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1. 如图,线段AD上有B,C两点,BC=3CD,AD=10CD,CD=6 cm.
(1)求线段AB的长.
(2)动点P,Q分别从点A,点D同时出发,点P沿线段AC以8 cm/s的速度向右运动,到达点C后立即按原速向点A返回;点Q沿线段DA以2 cm/s的速度向左运动.点P再次到达点A时,两点同时停止运动,设运动时间为t(单位:s).
①当t为何值时,P,Q两点重合;
②当t为何值时,P,Q两点不重合,且PB=QB.
2. 如图,在直线AB上,线段AB=20,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动,M为AP的中点,N为BP的中点,设点P的运动时间为t秒.
(1)若点P在线段AB上运动,当MP=7时,NP=
(2)若点P在射线AB上运动,当MP=2NP时,求点P的运动时间t的值.
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时,线段AB,MP,NP有怎样的数量关系?请写出你的结论,并说明你的理由.
(1)求线段AB的长.
(2)动点P,Q分别从点A,点D同时出发,点P沿线段AC以8 cm/s的速度向右运动,到达点C后立即按原速向点A返回;点Q沿线段DA以2 cm/s的速度向左运动.点P再次到达点A时,两点同时停止运动,设运动时间为t(单位:s).
①当t为何值时,P,Q两点重合;
②当t为何值时,P,Q两点不重合,且PB=QB.
2. 如图,在直线AB上,线段AB=20,动点P从点A出发,以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动,M为AP的中点,N为BP的中点,设点P的运动时间为t秒.
(1)若点P在线段AB上运动,当MP=7时,NP=
3
.(2)若点P在射线AB上运动,当MP=2NP时,求点P的运动时间t的值.
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时,线段AB,MP,NP有怎样的数量关系?请写出你的结论,并说明你的理由.
答案
1. (1)因为BC=3CD,AD=10CD,CD=6 cm.所以BC=3×6=18(cm),AD=10×6=60(cm),所以AB=AD-BC-CD=60-18-6=36(cm).故线段AB的长为36 cm.
(2)①当P,Q两点第一次重合时,点P运动的路程为8t cm,点Q运动的路程为2t cm,根据题意可知,P,Q两点第一次重合时,P,Q两点所走的路程之和是DA的长,即8t+2t=60,解得t=6,故P,Q两点第一次重合时,运动时间t的值是6;
当P,Q两点第二次重合时,点P运动的路程为8t cm,点Q运动的路程为2t cm,由(1)得AC=AB+BC=54 cm,根据题意可知,P,Q两点第二次重合时,点P所走的路程与AC的差以及点Q所走的路程与CD的差相等,即8t-54=2t-6,解得t=8,故P,Q两点第二次重合时,运动时间t的值是8.
综上所述,当t为6 s或8 s时,P,Q两点重合.
②当P,Q两点第一次重合前PB=QB时,由题意得36-8t=18+6-2t,解得t=2;
当P,Q两点第二次重合后PB=QB时,36-(54×2-8t)=18+6-2t,解得t=9.6.
综上所述,当t为2 s或9.6 s时,P,Q两点不重合,且PB=QB.
2. (1)3 解析:因为M为AP的中点,N为BP的中点,MP=7,所以AM=MP=7,PN=BN=$\frac{1}{2}$BP,所以AP=14.因为线段AB=20,所以PB=AB-AP=20-14=6,所以PN=BN=3.
(2)当点P在线段AB上,MP=2NP时,如图①.
因为AP=2t,M为AP的中点,所以MP=$\frac{1}{2}$AP = t,2NP=BP=AB-AP=20-2t,所以t=20-2t,解得$t=\frac{20}{3}$;
当点P在线段AB的延长线上,MP=2NP时,如图②.
同理,MP=$\frac{1}{2}$AP = t,2NP=BP=AP-AB=2t-20,所以t=2t-20,解得t=20.
综上所述,当MP=2NP时,点P的运动时间t的值为$\frac{20}{3}$或20.
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时,$NP-MP=\frac{1}{2}AB$.理由如下:如图③.
因为AP=2t,M为AP的中点,N为BP的中点,所以MP=$\frac{1}{2}$AP = t,NP=$\frac{1}{2}$BP = $\frac{1}{2}(AB+AP)$=t+10,所以NP-MP=(t+10)-t=10,所以$NP-MP=\frac{1}{2}AB$.解析
【分析】
本题包含两道线段相关的数学题，核心考查线段的和差关系、中点性质及动点问题的分类讨论。第1题需利用已知线段倍数关系计算AB，再分析动点P、Q的运动路径，分情况求解重合时间和PB=QB的时间；第2题结合线段中点的性质，分点P在线段AB上、延长线、反向延长线三种情况，推导线段间的数量关系。解题时需先明确各线段的长度关系，再根据动点的运动阶段列方程或推导结论。
【解析】
第1题
(1) 已知 $ BC=3CD $，$ AD=10CD $，$ CD=6\ \mathrm{cm} $，则：
$ BC=3×6=18\ \mathrm{cm} $，$ AD=10×6=60\ \mathrm{cm} $，
根据线段和差：$ AB=AD-BC-CD=60-18-6=36\ \mathrm{cm} $。
(2) 动点P速度为8 cm/s，Q速度为2 cm/s，$ AC=AB+BC=54\ \mathrm{cm} $，$ AD=60\ \mathrm{cm} $。
① P、Q重合的情况：
第一次重合：P未到C时，路程和为AD，即 $ 8t+2t=60 $，解得 $ t=6\ \mathrm{s} $；
第二次重合：P返回时，P的位置为 $ 8t-54 $，Q的位置为 $ 2t-6 $，故 $ 8t-54=2t-6 $，解得 $ t=8\ \mathrm{s} $；
综上，$ t=6\ \mathrm{s} $或 $ 8\ \mathrm{s} $时两点重合。
② PB=QB的情况：
第一次重合前：$ PB=36-8t $，$ QB=24-2t $，令 $ 36-8t=24-2t $，解得 $ t=2\ \mathrm{s} $；
第二次重合后：$ PB=72-8t $，$ QB=2t-24 $，令 $ 72-8t=2t-24 $，解得 $ t=9.6\ \mathrm{s} $；
综上，$ t=2\ \mathrm{s} $或 $ 9.6\ \mathrm{s} $时满足条件。
第2题
已知 $ AB=20 $，M为AP中点，N为BP中点，$ AP=2t $。
(1) P在线段AB上，$ MP=7 $，则 $ AP=2MP=14 $，$ PB=20-14=6 $，故 $ NP=\frac{1}{2}PB=3 $。
(2) 分情况：
P在线段AB上：$ MP=t $，$ NP=10-t $，由 $ MP=2NP $得 $ t=2(10-t) $，解得 $ t=\frac{20}{3} $；
P在AB延长线上：$ MP=t $，$ NP=t-10 $，由 $ MP=2NP $得 $ t=2(t-10) $，解得 $ t=20 $；
综上，$ t=\frac{20}{3} $或 $ 20 $。
(3) P在AB反向延长线上：
$ MP=\frac{1}{2}AP=t $，$ NP=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AB+AP)=t+10 $，故 $ NP-MP=(t+10)-t=10=\frac{1}{2}AB $，即 $ NP-MP=\frac{1}{2}AB $。
【答案】
1. (1) $ 36\ \mathrm{cm} $；(2) ① $ t=6\ \mathrm{s} $或 $ 8\ \mathrm{s} $；② $ t=2\ \mathrm{s} $或 $ 9.6\ \mathrm{s} $；
2. (1) $ 3 $；(2) $ t=\frac{20}{3} $或 $ 20 $；(3) $ NP-MP=\frac{1}{2}AB $；
【知识点】
线段的和差、线段中点、动点问题
【点评】
本题为初中线段模块的典型综合题，涵盖线段长度计算、动点相遇、中点性质应用，需掌握分类讨论思想分析动点的不同位置，考察学生的逻辑分析与分段计算能力，是基础题型的延伸。
【难度系数】
0.6
本题包含两道线段相关的数学题，核心考查线段的和差关系、中点性质及动点问题的分类讨论。第1题需利用已知线段倍数关系计算AB，再分析动点P、Q的运动路径，分情况求解重合时间和PB=QB的时间；第2题结合线段中点的性质，分点P在线段AB上、延长线、反向延长线三种情况，推导线段间的数量关系。解题时需先明确各线段的长度关系，再根据动点的运动阶段列方程或推导结论。
【解析】
第1题
(1) 已知 $ BC=3CD $，$ AD=10CD $，$ CD=6\ \mathrm{cm} $，则：
$ BC=3×6=18\ \mathrm{cm} $，$ AD=10×6=60\ \mathrm{cm} $，
根据线段和差：$ AB=AD-BC-CD=60-18-6=36\ \mathrm{cm} $。
(2) 动点P速度为8 cm/s，Q速度为2 cm/s，$ AC=AB+BC=54\ \mathrm{cm} $，$ AD=60\ \mathrm{cm} $。
① P、Q重合的情况：
第一次重合：P未到C时，路程和为AD，即 $ 8t+2t=60 $，解得 $ t=6\ \mathrm{s} $；
第二次重合：P返回时，P的位置为 $ 8t-54 $，Q的位置为 $ 2t-6 $，故 $ 8t-54=2t-6 $，解得 $ t=8\ \mathrm{s} $；
综上，$ t=6\ \mathrm{s} $或 $ 8\ \mathrm{s} $时两点重合。
② PB=QB的情况：
第一次重合前：$ PB=36-8t $，$ QB=24-2t $，令 $ 36-8t=24-2t $，解得 $ t=2\ \mathrm{s} $；
第二次重合后：$ PB=72-8t $，$ QB=2t-24 $，令 $ 72-8t=2t-24 $，解得 $ t=9.6\ \mathrm{s} $；
综上，$ t=2\ \mathrm{s} $或 $ 9.6\ \mathrm{s} $时满足条件。
第2题
已知 $ AB=20 $，M为AP中点，N为BP中点，$ AP=2t $。
(1) P在线段AB上，$ MP=7 $，则 $ AP=2MP=14 $，$ PB=20-14=6 $，故 $ NP=\frac{1}{2}PB=3 $。
(2) 分情况：
P在线段AB上：$ MP=t $，$ NP=10-t $，由 $ MP=2NP $得 $ t=2(10-t) $，解得 $ t=\frac{20}{3} $；
P在AB延长线上：$ MP=t $，$ NP=t-10 $，由 $ MP=2NP $得 $ t=2(t-10) $，解得 $ t=20 $；
综上，$ t=\frac{20}{3} $或 $ 20 $。
(3) P在AB反向延长线上：
$ MP=\frac{1}{2}AP=t $，$ NP=\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}(AB+AP)=t+10 $，故 $ NP-MP=(t+10)-t=10=\frac{1}{2}AB $，即 $ NP-MP=\frac{1}{2}AB $。
【答案】
1. (1) $ 36\ \mathrm{cm} $；(2) ① $ t=6\ \mathrm{s} $或 $ 8\ \mathrm{s} $；② $ t=2\ \mathrm{s} $或 $ 9.6\ \mathrm{s} $；
2. (1) $ 3 $；(2) $ t=\frac{20}{3} $或 $ 20 $；(3) $ NP-MP=\frac{1}{2}AB $；
【知识点】
线段的和差、线段中点、动点问题
【点评】
本题为初中线段模块的典型综合题，涵盖线段长度计算、动点相遇、中点性质应用，需掌握分类讨论思想分析动点的不同位置，考察学生的逻辑分析与分段计算能力，是基础题型的延伸。
【难度系数】
0.6
