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1. 新情境 [2025泸州中考] 下列人工智能助手图标中,是轴对称图形的是 (
C
) 答案
1 C
解析
【分析】
要判断一个图形是否为轴对称图形，需依据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需对四个选项逐一验证，看是否存在满足要求的直线即可。
【解析】
首先明确轴对称图形的定义：在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线称为对称轴。
对各选项逐一分析：
选项A：该海豚图案无法找到一条直线，使得沿直线折叠后图形两部分完全重合，不是轴对称图形；
选项B：该火焰图案无符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C：该图案存在过中心的竖直对称轴，沿这条直线折叠后，直线两旁的部分可完全重合，属于轴对称图形；
选项D：该图案不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握轴对称图形的定义，通过逐一排查选项即可快速得出正确结果，解题时要注意仔细观察图形细节，避免看错图形特征选错答案。
【难度系数】
0.9
要判断一个图形是否为轴对称图形，需依据轴对称图形的定义：平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需对四个选项逐一验证，看是否存在满足要求的直线即可。
【解析】
首先明确轴对称图形的定义：在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，这条直线称为对称轴。
对各选项逐一分析：
选项A：该海豚图案无法找到一条直线，使得沿直线折叠后图形两部分完全重合，不是轴对称图形；
选项B：该火焰图案无符合要求的对称轴，不是轴对称图形；
选项C：该图案存在过中心的竖直对称轴，沿这条直线折叠后，直线两旁的部分可完全重合，属于轴对称图形；
选项D：该图案不存在符合要求的对称轴，不是轴对称图形。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
轴对称图形的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是熟练掌握轴对称图形的定义，通过逐一排查选项即可快速得出正确结果，解题时要注意仔细观察图形细节，避免看错图形特征选错答案。
【难度系数】
0.9
2. [2025甘孜州中考]在平面直角坐标系中，点P(1，2)关于y轴对称的点在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
2 B 点 $P(1,2)$ 关于 $y$ 轴对称的点的坐标为 $(-1,2)$,在第二象限.
解析
【分析】
要解决这道题可以分两步思考：第一步先回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律，据此计算出点P关于y轴对称的点的坐标；第二步结合平面直角坐标系四个象限的坐标符号特征，判断对称点所在的象限即可。
【解析】
首先，关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数。
已知点P的坐标是(1,2)，那么它关于y轴对称的点的横坐标为-1，纵坐标仍为2，即对称点坐标为(-1,2)。
再根据象限的坐标符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点(-1,2)位于第二象限。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；象限的坐标符号特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标对称的基础规律和象限的判断，熟练掌握相关基础概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要解决这道题可以分两步思考：第一步先回忆关于y轴对称的点的坐标变化规律，据此计算出点P关于y轴对称的点的坐标；第二步结合平面直角坐标系四个象限的坐标符号特征，判断对称点所在的象限即可。
【解析】
首先，关于y轴对称的点的坐标特征为：纵坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数。
已知点P的坐标是(1,2)，那么它关于y轴对称的点的横坐标为-1，纵坐标仍为2，即对称点坐标为(-1,2)。
再根据象限的坐标符号特征：第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，可知点(-1,2)位于第二象限。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；象限的坐标符号特征
【点评】
本题属于基础题，主要考查坐标对称的基础规律和象限的判断，熟练掌握相关基础概念就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 新情境[2024福建中考]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E,F分别是底边AB,CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是 (
A.$OB ⊥ OD$
B.$∠ BOC = ∠ AOB$
C.$OE = OF$
D.$∠ BOC + ∠ AOD = 180°$
B
)A.$OB ⊥ OD$
B.$∠ BOC = ∠ AOB$
C.$OE = OF$
D.$∠ BOC + ∠ AOD = 180°$
答案
3 B $\because △ OAB$ 与 $△ ODC$ 都是等腰三角形,点 $E,F$ 分别是底边 $AB,CD$ 的中点,$\therefore ∠ AOE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ AOB,∠ COF = ∠ DOF = \dfrac{1}{2}∠ COD$(依据:等腰三角形“三线合一”). $\because OE ⊥ OF$,$\therefore ∠ EOF = 90°$,$\because △ OAB$ 与 $△ ODC$ 关于直线 $l$ 对称,$\therefore ∠ AOB = ∠ DOC,OE = OF$,$\therefore ∠ BOE = ∠ DOF$,$\therefore ∠ BOD = ∠ BOF + ∠ DOF = ∠ BOF + ∠ BOE = ∠ EOF = 90°$,即 $OB ⊥ OD$,故 A,C 推断正确. $\because ∠ BOC + ∠ AOD = ∠ BOC + (∠ AOE + ∠ DOF + ∠ EOF) = ∠ BOC + ∠ BOE + ∠ COF + ∠ EOF = 2∠ EOF = 180°$,故 D 推断正确. 根据题中条件无法判断 $∠ BOC$ 与 $∠ AOB$ 是否相等,故 B 推断错误,满足题意.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合已知条件逐步推导：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到底边上的中线同时是顶角的角平分线，再结合轴对称的性质得到对应角、对应线段的等量关系，最后结合OE⊥OF的条件，逐一验证四个选项的推断是否成立，无法证明成立的即为错误选项。
【解析】
∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，点E,F分别是底边AB,CD的中点，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$∠ AOE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ AOB$，$∠ COF = ∠ DOF = \dfrac{1}{2}∠ COD$。
∵△OAB与△ODC关于直线$l$对称，
∴根据轴对称的性质，对应角相等、对应线段相等，得$∠ AOB = ∠ DOC$，$OE = OF$，故C选项推断正确；
∴$∠ BOE = ∠ DOF$，
又
∵$OE⊥ OF$，
∴$∠ EOF = 90°$，
∴$∠ BOD = ∠ BOF + ∠ DOF = ∠ BOF + ∠ BOE = ∠ EOF = 90°$，即$OB⊥ OD$，故A选项推断正确；
计算$∠ BOC + ∠ AOD$：
$∠ AOD = ∠ AOE + ∠ DOF + ∠ EOF$，又$∠ AOE=∠ BOE$，$∠ DOF=∠ COF$，
∴$∠ BOC + ∠ AOD = ∠ BOC + ∠ BOE + ∠ COF + ∠ EOF = ∠ EOF + ∠ EOF = 2×90°=180°$，故D选项推断正确；
现有题给条件无法证明$∠ BOC$和$∠ AOB$相等，故B选项推断错误。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；轴对称的性质；角的和差计算
【点评】
本题以创意图案为背景，综合考查几何基础性质的应用，解题时需要准确提取图形中的对称关系、等腰三角形的特殊性质，通过角的等量代换逐一验证选项，注重对基础性质灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以结合已知条件逐步推导：首先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得到底边上的中线同时是顶角的角平分线，再结合轴对称的性质得到对应角、对应线段的等量关系，最后结合OE⊥OF的条件，逐一验证四个选项的推断是否成立，无法证明成立的即为错误选项。
【解析】
∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，点E,F分别是底边AB,CD的中点，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得：
$∠ AOE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ AOB$，$∠ COF = ∠ DOF = \dfrac{1}{2}∠ COD$。
∵△OAB与△ODC关于直线$l$对称，
∴根据轴对称的性质，对应角相等、对应线段相等，得$∠ AOB = ∠ DOC$，$OE = OF$，故C选项推断正确；
∴$∠ BOE = ∠ DOF$，
又
∵$OE⊥ OF$，
∴$∠ EOF = 90°$，
∴$∠ BOD = ∠ BOF + ∠ DOF = ∠ BOF + ∠ BOE = ∠ EOF = 90°$，即$OB⊥ OD$，故A选项推断正确；
计算$∠ BOC + ∠ AOD$：
$∠ AOD = ∠ AOE + ∠ DOF + ∠ EOF$，又$∠ AOE=∠ BOE$，$∠ DOF=∠ COF$，
∴$∠ BOC + ∠ AOD = ∠ BOC + ∠ BOE + ∠ COF + ∠ EOF = ∠ EOF + ∠ EOF = 2×90°=180°$，故D选项推断正确；
现有题给条件无法证明$∠ BOC$和$∠ AOB$相等，故B选项推断错误。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；轴对称的性质；角的和差计算
【点评】
本题以创意图案为背景，综合考查几何基础性质的应用，解题时需要准确提取图形中的对称关系、等腰三角形的特殊性质，通过角的等量代换逐一验证选项，注重对基础性质灵活运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. [2025潍坊中考]如图,甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地. 甲:$A→C→B$,路程为$l_{甲}$. 乙:$A→D→E→F→B$,路程为$l_{乙}$. 丙:$A→G→H→B$,路程为$l_{丙}$. 下列关系正确的是
（
A.$l_{甲}＞l_{乙}＞l_{丙}$
B.$l_{乙}＞l_{甲}＞l_{丙}$
C.$l_{甲}＞l_{丙}＞l_{乙}$
D.$l_{甲}=l_{乙}＞l_{丙}$
（
D
）A.$l_{甲}＞l_{乙}＞l_{丙}$
B.$l_{乙}＞l_{甲}＞l_{丙}$
C.$l_{甲}＞l_{丙}＞l_{乙}$
D.$l_{甲}=l_{乙}＞l_{丙}$
答案
4 D 设 $AB = a$,在题图甲中,$\because ∠ A = ∠ B = 60°$,$\therefore △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AC = BC = AB = a$,$\therefore$ 甲行走的路程 $l_{\mathrm{甲}} = AC + BC = 2a$. 在题图乙中,$AE + BE = AB = a$,$\because ∠ A = ∠ AED = ∠ FEB = ∠ B = 60°$,$\therefore △ DAE$ 和 $△ FEB$ 都是等边三角形,$\therefore AD = DE = AE,EF = FB = EB$,$\therefore$ 乙行走的路程 $l_{\mathrm{乙}} = AD + DE + EF + FB = 2(AE + BE) = 2a$. 如图,延长 $AG,BH$ 交于点 $P$,$\therefore ∠ A = ∠ B = 60°$,$\therefore △ ABP$ 是等边三角形,$\therefore AP = BP = AB = a$,根据三角形三边关系得 $GH ＜ PG + PH$,$\therefore AG + GH + HB ＜ AG + HB + PG + PH = PA + PB = 2a$,$\therefore$ 丙行走的路程 $l_{\mathrm{丙}} = AG + GH + HB ＜ 2a$,$\therefore l_{\mathrm{甲}} = l_{\mathrm{乙}} ＞ l_{\mathrm{丙}}$.
解析
【分析】
要比较三人从A到B的路程大小，我们可先设AB的长度为a，分别推导三人路程和a的关系：①甲的路线对应大等边三角形的两条边，利用等边三角形性质可直接算出$l_甲$；②乙的路线对应两个小等边三角形的边，通过边长转化可得到$l_乙$的长度；③丙的路线通过延长AG、BH构造等边三角形，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”推导$l_丙$的范围，最后比较三者大小即可。
【解析】
设$AB = a$，
1. 计算甲的路程：在题图甲中，$\because ∠A = ∠B = 60°$，$\therefore △ABC$是等边三角形，$\therefore AC = BC = AB = a$，$\therefore l_{\mathrm{甲}} = AC + BC = a + a = 2a$。
2. 计算乙的路程：在题图乙中，$AE + BE = AB = a$，$\because ∠A = ∠AED = 60°$，$\therefore △DAE$是等边三角形，得$AD = DE = AE$；同理$∠B = ∠FEB = 60°$，$△ FEB$是等边三角形，得$EF = FB = EB$，$\therefore l_{\mathrm{乙}} = AD + DE + EF + FB = AE + AE + EB + EB = 2(AE + EB) = 2a$。
3. 推导丙的路程范围：如下图，延长$AG$、$BH$交于点$P$，$\because ∠A = ∠B = 60°$，$\therefore △ABP$是等边三角形，$\therefore AP = BP = AB = a$。根据三角形三边关系，在$△ PGH$中，$GH ＜ PG + PH$，$\therefore l_{\mathrm{丙}} = AG + GH + HB ＜ AG + PG + PH + HB = AP + BP = a + a = 2a$。
综上可得$l_{\mathrm{甲}} = l_{\mathrm{乙}} ＞ l_{\mathrm{丙}}$。
【答案】D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题将路程比较问题和几何知识结合，解题核心是利用等边三角形的性质完成边长的等量转化，再借助三角形三边关系判断丙的路程范围，能很好地考查学生的几何转化能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要比较三人从A到B的路程大小，我们可先设AB的长度为a，分别推导三人路程和a的关系：①甲的路线对应大等边三角形的两条边，利用等边三角形性质可直接算出$l_甲$；②乙的路线对应两个小等边三角形的边，通过边长转化可得到$l_乙$的长度；③丙的路线通过延长AG、BH构造等边三角形，再结合三角形三边关系“两边之和大于第三边”推导$l_丙$的范围，最后比较三者大小即可。
【解析】
设$AB = a$，
1. 计算甲的路程：在题图甲中，$\because ∠A = ∠B = 60°$，$\therefore △ABC$是等边三角形，$\therefore AC = BC = AB = a$，$\therefore l_{\mathrm{甲}} = AC + BC = a + a = 2a$。
2. 计算乙的路程：在题图乙中，$AE + BE = AB = a$，$\because ∠A = ∠AED = 60°$，$\therefore △DAE$是等边三角形，得$AD = DE = AE$；同理$∠B = ∠FEB = 60°$，$△ FEB$是等边三角形，得$EF = FB = EB$，$\therefore l_{\mathrm{乙}} = AD + DE + EF + FB = AE + AE + EB + EB = 2(AE + EB) = 2a$。
3. 推导丙的路程范围：如下图，延长$AG$、$BH$交于点$P$，$\because ∠A = ∠B = 60°$，$\therefore △ABP$是等边三角形，$\therefore AP = BP = AB = a$。根据三角形三边关系，在$△ PGH$中，$GH ＜ PG + PH$，$\therefore l_{\mathrm{丙}} = AG + GH + HB ＜ AG + PG + PH + HB = AP + BP = a + a = 2a$。
综上可得$l_{\mathrm{甲}} = l_{\mathrm{乙}} ＞ l_{\mathrm{丙}}$。
【答案】D
【知识点】
等边三角形的判定与性质；三角形三边关系
【点评】
本题将路程比较问题和几何知识结合，解题核心是利用等边三角形的性质完成边长的等量转化，再借助三角形三边关系判断丙的路程范围，能很好地考查学生的几何转化能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
5. [2025滨州中考]如图，△ABC的两个外角的平分线AD，CE相交于点O.若点O到BC的距离为3.5，AB=4，则△ABO的面积为
7
.答案
5 7 如图,作 $OP ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $P,OQ ⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $Q,OR ⊥ AC$ 于点 $R$. $\because △ ABC$ 的两个外角的平分线 $AD,CE$ 相交于点 $O$,$\therefore OP = OR,OQ = OR$,$\therefore OP = OQ$. $\because$ 点 $O$ 到 $BC$ 的距离为 $3.5$,$\therefore OP = OQ = 3.5$. $\because AB = 4$,$\therefore S_{△ ABO} = \dfrac{1}{2}AB · OP = \dfrac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$.
解析
【分析】
要求△ABO的面积，已知底AB的长度为4，只需要求出点O到AB边的距离即可。看到题目中出现角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此我们可以过点O分别作BA、BC、AC的垂线，利用两条外角平分线的性质，证明这三条垂线段长度相等，结合已知O到BC的距离，就能得到O到AB的距离，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，作 $OP ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $P$，$OQ ⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $Q$，$OR ⊥ AC$ 于点 $R$。
$\because △ ABC$ 的两个外角的平分线 $AD,CE$ 相交于点 $O$，根据角平分线的性质可得 $OP = OR$，$OQ = OR$，
$\therefore OP = OQ$。
$\because$ 点 $O$ 到 $BC$ 的距离为 $3.5$，即 $OQ=3.5$，
$\therefore OP = OQ = 3.5$。
$\because AB = 4$，
$\therefore S_{△ ABO} = \dfrac{1}{2}AB · OP = \dfrac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用角平分线的性质得到点到边的距离，解题的关键是正确作出辅助线，将所求三角形的高与已知距离建立联系，这类题型是角平分线性质的典型应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
要求△ABO的面积，已知底AB的长度为4，只需要求出点O到AB边的距离即可。看到题目中出现角平分线，联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。因此我们可以过点O分别作BA、BC、AC的垂线，利用两条外角平分线的性质，证明这三条垂线段长度相等，结合已知O到BC的距离，就能得到O到AB的距离，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
如图，作 $OP ⊥ BA$ 交 $BA$ 的延长线于点 $P$，$OQ ⊥ BC$ 交 $BC$ 的延长线于点 $Q$，$OR ⊥ AC$ 于点 $R$。
$\because △ ABC$ 的两个外角的平分线 $AD,CE$ 相交于点 $O$，根据角平分线的性质可得 $OP = OR$，$OQ = OR$，
$\therefore OP = OQ$。
$\because$ 点 $O$ 到 $BC$ 的距离为 $3.5$，即 $OQ=3.5$，
$\therefore OP = OQ = 3.5$。
$\because AB = 4$，
$\therefore S_{△ ABO} = \dfrac{1}{2}AB · OP = \dfrac{1}{2} × 4 × 3.5 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心是利用角平分线的性质得到点到边的距离，解题的关键是正确作出辅助线，将所求三角形的高与已知距离建立联系，这类题型是角平分线性质的典型应用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
6. [2024绥化中考]如图,已知$∠ AOB = 50°$,点P为$∠ AOB$内部一点,点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点,当$△ PMN$的周长最小时,$∠ MPN$的度数为
80°
.答案
6 80° 解题思路:连接 $OP$,作点 $P$ 关于 $OA$ 的对称点 $E$,连接 $EP,EO,EM$,得 $ME = MP$,$∠ MPO = ∠ OEM$;作点 $P$ 关于 $OB$ 的对称点 $F$,连接 $NF,PF,OF$,得 $PN = FN$,$∠ OPN = ∠ OFN$;根据 $PM + PN + MN = EM + NF + MN ≥ EF$ 知,当 $E,M,N,F$ 四点共线时,$△ PMN$ 周长最小,再根据对称的性质,即可求出 $∠ MPN$ 的度数.
如图,连接 $OP$,作点 $P$ 关于 $OA$ 的对称点 $E$,连接 $EP,EO,EM$,由轴对称的性质,可知 $EM = MP$,$∠ MPO = ∠ OEM$,$∠ EOM = ∠ MOP$. 作点 $P$ 关于 $OB$ 的对称点 $F$,连接 $NF,PF,OF$,由轴对称的性质,可知 $PN = FN$,$∠ OPN = ∠ OFN$,$∠ PON = ∠ NOF$,$\therefore PM + PN + MN = EM + NF + MN ≥ EF$,当 $E,M,N,F$ 四点共线时,$△ PMN$ 的周长最小. 又$\because ∠ EOF = ∠ EOM + ∠ MOP + ∠ PON + ∠ NOF$,$∠ AOB = ∠ MOP + ∠ PON$,$\therefore ∠ EOF = 2∠ AOB$. 又$\because ∠ AOB = 50°$,$\therefore ∠ EOF = 100°$,$\because$ 在 $△ EOF$ 中,$∠ OEM + ∠ OFN + ∠ EOF = 180°$,$\therefore ∠ OEM + ∠ OFN = 180° - 100° = 80°$. $\because ∠ MPO = ∠ OEM$,$∠ OPN = ∠ OFN$,$\therefore ∠ MPO + ∠ OPN = 80°$,$\therefore ∠ MPN = ∠ MPO + OPN = 80°$.
解析
【分析】
要解决△PMN周长最小的问题，我们可以利用轴对称的性质转化线段长度：首先M在OA上、N在OB上都是动点，P是定点，作点P关于OA的对称点E、关于OB的对称点F，可得PM=EM、PN=FN，此时△PMN的周长转化为EM+MN+FN。根据两点之间线段最短，当E、M、N、F四点共线时，三段线段的和最小，即△PMN周长最小。接下来利用轴对称的角相等性质，结合已知的∠AOB度数，再用三角形内角和定理即可求出∠MPN的度数。
【解析】
解：连接OP，作点P关于OA的对称点E，连接EP、EO、EM，由轴对称的性质可知：$EM = MP$，$∠ MPO = ∠ OEM$，$∠ EOM = ∠ MOP$。
作点P关于OB的对称点F，连接NF、PF、OF，由轴对称的性质可知：$PN = FN$，$∠ OPN = ∠ OFN$，$∠ PON = ∠ NOF$。
此时$△ PMN$的周长$= PM + PN + MN = EM + FN + MN$，根据两点之间线段最短，当$E,M,N,F$四点共线时，$EM + FN + MN$的长度最小，即$△ PMN$的周长最小。
$\because ∠ EOF = ∠ EOM + ∠ MOP + ∠ PON + ∠ NOF$，且$∠ EOM=∠MOP$，$∠PON=∠NOF$，
$\therefore ∠ EOF = 2(∠ MOP + ∠ PON) = 2∠ AOB$，
已知$∠ AOB = 50°$，代入得$∠ EOF = 2×50°=100°$。
在$△ EOF$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ OEM + ∠ OFN + ∠ EOF = 180°$，
$\therefore ∠ OEM + ∠ OFN = 180° - 100° = 80°$。
又$\because ∠ MPO = ∠ OEM$，$∠ OPN = ∠ OFN$，
$\therefore ∠ MPN = ∠ MPO + ∠ OPN = ∠ OEM + ∠ OFN = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；三角形内角和定理
【点评】
本题是轴对称最短路径的经典题型，解题核心是通过作对称点将三角形周长最小的问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合轴对称的角相等性质和三角形内角和定理计算角度，能有效考查学生对几何转化思想的掌握情况。
【难度系数】
0.6
要解决△PMN周长最小的问题，我们可以利用轴对称的性质转化线段长度：首先M在OA上、N在OB上都是动点，P是定点，作点P关于OA的对称点E、关于OB的对称点F，可得PM=EM、PN=FN，此时△PMN的周长转化为EM+MN+FN。根据两点之间线段最短，当E、M、N、F四点共线时，三段线段的和最小，即△PMN周长最小。接下来利用轴对称的角相等性质，结合已知的∠AOB度数，再用三角形内角和定理即可求出∠MPN的度数。
【解析】
解：连接OP，作点P关于OA的对称点E，连接EP、EO、EM，由轴对称的性质可知：$EM = MP$，$∠ MPO = ∠ OEM$，$∠ EOM = ∠ MOP$。
作点P关于OB的对称点F，连接NF、PF、OF，由轴对称的性质可知：$PN = FN$，$∠ OPN = ∠ OFN$，$∠ PON = ∠ NOF$。
此时$△ PMN$的周长$= PM + PN + MN = EM + FN + MN$，根据两点之间线段最短，当$E,M,N,F$四点共线时，$EM + FN + MN$的长度最小，即$△ PMN$的周长最小。
$\because ∠ EOF = ∠ EOM + ∠ MOP + ∠ PON + ∠ NOF$，且$∠ EOM=∠MOP$，$∠PON=∠NOF$，
$\therefore ∠ EOF = 2(∠ MOP + ∠ PON) = 2∠ AOB$，
已知$∠ AOB = 50°$，代入得$∠ EOF = 2×50°=100°$。
在$△ EOF$中，由三角形内角和为$180°$可得：
$∠ OEM + ∠ OFN + ∠ EOF = 180°$，
$\therefore ∠ OEM + ∠ OFN = 180° - 100° = 80°$。
又$\because ∠ MPO = ∠ OEM$，$∠ OPN = ∠ OFN$，
$\therefore ∠ MPN = ∠ MPO + ∠ OPN = ∠ OEM + ∠ OFN = 80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；三角形内角和定理
【点评】
本题是轴对称最短路径的经典题型，解题核心是通过作对称点将三角形周长最小的问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合轴对称的角相等性质和三角形内角和定理计算角度，能有效考查学生对几何转化思想的掌握情况。
【难度系数】
0.6
7. 新考法 [2023安徽中考]如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B,C,D均为格点(网格线的交点).
(1)画出线段AB关于CD对称的线段$A_1B_1$.
(2)将线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段$A_2B_2$,画出线段$A_2B_2$.
(3)描出线段AB上的点M及CD上的点N,使得直线MN垂直平分AB.
(1)画出线段AB关于CD对称的线段$A_1B_1$.
(2)将线段AB向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到线段$A_2B_2$,画出线段$A_2B_2$.
(3)描出线段AB上的点M及CD上的点N,使得直线MN垂直平分AB.
答案
7 解:(1)线段 $A_1B_1$ 如图所示.
(2)线段 $A_2B_2$ 如图所示.
(3)点 $M,N$ 如图所示.
解析
【分析】
(1) 作轴对称线段的核心是找端点的对称点：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴CD垂直平分，因此只需分别作出点A、B关于CD的对称点A₁、B₁，再连接两点即可得到所求线段。
(2) 平移作图的核心是按平移规则移动端点：平移遵循“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的规则，将A、B两点分别向左平移2个单位、向上平移1个单位得到A₂、B₂，连接两点即可。
(3) 要满足直线MN垂直平分AB，首先MN需过AB的中点，其次MN与AB垂直：先找到AB的中点M，再过M作AB的垂线，该垂线与CD的交点就是N，描出两点即可。
【解析】
(1) ①过点A作CD的垂线，数出A到CD的水平距离为3个单位，在CD左侧距离CD3个单位的格点处得到A的对称点A₁；同理过B作CD的垂线，B到CD的水平距离为1个单位，在CD左侧距离CD1个单位的格点处得到B的对称点B₁；②连接A₁B₁，即为所求的对称线段。
(2) ①将点A的横坐标减2、纵坐标加1，得到平移后的点A₂；同理将点B按相同规则平移得到B₂；②连接A₂B₂，即为平移后的线段。
(3) ①数格可得线段AB横向间隔2格、纵向间隔6格，取AB中间位置的点即为AB的中点M；②过M作AB的垂线，该垂线与CD的交点即为N，描出M、N两点即可。
【答案】
【知识点】
轴对称作图，平移作图，垂直平分线性质
【点评】
本题属于网格基础作图题，综合考查了轴对称、平移的作图方法以及线段垂直平分线的性质，解题时结合网格的格点特征可以快速定位对应点，是对几何作图基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
(1) 作轴对称线段的核心是找端点的对称点：根据轴对称的性质，对称点的连线被对称轴CD垂直平分，因此只需分别作出点A、B关于CD的对称点A₁、B₁，再连接两点即可得到所求线段。
(2) 平移作图的核心是按平移规则移动端点：平移遵循“横坐标左减右加、纵坐标上加下减”的规则，将A、B两点分别向左平移2个单位、向上平移1个单位得到A₂、B₂，连接两点即可。
(3) 要满足直线MN垂直平分AB，首先MN需过AB的中点，其次MN与AB垂直：先找到AB的中点M，再过M作AB的垂线，该垂线与CD的交点就是N，描出两点即可。
【解析】
(1) ①过点A作CD的垂线，数出A到CD的水平距离为3个单位，在CD左侧距离CD3个单位的格点处得到A的对称点A₁；同理过B作CD的垂线，B到CD的水平距离为1个单位，在CD左侧距离CD1个单位的格点处得到B的对称点B₁；②连接A₁B₁，即为所求的对称线段。
(2) ①将点A的横坐标减2、纵坐标加1，得到平移后的点A₂；同理将点B按相同规则平移得到B₂；②连接A₂B₂，即为平移后的线段。
(3) ①数格可得线段AB横向间隔2格、纵向间隔6格，取AB中间位置的点即为AB的中点M；②过M作AB的垂线，该垂线与CD的交点即为N，描出M、N两点即可。
【答案】
【知识点】
轴对称作图，平移作图，垂直平分线性质
【点评】
本题属于网格基础作图题，综合考查了轴对称、平移的作图方法以及线段垂直平分线的性质，解题时结合网格的格点特征可以快速定位对应点，是对几何作图基础能力的考查。
【难度系数】
0.8
8. [2025常州中考]如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC上,BD=CE.
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF(保留作图痕迹,不要求写作法).
(1)求证:△ABD≌△ACE.
(2)用直尺和圆规作∠DAE的平分线AF(保留作图痕迹,不要求写作法).
答案
8 (1)证明:$\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C$.
在$△ ABD$与$△ ACE$中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:作$∠ DAE$的平分线$AF$,交$DE$于点$F$,如图所示,$AF$即为所求.
解析
【分析】
（1）要证明△ABD≌△ACE，先从已知条件入手：已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠B=∠C，又已知BD=CE，此时满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，即可用SAS证明两个三角形全等。（2）作∠DAE的平分线，直接按照角平分线的尺规作图规范操作，保留作图痕迹即可。
【解析】
（1）证明：
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
在△ABD与△ACE中：
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACE（SAS）。
（2）作图思路：以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD、AE于两个交点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠DAE内部交于一点，过A和该交点作射线交BC于F，AF即为所求的角平分线，作图痕迹见参考答案图示。
【答案】
(1)证明:$\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C$.
在$△ ABD$与$△ ACE$中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:作$∠ DAE$的平分线$AF$,交$DE$于点$F$,如图所示,$AF$即为所求.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形SAS判定；尺规作角平分线
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考察了等腰三角形性质、全等三角形判定和基本尺规作图操作，核心都是几何入门阶段的重点知识，掌握基础定理和作图规范即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
（1）要证明△ABD≌△ACE，先从已知条件入手：已知AB=AC，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠B=∠C，又已知BD=CE，此时满足两边及其夹角对应相等的全等判定条件，即可用SAS证明两个三角形全等。（2）作∠DAE的平分线，直接按照角平分线的尺规作图规范操作，保留作图痕迹即可。
【解析】
（1）证明：
∵AB = AC，
∴∠B = ∠C（等腰三角形两底角相等）。
在△ABD与△ACE中：
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
∴△ABD ≌ △ACE（SAS）。
（2）作图思路：以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD、AE于两个交点；再分别以这两个交点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠DAE内部交于一点，过A和该交点作射线交BC于F，AF即为所求的角平分线，作图痕迹见参考答案图示。
【答案】
(1)证明:$\because AB = AC,\therefore ∠ B = ∠ C$.
在$△ ABD$与$△ ACE$中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠ B = ∠ C, \\ BD = CE, \end{cases}$
$\therefore △ ABD ≌ △ ACE(\mathrm{SAS})$.
(2)解:作$∠ DAE$的平分线$AF$,交$DE$于点$F$,如图所示,$AF$即为所求.
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形SAS判定；尺规作角平分线
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考察了等腰三角形性质、全等三角形判定和基本尺规作图操作，核心都是几何入门阶段的重点知识，掌握基础定理和作图规范即可顺利解答。
【难度系数】
0.85
