8.「2025山东威海中考，★☆」我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.下列条件中,不能判定四边形ABCD是筝形的是 ()

A.$BO=DO,AC⊥BD$
B.$∠DAC=∠BAC,AD=AB$
C.$∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA$
D.$∠ADC=∠ABC,BO=DO$

8.D A.
∵ AC⊥BD,
∴ ∠AOB=∠AOD=90°,
在△AOB和△AOD中, $\begin{cases} AO=AO, \\ ∠AOB=∠AOD, \\ BO=DO, \end{cases}$
∴ △AOB≌△AOD(SAS),
∴ AB=AD,
同理可得CB=CD,
∴ 四边形ABCD是筝形,故A不合题意;
B.在△ACD和△ACB中, $\begin{cases} AD=AB, \\ ∠DAC=∠BAC, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ACB(SAS),
∴ CD=CB,
∴ 四边形ABCD是筝形,故B不合题意;
C.在△ACD和△ACB中, $\begin{cases} ∠DAC=∠BAC, \\ AC=AC, \\ ∠DCA=∠BCA, \end{cases}$
∴ △ACD≌△ACB(ASA),
∴ AD=AB,CD=CB,
∴ 四边形ABCD是筝形,故C不合题意;
D.由∠ADC=∠ABC,BO=DO,不能证明四边形ABCD是筝形,故D符合题意.故选D.

9.「2026江苏南京月考，★☆」如图，D是∠MAN内部一点，DE⊥AM于E，DF⊥AN于F，且DE=DF，点B是射线AM上一点，AB=6，BE=2，在射线AN上取一点C，使得DC=DB，则AC的长为。

9.答案 6或10
解析 ①如图1,当点C在线段AF上时,连接AD,
∵ DE⊥AM于E,DF⊥AN于F,
∴ ∠DEB=∠DFC=90°,
在Rt△DEB和Rt△DFC中, $\begin{cases} DB=DC, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),
∴ CF=BE=2,
在Rt△DEA和Rt△DFA中, $\begin{cases} DA=DA, \\ DE=DF, \end{cases}$
∴ Rt△DEA≌Rt△DFA(HL),
∴ AF=AE=AB+BE=6+2=8,
∴ AC=AF-CF=8-2=6;
②如图2,当点C在线段AF的延长线上时,连接AD,
同理可得AF=AE=8,CF=BE=2,
∴ AC=AF+CF=8+2=10.故答案为6或10.

10.「2026广东广州期末，★☆」如图，在△ABC与△ADE中，AB = AD，AC = AE，且∠EAC=∠DAB=70°，过点A作AF⊥DE，垂足为F，AE交BC于点O，延长CB交DE于点G，连接AG。
(1)求证：△ABC≌△ADE。
(2)∠CGE的度数为。
(3)猜想线段GF，DF，BG之间的数量关系，并说明理由。

10.解析 (1)证明:
∵ ∠EAC=∠DAB,
∴ ∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE,即∠BAC=∠DAE,
在△ABC和△ADE中, $\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADE(SAS).
(2)70°.
详解:易知△AOC和△EOG组合成的图形为“8字型”,易得∠C=∠E,
∴ ∠CGE=∠EAC=70°.
(3)BG+DF=GF.
理由:如图,过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHC=∠AHB=90°,
∵ AF⊥DE,
∴ ∠AFE=∠AFD=90°,
∴ ∠AHC=∠AFE,
由(1)得△ABC≌△ADE,
∴ ∠C=∠E,
在△ACH和△AEF中, $\begin{cases} ∠AHC=∠AFE, \\ ∠C=∠E, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴ △ACH≌△AEF(AAS),
∴ AH=AF,
∵ AG=AG,
∴ Rt△AHG≌Rt△AFG(HL),
∴ GH=GF,
∵ AD=AB,AF=AH,
∴ Rt△AFD≌Rt△AHB(HL),
∴ BH=DF,
∵ BG+BH=GH,
∴ BG+DF=GF.

11. 核心素养 推理能力 阅读下面材料:
学习了三角形全等的判定方法(即"SAS""ASA""AAS""SSS")和直角三角形全等的判定方法(即"HL")后,小聪继续对"两个三角形的两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究.
小聪将命题用符号语言表示为在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E$.
小聪想:要想解决问题,应该对$∠ B$进行分类研究.将$∠ B$分为"直角,钝角,锐角"三种情况进行探究.
(1)当$∠ B$是直角时,如图1,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E=90°$,则$\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEF$(依据:).
(2)当$∠ B$是锐角时,如图2,$BC=EF$,$∠ B=∠ E＜90°$,在射线$EM$上有点$D$,使$DF=AC$,画出符合条件的点$D$,则$△ ABC$和$△ DEF$的关系是.
A.全等 B.不全等 C.不一定全等
(3)当$∠ B$是钝角时,如图3,在$△ ABC$和$△ DEF$中,$AC=DF$,$BC=EF$,$∠ B=∠ E＞90°$,求证:$△ ABC≌△ DEF$.

11.解析 (1)HL.
(2)如图,易得△D''EF≌△ABC,△D'EF和△ABC不全等,
∴ △ABC和△DEF不一定全等.故答案为C.
(3)证明:如图,过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,过点F作FN⊥DE交DE的延长线于点N,
∵ ∠CBA=∠FED,
∴ ∠CBM=∠FEN,
在△CBM和△FEN中, $\begin{cases} ∠M=∠N, \\ ∠CBM=∠FEN, \\ BC=EF, \end{cases}$
∴ △CBM≌△FEN(AAS),
∴ CM=FN,
在Rt△ACM和Rt△DFN中, $\begin{cases} AC=DF, \\ CM=FN, \end{cases}$
∴ Rt△ACM≌Rt△DFN(HL),
∴ ∠A=∠D,
在△ABC和△DEF中, $\begin{cases} ∠CBA=∠FED, \\ ∠A=∠D, \\ AC=DF, \end{cases}$
∴ △ABC≌△DEF(AAS).