1[2025湖南长沙质检]已知网格中每个小正方形的边长都是1,图(1)中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形.请你在图(2)中以图(1)为基本图案,借助轴对称和平移设计一个图案,使该图案为轴对称图形.

1.【解】如图所示(答案不唯一).

2[2025山西吕梁期中]问题情境:
数学活动课上,老师提出了一个问题:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?同学们就这个问题展开探究.
问题初探:
(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形,如图(1),在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为点E,F.经过探究讨论,该小组的同学们得出的结论是$DE=DF$,他们的证法如下:
证明:$\because DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,$\therefore ∠ DEB= ∠ DFC=90°$.$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B= ∠ C$(依据1).$\because D$是BC的中点,$\therefore BD=CD$.在$△ BDE$和$△ CDF$中,
$\{\begin{array}{l}∠ DEB= ∠ DFC,\\∠ B= ∠ C,\\BD=CD,\end{array} $
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF$(依据2),
$\therefore DE=DF$.
①请写出依据1和依据2的内容:
依据1:.
依据2:.
②请你写出另一种证法.
问题再探:
(2)未来小组的同学们经过探究又有新的发现,如图(2),在$△ ABC$中,D是BC的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为E,F,作腰AB上的高CG,则CG与DE有确定的数量关系.请你直接写出这个数量关系:.
类比探究:
(3)奋斗小组的同学们认真研究过后,发现了以下两个正确结论:①如图(3),在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为BC的中点,若DE,DF分别为$△ ABD$和$△ ACD$的中线,那么$DE=DF$仍然成立;②如图(4),在$△ ABC$中,$AB=AC$,D为BC的中点,若DE,DF分别为$△ ABD$和$△ ACD$的角平分线,那么$DE=DF$仍然成立.请你选择其中一个结论证明.

2. (1)①【解】依据1:等腰三角形的两个底角相等(或等边对等角).
依据2:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(或角角边或AAS).故答案为等腰三角形的两个底角相等(或等边对等角),两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(或角角边或AAS).
②【证明】如图(1),连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD是∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.(证法不唯一)
(2)【解】如图(2),连接AD.
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD是∠BAC的平分线.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF.
∵S△ABC = S△ABD + S△ACD,
∴$\frac{1}{2}×AB×CG = \frac{1}{2}×AB×DE + \frac{1}{2}×AC×DF$,
∴CG=2DE,故答案为CG=2DE.
(3)【证明】(任选一个证明即可)选择①:
∵DE,DF分别是△ABD和△ACD的中线,
∴$BE=\frac{1}{2}AB,CF=\frac{1}{2}AC$.
∵AB=AC,
∴BE=CF,∠B=∠C. 又
∵D是BC的中点,
∴BD=CD. 在△BDE与△CDF中,
$\begin{cases} BE=CF, \\ ∠B=∠C, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(SAS),
∴DE=DF.
选择②:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠B=∠C,BD=CD,AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°. 又
∵DE,DF分别是△ABD和△ACD的角平分线,
∴∠BDE=∠CDF=45°. 在△BDE与△CDF中,
$\begin{cases} ∠B=∠C, \\ BD=CD, \\ ∠BDE=∠CDF, \end{cases}$
∴△BDE≌△CDF(ASA),
∴DE=DF.
思路分析
(2)由等腰三角形的性质可得 AD 是∠BAC 的平分线,由角平分线的性质可得 DE = DF,再通过等面积法即可求得 CG=2DE.
关键点拨
利用等量代换及等式的性质得出∠CBF = ∠C 是解题关键.