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10.在平面直角坐标系中，若$A(a,3)$，$B(-2,b)$两点关于$x$轴对称，则$ab$的值是。
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个规律分别求出a、b的值，再代入计算ab的乘积即可。
【解析】
∵ 点$A(a,3)$与点$B(-2,b)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ $a = -2$，$b = -3$，
∴ $ab = (-2)×(-3) = 6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、有理数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对称点的坐标规律，解题关键是准确记忆不同对称方式下坐标的变化特点，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数。我们可以根据这个规律分别求出a、b的值，再代入计算ab的乘积即可。
【解析】
∵ 点$A(a,3)$与点$B(-2,b)$关于x轴对称，
根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴ $a = -2$，$b = -3$，
∴ $ab = (-2)×(-3) = 6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标特征、有理数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对称点的坐标规律，解题关键是准确记忆不同对称方式下坐标的变化特点，计算时注意符号不要出错。
【难度系数】
0.9
11.已知直线$y=kx-4$与直线$y=2x$平行，若直线$y=kx-4$经过点$(a,-2)$，则$a=$。
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，根据两条直线平行的性质，互相平行的一次函数的一次项系数k相等，由此可求出k的值，得到直线$y=kx-4$的完整解析式；第二步，因为点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点$(a,-2)$代入求出的解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵直线$y=kx-4$与直线$y=2x$平行，
∴两个一次函数的一次项系数相等，即$k=2$，
∴直线$y=kx-4$的解析式为$y=2x-4$。
又
∵直线$y=2x-4$经过点$(a,-2)$，
∴把$x=a$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=2a-4$
移项计算得：$2a=4-2=2$
解得：$a=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一次函数平行的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是掌握两直线平行时一次项系数相等的性质，以及函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，计算量小，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.85
解题思路分为两步：第一步，根据两条直线平行的性质，互相平行的一次函数的一次项系数k相等，由此可求出k的值，得到直线$y=kx-4$的完整解析式；第二步，因为点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点$(a,-2)$代入求出的解析式，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
解：
∵直线$y=kx-4$与直线$y=2x$平行，
∴两个一次函数的一次项系数相等，即$k=2$，
∴直线$y=kx-4$的解析式为$y=2x-4$。
又
∵直线$y=2x-4$经过点$(a,-2)$，
∴把$x=a$，$y=-2$代入解析式得：
$-2=2a-4$
移项计算得：$2a=4-2=2$
解得：$a=1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
一次函数平行的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于一次函数基础题型，解题关键是掌握两直线平行时一次项系数相等的性质，以及函数图象上的点坐标满足函数解析式的特点，计算量小，是对一次函数基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.85
12.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),点P在x轴正半轴上。若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P的坐标为。
答案
解：
∵点A的坐标为(3,4)，
∴$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
设点P的坐标为$(x,0)$，且$x＞0$，分三种情况讨论：
1. 当$OA=OP$时，$OP=5$，即$x=5$，此时点P坐标为$(5,0)$；
2. 当$OA=AP$时，$AP=5$，则$\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}=5$，
两边平方得：$(x-3)^2+16=25$，
解得$x_1=6$，$x_2=0$（舍去，该点与原点重合无法构成三角形），此时点P坐标为$(6,0)$；
3. 当$OP=AP$时，$OP=x$，则$x^2=(x-3)^2+4^2$，
展开得：$x^2=x^2-6x+9+16$，
解得$x=\frac{25}{6}$，此时点P坐标为$(\frac{25}{6},0)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$\boldsymbol{(5,0)、(6,0)、(\frac{25}{6},0)}$。
∵点A的坐标为(3,4)，
∴$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
设点P的坐标为$(x,0)$，且$x＞0$，分三种情况讨论：
1. 当$OA=OP$时，$OP=5$，即$x=5$，此时点P坐标为$(5,0)$；
2. 当$OA=AP$时，$AP=5$，则$\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}=5$，
两边平方得：$(x-3)^2+16=25$，
解得$x_1=6$，$x_2=0$（舍去，该点与原点重合无法构成三角形），此时点P坐标为$(6,0)$；
3. 当$OP=AP$时，$OP=x$，则$x^2=(x-3)^2+4^2$，
展开得：$x^2=x^2-6x+9+16$，
解得$x=\frac{25}{6}$，此时点P坐标为$(\frac{25}{6},0)$。
综上，满足条件的点P的坐标为$\boldsymbol{(5,0)、(6,0)、(\frac{25}{6},0)}$。
解析
【分析】
解决本题需采用分类讨论思想，先根据点A坐标利用勾股定理求出OA的长度，再结合等腰三角形两腰相等的性质，分三种情况讨论：①以O为顶角顶点，此时OA=OP；②以A为顶角顶点，此时OA=AP；③以P为顶角顶点，此时OP=AP。设点P坐标为(x,0)（x＞0），分别根据三种情况的等量关系列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
已知点A的坐标为(3,4)，由勾股定理可得：
$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$
设点P的坐标为$(x,0)$，由题意可知$x＞0$，分三种情况讨论：
1. 当$OA=OP$时，$OP=5$，即$x=5$，此时点P坐标为$(5,0)$；
2. 当$OA=AP$时，$AP=5$，由两点间距离的勾股公式可得：
$\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}=5$
两边平方得：$(x-3)^2+16=25$
解得$x_1=6$，$x_2=0$（$x=0$时点P与原点重合，无法构成三角形，舍去），此时点P坐标为$(6,0)$；
3. 当$OP=AP$时，$OP=x$，可得方程：
$x^2=(x-3)^2+4^2$
展开得：$x^2=x^2-6x+9+16$
解得$x=\frac{25}{6}$，此时点P坐标为$(\frac{25}{6},0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(5,0)、(6,0)、(\frac{25}{6},0)}$
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中等腰三角形存在性的常考题型，核心考查分类讨论思想的应用，解题时需注意对三种等腰情况逐一分析，同时要验证解的合理性，避免漏解或保留无效解。
【难度系数】
0.6
解决本题需采用分类讨论思想，先根据点A坐标利用勾股定理求出OA的长度，再结合等腰三角形两腰相等的性质，分三种情况讨论：①以O为顶角顶点，此时OA=OP；②以A为顶角顶点，此时OA=AP；③以P为顶角顶点，此时OP=AP。设点P坐标为(x,0)（x＞0），分别根据三种情况的等量关系列方程求解，最后舍去不符合题意的解即可。
【解析】
已知点A的坐标为(3,4)，由勾股定理可得：
$OA=\sqrt{3^2+4^2}=5$
设点P的坐标为$(x,0)$，由题意可知$x＞0$，分三种情况讨论：
1. 当$OA=OP$时，$OP=5$，即$x=5$，此时点P坐标为$(5,0)$；
2. 当$OA=AP$时，$AP=5$，由两点间距离的勾股公式可得：
$\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}=5$
两边平方得：$(x-3)^2+16=25$
解得$x_1=6$，$x_2=0$（$x=0$时点P与原点重合，无法构成三角形，舍去），此时点P坐标为$(6,0)$；
3. 当$OP=AP$时，$OP=x$，可得方程：
$x^2=(x-3)^2+4^2$
展开得：$x^2=x^2-6x+9+16$
解得$x=\frac{25}{6}$，此时点P坐标为$(\frac{25}{6},0)$。
【答案】
$\boldsymbol{(5,0)、(6,0)、(\frac{25}{6},0)}$
【知识点】
等腰三角形的判定；勾股定理；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系中等腰三角形存在性的常考题型，核心考查分类讨论思想的应用，解题时需注意对三种等腰情况逐一分析，同时要验证解的合理性，避免漏解或保留无效解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13. 计算。
(1) $\sqrt[3]{-8}+(\sqrt{2}-1)^0-\sqrt{9}$；
(2) $3\sqrt{24}+\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{6}-3)^2$。
13. 计算。
(1) $\sqrt[3]{-8}+(\sqrt{2}-1)^0-\sqrt{9}$；
(2) $3\sqrt{24}+\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+(\sqrt{6}-3)^2$。
答案
解：
(1) 原式$=-2 + 1 - 3$
$=-4$
(2) 先化简各项：
$3\sqrt{24}=3×2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$
$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
$-\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-\sqrt{6}+3$
$(\sqrt{6}-3)^2=6-6\sqrt{6}+9=15-6\sqrt{6}$
代入原式得：
原式$=6\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}+3+15-6\sqrt{6}$
$=(6\sqrt{6}-6\sqrt{6})+(\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6})+(3+15)$
$=-\frac{\sqrt{6}}{2}+18$
$=18-\frac{\sqrt{6}}{2}$
(1) 原式$=-2 + 1 - 3$
$=-4$
(2) 先化简各项：
$3\sqrt{24}=3×2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$
$\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
$-\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-\sqrt{6}+3$
$(\sqrt{6}-3)^2=6-6\sqrt{6}+9=15-6\sqrt{6}$
代入原式得：
原式$=6\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}+3+15-6\sqrt{6}$
$=(6\sqrt{6}-6\sqrt{6})+(\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6})+(3+15)$
$=-\frac{\sqrt{6}}{2}+18$
$=18-\frac{\sqrt{6}}{2}$
解析
【分析】
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别根据立方根的性质、零指数幂的运算法则、算术平方根的定义计算每一项，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。
(2) 先将每一项分别化简：①把非最简二次根式化为最简二次根式；②根据单项式乘多项式法则计算乘法项；③利用完全平方公式展开平方项，再合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$\sqrt[3]{-8}=-2$，$(\sqrt{2}-1)^0=1$（非零数的零次幂为1），$\sqrt{9}=3$
原式$=-2 + 1 - 3$
$=-4$
(2) 先逐项化简：
① $3\sqrt{24}=3×\sqrt{4×6}=3×2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$
② $\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$（分母有理化）
③ $-\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-\sqrt{3}×\sqrt{2}+\sqrt{3}×\sqrt{3}=-\sqrt{6}+3$
④ $(\sqrt{6}-3)^2=(\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×3 + 3^2=6 - 6\sqrt{6} + 9=15 - 6\sqrt{6}$
将化简后的项代入原式合并：
原式$=6\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}+3+15-6\sqrt{6}$
$=(6\sqrt{6}-6\sqrt{6})+(\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6})+(3+15)$
$=-\frac{\sqrt{6}}{2}+18$
$=18-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{18-\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$
【知识点】
二次根式运算，零指数幂，完全平方公式
【点评】
本题是实数运算的常规题型，重点考察各类运算规则的应用，计算时要注意运算顺序，化简二次根式时要确保结果为最简，去括号和应用公式时要注意符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查实数的混合运算，解题思路如下：
(1) 先分别根据立方根的性质、零指数幂的运算法则、算术平方根的定义计算每一项，再按照从左到右的顺序进行加减运算即可。
(2) 先将每一项分别化简：①把非最简二次根式化为最简二次根式；②根据单项式乘多项式法则计算乘法项；③利用完全平方公式展开平方项，再合并同类二次根式和常数项即可得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各项：
$\sqrt[3]{-8}=-2$，$(\sqrt{2}-1)^0=1$（非零数的零次幂为1），$\sqrt{9}=3$
原式$=-2 + 1 - 3$
$=-4$
(2) 先逐项化简：
① $3\sqrt{24}=3×\sqrt{4×6}=3×2\sqrt{6}=6\sqrt{6}$
② $\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$（分母有理化）
③ $-\sqrt{3}(\sqrt{2}-\sqrt{3})=-\sqrt{3}×\sqrt{2}+\sqrt{3}×\sqrt{3}=-\sqrt{6}+3$
④ $(\sqrt{6}-3)^2=(\sqrt{6})^2 - 2×\sqrt{6}×3 + 3^2=6 - 6\sqrt{6} + 9=15 - 6\sqrt{6}$
将化简后的项代入原式合并：
原式$=6\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6}+3+15-6\sqrt{6}$
$=(6\sqrt{6}-6\sqrt{6})+(\frac{\sqrt{6}}{2}-\sqrt{6})+(3+15)$
$=-\frac{\sqrt{6}}{2}+18$
$=18-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-4}$；(2) $\boldsymbol{18-\dfrac{\sqrt{6}}{2}}$
【知识点】
二次根式运算，零指数幂，完全平方公式
【点评】
本题是实数运算的常规题型，重点考察各类运算规则的应用，计算时要注意运算顺序，化简二次根式时要确保结果为最简，去括号和应用公式时要注意符号，避免因粗心导致计算错误。
【难度系数】
0.7
14.某校数学兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度。小华测得从旗杆顶端垂下的升旗用的绳子比旗杆长2 m，如图①所示。小明拉着绳子的下端往后退，当绳子拉直时，小华测得此时小明拉绳子的手到地面的距离CD为1 m，到旗杆的距离CE为9 m，如图②所示。求旗杆的高度AB。
答案
解：设旗杆的高度AB为x m，则升旗用的绳子总长为(x+2) m。
由题意可知四边形CDBE是矩形，因此EB=CD=1 m，
可得AE = AB - EB = (x - 1) m，AC = (x + 2) m，且∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$
代入已知数据得：
$(x-1)^2 + 9^2 = (x+2)^2$
展开运算：
$x^2 - 2x + 1 + 81 = x^2 + 4x + 4$
消去二次项，整理得：
$6x = 78$
解得：
$x=13$
答：旗杆的高度AB为13 m。
由题意可知四边形CDBE是矩形，因此EB=CD=1 m，
可得AE = AB - EB = (x - 1) m，AC = (x + 2) m，且∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$
代入已知数据得：
$(x-1)^2 + 9^2 = (x+2)^2$
展开运算：
$x^2 - 2x + 1 + 81 = x^2 + 4x + 4$
消去二次项，整理得：
$6x = 78$
解得：
$x=13$
答：旗杆的高度AB为13 m。
解析
【分析】
这是一道利用几何知识解决实际测量问题的题目，解题思路如下：首先设旗杆高度为未知数，结合绳子比旗杆长2m的条件表示出绳子的总长度；再观察图形可知四边形CDBE为矩形，根据矩形对边相等的性质，得到EB=CD，进而求出直角三角形AEC的直角边AE的长度，斜边AC就是拉直的绳子长度，另一条直角边CE长度已知；最后在直角三角形AEC中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度AB为x m，则升旗用的绳子总长为(x+2) m。
由题意可知四边形CDBE是矩形，因此EB=CD=1 m，
可得AE = AB - EB = (x - 1) m，AC = (x + 2) m，且∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$
代入已知数据得：
$(x-1)^2 + 9^2 = (x+2)^2$
展开运算：
$x^2 - 2x + 1 + 81 = x^2 + 4x + 4$
消去二次项，整理得：
$6x = 78$
解得：
$x=13$
答：旗杆的高度AB为13 m。
【答案】
13 m
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想结合几何知识解决实际问题的典型习题，解题核心是将实际场景转化为几何模型，准确梳理直角三角形各边的数量关系，能够有效锻炼数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用几何知识解决实际测量问题的题目，解题思路如下：首先设旗杆高度为未知数，结合绳子比旗杆长2m的条件表示出绳子的总长度；再观察图形可知四边形CDBE为矩形，根据矩形对边相等的性质，得到EB=CD，进而求出直角三角形AEC的直角边AE的长度，斜边AC就是拉直的绳子长度，另一条直角边CE长度已知；最后在直角三角形AEC中利用勾股定理列方程，求解方程即可得到旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度AB为x m，则升旗用的绳子总长为(x+2) m。
由题意可知四边形CDBE是矩形，因此EB=CD=1 m，
可得AE = AB - EB = (x - 1) m，AC = (x + 2) m，且∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，由勾股定理得：
$AE^2 + CE^2 = AC^2$
代入已知数据得：
$(x-1)^2 + 9^2 = (x+2)^2$
展开运算：
$x^2 - 2x + 1 + 81 = x^2 + 4x + 4$
消去二次项，整理得：
$6x = 78$
解得：
$x=13$
答：旗杆的高度AB为13 m。
【答案】
13 m
【知识点】
勾股定理，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题是方程思想结合几何知识解决实际问题的典型习题，解题核心是将实际场景转化为几何模型，准确梳理直角三角形各边的数量关系，能够有效锻炼数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
