1[较难]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$P$从点$B$出发沿线段$BA$移动,同时,点$Q$从点$C$出发沿线段$AC$的延长线移动,当点$P$到达点$A$时,两点同时停止移动.已知点$P,Q$移动的速度相同,$PQ$与直线$BC$相交于点$D$.
(1)如图(1),当点$P$为$AB$的中点时,试说明:$PD=QD$.
(2)如图(2),过点$P$作直线$BC$的垂线,垂足为$E$,点$P,Q$在移动的过程中,线段$BE,DE,CD$中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

(1)过 P 点作 $PF// AC$ 交 $BC$ 于 F,如.因为点 P 和点 Q 同时出发,且速度相同,所以 $BP=CQ$. 因为 $PF// AQ$,所以 $∠ PFB=∠ ACB,∠ DPF=∠ DQC$. 因为 $AB=AC$,所以 $∠ B=∠ ACB$,所以 $∠ B=∠ PFB$,所以 $BP=PF$,所以 $PF=CQ$. 因为 $∠ PDF=∠ QDC$,$∠ DPF=∠ DQC$,$PF=CQ$, 所以 $△ PFD ≌ △ QCD$,所以 $PD=QD$.
(2)存在,ED 的长度保持不变.理由如下:
过点 P 作 $PF// AQ$ 交 BC 于点 F,如.
同(1)可证 $PB=PF$.
因为 $PE⊥ BF$,所以 $BE=EF$.
同(1)可证 $△ PFD≌ △ QCD$,所以 $FD=DC$,
所以 $ED=EF+FD=BE+DC=\frac{1}{2}BC$,
所以 ED 的长度为定值,即 ED 的长度保持不变.

2[中]如图,点D是△ABC的三个内角的平分线AD,BD,CD的交点,且AB+BD=AC.求证:∠ABC=2∠ACB.

如图,在 AC 上截取 AE,使 $AE=AB$,连接 DE,则 $AC=AE+CE=AB+CE=AB+BD$,
$\therefore CE=BD$. $\because$ AD, BD, CD 分别平分 $∠ BAC$,$∠ ABC$,$∠ ACB$, $\therefore ∠ DAB = ∠ DAE$, $∠ ABC = 2∠ ABD$, $∠ ACB = 2∠ ACD$. 又 $\because AD = AD$,
$\therefore △ ABD≌ △ AED$, $\therefore BD = DE$, $∠ ABD = ∠ AED$, $\therefore DE = CE$, $\therefore ∠ EDC = ∠ ECD$,
$\therefore ∠ ABD=∠ AED = ∠ EDC+∠ ECD = 2∠ ECD = ∠ ACB$, $\therefore ∠ ABC=2∠ ACB$.

3[2025江苏泰州质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=2∠ B$,$CD$平分$∠ ACB$交$AB$于点$D$,求证:$BC=AC+AD$.

如图,延长 BA 至点 E,使 $AE=AC$,连接 CE,则 $∠ E = ∠ ACE$,
$\therefore ∠ CAB = ∠ E+∠ ACE = 2∠ E = 2∠ B$,
$\therefore ∠ ACE = ∠ E = ∠ B$,
$\therefore CE=CB$.
又$\because$ CD 平分 $∠ ACB$,
$\therefore ∠ ACD = ∠ BCD$,
$\therefore ∠ ACD+∠ ACE = ∠ BCD+∠ B$,
即 $∠ ECD = ∠ EDC$,
$\therefore CE=DE=AE+AD=AC+AD$,
$\therefore BC=AC+AD$.

4[2025河南郑州质检,中]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=3∠ C$,$AD$平分$∠ BAC$,$BE ⊥ AD$于$E$,求证:$BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.(提示:延长$BE$交$AC$于点$F$)

如图,延长 BE 交 AC 于点 F. $\because BF⊥ AD$, $\therefore ∠ AEB = ∠ AEF = 90°$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ BAE = ∠ FAE$.

在$△ ABE$ 和 $△ AFE$ 中, $\begin{cases}∠ AEB = ∠ AEF,\\AE = AE,\\∠ BAE = ∠ FAE,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ AFE(\mathrm{ASA}),\therefore ∠ ABF = ∠ AFB$, $AB=AF$, $BE=EF$. $\because ∠ C+∠ CBF = ∠ AFB = ∠ ABF$, $∠ ABF + ∠ CBF = ∠ ABC = 3∠ C$,
$\therefore ∠ C+ 2∠ CBF = 3 ∠ C$, $\therefore ∠ CBF = ∠ C$,
$\therefore BF=CF,\therefore BE=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}CF$. $\because CF=AC-AF=AC-AB,\therefore BE=\frac{1}{2}(AC-AB)$.