[2024兰州中考]观察发现:劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法,正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图1,他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角,具体作法如下:
①木条的两端分别记为点M,N,先将木条的端点M与点A重合,任意摆放木条后,另一个端点N的位置记为点B,连接AB;
②木条的端点N固定在点B处,将木条绕点B顺时针旋转一定的角度,端点M的落点记为点C(点A,B,C不在同一条直线上);
③连接CB并延长,将木条沿点C到点B的方向平移,使得端点M与点B重合,端点N在CB延长线上的落点记为点D;
④用另一根足够长的木条画线,连接AD,AC,则画出的∠DAC是直角.
操作体验:(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图2,BA = BC.请画出以点A为顶点的直角,记作∠DAC;
推理论证:(2)如图1,小亮尝试揭示此操作的数学原理,请你补全括号里的证明依据.
证明:∵ AB = BC = BD,
∴ △ABC与△ABD是等腰三角形.
∴ ∠BCA = ∠BAC,∠BDA = ∠BAD.(依据1)
∴ ∠BCA + ∠BDA = ∠BAC + ∠BAD = ∠DAC.
∵ ∠DAC + ∠BCA + ∠BDA = 180°,(依据2)
∴ 2∠DAC = 180°.
∴ ∠DAC = 90°.
依据1:;
依据2:.
拓展探究:(3)小亮进一步研究发现,用这种方法作直角存在一定的误差,用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3,点O在直线l上,请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以O为顶点的直角,记作∠POQ,使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹,不写作法)

解:(1)如图所示.

(2)等边对等角(等腰三角形的性质) 三角形内角和定理
(3)如图所示.

【分析】
（1）第一问结合“木条画直角法”的操作逻辑，已知BA=BC，只需延长CB到D，使BD=BA，再连接AD，即可得到以A为顶点的直角∠DAC，满足AB=BC=BD的前提条件。
（2）第二问考查基础定理的识别：等腰三角形中等边对等角，三角形三个内角的和为180°是三角形内角和定理，对应填写即可。
（3）第三问本质是过直线l上的点O作l的垂线，用尺规作已知直线上一点的垂线的常规方法操作，保留作图痕迹即可。
【解析】
(1) 延长CB至点D，使BD=AB，连接AD，所得∠DAC即为所求直角：

(2) 依据1：等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角，因此AB=BC时∠BCA=∠BAC，AB=BD时∠BDA=∠BAD。
依据2：任意三角形的内角和为180°，因此△ACD中∠DAC + ∠BCA + ∠BDA = 180°。
(3) 以O为圆心任意长为半径画弧交直线l于两点，再分别以这两点为圆心、大于两点距离一半的长度为半径画弧，两弧交点与O连线即为l的垂线，得到直角∠POQ：

【答案】
(1)
(2) 等边对等角（等腰三角形的性质）；三角形内角和定理
(3)
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；尺规作垂线
【点评】
本题结合生活实际操作考查几何基础知识点，将实践应用和几何原理相结合，既要求学生理解操作背后的数学逻辑，也要求熟练掌握基础性质和常规尺规作图方法，体现了数学的实用性。
【难度系数】
0.7