1. 抛物线$y=(x-1)^2+3$的对称轴是（）

A.直线$x=1$
B.直线$x=3$
C.直线$x=-1$
D.直线$x=-3$

A

【分析】
本题考查二次函数顶点式的对称轴求法，解题思路如下：首先明确二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的结构特征，回忆该形式下对称轴的对应规律：对称轴为直线$x=h$，接下来对照题目给出的函数表达式，找到对应的$h$值即可，注意区分括号内的符号，避免把$h$的符号搞反。
【解析】
二次函数的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$，$a$、$h$、$k$为常数），其对称轴为直线$x=h$。
将给定抛物线$y=(x-1)^2+3$与顶点式对比，可得$h=1$，因此该抛物线的对称轴是直线$x=1$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数顶点式的性质
【点评】
本题属于基础题，重点考查对二次函数顶点式参数意义的理解，只要熟练掌握顶点式对应的对称轴规律，注意$h$的符号判断即可快速得分。
【难度系数】
0.9

2.(滁州琅琊区期末)二次函数$y=(x+1)^2 -2$图象的顶点在 （）

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

C

【分析】要判断二次函数图象的顶点所在象限，首先需要求出顶点坐标。题目给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，可直接利用顶点式的性质得到顶点坐标为$(h,k)$，注意式中括号内是$x+1$，需转化为$x-(-1)$的形式才能正确得到$h$的值；得到顶点坐标后，再结合四个象限内点的坐标符号规律（第一象限$(+,+)$、第二象限$(-,+)$、第三象限$(-,-)$、第四象限$(+,-)$），即可判断顶点所在象限。
【解析】
1. 二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\ne0$）的顶点坐标为$(h,k)$。
2. 将题干中的函数变形为标准顶点式：$y=(x+1)^2 -2=[x-(-1)]^2 + (-2)$，可得$h=-1$，$k=-2$，即顶点坐标为$(-1,-2)$。
3. 第三象限内的点横坐标为负、纵坐标为负，点$(-1,-2)$符合该特征，因此顶点在第三象限。
【答案】C
【知识点】二次函数顶点式的性质，平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】本题属于基础题型，核心考查对二次函数顶点式的识别和象限坐标特征的应用，解题时需注意顶点式中$h$的符号，避免将横坐标符号搞反导致出错。
【难度系数】0.85

3. 二次函数 $y=-2(x+1)^2+3$ 的最大值是（）

A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

D

【分析】
要确定二次函数的最大值，首先观察所给函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，先判断二次项系数$a$的正负确定开口方向：若$a＜0$，抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标$k$就是函数的最大值；再找到对应$k$的值即可得到结果。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$：
1. 判断开口方向：本题中$a=-2＜0$，所以抛物线开口向下，函数存在最大值，最大值为顶点的纵坐标。
2. 确定顶点纵坐标：所给函数为$y=-2(x+1)^2+3$，对应顶点式中的$k=3$，因此该二次函数的最大值是3。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数最值
【点评】
本题是基础类考题，核心考查二次函数顶点式中参数的意义，熟练掌握顶点式下开口方向与最值的对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象所对应的函数表达式可能为 （）

A.$y=-\dfrac{1}{2}x^2$
B.$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$
C.$y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2 -1$
D.$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$

D

【分析】
解题时首先观察图像特征：该二次函数开口向下，顶点在第三象限，与y轴交于负半轴。结合二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向，顶点坐标为$(h,k)$，先明确参数的取值要求，再逐一核对选项即可选出正确答案。
【解析】
二次函数顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其中$a＜0$时开口向下，顶点坐标为$(h,k)$。
观察图像可得：①开口向下，四个选项$a=-\frac{1}{2}＜0$，均满足条件；②顶点位于第三象限，即顶点横坐标$h＜0$，纵坐标$k＜0$。
对各选项逐一分析：
A. $y=-\dfrac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，不符合顶点在第三象限的特征，排除；
B. $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2$的顶点为$(-1,0)$，顶点在x轴上，不符合顶点在x轴下方的特征，排除；
C. $y=-\dfrac{1}{2}(x-1)^2 -1$的顶点为$(1,-1)$，顶点在y轴右侧，不符合顶点在y轴左侧的特征，排除；
D. $y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2 -1$的顶点为$(-1,-1)$，位于第三象限，符合所有图像特征，当选。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 二次函数图像与系数关系
3. 象限坐标特征
【点评】
本题是二次函数图像的基础常考题，解题核心是从图像中提取有效信息，结合顶点式的参数对应意义快速排查错误选项，掌握顶点式各参数的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5.已知二次函数$y=4(x-a)^2+2$，当$x＞1$时，y随x的增大而增大。符合条件的a的值可以是。(填一个即可)

1(答案不唯一)

【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的基本性质：二次项系数决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，开口方向结合对称轴可判断函数的增减性。本题中先根据二次项系数判断开口方向，再结合“$x＞1$时y随x增大而增大”的条件，推导出对称轴的取值范围，最后在范围内任选一个值即可。
【解析】
对于二次函数$y=4(x-a)^2+2$：
1. 二次项系数$4＞0$，因此抛物线开口向上；
2. 该函数的对称轴为直线$x=a$，开口向上的抛物线在对称轴右侧（即$x＞a$时），$y$随$x$的增大而增大；
3. 已知当$x＞1$时，$y$随$x$的增大而增大，说明$x＞1$的区间包含在对称轴右侧的增区间内，因此可得$a≤1$；
4. 取符合$a≤1$的任意值均可，例如$a=1$。
【答案】
1（答案不唯一，$a≤1$即可）
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数对称轴
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题核心是明确开口方向、对称轴与函数增减性的对应关系，只要熟练掌握顶点式的基本特征就能快速求解。
【难度系数】
0.8

6. 半开放性题新趋势已知二次函数 $y=-(x-4)^2+4$.
(1)写出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,并画出图象;
(2)观察图象,还可以得到该二次函数的哪些性质?(写出两条即可)

(1)开口向下,对称轴为直线$x=4$,顶点坐标为$(4,4)$,函数图象如图所示.
(2)答案不唯一,如:①当$x=4$时,函数取得最大值,$y_{最大值}=4$;②当$x＜4$时,$y$随$x$的增大而增大.

【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：
1. 对于第(1)问，首先识别给定函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，回忆该形式的性质：$a$的符号决定开口方向，$a＜0$时开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，直接代入参数即可得到对应结论；画图时先确定顶点、与x轴的交点等关键点，再描点连线即可。
2. 对于第(2)问，结合开口方向、对称轴，可从函数的最值、增减性、函数值正负对应的x范围等角度总结性质，写出合理的两条即可。
【解析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=-(x-4)^2+4$，属于顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$a=-1$，$h=4$，$k=4$：
① 因为$a=-1＜0$，所以函数图象开口向下；
② 对称轴为直线$x=h=4$；
③ 顶点坐标为$(h,k)=(4,4)$；
画图时，先确定关键点：顶点$(4,4)$，令$y=0$，解得$x=2$或$x=6$，即与x轴交点为$(2,0)$、$(6,0)$，描出这些点后用平滑曲线连接，得到的图象与题目所给图象一致。
(2) 结合图象可得到的性质（任选两条即可）：
① 因为函数开口向下，顶点为图象最高点，所以当$x=4$时，函数取得最大值，$y_{最大值}=4$；
② 开口向下，在对称轴左侧，即$x＜4$时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，即$x＞4$时，$y$随$x$的增大而减小；
③ 当$2＜x＜6$时，函数值$y＞0$；当$x＜2$或$x＞6$时，函数值$y＜0$。
【答案】
(1)开口向下,对称轴为直线$x=4$,顶点坐标为$(4,4)$,函数图象如图所示.
(2)答案不唯一,如:①当$x=4$时,函数取得最大值,$y_{最大值}=4$;②当$x＜4$时,$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图象；二次函数的增减性与最值
【点评】
本题是二次函数性质的基础考查题，重点要求学生掌握顶点式中各参数对应的图象特征，能结合图象分析函数的相关性质，有助于巩固二次函数的基础知识点。
【难度系数】
0.85

7.(宣城期末)抛物线$y=-2x^2$经过平移后得到$y=-2(x+2)^2-3$的图象,则平移的方法是（）

A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
B.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度
C.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度
D.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度

A

【分析】
要判断抛物线的平移方式，可通过两种思路：一是利用二次函数平移的“左加右减、上加下减”规律，直接对比平移前后函数解析式的变化；二是先确定平移前后两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移方向和距离，对应得到抛物线的平移方式，因为抛物线平移只改变位置，形状、开口均不变，顶点的平移和抛物线平移完全一致。
【解析】
方法1（规律法）：二次函数图象平移遵循“左加右减自变量，上加下减常数项”的规则。
原抛物线解析式为$y=-2x^2$，平移后解析式为$y=-2(x+2)^2-3$：
① 自变量$x$变为$x+2$，“加2”对应向左平移2个单位长度；
② 解析式整体后减3，“减3”对应向下平移3个单位长度。
方法2（顶点法）：
抛物线$y=-2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，
抛物线$y=-2(x+2)^2-3$的顶点坐标为$(-2,-3)$，
从顶点$(0,0)$到$(-2,-3)$：横坐标减少2，即向左平移2个单位长度；纵坐标减少3，即向下平移3个单位长度。
综上，平移方法是向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数平移的常规基础题，解题核心是掌握平移规律或者通过顶点坐标的变化判断平移方式，两种方法都能快速得到答案，是二次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

8. 将抛物线 $y=\frac{1}{2}x^2$ 先向上平移2个单位长度，再向左平移 $m(m＞0)$ 个单位长度，所得到的新抛物线经过点$(-1,4)$。
(1)求新抛物线的函数表达式；
(2)求新抛物线与$y$轴交点的坐标。

(1)由题意,得新抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+m)^2+2$.把$(-1,4)$代入,得$4=\frac{1}{2}(-1+m)^2+2$,解得$m_1=3$,$m_2=-1$(舍去).$\therefore$新抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+3)^2+2$.
(2)当$x=0$时,$y=\frac{1}{2}×(0+3)^2+2=\frac{13}{2}$,$\therefore$新抛物线与$y$轴交点的坐标为$(0,\dfrac{13}{2})$.

【分析】
(1) 先运用二次函数图象“上加下减、左加右减”的平移规律，写出平移后含参数m的抛物线解析式；再将已知点$(-1,4)$代入解析式得到关于m的方程，解方程后结合$m＞0$的条件舍去不合题意的解，即可确定m的值，得到新抛物线的函数表达式。
(2) 抛物线与y轴交点的横坐标为0，将$x=0$代入第一问求出的新抛物线解析式，计算对应的y值即可得到交点坐标。
【解析】
(1) 根据抛物线平移规律，向上平移2个单位、向左平移m个单位后，新抛物线的表达式为$y=\frac{1}{2}(x+m)^2+2$。
将点$(-1,4)$代入表达式得：
$4=\frac{1}{2}(-1+m)^2+2$
整理得$(m-1)^2=4$，解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
$\because m＞0$，$\therefore m=-1$舍去。
$\therefore$新抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}(x+3)^2+2$。
(2) 令$x=0$，代入新抛物线解析式得：
$y=\frac{1}{2}×(0+3)^2+2=\frac{13}{2}$
$\therefore$新抛物线与y轴交点的坐标为$(0,\frac{13}{2})$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{2}(x+3)^2+2$；(2) $(0,\dfrac{13}{2})$
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与坐标轴交点求法
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查平移规律的应用和函数交点的求解方法，只要熟记平移规则，掌握图象上点的坐标与解析式的关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.8