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在$△ ABC$中，$AB = AC$，点$D,E,F$分别是边$BC$，$AC,AB$上的点.
【基础设问】
(1)若$∠ B=40°$,则$∠ A$的度数为
(2)若$∠ B=60°$,D是BC的中点,$CD=3$,则AC的长度为
(3)连接BE,若BE平分$∠ ABC$,$S_{△ ABE}:S_{△ CBE} = 3:2$,则$AB:BC$的值为
(4)如图1,连接DE,AD,若DE垂直平分AC,$AE=2$,则$△ ABC$的周长与$△ ABD$的周长差为
(5)如图2,连接DE,AD,若$∠ BAC=70°$,$∠ EDC=10°$,$AD=AE$,求$∠ DAE$的度数.
(6)如图3,连接AD,BE,若AD,BE都是$△ ABC$的高,探究$∠ BAC$和$∠ EBC$之间的数量关系,并说明理由.
【能力设问】
(7)如图4,连接DE,DF,若$∠ A = ∠ EDF = 90°$,点D是BC的中点,求证:$DE = DF$.
(8)如图5,连接DE,DF,EF,若$∠ A = 120°$,$∠ EDF = 60°$,点D是BC的中点,求证:$△ DEF$是等边三角形.
(9)如图6,连接DE,DF,若$∠ A = 60°$,$∠ EDF = 120°$,点D是BC的中点,请写出线段$BF$,$CE$,$BD$之间的数量关系,并说明理由.
【基础设问】
(1)若$∠ B=40°$,则$∠ A$的度数为
100°
.(2)若$∠ B=60°$,D是BC的中点,$CD=3$,则AC的长度为
6
.(3)连接BE,若BE平分$∠ ABC$,$S_{△ ABE}:S_{△ CBE} = 3:2$,则$AB:BC$的值为
$\dfrac{3}{2}$
.(4)如图1,连接DE,AD,若DE垂直平分AC,$AE=2$,则$△ ABC$的周长与$△ ABD$的周长差为
4
. (5)如图2,连接DE,AD,若$∠ BAC=70°$,$∠ EDC=10°$,$AD=AE$,求$∠ DAE$的度数.
(6)如图3,连接AD,BE,若AD,BE都是$△ ABC$的高,探究$∠ BAC$和$∠ EBC$之间的数量关系,并说明理由.
【能力设问】
(7)如图4,连接DE,DF,若$∠ A = ∠ EDF = 90°$,点D是BC的中点,求证:$DE = DF$.
(8)如图5,连接DE,DF,EF,若$∠ A = 120°$,$∠ EDF = 60°$,点D是BC的中点,求证:$△ DEF$是等边三角形.
(9)如图6,连接DE,DF,若$∠ A = 60°$,$∠ EDF = 120°$,点D是BC的中点,请写出线段$BF$,$CE$,$BD$之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1) $\because AB = AC,\therefore ∠ C = ∠ B = 40°,\therefore ∠ A = 180° - ∠ C - ∠ B = 100°.$
(2) 通解 $\because AB = AC,D$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore ∠ B = ∠ C,AD ⊥ BC$,即 $∠ ADC = 90°$. 又 $\because ∠ B = 60°,\therefore ∠ C = 60°$,$\therefore ∠ DAC = 30°,\therefore AC = 2CD = 6.$
另解 $\because AB = AC,∠ B = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AC = BC. \because D$ 是 $BC$ 的中点,$CD = 3,\therefore BC = 2CD = 6$,$\therefore AC = 6.$
(3) 点 $E$ 到 $AB,BC$ 的距离分别记为 $h_1,h_2,\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore h_1 = h_2,\therefore S_{△ ABE}: S_{△ CBE} = (\dfrac{1}{2}AB · h_1): (\dfrac{1}{2}BC · h_2) = AB: BC = 3: 2.$
(4) $\because DE$ 垂直平分 $AC,AE = 2,\therefore AD = CD,AC = 2AE = 4$,$\therefore △ ABD$ 的周长为 $AB + AD + BD = AB + CD + BD = AB + BC$,$\therefore △ ABC$ 的周长与 $△ ABD$ 的周长差为 $(AB + AC + BC) - (AB + BC) = AC = 4.$
(5) 解:$\because AB = AC,∠ BAC = 70°,\therefore ∠ C = \dfrac{1}{2}(180° - ∠ BAC) = 55°. \because ∠ EDC = 10°,\therefore ∠ AED = ∠ C + ∠ EDC = 65°. \because AD = AE,\therefore ∠ ADE = ∠ AED = 65°,\therefore ∠ DAE = 180° - 2 × 65° = 50°.$
(6) 解:$∠ BAC = 2∠ EBC$. 理由如下:
$\because AB = AC,AD,BE$ 都是 $△ ABC$ 的高,
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC,∠ ADC = 90°,∠ BEC = 90°$,
$\therefore ∠ BAC = 2∠ DAC,∠ DAC = ∠ EBC,\therefore ∠ BAC = 2∠ EBC.$
(7) 证明:如图,连接 $AD$.
$\because AB = AC,∠ BAC = 90°$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
又$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$ 且 $AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ DBF = ∠ DAE = 45°,∠ ADB = ∠ EDF = 90°$,
$\therefore ∠ BDF = ∠ ADE$(点拨:同角的余角相等).
易知$△ ADB$ 是等腰直角三角形,$\therefore BD = AD$,
$\therefore △ BDF ≌ △ ADE(ASA),\therefore DE = DF.$
(8) 证明:如图,连接 $AD$,过点 $D$ 分别作 $AB,AC$ 的垂线,垂足分别为点 $M,N$,
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$AB = AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ MAD = ∠ NAD = \dfrac{1}{2}∠ BAC = \dfrac{1}{2} × 120° = 60°,DM = DN$,
$\therefore ∠ MDA = 30°,∠ NDA = 30°$,
$\therefore ∠ MDN = ∠ MDA + ∠ NDA = 60°$,
$\therefore ∠ FDM = ∠ EDN.$
又$\because ∠ DMF = ∠ DNE = 90°,DM = DN$,
$\therefore △ DMF ≌ △ DNE(ASA),\therefore DF = DE.$
又$\because ∠ EDF = 60°$,
$\therefore △ DEF$ 是等边三角形.
(9) 解:$BF + CE = BD$. 理由如下:
如图,连接 $AD$,过点 $D$ 分别作 $DG ⊥ AB,DH ⊥ AC$,垂足分别为点 $G,H$.
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$AB = AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore DB = DC,DG = DH$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ DGB ≌ \mathrm{Rt}△ DHC(\mathrm{HL}), \therefore BG = CH.$
$\because AB = AC,∠ BAC = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ B = 60°,\therefore ∠ GDB = 30°,\therefore BD = 2BG.$
同(8)可证得$△ DFG ≌ △ DEH, \therefore FG = EH$,
$\therefore BF + CE = BG + FG + CH - EH = 2BG = BD.$
解析
【分析】
本题围绕等腰三角形的核心知识点设置分层问题，基础设问可直接利用等腰三角形的边角性质、角平分线性质、垂直平分线性质推导求解，解题时结合三角形内角和、面积公式等基础内容计算即可；能力设问需抓住“D是BC中点”“特殊角度”等关键条件，通过连接AD、作双垂线等方式构造全等三角形，结合全等、等边三角形的判定与性质完成证明推导，解题时注意同角的余角相等、角平分线的性质等隐含结论的应用。
【解析】
(1) $\because AB = AC,\therefore ∠ C = ∠ B = 40°,\therefore ∠ A = 180° - ∠ C - ∠ B = 100°.$
(2) 方法1：$\because AB = AC,D$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore ∠ B = ∠ C,AD ⊥ BC$,即 $∠ ADC = 90°$. 又 $\because ∠ B = 60°,\therefore ∠ C = 60°$,$\therefore ∠ DAC = 30°,\therefore AC = 2CD = 6.$
方法2：$\because AB = AC,∠ B = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AC = BC. \because D$ 是 $BC$ 的中点,$CD = 3,\therefore BC = 2CD = 6$,$\therefore AC = 6.$
(3) 点 $E$ 到 $AB,BC$ 的距离分别记为 $h_1,h_2,\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore h_1 = h_2,\therefore S_{△ ABE}: S_{△ CBE} = (\dfrac{1}{2}AB · h_1): (\dfrac{1}{2}BC · h_2) = AB: BC = 3: 2.$
(4) $\because DE$ 垂直平分 $AC,AE = 2,\therefore AD = CD,AC = 2AE = 4$,$\therefore △ ABD$ 的周长为 $AB + AD + BD = AB + CD + BD = AB + BC$,$\therefore △ ABC$ 的周长与 $△ ABD$ 的周长差为 $(AB + AC + BC) - (AB + BC) = AC = 4.$
(5) 解:$\because AB = AC,∠ BAC = 70°,\therefore ∠ C = \dfrac{1}{2}(180° - ∠ BAC) = 55°. \because ∠ EDC = 10°,\therefore ∠ AED = ∠ C + ∠ EDC = 65°. \because AD = AE,\therefore ∠ ADE = ∠ AED = 65°,\therefore ∠ DAE = 180° - 2 × 65° = 50°.$
(6) 解:$∠ BAC = 2∠ EBC$. 理由如下:
$\because AB = AC,AD,BE$ 都是 $△ ABC$ 的高,
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC,∠ ADC = 90°,∠ BEC = 90°$,
$\therefore ∠ BAC = 2∠ DAC,∠ DAC = ∠ EBC,\therefore ∠ BAC = 2∠ EBC.$
(7) 证明:如图,连接 $AD$.
$\because AB = AC,∠ BAC = 90°$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
又$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$ 且 $AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ DBF = ∠ DAE = 45°,∠ ADB = ∠ EDF = 90°$,
$\therefore ∠ BDF = ∠ ADE$(同角的余角相等).
易知$△ ADB$ 是等腰直角三角形,$\therefore BD = AD$,
$\therefore △ BDF ≌ △ ADE(ASA),\therefore DE = DF.$
(8) 证明:如图,连接 $AD$,过点 $D$ 分别作 $AB,AC$ 的垂线,垂足分别为点 $M,N$,
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$AB = AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ MAD = ∠ NAD = \dfrac{1}{2}∠ BAC = \dfrac{1}{2} × 120° = 60°,DM = DN$,
$\therefore ∠ MDA = 30°,∠ NDA = 30°$,
$\therefore ∠ MDN = ∠ MDA + ∠ NDA = 60°$,
$\therefore ∠ FDM = ∠ EDN.$
又$\because ∠ DMF = ∠ DNE = 90°,DM = DN$,
$\therefore △ DMF ≌ △ DNE(ASA),\therefore DF = DE.$
又$\because ∠ EDF = 60°$,
$\therefore △ DEF$ 是等边三角形.
(9) 解:$BF + CE = BD$. 理由如下:
如图,连接 $AD$,过点 $D$ 分别作 $DG ⊥ AB,DH ⊥ AC$,垂足分别为点 $G,H$.
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$AB = AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore DB = DC,DG = DH$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ DGB ≌ \mathrm{Rt}△ DHC(\mathrm{HL}), \therefore BG = CH.$
$\because AB = AC,∠ BAC = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ B = 60°,\therefore ∠ GDB = 30°,\therefore BD = 2BG.$
同理可证得$△ DFG ≌ △ DEH, \therefore FG = EH$,
$\therefore BF + CE = BG + FG + CH - EH = 2BG = BD.$
【答案】
(1) $\boxed{100°}$
(2) $\boxed{6}$
(3) $\boxed{\dfrac{3}{2}}$
(4) $\boxed{4}$
(5) $\boxed{50°}$
(6) $\boxed{∠ BAC=2∠ EBC}$
(7) 证明如上，辅助线图：
(8) 证明如上，辅助线图：
(9) $\boxed{BF+CE=BD}$，理由如上，辅助线图：
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题由浅入深考查三角形相关核心考点，既注重基础性质的直接应用，也对辅助线构造、逻辑推理等综合能力有一定要求，能够有效夯实几何基础，提升综合解题能力。
【难度系数】
0.6
本题围绕等腰三角形的核心知识点设置分层问题，基础设问可直接利用等腰三角形的边角性质、角平分线性质、垂直平分线性质推导求解，解题时结合三角形内角和、面积公式等基础内容计算即可；能力设问需抓住“D是BC中点”“特殊角度”等关键条件，通过连接AD、作双垂线等方式构造全等三角形，结合全等、等边三角形的判定与性质完成证明推导，解题时注意同角的余角相等、角平分线的性质等隐含结论的应用。
【解析】
(1) $\because AB = AC,\therefore ∠ C = ∠ B = 40°,\therefore ∠ A = 180° - ∠ C - ∠ B = 100°.$
(2) 方法1：$\because AB = AC,D$ 是 $BC$ 的中点,$\therefore ∠ B = ∠ C,AD ⊥ BC$,即 $∠ ADC = 90°$. 又 $\because ∠ B = 60°,\therefore ∠ C = 60°$,$\therefore ∠ DAC = 30°,\therefore AC = 2CD = 6.$
方法2：$\because AB = AC,∠ B = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,$\therefore AC = BC. \because D$ 是 $BC$ 的中点,$CD = 3,\therefore BC = 2CD = 6$,$\therefore AC = 6.$
(3) 点 $E$ 到 $AB,BC$ 的距离分别记为 $h_1,h_2,\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore h_1 = h_2,\therefore S_{△ ABE}: S_{△ CBE} = (\dfrac{1}{2}AB · h_1): (\dfrac{1}{2}BC · h_2) = AB: BC = 3: 2.$
(4) $\because DE$ 垂直平分 $AC,AE = 2,\therefore AD = CD,AC = 2AE = 4$,$\therefore △ ABD$ 的周长为 $AB + AD + BD = AB + CD + BD = AB + BC$,$\therefore △ ABC$ 的周长与 $△ ABD$ 的周长差为 $(AB + AC + BC) - (AB + BC) = AC = 4.$
(5) 解:$\because AB = AC,∠ BAC = 70°,\therefore ∠ C = \dfrac{1}{2}(180° - ∠ BAC) = 55°. \because ∠ EDC = 10°,\therefore ∠ AED = ∠ C + ∠ EDC = 65°. \because AD = AE,\therefore ∠ ADE = ∠ AED = 65°,\therefore ∠ DAE = 180° - 2 × 65° = 50°.$
(6) 解:$∠ BAC = 2∠ EBC$. 理由如下:
$\because AB = AC,AD,BE$ 都是 $△ ABC$ 的高,
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC,∠ ADC = 90°,∠ BEC = 90°$,
$\therefore ∠ BAC = 2∠ DAC,∠ DAC = ∠ EBC,\therefore ∠ BAC = 2∠ EBC.$
(7) 证明:如图,连接 $AD$.
$\because AB = AC,∠ BAC = 90°$,
$\therefore △ ABC$ 是等腰直角三角形.
又$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,
$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$ 且 $AD ⊥ BC$,
$\therefore ∠ DBF = ∠ DAE = 45°,∠ ADB = ∠ EDF = 90°$,
$\therefore ∠ BDF = ∠ ADE$(同角的余角相等).
易知$△ ADB$ 是等腰直角三角形,$\therefore BD = AD$,
$\therefore △ BDF ≌ △ ADE(ASA),\therefore DE = DF.$
(8) 证明:如图,连接 $AD$,过点 $D$ 分别作 $AB,AC$ 的垂线,垂足分别为点 $M,N$,
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$AB = AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore ∠ MAD = ∠ NAD = \dfrac{1}{2}∠ BAC = \dfrac{1}{2} × 120° = 60°,DM = DN$,
$\therefore ∠ MDA = 30°,∠ NDA = 30°$,
$\therefore ∠ MDN = ∠ MDA + ∠ NDA = 60°$,
$\therefore ∠ FDM = ∠ EDN.$
又$\because ∠ DMF = ∠ DNE = 90°,DM = DN$,
$\therefore △ DMF ≌ △ DNE(ASA),\therefore DF = DE.$
又$\because ∠ EDF = 60°$,
$\therefore △ DEF$ 是等边三角形.
(9) 解:$BF + CE = BD$. 理由如下:
如图,连接 $AD$,过点 $D$ 分别作 $DG ⊥ AB,DH ⊥ AC$,垂足分别为点 $G,H$.
$\because$ 点 $D$ 是 $BC$ 的中点,$AB = AC,\therefore AD$ 平分 $∠ BAC$,
$\therefore DB = DC,DG = DH$,
$\therefore \mathrm{Rt}△ DGB ≌ \mathrm{Rt}△ DHC(\mathrm{HL}), \therefore BG = CH.$
$\because AB = AC,∠ BAC = 60°,\therefore △ ABC$ 是等边三角形,
$\therefore ∠ B = 60°,\therefore ∠ GDB = 30°,\therefore BD = 2BG.$
同理可证得$△ DFG ≌ △ DEH, \therefore FG = EH$,
$\therefore BF + CE = BG + FG + CH - EH = 2BG = BD.$
【答案】
(1) $\boxed{100°}$
(2) $\boxed{6}$
(3) $\boxed{\dfrac{3}{2}}$
(4) $\boxed{4}$
(5) $\boxed{50°}$
(6) $\boxed{∠ BAC=2∠ EBC}$
(7) 证明如上，辅助线图：
(8) 证明如上，辅助线图：
(9) $\boxed{BF+CE=BD}$，理由如上，辅助线图：
【知识点】
等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题由浅入深考查三角形相关核心考点，既注重基础性质的直接应用，也对辅助线构造、逻辑推理等综合能力有一定要求，能够有效夯实几何基础，提升综合解题能力。
【难度系数】
0.6
