1 若$y=(m-1)x^{m^2+m}$是关于x的二次函数，则m的值为 （）

A.-2
B.-2或1
C.1
D.不存在

1. A 【解析】若 $y=(m-1)x^{m^2+m}$ 是关于 $x$ 的二次函数,则 $\begin{cases}m^2+m=2,\\m-1≠0,\end{cases}$ 解得 $m=-2$. 故选 A.

2 新考法[2026湖北武汉期中]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$都是实数），满足对任意实数$x$，都有$y≥ x$，且当$1≤ x≤ 3$时，有$y≤ \frac{1}{8}(x+2)^2$成立，当$x=-2$时，$y=0$，则$b$的值为（）

A.0
B.0.5
C.1
D.2

2. B 【解析】
∵ 对任意实数 $x$,都有 $y≥x$,
∴ 当 $x=2$ 时,$y≥2$.
∵ 当 $1≤x≤3$ 时,有 $y≤\frac{1}{8}(x+2)^2$ 成立,
∴ 当 $x=2$ 时,$y≤\frac{1}{8}(x+2)^2=\frac{1}{8}×(2+2)^2=2$. 综上所述,二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象过点 $(2,2)$,
∴ $2=4a+2b+c$. ①
∵ 当 $x=-2$ 时,$y=0$,
∴ $0=4a-2b+c$. ② 由①-②得 $(4a+2b+c)-(4a-2b+c)=2-0$,化简得 $4b=2$,解得 $b=0.5$,故选 B.

3[2026浙江温州期中]一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根$m,n$，抛物线$y=ax^2+bx+c$上有两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，下列条件中，一定能判断$y_1=y_2$的是（）

A.$x_1=m+2,x_2=n+2$
B.$x_1=m-2,x_2=n-2$
C.$x_1=m+2,x_2=n-2$
D.$x_1=2m,x_2=2n$

3. C 【解析】
∵ 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 有两个不相等的实数根 $m,n$,
∴ $m+n=-\frac{b}{a}$,
∴ 二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=\frac{m+n}{2}$.
∵ 点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图象上,
∴ 当 $\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{m+n}{2}$ 时,$y_1=y_2$,
∴ 选项 C 符合题意,故选 C.

4[2026山西晋中期末]如图,在正方形ABCD中,点B,D的坐标分别为$(-1,-2),(1,2)$,点C在抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2+bx$上,则b的值是()


A.$-\frac{3}{2}$
B.$\frac{3}{2}$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

4. D 【解析】如图,过点 $C$ 作 $MN⊥x$ 轴,过点 $B$ 作 $BM⊥MN$ 于 $M$,过点 $D$ 作 $DN⊥MN$ 于 $N$,
∴ $∠BMC=∠CND=90°$. 由条件可知 $∠BCD=90°$,$BC=DC$,
∴ $∠BCM+∠DCN=90°=∠BCM+∠CBM$,
∴ $∠DCN=∠CBM$. 在 $△CBM$ 和 $△DCN$ 中, $\begin{cases}∠BMC=∠CND,\\∠CBM=∠DCN,\\BC=CD,\end{cases}$
∴ $△CBM≌△DCN(\mathrm{AAS})$,
∴ $BM=CN$,$CM=DN$. 设 $C(m,n)$,则 $\begin{cases}m-(-1)=2-n,\\n-(-2)=m-1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2,\\n=-1,\end{cases}$
∴ $C(2,-1)$.
∵ 点 $C$ 在抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2+bx$ 上,
∴ $-1=-\frac{1}{2}×2^2+2b$,
∴ $b=\frac{1}{2}$. 故选 D.

5[2025河南平顶山质检]图(1)是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC,BD为某抛物线的一部分，杯口$AB=8\ \mathrm{cm}$，杯底$CD=4\ \mathrm{cm}$，且$AB// CD$，杯深$12\ \mathrm{cm}$. 如图(2)，将盛有部分水的水杯倾斜$45°$，水面正好经过点B(即$∠ ABP=45°$). 嘉淇在图(1)中建立了平面直角坐标系(抛物线的顶点在y轴上)，对于下列结论，判断正确的是 ()
结论Ⅰ:玻璃水杯左右轮廓线所在抛物线的解析式为$y=x^2 -16$；
结论Ⅱ:图(2)中,点P到杯口AB的距离为5 cm.


A.Ⅰ不对,Ⅱ对
B.Ⅰ对,Ⅱ不对
C.Ⅰ和Ⅱ都对
D.Ⅰ和Ⅱ都不对

5. B 【解析】如图,过点 $P$ 作 $PE⊥x$ 轴于 $E$. 由题得点 $A(-4,0)$,$B(4,0)$,$C(-2,-12)$,$D(2,-12)$. 设玻璃水杯左右轮廓线所在抛物线的解析式为 $y=a(x+4)·(x-4)$,把点 $C$ 的坐标代入得 $-12=a(-2+4)(-2-4)$,解得 $a=1$,
∴ $y=(x+4)(x-4)=x^2-16$,故结论 Ⅰ 正确. 设点 $P(x,y)$.
∵ $∠ABP=45°$,
∴ $△PBE$ 是等腰直角三角形,
∴ $PE=BE=4-x=-y$,
∴ $4-x=-(x^2-16)$,解得 $x_1=-3$,$x_2=4$(舍去),
∴ $y=9-16=-7$,
∴ $PE=7$,即点 $P$ 到杯口 $AB$ 的距离为 $7\ \mathrm{cm}$,故结论 Ⅱ 不正确. 故选 B.

6 如图,一条抛物线(形状一定)与x轴相交于E, F两点(点E在点F左侧),其顶点P在线段AB上移动.若点A,B的坐标分别为(-2,-3),(4,-3),点E的横坐标的最小值为-5,则点F的横坐标的最大值为 ()

A.6
B.7
C.8
D.9

6. B 【解析】设抛物线的对称轴为直线 $x=a$,
∴ $E,F$ 关于直线 $x=a$ 对称,
∴ $a-x_E=x_F-a$,
∴ $2a=x_F+x_E$.
∵ 抛物线形状一定,
∴ 抛物线开口大小不变,由平移可知,当 $P$ 在 $A$ 点时,点 $E$ 的横坐标最小,此时,$2×(-2)=-5+x_F$,解得 $x_F=1$,
∴ $x_F-x_E=1-(-5)=6$,为定值. 当 $P$ 在点 $B$ 时,点 $F$ 的横坐标最大,为 $4+\frac{6}{2}=7$,故选 B.
关键点拨：当 $P$ 在 $A$ 点时,点 $E$ 的横坐标最小; 当 $P$ 在 $B$ 点时,点 $F$ 的横坐标最大.

7[2026福建福州期中]若抛物线$y=ax^2 -2ax +c$（$a≠0$）经过点$(2,m^2)$，$(3,m^2 +4)$，$(x_0,2m -3)$，则$x_0$的取值范围为（）

A.$0＜x_0＜2$
B.$x_0＜0$或$x_0＞2$
C.$2＜x_0＜3$
D.$x_0＜2$或$x_0＞3$

7. A 【解析】抛物线 $y=ax^2-2ax+c$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{-2a}{2a}=1$. 由题意得,当 $x=2$ 时,$m^2=a·2^2-2a·2+c=4a-4a+c=c$,即 $c=m^2$; 当 $x=3$ 时,$m^2+4=a·3^2-2a·3+c=9a-6a+m^2=3a+m^2$,则 $a=\frac{4}{3}＞0$,
∴ 抛物线开口向上,
∴ 函数 $y=ax^2-2ax+c$ 在 $x=1$ 处取得最小值,且距离对称轴越远,函数值越大. 已知 $x=2$ 时,$y=m^2$; $x=x_0$ 时,$y=2m-3$,而 $m^2-(2m-3)=m^2-2m+3=(m-1)^2+2＞0$,即 $2m-3＜m^2$,
∴ 点 $(x_0,2m-3)$ 到对称轴的距离小于点 $(2,m^2)$ 到对称轴的距离.
∵ 点 $(2,m^2)$ 到对称轴的距离为 1,
∴ $|x_0-1|＜1$,
∴ $0＜x_0＜2$. 故选 A.
思路分析：先求对称轴,将 $(2,m^2)$,$(3,m^2+4)$ 代入解析式求出 $a$,进而得到距离对称轴越远,函数值越大,比较函数值 $m^2$ 与 $2m-3$,即可得到 $x_0$ 的取值范围.

8 定义:我们将图象的顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”. 如图,在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数$y=(x-m)^2 - m$的图象与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是 ()

A.4,−1
B.$\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}, -1$
C.4,0
D.$\dfrac{5+\sqrt{17}}{2}, -1$

8. D 【解析】如图,由题意可得,互异二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象的顶点 $(m,-m)$ 在直线 $y=-x$ 上运动.
在正方形 $OABC$ 中,点 $A(0,2)$,点 $C(2,0)$,
∴ $B(2,2)$. 从图象可以看出,当函数图象从左上向右下运动时,若抛物线与正方形有交点,先经过点 $A$,最后经过点 $B$,且在运动的过程中,两次经过点 $A$、点 $O$、点 $B$ 和点 $C$,
∴ 只需算出当函数图象经过点 $A$ 及点 $B$ 时 $m$ 的值,即可求出 $m$ 的最大值及最小值. 当互异二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象经过点 $A(0,2)$ 时,$m=2$ 或 $m=-1$; 当互异二次函数 $y=(x-m)^2-m$ 的图象经过点 $B(2,2)$ 时,$m=\frac{5-\sqrt{17}}{2}$ 或 $m=\frac{5+\sqrt{17}}{2}$,
∴ 互异二次函数$y=(x-m)^2-m$ 的图象与正方形 $OABC$ 有交点时 $m$ 的最大值和最小值分别是 $\frac{5+\sqrt{17}}{2}$,$-1$. 故选 D.