11.「2025陕西宝鸡高新区期中，★☆」已知关于$x,y$的多项式$3xy^{n+2}+2y-7$与多项式$x^2y^3+4y^2-5$的次数相同，那么$-5n^2$的值是（）

A.-45
B.-40
C.-20
D.20

11.C 由题意可知$n+2+1=2+3$,所以$n=2$,所以$-5n^2=-5×2^2=-20$.故选C.

【分析】
首先我们需要明确多项式次数的定义：多项式里次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。解题时先求出第二个已知多项式的次数，再根据两个多项式次数相同的条件，列出关于n的等式求出n的值，最后代入计算$-5n^2$的结果即可。具体思路为：第一步，找出多项式$x^2y^3+4y^2-5$的最高次项，计算它的次数；第二步，确定多项式$3xy^{n+2}+2y-7$的最高次项，用含n的式子表示它的次数；第三步，令两个次数相等，解出n；第四步，代入代数式求值。
【解析】
解：根据多项式次数的定义：多项式中次数最高项的次数为多项式的次数。
1. 计算多项式$x^2y^3+4y^2-5$的次数：
该多项式的最高次项为$x^2y^3$，次数为$2+3=5$。
2. 表示多项式$3xy^{n+2}+2y-7$的次数：
该多项式的最高次项为$3xy^{n+2}$，x的次数为1，y的次数为$n+2$，因此该项次数为$1+(n+2)$。
3. 根据两个多项式次数相同列方程求解n：
由题意得：$1+n+2=2+3$
化简得：$n+3=5$
解得：$n=2$
4. 代入计算$-5n^2$：
将$n=2$代入得：$-5n^2=-5×2^2=-5×4=-20$
故选：C
【答案】
C
【知识点】
1. 多项式的次数
2. 代数式求值
3. 一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题核心是准确理解多项式次数的定义，注意单项式的次数是所有字母的指数和，不要遗漏任意一个字母的指数，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8

12.「2026重庆铁路中学期中，★☆」若关于$x$的多项式$(a+2)x^3 - x^b + x - ab$为二次三项式，则当$x=-1$时，这个二次三项式的值是（）

A.$-6$
B.$-4$
C.$4$
D.$2$

12.D 因为关于x的多项式$(a+2)x^3-x^b+x-ab$为二次三项式,所以$a+2=0,b=2$,所以$a=-2$,所以多项式为$-x^2+x+4$.
当$x=-1$时,$-x^2+x+4=-(-1)^2+(-1)+4=-1-1+4=2$.故选D.

【分析】
首先要明确二次三项式的定义：多项式的最高次项次数为2，且整个多项式共有3个不含同类项的项。第一步先处理三次项：原多项式含三次项$(a+2)x^3$，要使多项式最高次为2，必须让三次项系数为0，即$a+2=0$，消去三次项；第二步确定最高次项次数：剩下的项中最高次项为$-x^b$，因此$b=2$才能满足最高次为2；第三步代入$a、b$的值验证多项式为三项式，最后将$x=-1$代入化简后的多项式计算结果即可。
【解析】
解：
∵ 关于$x$的多项式$(a+2)x^3 - x^b + x - ab$为二次三项式
∴ 三次项系数为0，且最高次项次数为2，可得：
$\begin{cases}a+2=0 \\ b=2\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-2 \\ b=2\end{cases}$
将$a=-2$，$b=2$代入原多项式，化简得：
$-x^2 + x - (-2)×2 = -x^2 + x + 4$，符合二次三项式的要求
当$x=-1$时，代入化简后的多项式：
原式$=-(-1)^2 + (-1) + 4 = -1 -1 +4 = 2$
【答案】
D
【知识点】
多项式的项与次数；代数式求值
【点评】
本题重点考查二次三项式的基础概念，解题关键是根据多项式的次数、项数的限制求出参数$a、b$的值，再代入计算，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8

13.「2026湖南衡阳成章实验中学期中，★☆」观察如图所示的图形，图①有2个三角形，记作$a_1=2$；图②有3个三角形，记作$a_2=3$；图③有6个三角形，记作$a_3=6$；图④有11个三角形，记作$a_4=11$；……，按此方法继续下去，则$a_{101}=$。

13.答案 10 002
解析 由题意得,$a_1=2,a_2=2+1^2=3,a_3=2+2^2=6$,$a_4=2+3^2=11,······$,由此可知$a_n=2+(n-1)^2(n$为正整数).
当$n=101$时,$a_{101}=2+(101-1)^2=10\ 002$.

【分析】
解题时先将已知的各图形对应的三角形个数与图形序号对应观察，把每个数值拆分为固定项和变化项两部分：发现a₁=2可写为2+(1-1)²，a₂=3可写为2+(2-1)²，a₃=6可写为2+(3-1)²，a₄=11可写为2+(4-1)²，由此归纳出第n个图形三角形个数的通用表达式，最后将n=101代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题意可知：
$a_1=2=2+(1-1)^2$，
$a_2=3=2+(2-1)^2$，
$a_3=6=2+(3-1)^2$，
$a_4=11=2+(4-1)^2$，
……
由此总结规律可得：$a_n=2+(n-1)^2$（$n$为正整数）。
当$n=101$时，
$a_{101}=2+(101-1)^2=2+100^2=2+10000=10002$。
【答案】
10002
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题型，解题关键是通过观察已知的几组对应数据，归纳出通用的规律表达式，再代入目标数值计算，侧重考查学生的观察能力、归纳能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7

14.「2026河南洛阳伊川期中，★☆」已知多项式$\frac{1}{2}x^{|m|}-(m-3)x+k^2 -1$.
(1)若此多项式是关于$x$的三次三项式,求$m$的值.
(2)若此关于$x$的多项式不含常数项,求$k$的值.

14.解析 (1)由题意可知$|m|=3,-(m-3)≠0$,所以$m=-3$.
(2)由题意可知$k^2-1=0$,所以$k=1$或$-1$.

【分析】
(1)求解m的值需结合三次三项式的定义分析：多项式的次数是最高次项的次数，“三次”说明最高次项x的指数为3，即|m|=3；“三项式”说明多项式有3个非零项，因此一次项系数不能为0，否则会缺少一次项变成二项式，即-(m-3)≠0，联立两个条件即可求出m的值。
(2)“多项式不含常数项”意味着常数项的数值为0，即$k^2-1=0$，解该等式即可得到k的值。
【解析】
(1)
∵该多项式是关于x的三次三项式
∴最高次项次数为3，且一次项系数不为0，可得：
$\begin{cases} |m|=3 \\ -(m-3)≠0 \end{cases}$
由$|m|=3$解得$m=3$或$m=-3$，
由$-(m-3)≠0$解得$m≠3$，
综上可得$m=-3$。
(2)
∵该多项式不含常数项
∴常数项的值为0，即$k^2-1=0$，
移项得$k^2=1$，
解得$k=1$或$k=-1$。
【答案】
(1)$m=-3$；(2)$k=1$或$-1$
【知识点】
多项式的项与次数，绝对值的性质，乘方的意义
【点评】
本题考查多项式基本概念的应用，解题关键是准确理解“三次三项式”“不含常数项”的含义，注意挖掘“项的系数不为0”的隐含条件，避免出现多解错误，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.7

15. 核心 素养 推理能力 定义:$f(x,y)$是关于$x,y$的多项式,如果$f(x,y)=f(y,x)$,那么$f(x,y)$叫作“对称多项式”.例如:$f(x,y)=x^2+x+y+y^2$,则$f(y,x)=y^2+y+x+x^2$,显然$f(x,y)=f(y,x)$,所以$f(x,y)=x^2+x+y+y^2$是“对称多项式”.
(1)试说明$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2)请写出一个“对称多项式”:$f(x,y)=$(不多于四项).
(3)如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$均为“对称多项式”,那么$f_1(x,y)+f_2(x,y)$一定是“对称多项式”吗?如果一定是,请说明理由;如果不一定是,请举例说明.

15.解析 (1)证明:因为$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$,
所以$f(y,x)=y^2-2xy+x^2$,
所以$f(x,y)=f(y,x)$,
所以$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”.
(2)$x^3+xy+y^3$(答案不唯一).
详解:因为$f(x,y)=x^3+xy+y^3$,
所以$f(y,x)=y^3+xy+x^3$,
所以$f(x,y)=f(y,x)$,
所以$f(x,y)=x^3+xy+y^3$是“对称多项式”.
(3)$f_1(x,y)+f_2(x,y)$不一定是“对称多项式”.
举例:令$f_1(x,y)=x+y$,$f_2(x,y)=-x-y$,
则$f_1(x,y)+f_2(x,y)=0$,不是多项式.

【分析】
(1) 判断对称多项式的核心是紧扣题目给出的定义，只需将原式中x和y互换得到$f(y,x)$，验证其与原多项式$f(x,y)$是否相等即可完成判断。
(2) 构造对称多项式时，保证x、y互换后式子不变即可，可选择x和y的同次项系数相同的结构，或含有xy这类互换后不变的项，注意项数不超过4项即可。
(3) 判断两个对称多项式的和是否一定为对称多项式，首先要确认和是否满足“多项式”的前提，再验证是否符合对称的定义，若存在不符合的反例即可说明结论不一定成立，反例可从两个互为相反数的对称多项式相加的角度思考。
【解析】
(1) 证明：$\because f(x,y)=x^2-2xy+y^2$，
将x与y互换得：$f(y,x)=y^2-2yx+x^2=y^2-2xy+x^2$，
$\therefore f(x,y)=f(y,x)$，故$f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是“对称多项式”。
(2) 示例：取$f(x,y)=x^3+xy+y^3$，验证：
将x与y互换得：$f(y,x)=y^3+yx+x^3=y^3+xy+x^3$，
$\therefore f(x,y)=f(y,x)$，符合对称多项式的定义。
(3) $f_1(x,y)+f_2(x,y)$不一定是“对称多项式”，举例说明：
令$f_1(x,y)=x+y$，$f_2(x,y)=-x-y$，
首先验证得$f_1(y,x)=y+x=f_1(x,y)$，$f_2(y,x)=-y-x=f_2(x,y)$，两者均为对称多项式，
而$f_1(x,y)+f_2(x,y)=(x+y)+(-x-y)=0$，不是多项式，因此不满足对称多项式的定义，故结论不一定成立。
【答案】
(1) $f(x,y)=x^2-2xy+y^2$是对称多项式，理由见解析；
(2) $x^3+xy+y^3$（答案不唯一）；
(3) 不一定，举例见解析。
【知识点】
新定义理解，多项式的概念，整式的加减
【点评】
本题为新定义类习题，侧重考查对新规则的理解应用能力与逻辑推理能力，解题需严格紧扣定义进行验证、构造，第三问需要通过举反例推翻必然结论，有助于培养严谨的数学思维。
【难度系数】
0.7