9 新考向 开放性试题 [2025河北石家庄期中]若抛物线$y=(x-1)^2 +4$向下平移$n$个单位长度后，其顶点仍在第一象限，写出一个符合条件的$n$的正整数值：。

9. 1(答案不唯一) 【解析】
∵ 抛物线 $y=(x-1)^2+4$ 的顶点坐标为 $(1,4)$,
∴ 平移后抛物线的顶点坐标为 $(1,4-n)$. 依题意,得 $4-n＞0$,
∴ $n＜4$,则符合条件的 $n$ 的正整数值可以为 1,故答案为 1(答案不唯一).

10[2025吉林长春质检]已知二次函数$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）的图象如图，有下列5个结论：①$abc＞0$；②$b^2＞4ac$；③$2a+b=1$；④$4a+2b+c＞0$；⑤$3a+c＜0$。正确结论的序号为。

10. ②④⑤ 【解析】
∵ 抛物线开口向下,
∴ $a＜0$.
∵ 抛物线对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2a}=1$,
∴ $b=-2a＞0$,$2a+b=0$,
∴ ③错误.
∵ 抛物线与 $y$ 轴交点在 $y$ 轴正半轴,
∴ $c＞0$,
∴ $abc＜0$,
∴ ①错误.
∵ 抛物线与 $x$ 轴有 2 个交点,
∴ $b^2-4ac＞0$,即 $b^2＞4ac$,
∴ ②正确. 由图象可得当 $x=0$ 时,$y＞0$,
∴ 由抛物线对称轴为直线 $x=1$ 可得当 $x=2$ 时,$y＞0$,
∴ $4a+2b+c＞0$,
∴ ④正确. 由图象可得当 $x=-1$ 时,$y=a-b+c=3a+c＜0$,
∴ ⑤正确. 故答案为 ②④⑤.
关键点拨：由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 $y$ 轴交点位置得到 $a,b,c$ 的符号及 $a$ 与 $b$ 的关系是解题的关键.

11[2026四川泸州期中]如图,以扇形OAB的顶点O为原点,半径OB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,点B的坐标为(2,0),若抛物线$y=\frac{1}{2}x^2 +k$与扇形OAB的边界总有两个公共点,则实数k的取值范围是.

11. $-2＜k＜\frac{1}{2}$ 【解析】
∵ $∠AOB=45°$,
∴ 易得直线 $OA$ 的解析式为 $y=x$. 联立得 $\begin{cases}y=x,\\y=\frac{1}{2}x^2+k,\end{cases}$ 消去 $y$,整理得,$x^2-2x+2k=0$,$\Delta=(-2)^2-4×1×2k=0$,即 $k=\frac{1}{2}$ 时,抛物线与直线 $OA$ 只有一个交点,易知此时交点在线段 $OA$ 上. 当抛物线经过点 $B(2,0)$ 时,$\frac{1}{2}×4+k=0$,解得 $k=-2$,
∴ 要使抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2+k$ 与扇形 $OAB$ 的边界总有两个公共点,实数 $k$ 的取值范围是 $-2＜k＜\frac{1}{2}$. 故答案为 $-2＜k＜\frac{1}{2}$.

12[2026浙江舟山期中]如图,已知抛物线$y=-x^2+4x-3$与x轴交于点A和点B,与y轴交于点C,点P是抛物线上的一动点,且满足$∠ PBC=45° - ∠ ACO$,则点P的横坐标是.

12. $\frac{2}{3}$或$-2$ 【解析】令 $x=0$,则 $y=-3$; 令 $y=0$,则 $-x^2+4x-3=0$,解得 $x=1$ 或 $x=3$,
∴ $A(1,0)$,$B(3,0)$,$C(0,-3)$. 如图,连接 $AC$,取 $T(0,-1)$,连接 $BT$ 交抛物线于 $P$.
∵ $C(0,-3)$,$A(1,0)$,$B(3,0)$,
∴ $OA=OT$,$OB=OC$,而 $∠BOT=∠AOC=90°$,
∴ $△ACO≌△TBO(\mathrm{SAS})$,$∠OCB=∠OBC=45°$,
∴ $∠ACO=∠TBO$,
∴ $∠ACB=∠PBC=45°-∠ACO$. 设直线 $BT$ 的解析式为 $y=ex-1$,
∴ $3e-1=0$,解得 $e=\frac{1}{3}$,
∴ 直线 $BT$ 的解析式为 $y=\frac{1}{3}x-1$. 令 $-x^2+4x-3=\frac{1}{3}x-1$,解得 $x=3$(舍去)或 $x=\frac{2}{3}$,则点 $P$ 的横坐标为 $\frac{2}{3}$. 作 $△BTC$ 关于直线 $BC$ 对称的 $△BQC$,延长 $BQ$ 交抛物线于 $P'$,
∴ $CT=CQ=2$,$∠TCB=∠QCB=45°$,$∠QBC=∠TBC$,
∴ $∠TCQ=90°$,
∴ $Q(2,-3)$,易得 $BQ$ 的解析式为 $y=3x-9$. 令 $-x^2+4x-3=3x-9$,解得 $x=3$(舍去)或 $x=-2$,则点 $P'$ 的横坐标为 $-2$. 综上,点 $P$ 的横坐标是 $\frac{2}{3}$ 或 $-2$. 故答案为 $\frac{2}{3}$ 或 $-2$.

三、解答题(本大题共2小题,共40分)
13[2025浙江义乌期中]如图,小明的爸爸要用一堵长为4 m的墙和长为18 m的篱笆围一个小型养鸡场,要求:①墙和篱笆全部利用;②围成的养鸡场的面积最大.图(1)是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场,图(2)是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段,然后用剩余的篱笆围成的一个矩形养鸡场.
(1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积;
(2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少.

13. 【解】(1) 根据题意得 $4×[(18-4)÷2]=28(\mathrm{m^2})$.
答:小明爸爸围成的养鸡场的面积为 $28\ \mathrm{m^2}$.
(2) 设小明围成的养鸡场的有墙体的一边长为 $x$ m,则与它相邻的一边长为 $\frac{1}{2}×(18+4-2x)\ \mathrm{m}$,围成的养鸡场面积为 $y\ \mathrm{m^2}$. 根据题意得,$y=x[\frac{1}{2}×(18+4-2x)]=-x^2+11x=-(x-\frac{11}{2})^2+\frac{121}{4}$,
∴ 小明围成的养鸡场的最大面积为 $\frac{121}{4}\ \mathrm{m^2}$. $\frac{121}{4}-28=\frac{9}{4}(\mathrm{m^2})$.
答:小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大 $\frac{9}{4}\ \mathrm{m^2}$.

14[2026福建福州质检]抛物线$y=x^2+bx+c$与x轴交于点A,B(1,0)(点A在B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点P为该抛物线上在第三象限内的一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图(1),过点P作$PN// y$轴,交AC于点N,直线BP交y轴于点M,连接MN,求证:$MN// x$轴;
(3)如图(2),直线l为该抛物线的对称轴,$PH⊥ l$于点H,直线AP,BP分别交直线l于点F,E.在点P运动的过程中,当$EF=k· PH$恒成立时,求k的值.

14. (1)【解】
∵ 抛物线 $y=x^2+bx+c$ 过点 $B(1,0)$,$C(0,-3)$,
∴ $\begin{cases}1+b+c=0,\\c=-3,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=2,\\c=-3,\end{cases}$
∴ 抛物线的解析式为 $y=x^2+2x-3$.
(2)【证明】设 $P(m,m^2+2m-3)$. 在 $y=x^2+2x-3$ 中,当 $y=0$ 时,$x^2+2x-3=0$,解得 $x_1=-3$,$x_2=1$,
∴ $A(-3,0)$.
∵ $C(0,-3)$,
∴ 易得直线 $AC$ 的解析式为 $y=-x-3$.
∵ $PN// y$ 轴,交 $AC$ 于点 $N$,
∴ $N(m,-m-3)$.
∵ $P(m,m^2+2m-3)$,$B(1,0)$,
∴ 易得直线 $BP$ 的解析式为 $y=(m+3)x-m-3$. 当 $x=0$ 时,$y=-3$,
∴ $M(0,-3)$,
∴ $MN// x$ 轴.
(3)【解】
∵ 抛物线 $y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4$,
∴ 对称轴 $l$ 为直线 $x=-1$. 由(2)可知直线 $BP$ 的解析式为 $y=(m+3)x-m-3$,
∴ $E(-1,-2m-6)$.
∵ $P(m,m^2+2m-3)$ 在第三象限内,且 $A(-3,0)$,
∴ $-3＜m＜0$,易得直线 $AP$ 的解析式为 $y=(m-1)x+3(m-1)$,
∴ $F(-1,2m-2)$. 当 $-3＜m≤-1$ 时,如题图(2),$EF=(-2m-6)-(2m-2)=-4m-4$.
∵ $PH⊥ l$,
∴ $PH=-1-m$.
∵ $EF=k· PH$ 恒成立,
∴ $-4m-4=k· (-1-m)$ 恒成立,
∴ $k$ 的值为 4. 当 $-1＜m＜0$ 时,如图,$EF=(2m-2)-(-2m-6)=4m+4$.
∵ $PH⊥ l$,
∴ $PH=m-(-1)=m+1$.
∵ $EF=k· PH$ 恒成立,
∴ $4m+4=k· (m+1)$ 恒成立,
∴ $k$ 的值为 4.
综上所述,$k$ 的值为 4.
关键点拨：(3)要使 $EF=k· PH$ 恒成立,可转化为含参数的方程,即可确定待定字母的值.