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9.若二次函数$y=3(x-3)^2$的图象如图所示，则坐标原点可能是（
A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
B
）A.点P
B.点Q
C.点M
D.点N
答案
B
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，再结合函数表达式和图像特征逐步推导：
1. 先明确$y=3(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，说明顶点在x轴（$y=0$）正半轴上，对应图像中抛物线的最低点（顶点）所在的下方横轴就是x轴，原点一定在这条x轴上，先排除上方横轴的点；
2. 再计算$x=0$时的函数值，得$y＞0$，说明y轴和抛物线的交点在x轴上方，结合顶点在原点右侧的特征，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-3)^2$：
1. 由顶点式性质可知，其开口向上，顶点坐标为$(3,0)$，即顶点在$y=0$的x轴正半轴上。观察图像，抛物线最低点（顶点）在下方横轴上，因此下方横轴是x轴，原点必然在下方横轴上，排除位于上方横轴的点P、点N，即排除A、D选项；
2. 将$x=0$代入函数得$y=3×(0-3)^2=27＞0$，即y轴（$x=0$）与抛物线的交点在x轴上方。若原点是点M，则右纵轴为y轴，顶点$(3,0)$应在M右侧，与图像中顶点在两纵轴之间（M左侧）矛盾，排除C选项；
3. 若原点是点Q，左纵轴为y轴，$x=0$时抛物线与y轴交于P点，$y＞0$符合计算结果，顶点$(3,0)$在Q右侧、两纵轴之间，完全符合图像特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图像特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式的图像与性质，解题的核心是抓住顶点坐标、特殊点的函数值两个关键信息，结合图像用排除法即可快速求解，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2$的性质，再结合函数表达式和图像特征逐步推导：
1. 先明确$y=3(x-3)^2$的顶点坐标为$(3,0)$，说明顶点在x轴（$y=0$）正半轴上，对应图像中抛物线的最低点（顶点）所在的下方横轴就是x轴，原点一定在这条x轴上，先排除上方横轴的点；
2. 再计算$x=0$时的函数值，得$y＞0$，说明y轴和抛物线的交点在x轴上方，结合顶点在原点右侧的特征，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
对于二次函数$y=3(x-3)^2$：
1. 由顶点式性质可知，其开口向上，顶点坐标为$(3,0)$，即顶点在$y=0$的x轴正半轴上。观察图像，抛物线最低点（顶点）在下方横轴上，因此下方横轴是x轴，原点必然在下方横轴上，排除位于上方横轴的点P、点N，即排除A、D选项；
2. 将$x=0$代入函数得$y=3×(0-3)^2=27＞0$，即y轴（$x=0$）与抛物线的交点在x轴上方。若原点是点M，则右纵轴为y轴，顶点$(3,0)$应在M右侧，与图像中顶点在两纵轴之间（M左侧）矛盾，排除C选项；
3. 若原点是点Q，左纵轴为y轴，$x=0$时抛物线与y轴交于P点，$y＞0$符合计算结果，顶点$(3,0)$在Q右侧、两纵轴之间，完全符合图像特征。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的图像特征
【点评】
本题考查二次函数顶点式的图像与性质，解题的核心是抓住顶点坐标、特殊点的函数值两个关键信息，结合图像用排除法即可快速求解，是对二次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.7
10.已知二次函数的图象经过点$P(2,2)$，顶点为坐标原点，将该图象向右平移，当它再次经过点$P$时，所得抛物线的函数表达式为
$y=\dfrac{1}{2}(x-4)^2$
。答案
$y=\dfrac{1}{2}(x-4)^2$
解析
【分析】
首先，已知原二次函数顶点为坐标原点，可先设其顶点式为$y=ax^2$，代入点$P$的坐标求出参数$a$，得到原函数解析式。再根据二次函数平移“左加右减”的规律，设向右平移$m(m＞0)$个单位，写出平移后的函数表达式，将点$P$坐标代入平移后的表达式，求解得到平移距离$m$（舍去平移距离为0的不合理解），即可得到最终的抛物线解析式。
【解析】
1. 求原二次函数解析式
∵ 原二次函数顶点为坐标原点，
∴ 设其解析式为$y=ax^2(a≠0)$
将点$P(2,2)$代入解析式，得：$2=a·2^2$
解得$a=\frac{1}{2}$，即原二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$
2. 求平移后的函数解析式
设抛物线向右平移了$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-m)^2$
∵ 平移后的抛物线经过点$P(2,2)$，代入得：
$2=\frac{1}{2}(2-m)^2$
两边同乘2得：$4=(2-m)^2$
开平方得：$2-m=\pm2$
当$2-m=2$时，$m=0$，不符合平移要求，舍去；
当$2-m=-2$时，解得$m=4$
因此平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-4)^2$
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x-4)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特点和平移规则，求解平移距离时注意结合题意舍去无效解即可。
【难度系数】
0.7
首先，已知原二次函数顶点为坐标原点，可先设其顶点式为$y=ax^2$，代入点$P$的坐标求出参数$a$，得到原函数解析式。再根据二次函数平移“左加右减”的规律，设向右平移$m(m＞0)$个单位，写出平移后的函数表达式，将点$P$坐标代入平移后的表达式，求解得到平移距离$m$（舍去平移距离为0的不合理解），即可得到最终的抛物线解析式。
【解析】
1. 求原二次函数解析式
∵ 原二次函数顶点为坐标原点，
∴ 设其解析式为$y=ax^2(a≠0)$
将点$P(2,2)$代入解析式，得：$2=a·2^2$
解得$a=\frac{1}{2}$，即原二次函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2$
2. 求平移后的函数解析式
设抛物线向右平移了$m(m＞0)$个单位，根据“左加右减”的平移规律，平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-m)^2$
∵ 平移后的抛物线经过点$P(2,2)$，代入得：
$2=\frac{1}{2}(2-m)^2$
两边同乘2得：$4=(2-m)^2$
开平方得：$2-m=\pm2$
当$2-m=2$时，$m=0$，不符合平移要求，舍去；
当$2-m=-2$时，解得$m=4$
因此平移后抛物线的解析式为$y=\frac{1}{2}(x-4)^2$
【答案】
$y=\dfrac{1}{2}(x-4)^2$
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数平移规律；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题关键是熟练掌握二次函数顶点式的特点和平移规则，求解平移距离时注意结合题意舍去无效解即可。
【难度系数】
0.7
11. 分类讨论 新理念 已知二次函数 $y=-(x-h)^2$（$h$为常数），当自变量 $x$ 的值满足 $2≤ x≤5$ 时，与其对应的函数值 $y$ 的最大值为 $-1$，则 $h$ 的值为
1或6
。答案
1或6
解析
【分析】
首先分析二次函数$y=-(x-h)^2$的基本性质：它的开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，函数的最大值为$0$（当$x=h$时取得）。题目中限定$2≤ x≤5$时函数最大值为$-1$，说明对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，否则最大值应为$0$，不符合题意。接下来分两种情况讨论：①当$h＜2$时，函数在区间$[2,5]$上单调递减，最大值在$x=2$处取得；②当$h＞5$时，函数在区间$[2,5]$上单调递增，最大值在$x=5$处取得。分别代入最大值为$-1$列方程求解，再验证解是否符合对应分类的范围即可。
【解析】
二次函数$y=-(x-h)^2$的开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，当$x=h$时，函数取得最大值$0$。
∵ 当$2≤ x≤5$时，函数的最大值为$-1$，
∴ 对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=2$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(2-h)^2=-1$，
整理得：$(2-h)^2=1$，
开方得：$2-h=\pm1$，
解得：$h=1$或$h=3$，
∵ $h＜2$，
∴ $h=3$舍去，取$h=1$；
2. 当$h＞5$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=5$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(5-h)^2=-1$，
整理得：$(5-h)^2=1$，
开方得：$5-h=\pm1$，
解得：$h=6$或$h=4$，
∵ $h＞5$，
∴ $h=4$舍去，取$h=6$。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
【答案】
1或6
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；分类讨论思想；二次函数最值计算
【点评】
本题的易错点是忽略对称轴的位置不确定，需要结合给定区间分类讨论，避免出现漏解或者多解的情况，解题时要注意验证所求的解是否符合对应分类的取值范围。
【难度系数】
0.6
首先分析二次函数$y=-(x-h)^2$的基本性质：它的开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，函数的最大值为$0$（当$x=h$时取得）。题目中限定$2≤ x≤5$时函数最大值为$-1$，说明对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，否则最大值应为$0$，不符合题意。接下来分两种情况讨论：①当$h＜2$时，函数在区间$[2,5]$上单调递减，最大值在$x=2$处取得；②当$h＞5$时，函数在区间$[2,5]$上单调递增，最大值在$x=5$处取得。分别代入最大值为$-1$列方程求解，再验证解是否符合对应分类的范围即可。
【解析】
二次函数$y=-(x-h)^2$的开口向下，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$，当$x=h$时，函数取得最大值$0$。
∵ 当$2≤ x≤5$时，函数的最大值为$-1$，
∴ 对称轴$x=h$不在区间$[2,5]$内，分两种情况讨论：
1. 当$h＜2$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而减小，因此当$x=2$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(2-h)^2=-1$，
整理得：$(2-h)^2=1$，
开方得：$2-h=\pm1$，
解得：$h=1$或$h=3$，
∵ $h＜2$，
∴ $h=3$舍去，取$h=1$；
2. 当$h＞5$时，在$2≤ x≤5$范围内，$y$随$x$的增大而增大，因此当$x=5$时，$y$取得最大值$-1$，
代入得：$-(5-h)^2=-1$，
整理得：$(5-h)^2=1$，
开方得：$5-h=\pm1$，
解得：$h=6$或$h=4$，
∵ $h＞5$，
∴ $h=4$舍去，取$h=6$。
综上，$h$的值为$1$或$6$。
【答案】
1或6
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；分类讨论思想；二次函数最值计算
【点评】
本题的易错点是忽略对称轴的位置不确定，需要结合给定区间分类讨论，避免出现漏解或者多解的情况，解题时要注意验证所求的解是否符合对应分类的取值范围。
【难度系数】
0.6
12.已知直线$y=x+1$与$x$轴交于点$A$，抛物线$y=-2x^2$平移后的顶点与点$A$重合.
(1)求平移后的抛物线$l$的函数表达式；
(2)若点$B(-\dfrac{3}{2},y_1),C(-\dfrac{1}{2},y_2),D(\dfrac{1}{2},y_3)$在抛物线$l$上，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小.
(1)求平移后的抛物线$l$的函数表达式；
(2)若点$B(-\dfrac{3}{2},y_1),C(-\dfrac{1}{2},y_2),D(\dfrac{1}{2},y_3)$在抛物线$l$上，试比较$y_1,y_2,y_3$的大小.
答案
(1)在$y=x+1$中,令$y=0$,则$x+1=0$,解得$x=-1$.$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$.$\therefore$平移后的抛物线$l$的函数表达式为$y=-2(x+1)^2$.
(2)$\because$抛物线$y=-2(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$,且开口向下,$\therefore$当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小.$\therefore y_1=y_2＞y_3$.
(2)$\because$抛物线$y=-2(x+1)^2$的对称轴为直线$x=-1$,且开口向下,$\therefore$当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小.$\therefore y_1=y_2＞y_3$.
解析
【分析】
(1) 首先求直线与x轴的交点A：x轴上所有点的纵坐标为0，将y=0代入直线解析式就能求出点A的坐标；抛物线平移时二次项系数a不变，已知平移后抛物线的顶点为A，直接代入二次函数顶点式即可得到抛物线l的解析式。
(2) 先确定抛物线l的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，分别计算三个点到对称轴的距离，即可比较三个函数值的大小；也可利用抛物线的对称性将对称点转化到对称轴同侧，再结合函数增减性比较。
【解析】
(1) 在直线$y=x+1$中，令$y=0$，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此点A的坐标为$(-1,0)$。
抛物线平移不改变二次项系数，即$a=-2$，平移后抛物线的顶点为$A(-1,0)$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），可得平移后的抛物线l的函数表达式为$y=-2(x+1)^2$。
(2) 抛物线$y=-2(x+1)^2$的二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
分别计算三个点到对称轴$x=-1$的距离：
点$B(-\dfrac{3}{2},y_1)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{3}{2}-(-1)\right|=\dfrac{1}{2}$；
点$C(-\dfrac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{1}{2}-(-1)\right|=\dfrac{1}{2}$；
点$D(\dfrac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{1}{2}-(-1)\right|=\dfrac{3}{2}$。
开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越近，函数值越大，因此$y_1=y_2＞y_3$。
【答案】
(1) $y=-2(x+1)^2$
(2) $y_1=y_2＞y_3$
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点 二次函数图象的平移 二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是先根据平移规律确定平移后抛物线的解析式，再结合开口方向、对称轴分析函数的增减性，也可直接代入横坐标计算函数值比较大小，方法灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
(1) 首先求直线与x轴的交点A：x轴上所有点的纵坐标为0，将y=0代入直线解析式就能求出点A的坐标；抛物线平移时二次项系数a不变，已知平移后抛物线的顶点为A，直接代入二次函数顶点式即可得到抛物线l的解析式。
(2) 先确定抛物线l的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线中，点到对称轴的距离越近，对应的函数值越大，分别计算三个点到对称轴的距离，即可比较三个函数值的大小；也可利用抛物线的对称性将对称点转化到对称轴同侧，再结合函数增减性比较。
【解析】
(1) 在直线$y=x+1$中，令$y=0$，得$x+1=0$，解得$x=-1$，因此点A的坐标为$(-1,0)$。
抛物线平移不改变二次项系数，即$a=-2$，平移后抛物线的顶点为$A(-1,0)$，根据二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$(h,k)$为顶点坐标），可得平移后的抛物线l的函数表达式为$y=-2(x+1)^2$。
(2) 抛物线$y=-2(x+1)^2$的二次项系数为$-2＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$。
分别计算三个点到对称轴$x=-1$的距离：
点$B(-\dfrac{3}{2},y_1)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{3}{2}-(-1)\right|=\dfrac{1}{2}$；
点$C(-\dfrac{1}{2},y_2)$到对称轴的距离：$\left|-\dfrac{1}{2}-(-1)\right|=\dfrac{1}{2}$；
点$D(\dfrac{1}{2},y_3)$到对称轴的距离：$\left|\dfrac{1}{2}-(-1)\right|=\dfrac{3}{2}$。
开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越近，函数值越大，因此$y_1=y_2＞y_3$。
【答案】
(1) $y=-2(x+1)^2$
(2) $y_1=y_2＞y_3$
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点 二次函数图象的平移 二次函数的图象与性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，解题核心是先根据平移规律确定平移后抛物线的解析式，再结合开口方向、对称轴分析函数的增减性，也可直接代入横坐标计算函数值比较大小，方法灵活，难度较低。
【难度系数】
0.8
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=(x-h)^2$与x轴只有一个交点M，与平行于x轴的直线l交于A，B两点.若$AB=3$，求点M到直线l的距离.
思维拓展 强化素养
思维拓展 强化素养
答案
$\because$直线$l// x$轴,$\therefore A,B$两点的纵坐标相同.设点$A$的纵坐标为$m$,则$m=(x-h)^2$,解得$x=h\pm\sqrt{m}$.$\therefore A(h-\sqrt{m},m),B(h+\sqrt{m},m)$.$\because AB=3$,$\therefore (h+\sqrt{m})-(h-\sqrt{m})=3$,解得$m=\dfrac{9}{4}$.$\because$点$M$在$x$轴上,$\therefore$点$M$到直线$l$的距离为$\dfrac{9}{4}$.
解析
【分析】
首先明确抛物线$y=(x-h)^2$的顶点M在x轴上，坐标为$(h,0)$，点M到直线$l$的距离就是直线$l$的纵坐标的数值（直线$l$在x轴上方）。由于直线$l$平行于x轴，A、B两点纵坐标相等，我们可以设该纵坐标为$m$，通过解方程$(x-h)^2=m$得到A、B两点的横坐标，再结合$AB=3$的条件求出$m$的值，即可得到所求距离。
【解析】
$\because$直线$l// x$轴，$\therefore A,B$两点的纵坐标相同。
设点$A$的纵坐标为$m$，则$m=(x-h)^2$，
解得$x=h\pm\sqrt{m}$，
$\therefore A(h-\sqrt{m},m)$，$B(h+\sqrt{m},m)$。
$\because AB=3$，
$\therefore (h+\sqrt{m})-(h-\sqrt{m})=3$，
化简得$2\sqrt{m}=3$，解得$m=\dfrac{9}{4}$。
$\because$点M在x轴上，纵坐标为0，
$\therefore$点M到直线$l$的距离为$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
$\dfrac{9}{4}$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数与一元二次方程；平行于坐标轴的直线的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的图象性质与方程思想的结合，解题时也可利用抛物线的对称性简化计算：抛物线对称轴为直线$x=h$，由$AB=3$可知点B到对称轴的距离为$\dfrac{3}{2}$，将$x=h+\dfrac{3}{2}$代入解析式直接求出的$y$值即为所求距离。
【难度系数】
0.7
首先明确抛物线$y=(x-h)^2$的顶点M在x轴上，坐标为$(h,0)$，点M到直线$l$的距离就是直线$l$的纵坐标的数值（直线$l$在x轴上方）。由于直线$l$平行于x轴，A、B两点纵坐标相等，我们可以设该纵坐标为$m$，通过解方程$(x-h)^2=m$得到A、B两点的横坐标，再结合$AB=3$的条件求出$m$的值，即可得到所求距离。
【解析】
$\because$直线$l// x$轴，$\therefore A,B$两点的纵坐标相同。
设点$A$的纵坐标为$m$，则$m=(x-h)^2$，
解得$x=h\pm\sqrt{m}$，
$\therefore A(h-\sqrt{m},m)$，$B(h+\sqrt{m},m)$。
$\because AB=3$，
$\therefore (h+\sqrt{m})-(h-\sqrt{m})=3$，
化简得$2\sqrt{m}=3$，解得$m=\dfrac{9}{4}$。
$\because$点M在x轴上，纵坐标为0，
$\therefore$点M到直线$l$的距离为$\dfrac{9}{4}$。
【答案】
$\dfrac{9}{4}$
【知识点】
二次函数$y=a(x-h)^2$的性质；二次函数与一元二次方程；平行于坐标轴的直线的坐标特征
【点评】
本题考查二次函数的图象性质与方程思想的结合，解题时也可利用抛物线的对称性简化计算：抛物线对称轴为直线$x=h$，由$AB=3$可知点B到对称轴的距离为$\dfrac{3}{2}$，将$x=h+\dfrac{3}{2}$代入解析式直接求出的$y$值即为所求距离。
【难度系数】
0.7
14. 已知 $ P(m,a) $ 是抛物线 $ y=a(x-1)^2 $ 上一点，且在第一象限内.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 过点 $ P $ 作 $ PQ // x $ 轴，交抛物线 $ y=a(x-1)^2 $ 于另一点 $ Q $. 若 $ a=3 $，求 $ △ OPQ $ 的面积.
(1) 求 $ m $ 的值；
(2) 过点 $ P $ 作 $ PQ // x $ 轴，交抛物线 $ y=a(x-1)^2 $ 于另一点 $ Q $. 若 $ a=3 $，求 $ △ OPQ $ 的面积.
答案
(1)把$P(m,a)$代入$y=a(x-1)^2$,得$a=a(m-1)^2$.$\because a≠0$,$\therefore (m-1)^2=1$,解得$m=2$或$m=0$.又$\because$点$P$在第一象限内,$\therefore m=2$.
(2)$\because a=3$,$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=3(x-1)^2$.$\because m=2,a=3$,$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$.令$y=3$,得$3=3(x-1)^2$,解得$x=2$或$x=0$.$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,3)$.$\therefore OQ=3$.$\therefore S_{△ OPQ}=\dfrac{1}{2}OQ· x_P=\dfrac{1}{2}×3×2=3$.
(2)$\because a=3$,$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=3(x-1)^2$.$\because m=2,a=3$,$\therefore$点$P$的坐标为$(2,3)$.令$y=3$,得$3=3(x-1)^2$,解得$x=2$或$x=0$.$\therefore$点$Q$的坐标为$(0,3)$.$\therefore OQ=3$.$\therefore S_{△ OPQ}=\dfrac{1}{2}OQ· x_P=\dfrac{1}{2}×3×2=3$.
解析
【分析】
(1) 解题思路：若点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式，因此先将$P(m,a)$代入抛物线$y=a(x-1)^2$，得到关于$m$的方程，求解后结合点$P$在第一象限（横坐标大于0）的限制条件，舍去不符合要求的解，即可得到$m$的值。
(2) 解题思路：先将$a=3$代入抛物线解析式确定函数表达式，结合第(1)问得到的$m$值写出$P$点坐标；由$PQ// x$轴可知$Q$点与$P$点纵坐标相等，将纵坐标代入抛物线解析式求出$Q$点的横坐标，得到$Q$点坐标；再利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把$P(m,a)$代入$y=a(x-1)^2$，得：
$a=a(m-1)^2$
$\because a≠0$，等式两边同时除以$a$得：$(m-1)^2=1$
解得$m=2$或$m=0$
又$\because$点$P$在第一象限内，横坐标$m＞0$
$\therefore$舍去$m=0$，即$m=2$。
(2) $\because a=3$，$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=3(x-1)^2$
结合$m=2$、$a=3$，得点$P$的坐标为$(2,3)$
$\because PQ// x$轴，$\therefore Q$点纵坐标与$P$点相同，均为3
令$y=3$，代入解析式得：$3=3(x-1)^2$
解得$x=2$或$x=0$，$\therefore Q$点坐标为$(0,3)$
$\therefore S_{△ OPQ}=\dfrac{1}{2}× PQ× y_P=\dfrac{1}{2}×(2-0)×3=3$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $△ OPQ$的面积为$3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题核心是掌握函数图象上的点满足对应函数解析式的性质，结合平行于坐标轴的点的坐标特征即可顺利求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
(1) 解题思路：若点在函数图象上，则点的横纵坐标满足函数解析式，因此先将$P(m,a)$代入抛物线$y=a(x-1)^2$，得到关于$m$的方程，求解后结合点$P$在第一象限（横坐标大于0）的限制条件，舍去不符合要求的解，即可得到$m$的值。
(2) 解题思路：先将$a=3$代入抛物线解析式确定函数表达式，结合第(1)问得到的$m$值写出$P$点坐标；由$PQ// x$轴可知$Q$点与$P$点纵坐标相等，将纵坐标代入抛物线解析式求出$Q$点的横坐标，得到$Q$点坐标；再利用三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 把$P(m,a)$代入$y=a(x-1)^2$，得：
$a=a(m-1)^2$
$\because a≠0$，等式两边同时除以$a$得：$(m-1)^2=1$
解得$m=2$或$m=0$
又$\because$点$P$在第一象限内，横坐标$m＞0$
$\therefore$舍去$m=0$，即$m=2$。
(2) $\because a=3$，$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=3(x-1)^2$
结合$m=2$、$a=3$，得点$P$的坐标为$(2,3)$
$\because PQ// x$轴，$\therefore Q$点纵坐标与$P$点相同，均为3
令$y=3$，代入解析式得：$3=3(x-1)^2$
解得$x=2$或$x=0$，$\therefore Q$点坐标为$(0,3)$
$\therefore S_{△ OPQ}=\dfrac{1}{2}× PQ× y_P=\dfrac{1}{2}×(2-0)×3=3$
【答案】
(1) $m=2$；(2) $△ OPQ$的面积为$3$
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数的性质
3. 三角形面积计算
【点评】
本题是二次函数基础常考题，解题核心是掌握函数图象上的点满足对应函数解析式的性质，结合平行于坐标轴的点的坐标特征即可顺利求解，整体难度较低。
【难度系数】
0.75
