入所求代数式，先化简二次根式，再合并同类二次根式就能得到结果。
【解析】
首先估算$\sqrt{24}$的取值范围：
∵ $16 ＜ 24 ＜ 25$
∴ $\sqrt{16} ＜ \sqrt{24} ＜ \sqrt{25}$，即$4 ＜ \sqrt{24} ＜ 5$
∴ $\sqrt{24}$的整数部分$a = 4$
$\sqrt{24}$的小数部分$b = \sqrt{24} - a = \sqrt{24} - 4 = 2\sqrt{6} - 4$
将$a=4$，$b=2\sqrt{6} - 4$代入代数式$a - b + \sqrt{6}$：
$\begin{aligned}原式 &= 4 - (2\sqrt{6} - 4) + \sqrt{6} \\&= 4 - 2\sqrt{6} + 4 + \sqrt{6} \\&= (4 + 4) + (-2\sqrt{6} + \sqrt{6}) \\&= 8 - \sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$8-\sqrt{6}$
【知识点】
无理数估算、二次根式化简、二次根式加减
【点评】
本题核心考查无理数整数与小数部分的判定规则，以及二次根式的基本运算，解题的关键是准确估算无理数的取值范围，计算时要注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
$a \otimes b = a - b$。按上述规定，$(\sqrt{3} \otimes 1) - (\sqrt{3} \otimes 2) = \_\_\_\_\_\_$。
答案
3
10 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念。在如图所示的“幻圆”中，内、外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 $a - b = \_\_\_\_\_\_$。
答案
$-6\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先将题中不是最简形式的二次根式化简，再结合题目给出的“外圆两条直径上四个数字之和相等”“内、外圆周上四个数字之和相等”的条件，列出等量关系，通过消元消去不需要求解的未知量，即可直接求出$a-b$的值。
【解析】
先化简各二次根式：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$-\sqrt{18}=-\sqrt{9×2}=-3\sqrt{2}$
设外圆左侧的数字为$x$，内圈下方的数字为$y$，题中相等的和记为$S$。
1. 根据外圆两直径上四个数字之和相等：
横向直径的和：$x + b + (-\sqrt{18}) + (-\sqrt{2}) = S$，代入化简结果得：
$x + b - 4\sqrt{2} = S$ ①
纵向直径的和：$a + \sqrt{32} + y + 3\sqrt{2} = S$，代入化简结果得：
$a + y + 7\sqrt{2} = S$ ②
联立①②得：$x + b - 4\sqrt{2} = a + y + 7\sqrt{2}$，整理得：
$x-y = a - b + 11\sqrt{2}$ ③
2. 根据内、外圆周上四个数字之和相等：
内圈和：$\sqrt{32} + b + (-\sqrt{18}) + y = S$，代入化简结果得：
$b + y + \sqrt{2} = S$ ④
外圈和：$a + x + 3\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = S$，整理得：
$a + x + 2\sqrt{2} = S$ ⑤
联立④⑤得：$b + y + \sqrt{2} = a + x + 2\sqrt{2}$，整理得：
$x-y = b - a - \sqrt{2}$ ⑥
3. 联立③⑥，两式右侧相等：
$a - b + 11\sqrt{2} = b - a - \sqrt{2}$
移项合并同类项得：$2a - 2b = -12\sqrt{2}$
两边同时除以2得：$a - b = -6\sqrt{2}$
【答案】
$-6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题结合传统数学文化“幻圆”的概念出题，解题核心是找准等量关系，不需要求出所有未知量，用整体消元的思想即可快速得到结果，兼顾了对运算能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先将题中不是最简形式的二次根式化简，再结合题目给出的“外圆两条直径上四个数字之和相等”“内、外圆周上四个数字之和相等”的条件，列出等量关系，通过消元消去不需要求解的未知量，即可直接求出$a-b$的值。
【解析】
先化简各二次根式：
$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，$-\sqrt{18}=-\sqrt{9×2}=-3\sqrt{2}$
设外圆左侧的数字为$x$，内圈下方的数字为$y$，题中相等的和记为$S$。
1. 根据外圆两直径上四个数字之和相等：
横向直径的和：$x + b + (-\sqrt{18}) + (-\sqrt{2}) = S$，代入化简结果得：
$x + b - 4\sqrt{2} = S$ ①
纵向直径的和：$a + \sqrt{32} + y + 3\sqrt{2} = S$，代入化简结果得：
$a + y + 7\sqrt{2} = S$ ②
联立①②得：$x + b - 4\sqrt{2} = a + y + 7\sqrt{2}$，整理得：
$x-y = a - b + 11\sqrt{2}$ ③
2. 根据内、外圆周上四个数字之和相等：
内圈和：$\sqrt{32} + b + (-\sqrt{18}) + y = S$，代入化简结果得：
$b + y + \sqrt{2} = S$ ④
外圈和：$a + x + 3\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = S$，整理得：
$a + x + 2\sqrt{2} = S$ ⑤
联立④⑤得：$b + y + \sqrt{2} = a + x + 2\sqrt{2}$，整理得：
$x-y = b - a - \sqrt{2}$ ⑥
3. 联立③⑥，两式右侧相等：
$a - b + 11\sqrt{2} = b - a - \sqrt{2}$
移项合并同类项得：$2a - 2b = -12\sqrt{2}$
两边同时除以2得：$a - b = -6\sqrt{2}$
【答案】
$-6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简，等式的性质，代数式求值
【点评】
本题结合传统数学文化“幻圆”的概念出题，解题核心是找准等量关系，不需要求出所有未知量，用整体消元的思想即可快速得到结果，兼顾了对运算能力和逻辑分析能力的考查。
【难度系数】
0.6
11 计算:
(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} - 5\sqrt{48}$；
(2) $\sqrt{12\dfrac{1}{2}} + 4\sqrt{1.75} - \dfrac{1}{6}\sqrt{28} + \sqrt{200}$；
(3) $(8\sqrt{abc} - 6\sqrt{ab}) - (7\sqrt{abc} - \dfrac{1}{3}\sqrt{ab} + \dfrac{1}{2}\sqrt{abc})$；
(4) $(6\sqrt{0.75} - \sqrt{18} - \sqrt{12}) - (0.4\sqrt{108} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{0.5})$；
(5) $\dfrac{1}{2}x\sqrt{4x} + 6x\sqrt{\dfrac{x}{9}} - 2x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}}$；
(6) $(4b\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \dfrac{2}{a}\sqrt{a^5b^3}) - 3ab(\sqrt{\dfrac{1}{ab}} + \sqrt{4ab})$。$(a ＞ 0, b ＞ 0)$
(1) $9\sqrt{3} + 7\sqrt{12} - 5\sqrt{48}$；
(2) $\sqrt{12\dfrac{1}{2}} + 4\sqrt{1.75} - \dfrac{1}{6}\sqrt{28} + \sqrt{200}$；
(3) $(8\sqrt{abc} - 6\sqrt{ab}) - (7\sqrt{abc} - \dfrac{1}{3}\sqrt{ab} + \dfrac{1}{2}\sqrt{abc})$；
(4) $(6\sqrt{0.75} - \sqrt{18} - \sqrt{12}) - (0.4\sqrt{108} - 5\sqrt{2} - 4\sqrt{0.5})$；
(5) $\dfrac{1}{2}x\sqrt{4x} + 6x\sqrt{\dfrac{x}{9}} - 2x^2\sqrt{\dfrac{1}{x}}$；
(6) $(4b\sqrt{\dfrac{a}{b}} + \dfrac{2}{a}\sqrt{a^5b^3}) - 3ab(\sqrt{\dfrac{1}{ab}} + \sqrt{4ab})$。$(a ＞ 0, b ＞ 0)$
答案
(1) $3\sqrt{3}$ (2) $\dfrac{25}{2}\sqrt{2} + \dfrac{5}{3}\sqrt{7}$ (3) $\dfrac{1}{2}\sqrt{abc} - \dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$ (4) $4\sqrt{2} - \dfrac{7}{5}\sqrt{3}$ (5) $x\sqrt{x}$ (6) $\sqrt{ab} - 4ab\sqrt{ab}$
解析
【分析】
二次根式加减法的核心解题思路为三步：①若式子含有括号，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；②将所有二次根式化为最简二次根式，遇到小数、带分数时先转化为分数再化简更不容易出错，含字母的二次根式可结合给定的字母取值范围化简；③识别同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，根号及被开方数保持不变，最终合并得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
原式$=9\sqrt{3} + 7×2\sqrt{3} - 5×4\sqrt{3}$
$=9\sqrt{3} +14\sqrt{3} -20\sqrt{3}$
$=(9+14-20)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
(2) 先将带分数、小数化为分数，再化简：
$\sqrt{12\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{1.75}=\sqrt{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$，$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，$\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
原式$=\dfrac{5\sqrt{2}}{2} +4×\dfrac{\sqrt{7}}{2} -\dfrac{1}{6}×2\sqrt{7} +10\sqrt{2}$
$=\dfrac{5}{2}\sqrt{2} +2\sqrt{7} -\dfrac{1}{3}\sqrt{7} +10\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{2}$项：$\dfrac{5}{2}\sqrt{2}+10\sqrt{2}=\dfrac{25}{2}\sqrt{2}$
$\sqrt{7}$项：$2\sqrt{7}-\dfrac{1}{3}\sqrt{7}=\dfrac{5}{3}\sqrt{7}$
所以结果为$\dfrac{25}{2}\sqrt{2}+\dfrac{5}{3}\sqrt{7}$
(3) 先去括号：
原式$=8\sqrt{abc} -6\sqrt{ab} -7\sqrt{abc} +\dfrac{1}{3}\sqrt{ab} -\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{abc}$项：$8\sqrt{abc}-7\sqrt{abc}-\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}=\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}$
$\sqrt{ab}$项：$-6\sqrt{ab}+\dfrac{1}{3}\sqrt{ab}=-\dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$
所以结果为$\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}-\dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$
(4) 先将小数化为分数，化简各根式，再去括号：
$\sqrt{0.75}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
原式$=6×\dfrac{\sqrt{3}}{2} -3\sqrt{2} -2\sqrt{3} -\dfrac{2}{5}×6\sqrt{3} +5\sqrt{2} +4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=3\sqrt{3} -3\sqrt{2} -2\sqrt{3} -\dfrac{12}{5}\sqrt{3} +5\sqrt{2} +2\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{2}$项：$-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$项：$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\dfrac{12}{5}\sqrt{3}=-\dfrac{7}{5}\sqrt{3}$
所以结果为$4\sqrt{2}-\dfrac{7}{5}\sqrt{3}$
(5) 由根式有意义可知$x＞0$，先化简各根式：
$\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$，$\sqrt{\dfrac{x}{9}}=\dfrac{\sqrt{x}}{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
原式$=\dfrac{1}{2}x×2\sqrt{x} +6x×\dfrac{\sqrt{x}}{3} -2x^2×\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$=x\sqrt{x} +2x\sqrt{x} -2x\sqrt{x}$
$=x\sqrt{x}$
(6) 已知$a＞0,b＞0$，先化简各根式，再去括号：
$4b\sqrt{\dfrac{a}{b}}=4b×\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=4\sqrt{ab}$，$\dfrac{2}{a}\sqrt{a^5b^3}=\dfrac{2}{a}× a^2b\sqrt{ab}=2ab\sqrt{ab}$
$3ab(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}+\sqrt{4ab})=3ab×\dfrac{\sqrt{ab}}{ab} +3ab×2\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}$
原式$=4\sqrt{ab} +2ab\sqrt{ab} -3\sqrt{ab} -6ab\sqrt{ab}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{ab}$项：$4\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}=\sqrt{ab}$
$ab\sqrt{ab}$项：$2ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}=-4ab\sqrt{ab}$
所以结果为$\sqrt{ab}-4ab\sqrt{ab}$
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$ (2) $\dfrac{25}{2}\sqrt{2} + \dfrac{5}{3}\sqrt{7}$ (3) $\dfrac{1}{2}\sqrt{abc} - \dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$ (4) $4\sqrt{2} - \dfrac{7}{5}\sqrt{3}$ (5) $x\sqrt{x}$ (6) $\sqrt{ab} - 4ab\sqrt{ab}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本组题是二次根式加减的基础训练题，计算时要严格遵循“先化简、再合并”的步骤，注意去括号的符号变化，小数、带分数转化为分数后化简可降低错误率，含字母的运算要结合取值范围保证根式有意义。
【难度系数】
0.7
二次根式加减法的核心解题思路为三步：①若式子含有括号，先根据去括号法则去掉括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号；②将所有二次根式化为最简二次根式，遇到小数、带分数时先转化为分数再化简更不容易出错，含字母的二次根式可结合给定的字母取值范围化简；③识别同类二次根式，将同类二次根式的系数相加减，根号及被开方数保持不变，最终合并得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：
$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{48}=4\sqrt{3}$
原式$=9\sqrt{3} + 7×2\sqrt{3} - 5×4\sqrt{3}$
$=9\sqrt{3} +14\sqrt{3} -20\sqrt{3}$
$=(9+14-20)\sqrt{3}=3\sqrt{3}$
(2) 先将带分数、小数化为分数，再化简：
$\sqrt{12\dfrac{1}{2}}=\sqrt{\dfrac{25}{2}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{1.75}=\sqrt{\dfrac{7}{4}}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$，$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，$\sqrt{200}=10\sqrt{2}$
原式$=\dfrac{5\sqrt{2}}{2} +4×\dfrac{\sqrt{7}}{2} -\dfrac{1}{6}×2\sqrt{7} +10\sqrt{2}$
$=\dfrac{5}{2}\sqrt{2} +2\sqrt{7} -\dfrac{1}{3}\sqrt{7} +10\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{2}$项：$\dfrac{5}{2}\sqrt{2}+10\sqrt{2}=\dfrac{25}{2}\sqrt{2}$
$\sqrt{7}$项：$2\sqrt{7}-\dfrac{1}{3}\sqrt{7}=\dfrac{5}{3}\sqrt{7}$
所以结果为$\dfrac{25}{2}\sqrt{2}+\dfrac{5}{3}\sqrt{7}$
(3) 先去括号：
原式$=8\sqrt{abc} -6\sqrt{ab} -7\sqrt{abc} +\dfrac{1}{3}\sqrt{ab} -\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{abc}$项：$8\sqrt{abc}-7\sqrt{abc}-\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}=\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}$
$\sqrt{ab}$项：$-6\sqrt{ab}+\dfrac{1}{3}\sqrt{ab}=-\dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$
所以结果为$\dfrac{1}{2}\sqrt{abc}-\dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$
(4) 先将小数化为分数，化简各根式，再去括号：
$\sqrt{0.75}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{108}=6\sqrt{3}$，$\sqrt{0.5}=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
原式$=6×\dfrac{\sqrt{3}}{2} -3\sqrt{2} -2\sqrt{3} -\dfrac{2}{5}×6\sqrt{3} +5\sqrt{2} +4×\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$=3\sqrt{3} -3\sqrt{2} -2\sqrt{3} -\dfrac{12}{5}\sqrt{3} +5\sqrt{2} +2\sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{2}$项：$-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}+2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$
$\sqrt{3}$项：$3\sqrt{3}-2\sqrt{3}-\dfrac{12}{5}\sqrt{3}=-\dfrac{7}{5}\sqrt{3}$
所以结果为$4\sqrt{2}-\dfrac{7}{5}\sqrt{3}$
(5) 由根式有意义可知$x＞0$，先化简各根式：
$\sqrt{4x}=2\sqrt{x}$，$\sqrt{\dfrac{x}{9}}=\dfrac{\sqrt{x}}{3}$，$\sqrt{\dfrac{1}{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
原式$=\dfrac{1}{2}x×2\sqrt{x} +6x×\dfrac{\sqrt{x}}{3} -2x^2×\dfrac{\sqrt{x}}{x}$
$=x\sqrt{x} +2x\sqrt{x} -2x\sqrt{x}$
$=x\sqrt{x}$
(6) 已知$a＞0,b＞0$，先化简各根式，再去括号：
$4b\sqrt{\dfrac{a}{b}}=4b×\dfrac{\sqrt{ab}}{b}=4\sqrt{ab}$，$\dfrac{2}{a}\sqrt{a^5b^3}=\dfrac{2}{a}× a^2b\sqrt{ab}=2ab\sqrt{ab}$
$3ab(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}+\sqrt{4ab})=3ab×\dfrac{\sqrt{ab}}{ab} +3ab×2\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}+6ab\sqrt{ab}$
原式$=4\sqrt{ab} +2ab\sqrt{ab} -3\sqrt{ab} -6ab\sqrt{ab}$
合并同类二次根式：
$\sqrt{ab}$项：$4\sqrt{ab}-3\sqrt{ab}=\sqrt{ab}$
$ab\sqrt{ab}$项：$2ab\sqrt{ab}-6ab\sqrt{ab}=-4ab\sqrt{ab}$
所以结果为$\sqrt{ab}-4ab\sqrt{ab}$
【答案】
(1) $3\sqrt{3}$ (2) $\dfrac{25}{2}\sqrt{2} + \dfrac{5}{3}\sqrt{7}$ (3) $\dfrac{1}{2}\sqrt{abc} - \dfrac{17}{3}\sqrt{ab}$ (4) $4\sqrt{2} - \dfrac{7}{5}\sqrt{3}$ (5) $x\sqrt{x}$ (6) $\sqrt{ab} - 4ab\sqrt{ab}$
【知识点】
最简二次根式化简，同类二次根式合并，二次根式加减运算
【点评】
本组题是二次根式加减的基础训练题，计算时要严格遵循“先化简、再合并”的步骤，注意去括号的符号变化，小数、带分数转化为分数后化简可降低错误率，含字母的运算要结合取值范围保证根式有意义。
【难度系数】
0.7
