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9.(六安金安区月考)已知抛物线$y=(x-h)^2 +4$经过$(-3,m)$和$(5,m)$两点，则$h$的值为（
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
A
）A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
答案
A
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：其对称轴为直线$x=h$。观察已知的两个点$(-3,m)$和$(5,m)$，纵坐标相同，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点，因此对称轴就是两点横坐标的中点，据此即可求出$h$的值。
【解析】
抛物线$y=(x-h)^2 +4$是二次函数的顶点式，它的对称轴为直线$x=h$。
因为点$(-3,m)$和$(5,m)$的纵坐标相等，所以这两个点关于抛物线的对称轴对称，
因此对称轴为两点横坐标的平均值，即：
$h=\frac{-3+5}{2}=1$
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数对称性
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是明确抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，结合顶点式的对称轴特征即可快速求解，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：其对称轴为直线$x=h$。观察已知的两个点$(-3,m)$和$(5,m)$，纵坐标相同，说明这两个点是抛物线上关于对称轴对称的点，因此对称轴就是两点横坐标的中点，据此即可求出$h$的值。
【解析】
抛物线$y=(x-h)^2 +4$是二次函数的顶点式，它的对称轴为直线$x=h$。
因为点$(-3,m)$和$(5,m)$的纵坐标相等，所以这两个点关于抛物线的对称轴对称，
因此对称轴为两点横坐标的平均值，即：
$h=\frac{-3+5}{2}=1$
【答案】
A
【知识点】
1.二次函数顶点式性质
2.二次函数对称性
【点评】
本题考查二次函数对称性的应用，解题的关键是明确抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，结合顶点式的对称轴特征即可快速求解，是二次函数部分的基础题型。
【难度系数】
0.8
10.(威海中考)已知点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+c$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
C
解析
【分析】
要比较三个函数值的大小，首先分析二次函数的性质：该二次函数为顶点式，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大。只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离，比较距离大小即可判断$y$值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2+c$：
1. 确定开口方向和对称轴：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 计算各点横坐标到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=2$的距离为$|-2-2|=4$；
点$(3,y_2)$到$x=2$的距离为$|3-2|=1$；
点$(7,y_3)$到$x=2$的距离为$|7-2|=5$；
3. 比较$y$值大小：$\because$开口向下时，点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大，且$1＜4＜5$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质；2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用开口方向结合点到对称轴的距离比较函数值大小，比直接代入解析式计算更快捷，是解决此类问题的常用技巧，解题时要注意先判断抛物线的开口方向，避免搞反$y$值与距离的对应关系。
【难度系数】
0.7
要比较三个函数值的大小，首先分析二次函数的性质：该二次函数为顶点式，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，开口向下的抛物线上的点，横坐标离对称轴越近，对应的函数值越大。只需计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离，比较距离大小即可判断$y$值的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=-(x-2)^2+c$：
1. 确定开口方向和对称轴：$\because a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$；
2. 计算各点横坐标到对称轴的距离：
点$(-2,y_1)$到$x=2$的距离为$|-2-2|=4$；
点$(3,y_2)$到$x=2$的距离为$|3-2|=1$；
点$(7,y_3)$到$x=2$的距离为$|7-2|=5$；
3. 比较$y$值大小：$\because$开口向下时，点到对称轴的距离越小，对应的函数值越大，且$1＜4＜5$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数顶点式的性质；2. 二次函数的增减性
【点评】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，利用开口方向结合点到对称轴的距离比较函数值大小，比直接代入解析式计算更快捷，是解决此类问题的常用技巧，解题时要注意先判断抛物线的开口方向，避免搞反$y$值与距离的对应关系。
【难度系数】
0.7
11. 转化思想 新理念 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y_1 = x^2$ 经过平移得到抛物线 $y_2 = (x - 2)^2 - 4$，其对称轴与两抛物线所围成的阴影部分的面积为 
8
。答案
8
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数平移的性质：平移不改变抛物线的形状和大小，仅改变位置。首先确定平移后抛物线的对称轴，再分析两条抛物线的平移距离，结合转化思想，将不规则的阴影部分面积通过割补转化为规则图形的面积，即可快速计算结果。
【解析】
解：抛物线$y_2=(x-2)^2-4$的对称轴为直线$x=2$。
由二次函数平移规律可知，抛物线$y_1=x^2$向右平移2个单位、再向下平移4个单位得到$y_2=(x-2)^2-4$。
因为平移不改变图形的形状和大小，我们可以对阴影部分进行割补：阴影部分可转化为底为2、高为4的矩形，
因此阴影部分面积$S=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数平移的性质，核心是利用转化思想将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积计算，能有效考查学生对图形变换的理解和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时先回忆二次函数平移的性质：平移不改变抛物线的形状和大小，仅改变位置。首先确定平移后抛物线的对称轴，再分析两条抛物线的平移距离，结合转化思想，将不规则的阴影部分面积通过割补转化为规则图形的面积，即可快速计算结果。
【解析】
解：抛物线$y_2=(x-2)^2-4$的对称轴为直线$x=2$。
由二次函数平移规律可知，抛物线$y_1=x^2$向右平移2个单位、再向下平移4个单位得到$y_2=(x-2)^2-4$。
因为平移不改变图形的形状和大小，我们可以对阴影部分进行割补：阴影部分可转化为底为2、高为4的矩形，
因此阴影部分面积$S=2×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数图象平移；割补法求面积；二次函数对称轴
【点评】
本题考查二次函数平移的性质，核心是利用转化思想将不规则的阴影面积转化为规则图形的面积计算，能有效考查学生对图形变换的理解和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
12. 抛物线$y=a(x+1)^2+2$的一部分如图所示，已知$A(-3,0)$，解答下列问题：
(1)求$a$的值；
(2)当$-2≤ x≤5$时，$y$的最小值为
(3)若将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移$h$个单位长度，得到的抛物线经过点$(-1,3)$，求$h$的值。
(1)求$a$的值；
(2)当$-2≤ x≤5$时，$y$的最小值为
-16
；(3)若将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移$h$个单位长度，得到的抛物线经过点$(-1,3)$，求$h$的值。
答案
(1)把$A(-3,0)$代入$y=a(x+1)^2+2$,得$0=4a+2$,解得$a=-\dfrac{1}{2}$.
(2)$-16$
(3)由(1),得抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$,$\therefore$平移后的抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+2+h$.把$(-1,3)$代入,得$3=-\dfrac{1}{2}×(-1+3)^2+2+h$,解得$h=3$.
(2)$-16$
(3)由(1),得抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$,$\therefore$平移后的抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+2+h$.把$(-1,3)$代入,得$3=-\dfrac{1}{2}×(-1+3)^2+2+h$,解得$h=3$.
解析
【分析】
(1) 求a的值：已知点A在抛物线上，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A(-3,0)代入抛物线解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a。
(2) 求区间内y的最小值：先由a的符号判断抛物线开口方向，再确定抛物线对称轴为x=-1；开口向下的抛物线，在给定区间内离对称轴越远的点对应的函数值越小，比较区间端点-2和5到对称轴x=-1的距离，代入较远的端点x值计算即可得到最小值。
(3) 求h的值：根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后的抛物线解析式，再将点(-1,3)代入平移后的解析式，得到关于h的方程，解方程即可求出h。
【解析】
(1) 将点A(-3,0)代入$y=a(x+1)^2+2$，得：
$0=a(-3+1)^2+2$，即$0=4a+2$，
解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$，
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
在$-2≤x≤5$范围内，点$x=5$到对称轴$x=-1$的距离更远，因此$x=5$时y取得最小值，
将$x=5$代入解析式得：$y=-\dfrac{1}{2}×(5+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}×36+2=-16$。
(3) 原抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$，
将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移h个单位长度后，解析式变为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x+1+2)^2+2+h=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+2+h$，
将点$(-1,3)$代入平移后的解析式，得：
$3=-\dfrac{1}{2}×(-1+3)^2+2+h$，
即$3=-2+2+h$，解得$h=3$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{1}{2}$；(2)$-16$；(3)$h=3$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数图象的平移
【点评】
本题围绕顶点式二次函数的性质设置考点，考察了待定系数法求参数、区间最值求解以及图象平移的规律，属于基础题型，熟练掌握二次函数的基本性质和平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 求a的值：已知点A在抛物线上，根据二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将A(-3,0)代入抛物线解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a。
(2) 求区间内y的最小值：先由a的符号判断抛物线开口方向，再确定抛物线对称轴为x=-1；开口向下的抛物线，在给定区间内离对称轴越远的点对应的函数值越小，比较区间端点-2和5到对称轴x=-1的距离，代入较远的端点x值计算即可得到最小值。
(3) 求h的值：根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后的抛物线解析式，再将点(-1,3)代入平移后的解析式，得到关于h的方程，解方程即可求出h。
【解析】
(1) 将点A(-3,0)代入$y=a(x+1)^2+2$，得：
$0=a(-3+1)^2+2$，即$0=4a+2$，
解得$a=-\dfrac{1}{2}$。
(2) 由(1)得抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$，
$\because a=-\dfrac{1}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=-1$，
在$-2≤x≤5$范围内，点$x=5$到对称轴$x=-1$的距离更远，因此$x=5$时y取得最小值，
将$x=5$代入解析式得：$y=-\dfrac{1}{2}×(5+1)^2+2=-\dfrac{1}{2}×36+2=-16$。
(3) 原抛物线解析式为$y=-\dfrac{1}{2}(x+1)^2+2$，
将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移h个单位长度后，解析式变为：
$y=-\dfrac{1}{2}(x+1+2)^2+2+h=-\dfrac{1}{2}(x+3)^2+2+h$，
将点$(-1,3)$代入平移后的解析式，得：
$3=-\dfrac{1}{2}×(-1+3)^2+2+h$，
即$3=-2+2+h$，解得$h=3$。
【答案】
(1)$a=-\dfrac{1}{2}$；(2)$-16$；(3)$h=3$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；二次函数图象的平移
【点评】
本题围绕顶点式二次函数的性质设置考点，考察了待定系数法求参数、区间最值求解以及图象平移的规律，属于基础题型，熟练掌握二次函数的基本性质和平移规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
13.（教材P27习题T15变式）如图，已知抛物线$y=a(x-h)^2+k(a≠0)$经过原点O，与x轴的另一个交点为点B，顶点为A(2,1)。
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$P(m,n)$是此抛物线上一点，且$n＞-3$，则m的取值范围是
(3)若抛物线上有一点M，使$△ BOM$的面积是$△ AOB$的面积的3倍，求点M的坐标。
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若$P(m,n)$是此抛物线上一点，且$n＞-3$，则m的取值范围是
-2＜m＜6
；(3)若抛物线上有一点M，使$△ BOM$的面积是$△ AOB$的面积的3倍，求点M的坐标。
答案
(1)由题意,得抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+1$.把$(0,0)$代入,得$4a+1=0$,解得$a=-\dfrac{1}{4}$.$\therefore$抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$.
(2)$-2＜m＜6$
(3)由题意,得$|y_M|=3y_A=3$,$\therefore$点$M$的纵坐标是$-3$.令$y=-3$,则$-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$,解得$x_1=6$,$x_2=-2$.$\therefore$点$M$的坐标为$(6,-3)$或$(-2,-3)$.
(2)$-2＜m＜6$
(3)由题意,得$|y_M|=3y_A=3$,$\therefore$点$M$的纵坐标是$-3$.令$y=-3$,则$-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$,解得$x_1=6$,$x_2=-2$.$\therefore$点$M$的坐标为$(6,-3)$或$(-2,-3)$.
解析
【分析】
(1)已知抛物线顶点坐标，可直接设顶点式表达式，再将原点坐标代入求出未知系数a，即可得到抛物线解析式；
(2)先求出当n=-3时对应的m值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到n＞-3时m的取值范围；
(3)△AOB与△BOM同底为OB，面积比等于两个三角形高的比值（即点A、点M纵坐标的绝对值之比），由此先确定点M的纵坐标，再代入解析式求解横坐标即可。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为A(2,1)，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+1$，
将原点O(0,0)代入表达式得：$0=a×(0-2)^2+1$，即$4a+1=0$，
解得$a=-\dfrac{1}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$。
(2) 令$y=-3$，代入解析式得：
$-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$，
移项整理得$(x-2)^2=16$，
解得$x_1=6$，$x_2=-2$，
∵抛物线开口向下（$a=-\dfrac{1}{4}＜0$），
∴当$n＞-3$时，m的取值范围是$-2＜m＜6$。
(3) 抛物线对称轴为直线$x=2$，且过原点O(0,0)，因此与x轴另一交点B的坐标为(4,0)，即OB=4。
△AOB的面积为$\dfrac{1}{2}× OB × y_A = \dfrac{1}{2}×4×1=2$，
则△BOM的面积为$2×3=6$，
设点M的纵坐标为$y_M$，则$\dfrac{1}{2}× OB × |y_M|=6$，
代入OB=4得$|y_M|=3$，
∵抛物线的最大值为顶点纵坐标1，因此$y_M=-3$，
将$y=-3$代入解析式得$-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$，
解得$x_1=6$，$x_2=-2$，
∴点M的坐标为$(6,-3)$或$(-2,-3)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$
(2) $-2＜m＜6$
(3) $(6,-3)$或$(-2,-3)$
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数图像性质；二次函数与面积计算
【点评】
本题围绕顶点式二次函数展开考察，解题过程中需结合数形结合思想简化计算，其中同底三角形面积比等于高的比的技巧可大幅提升解题效率，是二次函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1)已知抛物线顶点坐标，可直接设顶点式表达式，再将原点坐标代入求出未知系数a，即可得到抛物线解析式；
(2)先求出当n=-3时对应的m值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到n＞-3时m的取值范围；
(3)△AOB与△BOM同底为OB，面积比等于两个三角形高的比值（即点A、点M纵坐标的绝对值之比），由此先确定点M的纵坐标，再代入解析式求解横坐标即可。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为A(2,1)，
∴设抛物线的函数表达式为$y=a(x-2)^2+1$，
将原点O(0,0)代入表达式得：$0=a×(0-2)^2+1$，即$4a+1=0$，
解得$a=-\dfrac{1}{4}$，
∴抛物线的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$。
(2) 令$y=-3$，代入解析式得：
$-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$，
移项整理得$(x-2)^2=16$，
解得$x_1=6$，$x_2=-2$，
∵抛物线开口向下（$a=-\dfrac{1}{4}＜0$），
∴当$n＞-3$时，m的取值范围是$-2＜m＜6$。
(3) 抛物线对称轴为直线$x=2$，且过原点O(0,0)，因此与x轴另一交点B的坐标为(4,0)，即OB=4。
△AOB的面积为$\dfrac{1}{2}× OB × y_A = \dfrac{1}{2}×4×1=2$，
则△BOM的面积为$2×3=6$，
设点M的纵坐标为$y_M$，则$\dfrac{1}{2}× OB × |y_M|=6$，
代入OB=4得$|y_M|=3$，
∵抛物线的最大值为顶点纵坐标1，因此$y_M=-3$，
将$y=-3$代入解析式得$-3=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$，
解得$x_1=6$，$x_2=-2$，
∴点M的坐标为$(6,-3)$或$(-2,-3)$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+1$
(2) $-2＜m＜6$
(3) $(6,-3)$或$(-2,-3)$
【知识点】
二次函数顶点式应用；二次函数图像性质；二次函数与面积计算
【点评】
本题围绕顶点式二次函数展开考察，解题过程中需结合数形结合思想简化计算，其中同底三角形面积比等于高的比的技巧可大幅提升解题效率，是二次函数基础应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
