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15.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫作格点,以格点为顶点分别按下列要求作图。
(1)在图①中画一个三角形,使三角形的三边长分别为$\sqrt{26}$，$3\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$。
(2)在图②中画一个面积为4的等腰直角三角形。
(1)在图①中画一个三角形,使三角形的三边长分别为$\sqrt{26}$，$3\sqrt{2}$，$2\sqrt{5}$。
(2)在图②中画一个面积为4的等腰直角三角形。
答案
解：
(1) 先将各边长转化为格点直角三角形的斜边长：
$\sqrt{26}=\sqrt{1^2+5^2}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2+3^2}$，$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2+4^2}$。
在图①中选取三个格点，顺次连接得到的三角形三边长恰好为$\sqrt{26}$、$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$，该三角形即为所求（答案不唯一）。
(2) 设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由面积公式$\frac{1}{2}a^2=4$，得$a^2=8$，即$a=\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$。
在图②中选取三个格点，构造两条长度为$2\sqrt{2}$且互相垂直的相等边，连接第三边得到的等腰直角三角形面积为4，该三角形即为所求（答案不唯一）。
(1) 先将各边长转化为格点直角三角形的斜边长：
$\sqrt{26}=\sqrt{1^2+5^2}$，$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2+3^2}$，$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2+4^2}$。
在图①中选取三个格点，顺次连接得到的三角形三边长恰好为$\sqrt{26}$、$3\sqrt{2}$、$2\sqrt{5}$，该三角形即为所求（答案不唯一）。
(2) 设等腰直角三角形的直角边长为$a$，由面积公式$\frac{1}{2}a^2=4$，得$a^2=8$，即$a=\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$。
在图②中选取三个格点，构造两条长度为$2\sqrt{2}$且互相垂直的相等边，连接第三边得到的等腰直角三角形面积为4，该三角形即为所求（答案不唯一）。
解析
【分析】
本题为网格作图题，解题核心是利用勾股定理将带根号的线段长度转化为格点间可构造的斜边长。
对于第(1)问，先将给出的三个无理数边长都改写为$\sqrt{a^2+b^2}$的形式（a、b为正整数），对应线段就是网格中横向走a格、纵向走b格的格点连线，找到三个满足边长要求的格点顺次连接即可。
对于第(2)问，先根据等腰直角三角形的面积公式计算出直角边的长度，再用勾股定理将直角边转化为格点线段，保证两条直角边互相垂直且长度相等，连接端点即可得到所求图形。
【解析】
(1) 先将三条边长转化为格点直角三角形的斜边长：
$\sqrt{26}=\sqrt{1^2+5^2}$，对应横向1格、纵向5格的格点连线；
$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2+3^2}$，对应横向3格、纵向3格的格点连线；
$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2+4^2}$，对应横向2格、纵向4格的格点连线。
在图①中选取符合上述长度要求的三条线段，首尾顺次连接得到的三角形即为所求，答案不唯一。
(2) 设等腰直角三角形的直角边长为$a$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}a^2=4$，解得$a^2=8$，即$a=\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，对应横向2格、纵向2格的格点连线。
在图②中选取互相垂直且长度均为$2\sqrt{2}$的两条线段作为直角边，连接两条直角边的另外两个端点，得到的等腰直角三角形面积为4，即为所求，答案不唯一。
【答案】
(1) 如图①所示（答案不唯一，符合三边长要求即可）；
(2) 如图②所示（答案不唯一，符合面积为4的等腰直角三角形要求即可）。
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形性质；网格作图
【点评】
本题属于开放性操作题，结合了勾股定理的逆用和特殊三角形的性质，需要学生灵活将无理数长度转化为可构造的格点线段，能有效考查学生的作图能力和对勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
本题为网格作图题，解题核心是利用勾股定理将带根号的线段长度转化为格点间可构造的斜边长。
对于第(1)问，先将给出的三个无理数边长都改写为$\sqrt{a^2+b^2}$的形式（a、b为正整数），对应线段就是网格中横向走a格、纵向走b格的格点连线，找到三个满足边长要求的格点顺次连接即可。
对于第(2)问，先根据等腰直角三角形的面积公式计算出直角边的长度，再用勾股定理将直角边转化为格点线段，保证两条直角边互相垂直且长度相等，连接端点即可得到所求图形。
【解析】
(1) 先将三条边长转化为格点直角三角形的斜边长：
$\sqrt{26}=\sqrt{1^2+5^2}$，对应横向1格、纵向5格的格点连线；
$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2+3^2}$，对应横向3格、纵向3格的格点连线；
$2\sqrt{5}=\sqrt{2^2+4^2}$，对应横向2格、纵向4格的格点连线。
在图①中选取符合上述长度要求的三条线段，首尾顺次连接得到的三角形即为所求，答案不唯一。
(2) 设等腰直角三角形的直角边长为$a$，根据三角形面积公式可得：
$\frac{1}{2}a^2=4$，解得$a^2=8$，即$a=\sqrt{8}=\sqrt{2^2+2^2}$，对应横向2格、纵向2格的格点连线。
在图②中选取互相垂直且长度均为$2\sqrt{2}$的两条线段作为直角边，连接两条直角边的另外两个端点，得到的等腰直角三角形面积为4，即为所求，答案不唯一。
【答案】
(1) 如图①所示（答案不唯一，符合三边长要求即可）；
(2) 如图②所示（答案不唯一，符合面积为4的等腰直角三角形要求即可）。
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形性质；网格作图
【点评】
本题属于开放性操作题，结合了勾股定理的逆用和特殊三角形的性质，需要学生灵活将无理数长度转化为可构造的格点线段，能有效考查学生的作图能力和对勾股定理的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
16.已知3是$2x+1$的算术平方根，$-2$是$-3x+y+5$的立方根，求$x-y$的平方根。
答案
解：
∵3是$2x+1$的算术平方根，
∴$2x + 1 = 3^2 = 9$，
解得$x = 4$。
∵$-2$是$-3x+y+5$的立方根，
∴$-3x + y + 5 = (-2)^3 = -8$，
将$x=4$代入得：$-3×4 + y + 5 = -8$，
解得$y = -1$。
∴$x - y = 4 - (-1) = 5$，
∴$x-y$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
∵3是$2x+1$的算术平方根，
∴$2x + 1 = 3^2 = 9$，
解得$x = 4$。
∵$-2$是$-3x+y+5$的立方根，
∴$-3x + y + 5 = (-2)^3 = -8$，
将$x=4$代入得：$-3×4 + y + 5 = -8$，
解得$y = -1$。
∴$x - y = 4 - (-1) = 5$，
∴$x-y$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时先回忆算术平方根、立方根的定义：若a是b的算术平方根，则$b=a^2$；若c是d的立方根，则$d=c^3$。第一步先根据“3是$2x+1$的算术平方根”列关于x的方程，求出x的值；第二步将x代入“-2是$-3x+y+5$的立方根”对应的方程，求出y的值；第三步计算$x-y$的结果，再根据平方根的定义求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
∵3是$2x+1$的算术平方根，
∴$2x + 1 = 3^2 = 9$，
解得$x = 4$。
∵$-2$是$-3x+y+5$的立方根，
∴$-3x + y + 5 = (-2)^3 = -8$，
将$x=4$代入得：$-3×4 + y + 5 = -8$，
解得$y = -1$。
∴$x - y = 4 - (-1) = 5$，
∴$x-y$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题重点考查根式相关定义的应用，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根的定义，通过列方程求出未知参数x和y，需要注意正数的平方根有两个，避免只写正根出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆算术平方根、立方根的定义：若a是b的算术平方根，则$b=a^2$；若c是d的立方根，则$d=c^3$。第一步先根据“3是$2x+1$的算术平方根”列关于x的方程，求出x的值；第二步将x代入“-2是$-3x+y+5$的立方根”对应的方程，求出y的值；第三步计算$x-y$的结果，再根据平方根的定义求它的平方根即可，注意正数的平方根有两个，互为相反数，不要漏解。
【解析】
∵3是$2x+1$的算术平方根，
∴$2x + 1 = 3^2 = 9$，
解得$x = 4$。
∵$-2$是$-3x+y+5$的立方根，
∴$-3x + y + 5 = (-2)^3 = -8$，
将$x=4$代入得：$-3×4 + y + 5 = -8$，
解得$y = -1$。
∴$x - y = 4 - (-1) = 5$，
∴$x-y$的平方根是$\pm\sqrt{5}$。
【答案】
$\pm\sqrt{5}$
【知识点】
算术平方根的定义；立方根的定义；平方根的运算
【点评】
本题重点考查根式相关定义的应用，解题关键是熟练掌握算术平方根、立方根的定义，通过列方程求出未知参数x和y，需要注意正数的平方根有两个，避免只写正根出现漏解的问题。
【难度系数】
0.8
17.小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对此进行了进一步的探究:在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图①,OA表示小球静止时的位置。当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB的位置,如图②所示。过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC的位置时,OB与OC恰好垂直(图②中的点A,B,O,C在同一平面上)。过点C作CE⊥OA于点E,测得BD=8 cm,OA=17 cm,求DE的长。
答案
解：
由题意可知，$OB=OC=OA=17\ \mathrm{cm}$，
$\because OB⊥ OC$，
$\therefore ∠ BOC=90°$，即$∠ BOD + ∠ COE=90°$。
$\because BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，
$\therefore ∠ ODB=∠ CEO=90°$，
$\therefore ∠ BOD + ∠ OBD=90°$，
$\therefore ∠ OBD=∠ COE$。
在$△ OBD$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ ODB=∠ CEO \\∠ OBD=∠ COE \\OB=CO\end{cases}$
$\therefore △ OBD ≌ △ COE\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=BD=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2 - BD^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=OD - OE=15 - 8=7\ \mathrm{cm}$。
答：$DE$的长为$7\ \mathrm{cm}$。
由题意可知，$OB=OC=OA=17\ \mathrm{cm}$，
$\because OB⊥ OC$，
$\therefore ∠ BOC=90°$，即$∠ BOD + ∠ COE=90°$。
$\because BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，
$\therefore ∠ ODB=∠ CEO=90°$，
$\therefore ∠ BOD + ∠ OBD=90°$，
$\therefore ∠ OBD=∠ COE$。
在$△ OBD$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ ODB=∠ CEO \\∠ OBD=∠ COE \\OB=CO\end{cases}$
$\therefore △ OBD ≌ △ COE\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=BD=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2 - BD^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=OD - OE=15 - 8=7\ \mathrm{cm}$。
答：$DE$的长为$7\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
解题时首先明确绳长相等，可得OB=OC=OA=17cm，要求DE的长，可转化为求OD与OE的长度差。观察图形可知BD、CE均垂直于OA，OB垂直于OC，可先通过“同角的余角相等”推出∠OBD=∠COE，结合直角相等及OB=OC的条件证明△OBD≌△COE，即可得到OE的长度；再利用勾股定理在Rt△OBD中求出OD的长度，最后计算OD与OE的差就能得到DE的长。
【解析】
由题意可知，$OB=OC=OA=17\ \mathrm{cm}$，
$\because OB⊥ OC$，
$\therefore ∠ BOC=90°$，即$∠ BOD + ∠ COE=90°$。
$\because BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，
$\therefore ∠ ODB=∠ CEO=90°$，
$\therefore ∠ BOD + ∠ OBD=90°$，
$\therefore ∠ OBD=∠ COE$。
在$△ OBD$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ ODB=∠ CEO \\∠ OBD=∠ COE \\OB=CO\end{cases}$
$\therefore △ OBD ≌ △ COE\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=BD=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2 - BD^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=OD - OE=15 - 8=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合实际探究场景考察了全等三角形、勾股定理的相关知识，解题核心是找到全等三角形的对应角相等的判定条件，能够锻炼学生的几何推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确绳长相等，可得OB=OC=OA=17cm，要求DE的长，可转化为求OD与OE的长度差。观察图形可知BD、CE均垂直于OA，OB垂直于OC，可先通过“同角的余角相等”推出∠OBD=∠COE，结合直角相等及OB=OC的条件证明△OBD≌△COE，即可得到OE的长度；再利用勾股定理在Rt△OBD中求出OD的长度，最后计算OD与OE的差就能得到DE的长。
【解析】
由题意可知，$OB=OC=OA=17\ \mathrm{cm}$，
$\because OB⊥ OC$，
$\therefore ∠ BOC=90°$，即$∠ BOD + ∠ COE=90°$。
$\because BD⊥ OA$，$CE⊥ OA$，
$\therefore ∠ ODB=∠ CEO=90°$，
$\therefore ∠ BOD + ∠ OBD=90°$，
$\therefore ∠ OBD=∠ COE$。
在$△ OBD$和$△ COE$中，
$\begin{cases}∠ ODB=∠ CEO \\∠ OBD=∠ COE \\OB=CO\end{cases}$
$\therefore △ OBD ≌ △ COE\ (\mathrm{AAS})$，
$\therefore OE=BD=8\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ OBD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OB^2 - BD^2}=\sqrt{17^2 - 8^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=OD - OE=15 - 8=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$7\ \mathrm{cm}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质
【点评】
本题是几何综合基础题，结合实际探究场景考察了全等三角形、勾股定理的相关知识，解题核心是找到全等三角形的对应角相等的判定条件，能够锻炼学生的几何推理能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
