8. [2026合肥四十六期中]已知线段$a,b,c$,求作线段$x$,使$x=\frac{ac}{b}$,下列作法中(图中虚线均为平行线)正确的是 ()

选项A,根据平行线分线段成比例的基本事实,得$\frac{b}{a}=\frac{x}{c}$,则$x=\frac{bc}{a}$,不符合题意;选项B,根据平行线分线段成比例的基本事实,得$\frac{a}{c}=\frac{x}{b}$,则$x=\frac{ab}{c}$,不符合题意;选项C,根据平行线分线段成比例的基本事实,得$\frac{b}{a}=\frac{x}{c}$,则$x=\frac{bc}{a}$,不符合题意;选项D,根据平行线分线段成比例的基本事实,得$\frac{b}{a}=\frac{c}{x}$,则$x=\frac{ac}{b}$,符合题意.

9. 跨学科·音乐 [2026合肥四十二中月考] 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3，则线段BC的长是 ()

A.$\frac{2}{3}$
B.1
C.$\frac{3}{2}$
D.2

如图,过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于点D,交点C所在的平行横线于点E,则$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}$,即$\frac{3}{BC}=2$,解得$BC=\frac{3}{2}$.

10. [2026滁州期中]如图,在$□ ABCD$中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,$EF=1$,$EC=3$,则GF的长为（）

A.4
B.6
C.8
D.10

$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore AD// BC$,$AB// CD$,$\therefore \frac{DE}{BE}=\frac{EF}{EC}$,$\frac{DE}{BE}=\frac{EC}{EG}$,$\therefore \frac{EF}{EC}=\frac{EC}{EG}$(等量代换). 又$\because EF=1$,$EC=3$,$\therefore EG=9$,$\therefore GF=EG-EF=8$.

11. [2025上海静安区期中] 如图，$DE // FG // BC$，$AD:DF:FB = 2:3:4$。如果$EG = 4$，那么AC的长为。

$\because DE// FG// BC$,$\therefore AE: EG: GC = AD: DF: FB = 2:3:4$.
又$\because EG=4$,$\therefore AE=\frac{8}{3}$,$GC=\frac{16}{3}$,$\therefore AC=AE+EG+GC=12$.

12. [2026安庆期中]如图,在$△ ABC$中,D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,$DE// BC$,$EF// AB$,且$AD:DB=3:5$,则$CF:CB=$.

$\because DE// BC$,$\therefore AD: DB = AE: EC$,$\therefore \frac{AB}{DB}=\frac{AC}{CE}$.$\because AD: DB=3:5$,$\therefore AB: DB=8:5$,$\therefore AC: CE=8:5$.$\because EF// AB$,$\therefore CF: CB = CE: CA = 5:8$.

13. [2026合肥瑶海区期中]在$△ ABC$中,点D在BC边上,点E在AC边上,AD与BE交于点F.
(1)如图1,D是BC的中点,F是AD的中点,$DG// BE$交AC于点G,求证:$\frac{AE}{EC}=\frac{1}{2}$.
(2)如图2,若$BD:DC=1:4,AF:FD=3:2$,求$\frac{AE}{EC}$的值.

(1)证明:$\because D$是$BC$的中点,$\therefore CD = BD$.
$\because DG// BE$,$\therefore \frac{CD}{BD}=\frac{CG}{EG}=1$,$\therefore CG=EG$.
$\because F$是$AD$的中点,$\therefore AF = DF$.
$\because DG// BE$,$\therefore \frac{AE}{EG}=\frac{AF}{FD}=1$,$\therefore AE=EG$,
$\therefore AE=CG=EG$,$\therefore \frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EG+CG}=\frac{1}{2}$.
(2)解:如图,过点D作$DH// BE$交AC于点H.
$\because BD: DC = 1:4$,$DH// BE$,
$\therefore \frac{HE}{CH}=\frac{BD}{DC}=\frac{1}{4}$,$\therefore CH=4HE$.
$\because AF: FD = 3:2$,$DH// BE$,
$\therefore \frac{AE}{HE}=\frac{AF}{DF}=\frac{3}{2}$,$\therefore AE=\frac{3}{2}HE$.
$\because AE: EC = (\frac{3}{2}HE):(HE+4HE)=3:10$,
$\therefore \frac{AE}{EC}$的值为$\frac{3}{10}$.

14. 应用意识 [2026六安九中期中]请阅读以下材料，
并完成相应的问题.
角平分线分线段成比例定理:如图1,在△ABC中,AD平分∠BAC,则$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
下面是这个定理的部分证明过程.
证明:如图2,过点C作CE//DA,交BA的延长线于点E……
任务:(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分；
(2)如图3,在Rt△ABC中,AB = 3,BC = 4,∠ABC = 90°,AD平分∠BAC,则△ABD的周长是.

(1)解:$\because CE// AD$,$\therefore \frac{BD}{CD}=\frac{BA}{EA}$,$∠ 2 = ∠ ACE$,$∠ 1 = ∠ E$.
$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$,$\therefore ∠ ACE = ∠ E$,$\therefore AE = AC$,
$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.
(2)$\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AB=3$,$BC=4$,$∠ ABC=90°$,根据勾股定理,得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because AD$平分$∠ BAC$,$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{CD}{BD}$,即$\frac{5}{3}=\frac{CD}{BD}$,$\therefore BD=\frac{3}{8}BC=\frac{3}{2}$,$\therefore AD=\sqrt{BD^2+AB^2}=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+3^2}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$,$\therefore △ ABD$的周长为$\frac{3}{2}+3+\frac{3\sqrt{5}}{2}=\frac{9+3\sqrt{5}}{2}$.