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1. 学科特色教材变式「2026安徽合肥期中」下列函数中，是二次函数的是（
A.$y=\frac{1}{x^2}-4$
B.$y=x^2-(x-3)^2$
C.$y=\frac{1}{2}x^2+4$
D.$y=\frac{1}{x}-4$
C
）A.$y=\frac{1}{x^2}-4$
B.$y=x^2-(x-3)^2$
C.$y=\frac{1}{2}x^2+4$
D.$y=\frac{1}{x}-4$
答案
1.C 形如$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的函数是二次函数,易知选 C.
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需按照这三个标准逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=\frac{1}{x^2}-4$的表达式中分母含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
B选项：先对表达式化简，$y=x^2-(x-3)^2=x^2-(x^2-6x+9)=6x-9$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数的要求，排除；
C选项：$y=\frac{1}{2}x^2+4$符合二次函数的形式，其中$a=\frac{1}{2}\ne0$，表达式为整式、自变量最高次数为2，是二次函数，符合要求；
D选项：$y=\frac{1}{x}-4$的表达式中分母含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念、整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题核心是牢记二次函数的定义，注意需要先对可化简的函数表达式化简后再判断最高次数，同时要区分整式与分式，避免因未化简或混淆代数式类型误选。
【难度系数】
0.8
要判断一个函数是否为二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需按照这三个标准逐一验证每个选项，排除不符合要求的选项，即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，$a\ne0$）的函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
A选项：$y=\frac{1}{x^2}-4$的表达式中分母含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数的要求，排除；
B选项：先对表达式化简，$y=x^2-(x-3)^2=x^2-(x^2-6x+9)=6x-9$，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不符合二次函数的要求，排除；
C选项：$y=\frac{1}{2}x^2+4$符合二次函数的形式，其中$a=\frac{1}{2}\ne0$，表达式为整式、自变量最高次数为2，是二次函数，符合要求；
D选项：$y=\frac{1}{x}-4$的表达式中分母含有自变量$x$，属于分式，不是整式，不符合二次函数的要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义、整式的概念、整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题核心是牢记二次函数的定义，注意需要先对可化简的函数表达式化简后再判断最高次数，同时要区分整式与分式，避免因未化简或混淆代数式类型误选。
【难度系数】
0.8
2.「2026 北京首经贸附中期中」二次函数$y=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3$的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（
A.$\frac{1}{2},-2,-3$
B.$\frac{1}{2},-2,-1$
C.$\frac{1}{2},4,-3$
D.$\frac{1}{2},-4,1$
B
）A.$\frac{1}{2},-2,-3$
B.$\frac{1}{2},-2,-1$
C.$\frac{1}{2},4,-3$
D.$\frac{1}{2},-4,1$
答案
2.B 把解析式化为一般形式为$y=\frac{1}{2}x^2-2x-1$,二次项系数是$\frac{1}{2}$,一次项系数是-2,常数项是-1,故选 B.
解析
【分析】
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要明确这些系数是二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中对应的$a$、$b$、$c$。题目给出的是二次函数的顶点式，因此解题步骤为：第一步利用完全平方公式将顶点式展开，第二步合并同类项化为一般形式，第三步对照一般式分别找出三个系数，最后匹配正确选项。
【解析】
首先将给定的二次函数化为一般形式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3\\&=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)-3\\&=\frac{1}{2}x^2 -2x +2 -3\\&=\frac{1}{2}x^2 -2x -1\end{aligned}$
对照二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），可得：
二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.完全平方公式 3.整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式到一般式的转化，解题时需注意完全平方展开的运算规则，以及合并同类项时的符号处理，熟练掌握二次函数不同形式的互化是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项，首先需要明确这些系数是二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$）中对应的$a$、$b$、$c$。题目给出的是二次函数的顶点式，因此解题步骤为：第一步利用完全平方公式将顶点式展开，第二步合并同类项化为一般形式，第三步对照一般式分别找出三个系数，最后匹配正确选项。
【解析】
首先将给定的二次函数化为一般形式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x-2)^2 -3\\&=\frac{1}{2}(x^2-4x+4)-3\\&=\frac{1}{2}x^2 -2x +2 -3\\&=\frac{1}{2}x^2 -2x -1\end{aligned}$
对照二次函数一般形式$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$），可得：
二次项系数为$\frac{1}{2}$，一次项系数为$-2$，常数项为$-1$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.完全平方公式 3.整式化简
【点评】
本题属于基础题，核心考查二次函数顶点式到一般式的转化，解题时需注意完全平方展开的运算规则，以及合并同类项时的符号处理，熟练掌握二次函数不同形式的互化是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8
3. 特色 易错题 「2026浙江金华永康期中」若$y=(m+2)x^{m^2 -2}+2x+3$是关于x的二次函数，则m的值为
2
。答案
3.答案 2
解析 由题意可知 $m^2-2=2$,且 $m+2≠0,∴ m=2$.
易错警示 根据二次函数的定义求字母的值时,如果二次项系数中含有字母,要注意字母的取值要使二次项系数不为零.如本题中,$m+2≠0$.
解析 由题意可知 $m^2-2=2$,且 $m+2≠0,∴ m=2$.
易错警示 根据二次函数的定义求字母的值时,如果二次项系数中含有字母,要注意字母的取值要使二次项系数不为零.如本题中,$m+2≠0$.
解析
【分析】
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需同时满足两个条件，一是含自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0则二次项消失，函数就不是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的所有可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 函数$y=(m+2)x^{m^2 -2}+2x+3$是关于x的二次函数
∴ 可得两个约束条件：
1. 自变量x的最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$
解这个方程：$m^2 = 4$，得$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m + 2 ≠ 0$
解这个不等式得：$m ≠ -2$
综合两个条件，可得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】
本题属于二次函数定义类的易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致多解出错，解答这类问题时要注意将两个约束条件结合判断，缺一不可。
【难度系数】
0.6
要确定m的值，需结合二次函数的定义分析：二次函数需同时满足两个条件，一是含自变量的项的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0（若系数为0则二次项消失，函数就不是二次函数）。解题时先根据最高次数为2列方程求出m的所有可能取值，再根据二次项系数不为0排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
∵ 函数$y=(m+2)x^{m^2 -2}+2x+3$是关于x的二次函数
∴ 可得两个约束条件：
1. 自变量x的最高次数为2：$m^2 - 2 = 2$
解这个方程：$m^2 = 4$，得$m=2$或$m=-2$
2. 二次项系数不为0：$m + 2 ≠ 0$
解这个不等式得：$m ≠ -2$
综合两个条件，可得$m=2$
【答案】
2
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程求解；不等式求解
【点评】
本题属于二次函数定义类的易错题，解题时容易忽略二次项系数不为0的限制条件，导致多解出错，解答这类问题时要注意将两个约束条件结合判断，缺一不可。
【难度系数】
0.6
4. 学科特色
教材变式「2026浙江温州实验学校期中」某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为$x(x＞0)$，11月份的投入资金为$y$万元，则$y$关于$x$的函数表达式为
教材变式「2026浙江温州实验学校期中」某商场开展了家电惠民补贴活动，其中9月份投入资金20万元，设平均每月投入资金的增长率为$x(x＞0)$，11月份的投入资金为$y$万元，则$y$关于$x$的函数表达式为
$y=20(1+x)^2$
。答案
4.答案 $y=20(1+x)^2$
解析 因为平均每月投入资金的增长率为$x$,9月份的投入资金为 20 万元,所以 10 月份的投入资金为$20(1+x)$万元,11 月份的投入资金为$20(1+x)(1+x)=20(1+x)^2$万元,所以 $y=20(1+x)^2$.
解析 因为平均每月投入资金的增长率为$x$,9月份的投入资金为 20 万元,所以 10 月份的投入资金为$20(1+x)$万元,11 月份的投入资金为$20(1+x)(1+x)=20(1+x)^2$万元,所以 $y=20(1+x)^2$.
解析
【分析】
本题属于增长率类的函数解析式求解问题，解题时先明确初始投入资金、增长率和增长月份数的对应关系：首先9月份的投入资金是初始量20万元，平均每月增长率为x，先推导10月份的投入资金，再以10月份的投入为基础推导11月份的投入，最终整理得到y与x的函数表达式。
【解析】
已知9月份投入资金为20万元，平均每月投入资金的增长率为x。
1. 计算10月份的投入资金：10月份投入 = 9月份投入×(1+月增长率) = $20(1+x)$万元；
2. 计算11月份的投入资金：11月份投入 = 10月份投入×(1+月增长率) = $20(1+x) · (1+x) = 20(1+x)^2$万元；
因此y关于x的函数表达式为$y=20(1+x)^2$。
【答案】
$y=20(1+x)^2$
【知识点】
增长率问题；列二次函数关系式
【点评】
本题是实际背景下的函数表达式列写题，核心是掌握增长率问题的数量关系，明确每一轮增长的基数，只要理清相邻月份投入资金的增长逻辑就能顺利解题，是增长率类题型的基础考法。
【难度系数】
0.85
本题属于增长率类的函数解析式求解问题，解题时先明确初始投入资金、增长率和增长月份数的对应关系：首先9月份的投入资金是初始量20万元，平均每月增长率为x，先推导10月份的投入资金，再以10月份的投入为基础推导11月份的投入，最终整理得到y与x的函数表达式。
【解析】
已知9月份投入资金为20万元，平均每月投入资金的增长率为x。
1. 计算10月份的投入资金：10月份投入 = 9月份投入×(1+月增长率) = $20(1+x)$万元；
2. 计算11月份的投入资金：11月份投入 = 10月份投入×(1+月增长率) = $20(1+x) · (1+x) = 20(1+x)^2$万元；
因此y关于x的函数表达式为$y=20(1+x)^2$。
【答案】
$y=20(1+x)^2$
【知识点】
增长率问题；列二次函数关系式
【点评】
本题是实际背景下的函数表达式列写题，核心是掌握增长率问题的数量关系，明确每一轮增长的基数，只要理清相邻月份投入资金的增长逻辑就能顺利解题，是增长率类题型的基础考法。
【难度系数】
0.85
5.「2026浙江杭州十五中月考」如图，一张正方形纸板的边长为2 cm，将它剪去4个相同的直角三角形（图中阴影部分）.设AE=BF=CG=DH=x cm，四边形EFGH的面积为y cm²，则y关于x的函数表达式为
$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$
（化为一般形式）.答案
5.答案 $y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$
解析 由题意得 $AB=BC=CD=AD=2$ cm,
$\because AE=BF=CG=DH=x$ cm,
$\therefore AH=DG=CF=EB=(2-x)$ cm,
$\therefore y=2×2-4×\frac{1}{2}x(2-x)=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$.
故答案为 $y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$.
解析 由题意得 $AB=BC=CD=AD=2$ cm,
$\because AE=BF=CG=DH=x$ cm,
$\therefore AH=DG=CF=EB=(2-x)$ cm,
$\therefore y=2×2-4×\frac{1}{2}x(2-x)=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$.
故答案为 $y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$.
解析
【分析】
要求四边形EFGH的面积，可采用割补法：将其转化为大正方形的面积减去4个全等的阴影直角三角形的面积。首先确定大正方形的面积，再根据已知的边长关系得到每个直角三角形的两条直角边长度，计算4个三角形的总面积，两者作差即可得到y关于x的表达式，最后根据线段的实际意义确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为2 cm，
∴AB=BC=CD=AD=2 cm，
∵AE=BF=CG=DH=x cm，
∴AH=DG=CF=EB=(2-x) cm，
4个阴影直角三角形全等，单个三角形的面积为$\frac{1}{2}x(2-x)$ cm²，
则四边形EFGH的面积：
$y = S_{正方形ABCD} - 4S_{阴影直角三角形}$
$= 2×2 - 4×\frac{1}{2}x(2-x)$
$= 4 - 2x(2-x)$
$= 2x^2 - 4x + 4$
结合实际几何意义，x为线段长度，故取值范围为0＜x＜2。
【答案】
$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$
【知识点】
二次函数实际应用，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查利用几何图形面积关系列函数关系式，解题核心是运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
要求四边形EFGH的面积，可采用割补法：将其转化为大正方形的面积减去4个全等的阴影直角三角形的面积。首先确定大正方形的面积，再根据已知的边长关系得到每个直角三角形的两条直角边长度，计算4个三角形的总面积，两者作差即可得到y关于x的表达式，最后根据线段的实际意义确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的边长为2 cm，
∴AB=BC=CD=AD=2 cm，
∵AE=BF=CG=DH=x cm，
∴AH=DG=CF=EB=(2-x) cm，
4个阴影直角三角形全等，单个三角形的面积为$\frac{1}{2}x(2-x)$ cm²，
则四边形EFGH的面积：
$y = S_{正方形ABCD} - 4S_{阴影直角三角形}$
$= 2×2 - 4×\frac{1}{2}x(2-x)$
$= 4 - 2x(2-x)$
$= 2x^2 - 4x + 4$
结合实际几何意义，x为线段长度，故取值范围为0＜x＜2。
【答案】
$y=2x^2-4x+4(0＜x＜2)$
【知识点】
二次函数实际应用，正方形的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查利用几何图形面积关系列函数关系式，解题核心是运用割补法将不规则图形面积转化为规则图形面积的和差，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际意义。
【难度系数】
0.7
6.「2026湖北武汉硚口月考，★☆」如图，用一段长30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形ABCD菜园，中间用篱笆EF隔开，EF//AB，墙长12 m.设AB=x m，矩形ABCD的面积为y m²，则y关于x的函数关系式是
$y=-3x^2+30x$
，x的取值范围是$6≤x＜10$
. 答案
6.答案 $y=-3x^2+30x;6≤x＜10$
解析 由已知得 $BC=(30-3x)$ m,
$\therefore y=x(30-3x)=-3x^2+30x$,
$\because$ 墙长 12 m,$\therefore 0＜30-3x≤12$,
解得 $6≤x＜10$,
$\therefore x$ 的取值范围为 $6≤x＜10$.
解析 由已知得 $BC=(30-3x)$ m,
$\therefore y=x(30-3x)=-3x^2+30x$,
$\because$ 墙长 12 m,$\therefore 0＜30-3x≤12$,
解得 $6≤x＜10$,
$\therefore x$ 的取值范围为 $6≤x＜10$.
解析
【分析】
解题时先明确篱笆所围的边：垂直于墙的边有AB、EF、CD共3条，长度均为x m，平行于墙的边BC不需要用篱笆，总篱笆长为30 m，因此先推导BC的长度，再结合矩形面积公式得到y与x的函数关系式；求x的取值范围时，要结合实际意义：一是矩形边长为正，即BC＞0，二是BC的长度不能超过墙长12 m，联立不等式求解即可。
【解析】
由题意可知，AB=EF=CD=x m，总篱笆长30 m，因此平行于墙的边BC的长度为：$BC=(30-3x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积=长×宽，可得：
$y = x(30-3x) = -3x^2+30x$
再结合实际限制条件：
① 矩形边长为正，故$BC＞0$，即$30-3x＞0$，解得$x＜10$
② 墙长为12 m，故$BC≤12$，即$30-3x≤12$，解得$x≥6$
综上，x的取值范围是$6≤x＜10$
【答案】
$y=-3x^2+30x$；$6≤x＜10$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是准确识别篱笆所围的边得到各边长的关系，同时要注意结合场景的实际限制条件求自变量的取值范围，避免只考虑代数式有意义而忽略实际约束。
【难度系数】
0.7
解题时先明确篱笆所围的边：垂直于墙的边有AB、EF、CD共3条，长度均为x m，平行于墙的边BC不需要用篱笆，总篱笆长为30 m，因此先推导BC的长度，再结合矩形面积公式得到y与x的函数关系式；求x的取值范围时，要结合实际意义：一是矩形边长为正，即BC＞0，二是BC的长度不能超过墙长12 m，联立不等式求解即可。
【解析】
由题意可知，AB=EF=CD=x m，总篱笆长30 m，因此平行于墙的边BC的长度为：$BC=(30-3x)\ \mathrm{m}$
根据矩形面积=长×宽，可得：
$y = x(30-3x) = -3x^2+30x$
再结合实际限制条件：
① 矩形边长为正，故$BC＞0$，即$30-3x＞0$，解得$x＜10$
② 墙长为12 m，故$BC≤12$，即$30-3x≤12$，解得$x≥6$
综上，x的取值范围是$6≤x＜10$
【答案】
$y=-3x^2+30x$；$6≤x＜10$
【知识点】
二次函数实际应用，不等式组求解，矩形面积计算
【点评】
本题是二次函数实际应用的基础题型，解题关键是准确识别篱笆所围的边得到各边长的关系，同时要注意结合场景的实际限制条件求自变量的取值范围，避免只考虑代数式有意义而忽略实际约束。
【难度系数】
0.7
7.「★☆」关于$x$的函数$y=(a^2+4a+5)x^2+3ax+1$，甲说：“此函数不一定是二次函数.”乙说：“此函数一定是二次函数.”谁的说法正确？为什么？
答案
7.解析 乙的说法正确.理由如下：
$\because a^2+4a+5=a^2+4a+4+1=(a+2)^2+1≥1$,
$\therefore$ 无论 $a$ 取何值,$a^2+4a+5≥1≠0$,
$\therefore$ 无论 $a$ 取何值,该函数一定是二次函数,故乙的说法正确.
$\because a^2+4a+5=a^2+4a+4+1=(a+2)^2+1≥1$,
$\therefore$ 无论 $a$ 取何值,$a^2+4a+5≥1≠0$,
$\therefore$ 无论 $a$ 取何值,该函数一定是二次函数,故乙的说法正确.
解析
【分析】
判断函数是否为二次函数的核心依据是：二次项系数不能为0。因此解题的关键是分析本题中二次项系数$a^2+4a+5$的取值范围：我们可以用配方法将这个含参数的式子变形，再结合平方数的非负性，判断它是否有可能等于0。若该式恒不为0，则函数一定是二次函数；若可能为0，则函数不一定是二次函数。
【解析】
乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数进行配方变形：
$a^2+4a+5=a^2+4a+4+1=(a+2)^2+1$
根据平方的非负性可知，$(a+2)^2≥0$，因此$(a+2)^2+1≥1＞0$。
即无论$a$取任意实数，二次项系数$a^2+4a+5$都不等于0，满足二次函数的定义，因此该函数一定是二次函数，故乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确。因为$a^2+4a+5=(a+2)^2+1≥1≠0$，无论$a$取何值，函数的二次项系数都不为0，因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义、配方法、非负数的性质
【点评】
本题属于二次函数判定的基础题型，解题核心是抓住二次函数“二次项系数不为0”的判定条件，通过配方法结合偶次幂的非负性分析含参数的二次项系数的取值范围即可求解，注意不要仅凭直觉认为带参数的系数就一定可能为0，要结合式子实际分析。
【难度系数】
0.8
判断函数是否为二次函数的核心依据是：二次项系数不能为0。因此解题的关键是分析本题中二次项系数$a^2+4a+5$的取值范围：我们可以用配方法将这个含参数的式子变形，再结合平方数的非负性，判断它是否有可能等于0。若该式恒不为0，则函数一定是二次函数；若可能为0，则函数不一定是二次函数。
【解析】
乙的说法正确，理由如下：
对二次项系数进行配方变形：
$a^2+4a+5=a^2+4a+4+1=(a+2)^2+1$
根据平方的非负性可知，$(a+2)^2≥0$，因此$(a+2)^2+1≥1＞0$。
即无论$a$取任意实数，二次项系数$a^2+4a+5$都不等于0，满足二次函数的定义，因此该函数一定是二次函数，故乙的说法正确。
【答案】
乙的说法正确。因为$a^2+4a+5=(a+2)^2+1≥1≠0$，无论$a$取何值，函数的二次项系数都不为0，因此该函数一定是二次函数。
【知识点】
二次函数的定义、配方法、非负数的性质
【点评】
本题属于二次函数判定的基础题型，解题核心是抓住二次函数“二次项系数不为0”的判定条件，通过配方法结合偶次幂的非负性分析含参数的二次项系数的取值范围即可求解，注意不要仅凭直觉认为带参数的系数就一定可能为0，要结合式子实际分析。
【难度系数】
0.8
8. 核心素养 模型观念 「2025甘肃兰州中考」如图，
，在正方形ABCD中，AB=2 cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以$\sqrt{2}$ cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1 cm/s的速度运动。当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动。若运动时间为x(s)，△CPQ的面积为y(cm²)，则当点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（
A.一次函数，一次函数
B.一次函数，二次函数
C.二次函数，二次函数
D.二次函数，一次函数
，在正方形ABCD中，AB=2 cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以$\sqrt{2}$ cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1 cm/s的速度运动。当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动。若运动时间为x(s)，△CPQ的面积为y(cm²)，则当点P分别在OA，AB上运动时，y与x的函数关系分别是（D
）A.一次函数，一次函数
B.一次函数，二次函数
C.二次函数，二次函数
D.二次函数，一次函数
答案
8.D $\because$ 正方形 $ABCD$ 中,$AB=2$ cm,
$\therefore BC=CD=DA=AB=2$ cm,
$\therefore AC=2\sqrt{2}$ cm,
$\therefore OC=OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$ cm.
当点 $P$ 在 $OA$ 上运动时,由题意得 $CQ=x$ cm,$CP=OC+OP=(\sqrt{2}+\sqrt{2}x)$ cm,
如图,作 $PG ⊥ CD$ 于点 $G$,
由 $∠ PCG=45°$,易知 $CG=PG=(x+1)$ cm,
$\therefore y=\frac{1}{2}CQ · PG=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x$,是二次函数;
当点 $P$ 在 $AB$ 上运动时,由题意得 $CQ=x$ cm,
$\therefore y=\frac{1}{2}CQ · BC=x$,是一次函数.
故选 D.
解析
【分析】
解题需分点P在OA上运动、点P在AB上运动两种情况讨论：先利用正方形性质求出边长、对角线长度等基础参数，再分别找到两种情况下△CPQ的底和对应高，结合三角形面积公式推导y与x的函数关系式，最后根据一次函数、二次函数的定义判断对应函数类型即可。
【解析】
∵正方形ABCD中，AB=2 cm，
∴BC=CD=DA=AB=2 cm，对角线$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ cm，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$ cm。
①当点P在OA上运动时：
由题意得$CQ=x$ cm，$OP=\sqrt{2}x$ cm，
∴$CP=OC+OP=(\sqrt{2}+\sqrt{2}x)$ cm。
如图，作$PG ⊥ CD$于点G，
∵正方形中$∠PCG=45°$，△PCG为等腰直角三角形，
∴$PG=CP·\sin45°=\sqrt{2}(1+x)×\frac{\sqrt{2}}{2}=(x+1)$ cm，
根据三角形面积公式得：
$y=\frac{1}{2}· CQ· PG=\frac{1}{2}x(x+1)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x$，符合二次函数形式，属于二次函数。
②当点P在AB上运动时：
此时AB与CD平行，点P到CD边的距离等于正方形边长BC=2 cm，$CQ=x$ cm，
∴$y=\frac{1}{2}· CQ· BC=\frac{1}{2}x×2=x$，符合一次函数形式，属于一次函数。
综上，两段运动对应的函数分别为二次函数、一次函数。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；二次函数定义；一次函数定义
【点评】
本题结合动点问题考查函数类型的判断，核心是运用分类讨论思想，结合正方形的几何性质推导不同阶段的面积表达式，再对应判断函数类型，能够很好地考查学生的模型观念和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
解题需分点P在OA上运动、点P在AB上运动两种情况讨论：先利用正方形性质求出边长、对角线长度等基础参数，再分别找到两种情况下△CPQ的底和对应高，结合三角形面积公式推导y与x的函数关系式，最后根据一次函数、二次函数的定义判断对应函数类型即可。
【解析】
∵正方形ABCD中，AB=2 cm，
∴BC=CD=DA=AB=2 cm，对角线$AC=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$ cm，
∴$OC=OA=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$ cm。
①当点P在OA上运动时：
由题意得$CQ=x$ cm，$OP=\sqrt{2}x$ cm，
∴$CP=OC+OP=(\sqrt{2}+\sqrt{2}x)$ cm。
如图，作$PG ⊥ CD$于点G，
∵正方形中$∠PCG=45°$，△PCG为等腰直角三角形，
∴$PG=CP·\sin45°=\sqrt{2}(1+x)×\frac{\sqrt{2}}{2}=(x+1)$ cm，
根据三角形面积公式得：
$y=\frac{1}{2}· CQ· PG=\frac{1}{2}x(x+1)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x$，符合二次函数形式，属于二次函数。
②当点P在AB上运动时：
此时AB与CD平行，点P到CD边的距离等于正方形边长BC=2 cm，$CQ=x$ cm，
∴$y=\frac{1}{2}· CQ· BC=\frac{1}{2}x×2=x$，符合一次函数形式，属于一次函数。
综上，两段运动对应的函数分别为二次函数、一次函数。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质；二次函数定义；一次函数定义
【点评】
本题结合动点问题考查函数类型的判断，核心是运用分类讨论思想，结合正方形的几何性质推导不同阶段的面积表达式，再对应判断函数类型，能够很好地考查学生的模型观念和几何运算能力。
【难度系数】
0.6
