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8. 如图是一个正方体纸盒的外表面展开图,则这个正方体纸盒是 (
B
)答案
8. B 解析:根据展开图,可得有两个空白面是相对面,故 A 不符合题意;△的相对面是空白面,可得 3 个空白面两两相邻,没有相对面,故 C 不符合题意;※与○是相对面,故 D 不符合题意;只有 B 符合题意.故选 B.
解析
【分析】
解决正方体展开图折叠还原的问题，核心要用到“正方体中相对的面在展开图中不相邻，折叠后也不会相邻”的规律。解题时第一步先梳理展开图中所有面的相对关系：观察本题展开图可得，两个空白面是相对面，三角形图案的相对面是空白面，※和○是相对面；第二步再逐一对比选项，排除出现相对面相邻的错误选项，即可锁定正确答案。
【解析】
正方体展开图中相对的面折叠后一定不相邻，先明确各面的相对关系：
1. 两个空白面为相对面，折叠后不可能相邻；
2. △的相对面是空白面；
3. ※与○是相对面，折叠后不可能相邻。
逐个分析选项：
A中两个相对的空白面相邻，不符合规律，排除；
C中三个空白面两两相邻，由于存在一组空白面是相对面，不可能出现三个空白面都相邻的情况，不符合规律，排除；
D中※和○相邻，二者为相对面，不符合规律，排除；
只有B选项的面的相邻关系完全符合展开图的相对面规律。
【答案】
B
【知识点】
正方体展开图，相对面判断
【点评】
本题是立体图形与平面图形转化的典型基础题，解题关键是熟练掌握正方体展开图中相对面的判定方法，用排除法可以快速准确得出答案，属于该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决正方体展开图折叠还原的问题，核心要用到“正方体中相对的面在展开图中不相邻，折叠后也不会相邻”的规律。解题时第一步先梳理展开图中所有面的相对关系：观察本题展开图可得，两个空白面是相对面，三角形图案的相对面是空白面，※和○是相对面；第二步再逐一对比选项，排除出现相对面相邻的错误选项，即可锁定正确答案。
【解析】
正方体展开图中相对的面折叠后一定不相邻，先明确各面的相对关系：
1. 两个空白面为相对面，折叠后不可能相邻；
2. △的相对面是空白面；
3. ※与○是相对面，折叠后不可能相邻。
逐个分析选项：
A中两个相对的空白面相邻，不符合规律，排除；
C中三个空白面两两相邻，由于存在一组空白面是相对面，不可能出现三个空白面都相邻的情况，不符合规律，排除；
D中※和○相邻，二者为相对面，不符合规律，排除；
只有B选项的面的相邻关系完全符合展开图的相对面规律。
【答案】
B
【知识点】
正方体展开图，相对面判断
【点评】
本题是立体图形与平面图形转化的典型基础题，解题关键是熟练掌握正方体展开图中相对面的判定方法，用排除法可以快速准确得出答案，属于该模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图是正方体的表面展开图，此图形折成正方体后，相对面的多项式之和为零，组成三个关于x的一元一次方程，其中一个方程的根是（
A.1
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{11}$
B
）A.1
B.$\frac{9}{5}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{11}$
答案
A
解析
根据桶的容量为10斗，原有米x斗，添加谷子y斗，可得第一个等量关系：原有米的量+添加谷子的量=桶的容量，即$x+y=10$；
已知谷子出米率为$\frac{3}{5}$，原有x斗本身就是米，y斗谷子舂出的米为$\frac{3}{5}y$斗，最终共得米7斗，可得第二个等量关系：原有米的量+谷子舂出的米的量=总米量7斗，即$x+\frac{3}{5}y=7$。
因此所列方程组为$\begin{cases} x + y = 10\\ x + \frac{3}{5}y = 7 \end{cases}$，对应选项A。
已知谷子出米率为$\frac{3}{5}$，原有x斗本身就是米，y斗谷子舂出的米为$\frac{3}{5}y$斗，最终共得米7斗，可得第二个等量关系：原有米的量+谷子舂出的米的量=总米量7斗，即$x+\frac{3}{5}y=7$。
因此所列方程组为$\begin{cases} x + y = 10\\ x + \frac{3}{5}y = 7 \end{cases}$，对应选项A。
10. 把图①所示的正方体展开图围成正方体(文字在外面),再将这个正方体按照图②依次翻滚到第1格、第2格、第3格、第4格,此时正方体朝上一面的文字为
富
。答案
D
解析
逐一分析各选项：
1. 选项A：每人出8钱，总钱数为$8x$，比物价$y$多3钱，可得方程$8x - y = 3$，该式正确。
2. 选项B：每人出7钱，总钱数为$7x$，比物价$y$少4钱，可得方程$y - 7x = 4$，该式正确。
3. 联立方程组$\begin{cases}8x - y = 3 \\ y - 7x = 4 \end{cases}$，两式相加解得$x=7$，即总人数为7人，选项C正确。
4. 将$x=7$代入$8x - y = 3$，解得$y=53$，即物品价格为53钱，因此“物品的价格为52钱”的说法错误。
综上，错误的是选项D。
1. 选项A：每人出8钱，总钱数为$8x$，比物价$y$多3钱，可得方程$8x - y = 3$，该式正确。
2. 选项B：每人出7钱，总钱数为$7x$，比物价$y$少4钱，可得方程$y - 7x = 4$，该式正确。
3. 联立方程组$\begin{cases}8x - y = 3 \\ y - 7x = 4 \end{cases}$，两式相加解得$x=7$，即总人数为7人，选项C正确。
4. 将$x=7$代入$8x - y = 3$，解得$y=53$，即物品价格为53钱，因此“物品的价格为52钱”的说法错误。
综上，错误的是选项D。
11. 如图,已知一个正方体的六个面上分别写着六个连续的整数,且每两个相对面上的两个数的和都相等,图中所能看到的数是16,19和20,则这6个整数的和为
111
.答案
20
解析
设共有x棵树，y只乌鸦，根据题意列二元一次方程组：
$\begin{cases}3x+5=y\\5(x-1)=y\end{cases}$
联立两式得$3x+5=5(x-1)$，解得$x=5$，将$x=5$代入$3x+5=y$，得$y=20$，即共有20只乌鸦。
$\begin{cases}3x+5=y\\5(x-1)=y\end{cases}$
联立两式得$3x+5=5(x-1)$，解得$x=5$，将$x=5$代入$3x+5=y$，得$y=20$，即共有20只乌鸦。
12. 某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒,其平面展开图和相关尺寸如图所示,其中阴影部分为内部粘贴角料.(单位:毫米)
(1)此长方体包装盒的体积为
(2)此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为
(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的$\frac{1}{5}$,当$x=40,y=70$时,制作这样一个长方体包装盒共需要纸板多少平方毫米?
(1)此长方体包装盒的体积为
65xy
立方毫米(用含$x,y$的式子表示);(2)此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为
(2xy+130x+130y)
平方毫米(用含$x,y$的式子表示);(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的$\frac{1}{5}$,当$x=40,y=70$时,制作这样一个长方体包装盒共需要纸板多少平方毫米?
答案
解：设哑巴所带的钱数为$x$文，肉每两的价格为$y$文。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}16y = x + 25 \\8y = x - 15\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$8y = 40$
解得 $y = 5$
把$y=5$代入$8y = x - 15$，得：
$8×5 = x - 15$
解得 $x = 55$
答：哑巴所带的钱数为55文，肉价为每两5文。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}16y = x + 25 \\8y = x - 15\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：
$8y = 40$
解得 $y = 5$
把$y=5$代入$8y = x - 15$，得：
$8×5 = x - 15$
解得 $x = 55$
答：哑巴所带的钱数为55文，肉价为每两5文。
解析
【分析】
解决这道题首先要从长方体平面展开图中识别出长方体的长、宽、高：观察图形可得长方体的长为y毫米、宽为x毫米、高为65毫米。(1)求体积直接使用长方体体积公式“体积=长×宽×高”代入计算即可；(2)求不含粘贴角料的表面积，直接使用长方体表面积公式“表面积=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)”代入化简；(3)先理解粘贴角料和总纸板面积的关系：总纸板面积=长方体本身表面积+粘贴角料面积，已知粘贴角料面积是长方体表面积的$\frac{1}{5}$，因此总纸板面积是长方体表面积的$(1+\frac{1}{5})$，再将x=40、y=70代入求值即可。
【解析】
(1) 由展开图得长方体的长为y mm，宽为x mm，高为65 mm，
根据长方体体积公式：$V=长×宽×高$，
则体积$V=y×x×65=65xy$（立方毫米）。
(2) 根据长方体表面积公式：$S_{表}=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，
代入长宽高得：
$S_{表}=2(xy + 65y + 65x)=2xy + 130x + 130y$（平方毫米）。
(3) 因为内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的$\frac{1}{5}$，
所以总需要的纸板面积 = 长方体表面积×$(1+\frac{1}{5})$，
即总纸板面积$S=\frac{6}{5}(2xy + 130x + 130y)=\frac{12}{5}xy + 156x + 156y$。
当$x=40$，$y=70$时，代入得：
$S=\frac{12}{5}×40×70 + 156×40 + 156×70$
$=6720 + 6240 + 10920$
$=23880$（平方毫米）。
【答案】
(1) $65xy$；(2) $2xy+130x+130y$；(3) $23880$平方毫米
【知识点】
长方体展开图识别；长方体体积计算；长方体表面积计算
【点评】
本题结合立体图形的平面展开图考查几何体的体积、表面积计算，解题核心是准确从展开图中提取长方体的长宽高参数，第三问需要理清粘贴角料和总纸板面积的数量关系，运算时注意分步计算减少失误。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要从长方体平面展开图中识别出长方体的长、宽、高：观察图形可得长方体的长为y毫米、宽为x毫米、高为65毫米。(1)求体积直接使用长方体体积公式“体积=长×宽×高”代入计算即可；(2)求不含粘贴角料的表面积，直接使用长方体表面积公式“表面积=2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高)”代入化简；(3)先理解粘贴角料和总纸板面积的关系：总纸板面积=长方体本身表面积+粘贴角料面积，已知粘贴角料面积是长方体表面积的$\frac{1}{5}$，因此总纸板面积是长方体表面积的$(1+\frac{1}{5})$，再将x=40、y=70代入求值即可。
【解析】
(1) 由展开图得长方体的长为y mm，宽为x mm，高为65 mm，
根据长方体体积公式：$V=长×宽×高$，
则体积$V=y×x×65=65xy$（立方毫米）。
(2) 根据长方体表面积公式：$S_{表}=2(长×宽 + 长×高 + 宽×高)$，
代入长宽高得：
$S_{表}=2(xy + 65y + 65x)=2xy + 130x + 130y$（平方毫米）。
(3) 因为内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的$\frac{1}{5}$，
所以总需要的纸板面积 = 长方体表面积×$(1+\frac{1}{5})$，
即总纸板面积$S=\frac{6}{5}(2xy + 130x + 130y)=\frac{12}{5}xy + 156x + 156y$。
当$x=40$，$y=70$时，代入得：
$S=\frac{12}{5}×40×70 + 156×40 + 156×70$
$=6720 + 6240 + 10920$
$=23880$（平方毫米）。
【答案】
(1) $65xy$；(2) $2xy+130x+130y$；(3) $23880$平方毫米
【知识点】
长方体展开图识别；长方体体积计算；长方体表面积计算
【点评】
本题结合立体图形的平面展开图考查几何体的体积、表面积计算，解题核心是准确从展开图中提取长方体的长宽高参数，第三问需要理清粘贴角料和总纸板面积的数量关系，运算时注意分步计算减少失误。
【难度系数】
0.7
13. 如图所示,把左面的图形绕着给定的直线旋转一周后形成的立体图形是 (
A
C
D
D
)A
C
D
答案
13. D 解析:把左面的题图绕着给定的直线旋转一周后形成的立体图形是 D,故选 D.
解析
【分析】
解题时先结合“面动成体”的原理思考：首先观察到长方形和给定旋转轴不接触、存在间隔，我们拆分旋转过程判断立体结构：长方形的上下边旋转会形成环形上下底，远离轴的竖边旋转形成大圆柱侧面，靠近轴的竖边旋转形成小圆柱侧面，最终得到的是大圆柱挖去同轴等高小圆柱的空心圆筒。再逐一排查选项：首先B、C外部是带棱的长方体，旋转得到的是含曲面的立体，不可能出现棱，直接排除；A是实心圆柱，只有当长方形的边在旋转轴上时才能旋转得到，不符合本题特征，排除，即可锁定正确选项。
【解析】
根据面动成体的规律，将长方形绕图示直线旋转时：
1. 长方形远离旋转轴的侧边旋转一周形成大圆柱的侧面，上下边旋转形成大圆柱的上下底面，得到外围的大圆柱结构；
2. 长方形靠近旋转轴的侧边旋转一周形成小圆柱的侧面，说明最终立体是大圆柱内部挖去了一个同轴、等高的小圆柱，为空心圆筒结构。
分析选项：
选项A为实心圆柱，不符合中间空心的特点，排除；
选项B、C的外部为带棱的长方体，属于多面体，平面绕轴旋转不会得到带棱的多面体，排除；
选项D是大圆柱挖去同轴小圆柱的空心圆筒，符合旋转结果。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
面动成体；旋转体识别；圆柱的形成
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的判断，解题的关键是理清旋转过程中各边运动形成的面，进而推导整体立体结构，易错点是容易忽略长方形与旋转轴存在间隔，误选实心圆柱A，或混淆旋转与折叠类立体图形的特点错选B、C。
【难度系数】
0.7
解题时先结合“面动成体”的原理思考：首先观察到长方形和给定旋转轴不接触、存在间隔，我们拆分旋转过程判断立体结构：长方形的上下边旋转会形成环形上下底，远离轴的竖边旋转形成大圆柱侧面，靠近轴的竖边旋转形成小圆柱侧面，最终得到的是大圆柱挖去同轴等高小圆柱的空心圆筒。再逐一排查选项：首先B、C外部是带棱的长方体，旋转得到的是含曲面的立体，不可能出现棱，直接排除；A是实心圆柱，只有当长方形的边在旋转轴上时才能旋转得到，不符合本题特征，排除，即可锁定正确选项。
【解析】
根据面动成体的规律，将长方形绕图示直线旋转时：
1. 长方形远离旋转轴的侧边旋转一周形成大圆柱的侧面，上下边旋转形成大圆柱的上下底面，得到外围的大圆柱结构；
2. 长方形靠近旋转轴的侧边旋转一周形成小圆柱的侧面，说明最终立体是大圆柱内部挖去了一个同轴、等高的小圆柱，为空心圆筒结构。
分析选项：
选项A为实心圆柱，不符合中间空心的特点，排除；
选项B、C的外部为带棱的长方体，属于多面体，平面绕轴旋转不会得到带棱的多面体，排除；
选项D是大圆柱挖去同轴小圆柱的空心圆筒，符合旋转结果。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
面动成体；旋转体识别；圆柱的形成
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的判断，解题的关键是理清旋转过程中各边运动形成的面，进而推导整体立体结构，易错点是容易忽略长方形与旋转轴存在间隔，误选实心圆柱A，或混淆旋转与折叠类立体图形的特点错选B、C。
【难度系数】
0.7
14. 第一行的图形绕虚线旋转一周,能形成第二行的某个几何体.将它们连起来.
答案
14. ①—d,②—a,③—c,④—f,⑤—b,⑥—e. 解析:根据旋转形成的立体图形的特点即可区分.
解析
【分析】
解题时我们首先运用“面动成体”的核心规律，即平面图形绕一条直线旋转可形成对应的立体图形。对于组合平面图形，我们可以先将其拆分为熟悉的基本图形（如三角形、矩形、半圆等），分别判断每个基本图形旋转后得到的立体图形，再组合得到整体旋转后的几何体，最后和下方给出的立体图形逐一匹配即可。
【解析】
我们逐个分析每个平面图形旋转后的结果：
1. 图形①可拆分为中间的矩形和上下两个三角形，绕虚线旋转时，矩形旋转形成圆柱，两个三角形各旋转形成一个圆锥，最终得到中间为圆柱、上下各接一个圆锥的组合体，对应d；
2. 图形②是半圆，以直径所在的虚线为轴旋转一周，会形成球体，对应a；
3. 图形③是矩形，以一条边所在的虚线为轴旋转一周，会形成圆柱，对应c；
4. 图形④是直角三角形，以一条直角边所在的虚线为轴旋转一周，会形成圆锥，对应f；
5. 图形⑤可拆分为上下两个顶点均朝向虚线的直角三角形，绕虚线旋转后得到两个尖部相对的圆锥组合体，对应b；
6. 图形⑥旋转后，会得到内部挖去一个圆锥的圆柱，对应e。
【答案】
①—d,②—a,③—c,④—f,⑤—b,⑥—e
【知识点】
面动成体，旋转体的形成，平面图形与立体图形的转化
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，解题的关键是熟练掌握常见基本平面图形旋转对应的立体图形，对于组合图形拆分判断即可，是对空间想象能力的基础训练。
【难度系数】
0.8
解题时我们首先运用“面动成体”的核心规律，即平面图形绕一条直线旋转可形成对应的立体图形。对于组合平面图形，我们可以先将其拆分为熟悉的基本图形（如三角形、矩形、半圆等），分别判断每个基本图形旋转后得到的立体图形，再组合得到整体旋转后的几何体，最后和下方给出的立体图形逐一匹配即可。
【解析】
我们逐个分析每个平面图形旋转后的结果：
1. 图形①可拆分为中间的矩形和上下两个三角形，绕虚线旋转时，矩形旋转形成圆柱，两个三角形各旋转形成一个圆锥，最终得到中间为圆柱、上下各接一个圆锥的组合体，对应d；
2. 图形②是半圆，以直径所在的虚线为轴旋转一周，会形成球体，对应a；
3. 图形③是矩形，以一条边所在的虚线为轴旋转一周，会形成圆柱，对应c；
4. 图形④是直角三角形，以一条直角边所在的虚线为轴旋转一周，会形成圆锥，对应f；
5. 图形⑤可拆分为上下两个顶点均朝向虚线的直角三角形，绕虚线旋转后得到两个尖部相对的圆锥组合体，对应b；
6. 图形⑥旋转后，会得到内部挖去一个圆锥的圆柱，对应e。
【答案】
①—d,②—a,③—c,④—f,⑤—b,⑥—e
【知识点】
面动成体，旋转体的形成，平面图形与立体图形的转化
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关知识，解题的关键是熟练掌握常见基本平面图形旋转对应的立体图形，对于组合图形拆分判断即可，是对空间想象能力的基础训练。
【难度系数】
0.8
15. 将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周,得到的几何体是圆柱,现在有一个长为8 cm、宽为4 cm的长方形,绕它的一条边所在的直线旋转一周,则得到的圆柱的体积是
128π或256π
cm³.答案
15. 128π 或 256π 解析:①绕长所在的直线旋转一周得到的圆柱体积为 $π×4^2×8=128π(cm^3)$;②绕宽所在的直线旋转一周得到的圆柱体积为 $π×8^2×4=256π(cm^3)$.故得到的圆柱的体积是 $128π cm^3$ 或 $256π cm^3$.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确长方形绕不同边旋转时，得到的圆柱的底面半径和高对应不同，需分两种情况讨论。首先回忆圆柱体积公式为$V=πr^2h$（$r$为底面半径，$h$为圆柱的高），接下来分别确定绕长旋转、绕宽旋转时对应的底面半径和高，代入公式计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
本题分两种情况计算：
① 绕长所在的直线旋转一周：此时圆柱的高等于长方形的长，即$h=8\mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的宽，即$r=4\mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式可得：
$V=πr^2h=π×4^2×8=128π(\mathrm{cm}^3)$
② 绕宽所在的直线旋转一周：此时圆柱的高等于长方形的宽，即$h=4\mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的长，即$r=8\mathrm{cm}$，代入体积公式可得：
$V=πr^2h=π×8^2×4=256π(\mathrm{cm}^3)$
综上，得到的圆柱体积为$128π\mathrm{cm}^3$或$256π\mathrm{cm}^3$。
【答案】
$128π$或$256π$
【知识点】
1. 面动成体 2. 圆柱体积计算 3. 分类讨论思想
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关计算，解题关键是明确不同旋转轴对应的圆柱底面半径和高，需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确长方形绕不同边旋转时，得到的圆柱的底面半径和高对应不同，需分两种情况讨论。首先回忆圆柱体积公式为$V=πr^2h$（$r$为底面半径，$h$为圆柱的高），接下来分别确定绕长旋转、绕宽旋转时对应的底面半径和高，代入公式计算即可，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
本题分两种情况计算：
① 绕长所在的直线旋转一周：此时圆柱的高等于长方形的长，即$h=8\mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的宽，即$r=4\mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式可得：
$V=πr^2h=π×4^2×8=128π(\mathrm{cm}^3)$
② 绕宽所在的直线旋转一周：此时圆柱的高等于长方形的宽，即$h=4\mathrm{cm}$，底面半径等于长方形的长，即$r=8\mathrm{cm}$，代入体积公式可得：
$V=πr^2h=π×8^2×4=256π(\mathrm{cm}^3)$
综上，得到的圆柱体积为$128π\mathrm{cm}^3$或$256π\mathrm{cm}^3$。
【答案】
$128π$或$256π$
【知识点】
1. 面动成体 2. 圆柱体积计算 3. 分类讨论思想
【点评】
本题考查平面图形旋转形成立体图形的相关计算，解题关键是明确不同旋转轴对应的圆柱底面半径和高，需注意分情况讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
