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1.二次函数$y=x^2$与一次函数$y=-x-1$在同一平面直角坐标系中的图象大致为（
D
）答案
因为二次函数$y=x^2$的图象开口向上,故可排除B,C;因为一次函数$y=-x-1$的图象经过第二、三、四象限,故可排除A.
故选 D.
故选 D.
解析
【分析】
这是同一坐标系下两类函数图象的判断问题，可采用排除法解题：第一步先分析二次函数$y=x^2$的图象特征，排除不符合二次函数图象的选项；第二步再分析一次函数$y=-x-1$的图象特征，排除剩余选项中不符合一次函数图象的，最终得到正确答案。
【解析】
首先分析二次函数$y=x^2$：它的二次项系数为1＞0，因此图象开口向上，选项B、C中的二次函数图象开口向下，不符合要求，排除B、C；
接着分析一次函数$y=-x-1$：其中一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=-1＜0$，因此该一次函数的图象经过第二、三、四象限，选项A中的一次函数图象经过第一、三、四象限，不符合要求，排除A；
综上，只有D选项符合两个函数的图象特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，解题关键是掌握函数解析式中各项系数与图象特征的对应关系，运用排除法可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
这是同一坐标系下两类函数图象的判断问题，可采用排除法解题：第一步先分析二次函数$y=x^2$的图象特征，排除不符合二次函数图象的选项；第二步再分析一次函数$y=-x-1$的图象特征，排除剩余选项中不符合一次函数图象的，最终得到正确答案。
【解析】
首先分析二次函数$y=x^2$：它的二次项系数为1＞0，因此图象开口向上，选项B、C中的二次函数图象开口向下，不符合要求，排除B、C；
接着分析一次函数$y=-x-1$：其中一次项系数$k=-1＜0$，常数项$b=-1＜0$，因此该一次函数的图象经过第二、三、四象限，选项A中的一次函数图象经过第一、三、四象限，不符合要求，排除A；
综上，只有D选项符合两个函数的图象特征。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的图象性质；一次函数的图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的基础题型，解题关键是掌握函数解析式中各项系数与图象特征的对应关系，运用排除法可快速解决此类问题。
【难度系数】
0.8
2.关于抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$,下列说法正确的是
（
A.对称轴都是x轴
B.最低点都是原点
C.在y轴右侧,y的值随x值的增大而减小
D.形状相同,开口方向相反
（
D
）A.对称轴都是x轴
B.最低点都是原点
C.在y轴右侧,y的值随x值的增大而减小
D.形状相同,开口方向相反
答案
抛物线$y=x^2$开口向上,最低点为原点,对称轴是$y$轴,在$y$轴右侧,$y$的值随$x$值的增大而增大;抛物线$y=-x^2$开口向下,最高点是原点,对称轴是$y$轴,在$y$轴右侧,$y$的值随$x$值的增大而减小;抛物线$y=x^2$和抛物线$y=-x^2$的形状相同.故选项 A,B,C 说法不正确,选项 D 说法正确.
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的相关性质，分别明确$y=x^2$和$y=-x^2$的对称轴、顶点性质、增减性、开口方向及形状特点，再逐一对照选项判断正误即可。
【解析】
先分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：$a=1＞0$，开口向上，顶点为原点，是图象的最低点，对称轴为y轴；在y轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 抛物线$y=-x^2$：$a=-1＜0$，开口向下，顶点为原点，是图象的最高点，对称轴为y轴；在y轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而减小。
3. 两个抛物线的$\left|a\right|=1$相等，因此形状相同，$a$的符号相反，因此开口方向相反。
接下来判断选项：
A. 两个抛物线对称轴都是y轴，不是x轴，A错误；
B. $y=-x^2$只有最高点是原点，没有最低点，B错误；
C. $y=x^2$在y轴右侧$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 两个抛物线形状相同，开口方向相反，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、抛物线的增减性、抛物线的形状判定
【点评】
本题考查基础的抛物线性质，核心是掌握参数$a$对二次函数$y=ax^2$的开口方向、最值、增减性的影响，以及$\left|a\right|$决定抛物线形状的规律，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数$y=ax^2$的相关性质，分别明确$y=x^2$和$y=-x^2$的对称轴、顶点性质、增减性、开口方向及形状特点，再逐一对照选项判断正误即可。
【解析】
先分别分析两个抛物线的性质：
1. 抛物线$y=x^2$：$a=1＞0$，开口向上，顶点为原点，是图象的最低点，对称轴为y轴；在y轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而增大。
2. 抛物线$y=-x^2$：$a=-1＜0$，开口向下，顶点为原点，是图象的最高点，对称轴为y轴；在y轴右侧（$x＞0$）时，$y$随$x$的增大而减小。
3. 两个抛物线的$\left|a\right|=1$相等，因此形状相同，$a$的符号相反，因此开口方向相反。
接下来判断选项：
A. 两个抛物线对称轴都是y轴，不是x轴，A错误；
B. $y=-x^2$只有最高点是原点，没有最低点，B错误；
C. $y=x^2$在y轴右侧$y$随$x$的增大而增大，C错误；
D. 两个抛物线形状相同，开口方向相反，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数$y=ax^2$的性质、抛物线的增减性、抛物线的形状判定
【点评】
本题考查基础的抛物线性质，核心是掌握参数$a$对二次函数$y=ax^2$的开口方向、最值、增减性的影响，以及$\left|a\right|$决定抛物线形状的规律，掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.8
3.已知二次函数$y=-x^2$.
(1)填表,并在如图所示的坐标系中画出图象.
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | | |
| | | | | … |
(2)写出(1)中所画抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.
(3)当$x$取哪些值时,$y$随$x$的增大而减小? 当$x$取哪些值时,$y$随$x$的增大而增大?
(1)填表,并在如图所示的坐标系中画出图象.
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | | |
| | | | | … |(2)写出(1)中所画抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴.
(3)当$x$取哪些值时,$y$随$x$的增大而减小? 当$x$取哪些值时,$y$随$x$的增大而增大?
答案
(1)填表如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-9$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $-9$ | … |
描点,连线,画出图象如下：
(2)图象的开口方向向下;顶点坐标为$(0,0)$;对称轴为$y$轴.
(3)当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大.
解析
【分析】
解题思路如下：(1) 第一问属于函数求值问题，只需将表格中给出的x值依次代入二次函数表达式$y=-x^2$，计算出对应的y值填入表格，再按照描点、连线的步骤画出函数图象即可；(2) 第二问可根据二次函数$y=ax^2$的性质判断：二次项系数a的正负决定开口方向，$y=ax^2$的顶点为原点、对称轴为y轴，也可结合画出的图象直接观察得到结论；(3) 第三问结合图象的升降趋势判断增减性：图象上升的区间y随x增大而增大，图象下降的区间y随x增大而减小，以对称轴为分界分析即可。
【解析】
(1) 将各x值代入$y=-x^2$计算：
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2=-9$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2=-4$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2=-1$；
当$x=0$时，$y=-0^2=0$；
当$x=1$时，$y=-1^2=-1$；
当$x=2$时，$y=-2^2=-4$；
当$x=3$时，$y=-3^2=-9$。
将计算结果填入表格后，在坐标系中依次描出上述计算得到的坐标点，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到$y=-x^2$的图象。
(2) 二次函数$y=-x^2$的二次项系数为-1，$-1＜0$，因此抛物线开口向下；该函数属于$y=ax^2$的形式，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
(3) 观察图象可得：在对称轴y轴的左侧，即$x＜0$时，图象从左到右呈上升趋势，因此y随x的增大而增大；在对称轴y轴的右侧，即$x＞0$时，图象从左到右呈下降趋势，因此y随x的增大而减小。
【答案】
(1)填表如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-9$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $-9$ | … |
描点,连线,画出图象如下：
(2)图象的开口方向向下;顶点坐标为$(0,0)$;对称轴为$y$轴.
(3)当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大.
【知识点】
二次函数图象画法；$y=ax^2$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察$y=ax^2$的图象与性质，既要求掌握代入求值、描点画图的基本技能，也要求能结合图象理解记忆二次函数的开口、顶点、对称轴、增减性等性质，是学习后续复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：(1) 第一问属于函数求值问题，只需将表格中给出的x值依次代入二次函数表达式$y=-x^2$，计算出对应的y值填入表格，再按照描点、连线的步骤画出函数图象即可；(2) 第二问可根据二次函数$y=ax^2$的性质判断：二次项系数a的正负决定开口方向，$y=ax^2$的顶点为原点、对称轴为y轴，也可结合画出的图象直接观察得到结论；(3) 第三问结合图象的升降趋势判断增减性：图象上升的区间y随x增大而增大，图象下降的区间y随x增大而减小，以对称轴为分界分析即可。
【解析】
(1) 将各x值代入$y=-x^2$计算：
当$x=-3$时，$y=-(-3)^2=-9$；
当$x=-2$时，$y=-(-2)^2=-4$；
当$x=-1$时，$y=-(-1)^2=-1$；
当$x=0$时，$y=-0^2=0$；
当$x=1$时，$y=-1^2=-1$；
当$x=2$时，$y=-2^2=-4$；
当$x=3$时，$y=-3^2=-9$。
将计算结果填入表格后，在坐标系中依次描出上述计算得到的坐标点，再用平滑的曲线顺次连接各点，即可得到$y=-x^2$的图象。
(2) 二次函数$y=-x^2$的二次项系数为-1，$-1＜0$，因此抛物线开口向下；该函数属于$y=ax^2$的形式，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为y轴。
(3) 观察图象可得：在对称轴y轴的左侧，即$x＜0$时，图象从左到右呈上升趋势，因此y随x的增大而增大；在对称轴y轴的右侧，即$x＞0$时，图象从左到右呈下降趋势，因此y随x的增大而减小。
【答案】
(1)填表如下：
| $x$ | … | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$ | … | $-9$ | $-4$ | $-1$ | $0$ | $-1$ | $-4$ | $-9$ | … |
描点,连线,画出图象如下：
(2)图象的开口方向向下;顶点坐标为$(0,0)$;对称轴为$y$轴.
(3)当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而减小,当$x＜0$时,$y$随$x$的增大而增大.
【知识点】
二次函数图象画法；$y=ax^2$的性质；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察$y=ax^2$的图象与性质，既要求掌握代入求值、描点画图的基本技能，也要求能结合图象理解记忆二次函数的开口、顶点、对称轴、增减性等性质，是学习后续复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
4. 学科
特色
多解法「2026广东惠州期中，★☆」若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则
（
A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
特色
多解法「2026广东惠州期中，★☆」若点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则
（
A
）A.$y_3＞y_2＞y_1$
B.$y_2＞y_1＞y_3$
C.$y_1＞y_3＞y_2$
D.$y_3＞y_1＞y_2$
答案
【解法一】代入求值法：
∵$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上,
∴$y_1=0^2=0,y_2=1^2=1,y_3=2^2=4.∵0＜1＜4,∴ y_1＜ y_2＜ y_3,$即$ y_3＞y_2＞y_1,$故选 A.
【解法二】性质法:二次函数$y=x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,
∴当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$ y_2＜ y_3,$又$y=x^2$的图象的最低点是$(0,0)$,
∴$ y_1＜ y_2＜ y_3,$即$ y_3＞y_2＞y_1,$故选 A.
∵$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上,
∴$y_1=0^2=0,y_2=1^2=1,y_3=2^2=4.∵0＜1＜4,∴ y_1＜ y_2＜ y_3,$即$ y_3＞y_2＞y_1,$故选 A.
【解法二】性质法:二次函数$y=x^2$的图象开口向上,对称轴为$y$轴,
∴当$x＞0$时,$y$随$x$的增大而增大,
∴$ y_2＜ y_3,$又$y=x^2$的图象的最低点是$(0,0)$,
∴$ y_1＜ y_2＜ y_3,$即$ y_3＞y_2＞y_1,$故选 A.
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一，代入求值法，因为三个点都在二次函数图象上，满足函数解析式，所以可将各点横坐标分别代入解析式求出对应的y值，再比较大小即可；思路二，性质法，先明确二次函数$y=x^2$的开口方向和对称轴，判断$x≥0$时的增减性，通过比较横坐标的大小直接推导函数值的大小关系。
【解析】
解法一：代入求值法
∵点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上
∴将各点横坐标代入解析式得：
$y_1=0^2=0$，$y_2=1^2=1$，$y_3=2^2=4$
∵$0＜1＜4$
∴$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$
解法二：性质法
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
∵$0＜1＜2$
∴$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解法均为该类题型的常用方法，代入法直观易懂，性质法解题效率更高，熟练掌握二次函数的基本性质可以快速解决此类大小比较问题。
【难度系数】
0.9
要比较三个点的函数值大小，有两种常用解题思路：思路一，代入求值法，因为三个点都在二次函数图象上，满足函数解析式，所以可将各点横坐标分别代入解析式求出对应的y值，再比较大小即可；思路二，性质法，先明确二次函数$y=x^2$的开口方向和对称轴，判断$x≥0$时的增减性，通过比较横坐标的大小直接推导函数值的大小关系。
【解析】
解法一：代入求值法
∵点$(0,y_1),(1,y_2),(2,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上
∴将各点横坐标代入解析式得：
$y_1=0^2=0$，$y_2=1^2=1$，$y_3=2^2=4$
∵$0＜1＜4$
∴$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$
解法二：性质法
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为y轴（直线$x=0$）
∴当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
∵$0＜1＜2$
∴$y_1＜y_2＜y_3$，即$y_3＞y_2＞y_1$
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，两种解法均为该类题型的常用方法，代入法直观易懂，性质法解题效率更高，熟练掌握二次函数的基本性质可以快速解决此类大小比较问题。
【难度系数】
0.9
5.「2026山东泰安月考改编，★☆」给出下列函数：①$y=-x$；②$y=x$；③$y=x^2$。其中，当$x＜0$时，$y$随$x$的增大而减小的函数有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
C
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
当$x＜0$时,①$y=-x$,③$y=x^2$中的$y$随$x$的增大而减小;②$y=x$中的$y$随$x$的增大而增大.故选 C.
解析
【分析】
解题核心是分别判断3个函数在x＜0区间内的增减性，我们可以按函数类型分类判断：首先回忆正比例函数的增减性规律：正比例函数y=kx（k≠0）的增减性由k的符号决定，k＞0时全体实数范围内y随x增大而增大，k＜0时全体实数范围内y随x增大而减小；再回忆二次函数y=x²的性质：它的图像开口向上，对称轴为y轴（x=0），在对称轴左侧（x＜0）y随x增大而减小，右侧（x＞0）y随x增大而增大，接下来逐个验证3个函数即可得到结果。
【解析】
我们逐个分析三个函数在x＜0时的增减性：
1. 对于①$y=-x$：属于正比例函数，比例系数$k=-1＜0$，因此在全体实数范围内y随x的增大而减小，当$x＜0$时该性质依然成立，符合要求；
2. 对于②$y=x$：属于正比例函数，比例系数$k=1＞0$，因此在全体实数范围内y随x的增大而增大，当$x＜0$时也随x的增大而增大，不符合要求；
3. 对于③$y=x^2$：属于二次函数，图像开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x＜0$时，即在对称轴左侧，y随x的增大而减小，符合要求。
综上，符合要求的函数有①和③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；二次函数$y=x^2$的性质
【点评】
本题考查常见函数的增减性判断，解题时要注意不同函数的增减性适用范围，尤其是二次函数的增减性需要结合开口方向、对称轴和取值区间共同判断，不能笼统套用结论。
【难度系数】
0.8
解题核心是分别判断3个函数在x＜0区间内的增减性，我们可以按函数类型分类判断：首先回忆正比例函数的增减性规律：正比例函数y=kx（k≠0）的增减性由k的符号决定，k＞0时全体实数范围内y随x增大而增大，k＜0时全体实数范围内y随x增大而减小；再回忆二次函数y=x²的性质：它的图像开口向上，对称轴为y轴（x=0），在对称轴左侧（x＜0）y随x增大而减小，右侧（x＞0）y随x增大而增大，接下来逐个验证3个函数即可得到结果。
【解析】
我们逐个分析三个函数在x＜0时的增减性：
1. 对于①$y=-x$：属于正比例函数，比例系数$k=-1＜0$，因此在全体实数范围内y随x的增大而减小，当$x＜0$时该性质依然成立，符合要求；
2. 对于②$y=x$：属于正比例函数，比例系数$k=1＞0$，因此在全体实数范围内y随x的增大而增大，当$x＜0$时也随x的增大而增大，不符合要求；
3. 对于③$y=x^2$：属于二次函数，图像开口向上，对称轴为直线$x=0$，当$x＜0$时，即在对称轴左侧，y随x的增大而减小，符合要求。
综上，符合要求的函数有①和③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数的性质；二次函数$y=x^2$的性质
【点评】
本题考查常见函数的增减性判断，解题时要注意不同函数的增减性适用范围，尤其是二次函数的增减性需要结合开口方向、对称轴和取值区间共同判断，不能笼统套用结论。
【难度系数】
0.8
6. 学科特色 将军饮马模型「★☆」如图所示,点$A(1,m)$和$B(2,n)$分别在抛物线$y=x^2$和$y=-x^2$上.
(1)求点$A,B$之间的距离.
(2)若点$C$是点$B$关于$x$轴的对称点,点$P$是$x$轴上的动点,连接$PA,PB,PC,AB$,求$PA+PC$的最小值,并求此时点$P$的坐标.
(1)求点$A,B$之间的距离.
(2)若点$C$是点$B$关于$x$轴的对称点,点$P$是$x$轴上的动点,连接$PA,PB,PC,AB$,求$PA+PC$的最小值,并求此时点$P$的坐标.
答案
(1)把$(1,m)$代入$y=x^2$得$m=1$,
∴$ A(1,1)$.
把$(2,n)$代入$y=-x^2$得$n=-4$,
∴$ B(2,-4)$,
∴ 点$A,B$之间的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(-4-1)^2} = \sqrt{26}$.
(2)
∵ 点 $C$ 是点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点,
∴ $PC = PB$,
∴ $PA+PC = PA+PB$,
∵ 当 $A,B,P$ 三点共线时,$PA+PB$ 有最小值,为线段 $AB$ 的长,
∴ $PA+PC$ 的最小值为$\sqrt{26}$.
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,
把$(1,1)$和$(2,-4)$代入,得$\begin{cases}k+b=1,\\2k+b=-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-5,\\b=6,\end{cases}$
∴ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-5x+6$.
把$y=0$代入$y=-5x+6$得$-5x+6=0$,解得$x=\dfrac{6}{5}$,
∴ 点 $P$ 的坐标为$(\dfrac{6}{5},0)$.
∴$ A(1,1)$.
把$(2,n)$代入$y=-x^2$得$n=-4$,
∴$ B(2,-4)$,
∴ 点$A,B$之间的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(-4-1)^2} = \sqrt{26}$.
(2)
∵ 点 $C$ 是点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点,
∴ $PC = PB$,
∴ $PA+PC = PA+PB$,
∵ 当 $A,B,P$ 三点共线时,$PA+PB$ 有最小值,为线段 $AB$ 的长,
∴ $PA+PC$ 的最小值为$\sqrt{26}$.
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$,
把$(1,1)$和$(2,-4)$代入,得$\begin{cases}k+b=1,\\2k+b=-4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-5,\\b=6,\end{cases}$
∴ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-5x+6$.
把$y=0$代入$y=-5x+6$得$-5x+6=0$,解得$x=\dfrac{6}{5}$,
∴ 点 $P$ 的坐标为$(\dfrac{6}{5},0)$.
解析
【分析】
(1) 求A、B两点距离首先需要确定两点坐标：点在抛物线上则坐标满足抛物线解析式，将A、B的横坐标分别代入对应抛物线解析式，可求出两点纵坐标，得到完整坐标后再代入两点间距离公式即可求解。
(2) 本题属于将军饮马模型求线段和最小值问题：首先根据对称性质，点C是B关于x轴的对称点，因此x轴上任意点P都满足PC=PB，可将PA+PC转化为PA+PB；根据两点之间线段最短，当P落在AB与x轴的交点时，PA+PB最小，最小值为AB的长度；再用待定系数法求直线AB的解析式，求出直线与x轴的交点即为点P的坐标。
【解析】
(1) 把点$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，$\therefore A(1,1)$。
把点$B(2,n)$代入$y=-x^2$，得$n=-2^2=-4$，$\therefore B(2,-4)$。
根据两点间距离公式，点$A,B$之间的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(-4-1)^2} = \sqrt{1+25}=\sqrt{26}$。
(2) $\because$ 点 $C$ 是点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点，$\therefore$ 对x轴上任意点$P$都有$PC = PB$，
$\therefore PA+PC = PA+PB$。
根据两点之间线段最短，当 $A,B,P$ 三点共线时，$PA+PB$ 有最小值，为线段 $AB$ 的长，即$PA+PC$ 的最小值为$\sqrt{26}$。
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$，把$(1,1)$和$(2,-4)$代入，得
$\begin{cases}k+b=1,\\2k+b=-4,\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$k=-5$，将$k=-5$代入$k+b=1$得$b=6$，
$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-5x+6$。
点P在x轴上，即$y=0$，把$y=0$代入$y=-5x+6$得$-5x+6=0$，解得$x=\dfrac{6}{5}$，
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(\dfrac{6}{5},0)$。
【答案】
(1) $\sqrt{26}$
(2) $PA+PC$的最小值为$\sqrt{26}$，此时点$P$的坐标为$(\dfrac{6}{5},0)$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 两点间距离公式
3. 轴对称最短路径
【点评】
本题结合二次函数性质考查将军饮马模型的应用，解题核心是利用轴对称将线段和转化为两点间的线段长度，同时需要掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求A、B两点距离首先需要确定两点坐标：点在抛物线上则坐标满足抛物线解析式，将A、B的横坐标分别代入对应抛物线解析式，可求出两点纵坐标，得到完整坐标后再代入两点间距离公式即可求解。
(2) 本题属于将军饮马模型求线段和最小值问题：首先根据对称性质，点C是B关于x轴的对称点，因此x轴上任意点P都满足PC=PB，可将PA+PC转化为PA+PB；根据两点之间线段最短，当P落在AB与x轴的交点时，PA+PB最小，最小值为AB的长度；再用待定系数法求直线AB的解析式，求出直线与x轴的交点即为点P的坐标。
【解析】
(1) 把点$A(1,m)$代入$y=x^2$，得$m=1^2=1$，$\therefore A(1,1)$。
把点$B(2,n)$代入$y=-x^2$，得$n=-2^2=-4$，$\therefore B(2,-4)$。
根据两点间距离公式，点$A,B$之间的距离为$\sqrt{(2-1)^2+(-4-1)^2} = \sqrt{1+25}=\sqrt{26}$。
(2) $\because$ 点 $C$ 是点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点，$\therefore$ 对x轴上任意点$P$都有$PC = PB$，
$\therefore PA+PC = PA+PB$。
根据两点之间线段最短，当 $A,B,P$ 三点共线时，$PA+PB$ 有最小值，为线段 $AB$ 的长，即$PA+PC$ 的最小值为$\sqrt{26}$。
设直线 $AB$ 的表达式为 $y=kx+b(k≠0)$，把$(1,1)$和$(2,-4)$代入，得
$\begin{cases}k+b=1,\\2k+b=-4,\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得$k=-5$，将$k=-5$代入$k+b=1$得$b=6$，
$\therefore$ 直线 $AB$ 的表达式为 $y=-5x+6$。
点P在x轴上，即$y=0$，把$y=0$代入$y=-5x+6$得$-5x+6=0$，解得$x=\dfrac{6}{5}$，
$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(\dfrac{6}{5},0)$。
【答案】
(1) $\sqrt{26}$
(2) $PA+PC$的最小值为$\sqrt{26}$，此时点$P$的坐标为$(\dfrac{6}{5},0)$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 两点间距离公式
3. 轴对称最短路径
【点评】
本题结合二次函数性质考查将军饮马模型的应用，解题核心是利用轴对称将线段和转化为两点间的线段长度，同时需要掌握待定系数法求一次函数解析式的方法，属于常规考点题型。
【难度系数】
0.7
