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18.如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(5,2),B(1,5),C(-4,-3)$。
(1)作出$△ ABC$,并作出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A'B'C'$。
(2)在$x$轴上找一点$P$,使得$AP+PB$的值最小。
(1)作出$△ ABC$,并作出$△ ABC$关于$x$轴对称的$△ A'B'C'$。
(2)在$x$轴上找一点$P$,使得$AP+PB$的值最小。
答案
解：
(1) 根据已知坐标在平面直角坐标系中描出点$A(5,2)$、$B(1,5)$、$C(-4,-3)$，顺次连接三点，得到$△ ABC$。
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个对称点坐标：
$A'(5,-2)$，$B'(1,-5)$，$C'(-4,3)$，
描出$A'$、$B'$、$C'$三点，顺次连接，得到$△ A'B'C'$。
(2) 作点$B$关于$x$轴的对称点$B'(1,-5)$，连接$AB'$，直线$AB'$与$x$轴的交点即为所求的点$P$。
由两点之间线段最短可知，此时$AP+PB=AP+PB'=AB'$，$AP+PB$的值最小。
(1) 根据已知坐标在平面直角坐标系中描出点$A(5,2)$、$B(1,5)$、$C(-4,-3)$，顺次连接三点，得到$△ ABC$。
根据关于$x$轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个对称点坐标：
$A'(5,-2)$，$B'(1,-5)$，$C'(-4,3)$，
描出$A'$、$B'$、$C'$三点，顺次连接，得到$△ A'B'C'$。
(2) 作点$B$关于$x$轴的对称点$B'(1,-5)$，连接$AB'$，直线$AB'$与$x$轴的交点即为所求的点$P$。
由两点之间线段最短可知，此时$AP+PB=AP+PB'=AB'$，$AP+PB$的值最小。
解析
【分析】
本题分为作图和最短路径求解两部分：
(1) 作△ABC时，先根据给定的三个点的坐标，在坐标系对应位置描点，再顺次连接即可；作关于x轴对称的三角形时，需用到“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，先算出三个对称点的坐标，再描点连线就能得到对称图形。
(2) 求x轴上使AP+PB最小的点P是典型的最短路径问题：利用轴对称将折线段之和转化为两点之间的线段，因为x轴是对称轴，点B关于x轴的对称点B'到P的距离和B到P的距离相等，因此AP+PB=AP+PB'，根据两点之间线段最短，当A、P、B'三点共线时AP+PB'长度最小，所以连接AB'与x轴的交点就是所求P点。
【解析】
(1) ① 根据点的坐标定义，在平面直角坐标系中分别描出点A(5,2)、B(1,5)、C(-4,-3)，顺次连接三个点，即可得到△ABC；
② 由关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个顶点的对称点坐标为A'(5,-2)，B'(1,-5)，C'(-4,3)；在坐标系中描出这三个对称点，顺次连接即可得到△A'B'C'。
(2) 作点B关于x轴的对称点B'(1,-5)，连接AB'，直线AB'与x轴的交点即为所求的点P。根据两点之间线段最短，此时AP+PB=AP+PB'=AB'，因此AP+PB的值最小。
【答案】
(1) 按上述步骤描点连线得到△ABC和△A'B'C'（作图略），对称点坐标为$A'(5,-2)$，$B'(1,-5)$，$C'(-4,3)$；
(2) 作点B关于x轴的对称点$B'$，连接$AB'$，$AB'$与x轴的交点即为所求点P。
【知识点】
轴对称的坐标特征，最短路径问题，坐标系作图
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础题型，既考查了对轴对称坐标变化规律的掌握，也考查了转化思想在最短路径问题中的应用，属于几何部分的常考基础考点。
【难度系数】
0.8
本题分为作图和最短路径求解两部分：
(1) 作△ABC时，先根据给定的三个点的坐标，在坐标系对应位置描点，再顺次连接即可；作关于x轴对称的三角形时，需用到“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”的规律，先算出三个对称点的坐标，再描点连线就能得到对称图形。
(2) 求x轴上使AP+PB最小的点P是典型的最短路径问题：利用轴对称将折线段之和转化为两点之间的线段，因为x轴是对称轴，点B关于x轴的对称点B'到P的距离和B到P的距离相等，因此AP+PB=AP+PB'，根据两点之间线段最短，当A、P、B'三点共线时AP+PB'长度最小，所以连接AB'与x轴的交点就是所求P点。
【解析】
(1) ① 根据点的坐标定义，在平面直角坐标系中分别描出点A(5,2)、B(1,5)、C(-4,-3)，顺次连接三个点，即可得到△ABC；
② 由关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可得三个顶点的对称点坐标为A'(5,-2)，B'(1,-5)，C'(-4,3)；在坐标系中描出这三个对称点，顺次连接即可得到△A'B'C'。
(2) 作点B关于x轴的对称点B'(1,-5)，连接AB'，直线AB'与x轴的交点即为所求的点P。根据两点之间线段最短，此时AP+PB=AP+PB'=AB'，因此AP+PB的值最小。
【答案】
(1) 按上述步骤描点连线得到△ABC和△A'B'C'（作图略），对称点坐标为$A'(5,-2)$，$B'(1,-5)$，$C'(-4,3)$；
(2) 作点B关于x轴的对称点$B'$，连接$AB'$，$AB'$与x轴的交点即为所求点P。
【知识点】
轴对称的坐标特征，最短路径问题，坐标系作图
【点评】
本题是平面直角坐标系与轴对称结合的基础题型，既考查了对轴对称坐标变化规律的掌握，也考查了转化思想在最短路径问题中的应用，属于几何部分的常考基础考点。
【难度系数】
0.8
19.如图,在平面直角坐标系中,直线$l_1$的函数表达式为$y=x$,直线$l_2$的函数表达式为$y=kx-5k(k＜0)$,直线$l_2$与两坐标轴的交点分别是点A和点B,C是直线$l_2$与直线$l_1$的交点。
(1)若点C的坐标为$(1,1)$,求$△ BCO$的面积。
(2)若$S_{△ BOC}=\frac{3}{5}S_{△ AOC}$,求直线$l_2$的函数表达式。
20.【探究发现】
(1)如图①,在等边三角形ABC中,P为三角形内一点,连接AP,BP,CP。当$∠ APB - ∠ ABC = 90°$时,AP,BP,CP满足$AP^2 + BP^2 = CP^2$。数学兴趣小组的同学们通过讨论,得到了以下思路:以AP为边,在AP的左侧作等边三角形APQ,连接BQ,通过验证$△ APC ≌ △ AQB$,从而得到$PC=BQ$;再通过验证$△ PBQ$是直角三角形,得到$QP^2 + BP^2 = QB^2$,经等量代换即可得到AP,BP,CP的关系。请你根据以上思路,完成推导过程。
【类比】
(2)如图②,$△ ABC$是等腰直角三角形,$AB=AC$,P为三角形内一点,连接AP,BP,CP。当$∠ APB - ∠ ABC = 90°$时,判断AP,BP,CP之间的数量关系,并说明理由。
【联想拓展】
(3)如图③,在等腰三角形ABC中,$AB=AC,∠ BAC=120°$,P为三角形内一点,连接AP,BP,CP。当$∠ APB - ∠ ABC = 90°$时,AP,BP,CP满足$(kAP)^2 + BP^2 = CP^2(k＞0)$,请直接写出k的值。
(1)若点C的坐标为$(1,1)$,求$△ BCO$的面积。
(2)若$S_{△ BOC}=\frac{3}{5}S_{△ AOC}$,求直线$l_2$的函数表达式。
20.【探究发现】
(1)如图①,在等边三角形ABC中,P为三角形内一点,连接AP,BP,CP。当$∠ APB - ∠ ABC = 90°$时,AP,BP,CP满足$AP^2 + BP^2 = CP^2$。数学兴趣小组的同学们通过讨论,得到了以下思路:以AP为边,在AP的左侧作等边三角形APQ,连接BQ,通过验证$△ APC ≌ △ AQB$,从而得到$PC=BQ$;再通过验证$△ PBQ$是直角三角形,得到$QP^2 + BP^2 = QB^2$,经等量代换即可得到AP,BP,CP的关系。请你根据以上思路,完成推导过程。
【类比】
(2)如图②,$△ ABC$是等腰直角三角形,$AB=AC$,P为三角形内一点,连接AP,BP,CP。当$∠ APB - ∠ ABC = 90°$时,判断AP,BP,CP之间的数量关系,并说明理由。
【联想拓展】
(3)如图③,在等腰三角形ABC中,$AB=AC,∠ BAC=120°$,P为三角形内一点,连接AP,BP,CP。当$∠ APB - ∠ ABC = 90°$时,AP,BP,CP满足$(kAP)^2 + BP^2 = CP^2(k＞0)$,请直接写出k的值。
答案
19. 解：
(1) 将点$C(1,1)$代入$y=kx-5k$，得：
$k - 5k = 1$
解得$k=-\frac{1}{4}$，因此直线$l_2$的表达式为$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$。
令$x=0$，得$y=\frac{5}{4}$，即点$B$坐标为$(0,\frac{5}{4})$，$OB=\frac{5}{4}$。
$△ BCO$的面积以$OB$为底，点$C$的横坐标为高：
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1=\frac{5}{8}$
(2) 在$y=kx-5k$中，令$y=0$，得$kx-5k=0$，由$k≠0$解得$x=5$，即$A(5,0)$，$OA=5$。
联立$y=x$与$y=kx-5k$，解得交点$C$的坐标为$(\frac{-5k}{1-k},\frac{-5k}{1-k})$。
由$S_{△ BOC}=\frac{3}{5}S_{△ AOC}$，且$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OB · x_C$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA · y_C$，结合$x_C=y_C$，可得：
$\frac{OB}{OA}=\frac{3}{5}$
代入$OA=5$，得$OB=3$。
令$x=0$，得$y=-5k=3$，解得$k=-\frac{3}{5}$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+3$。
---
20. 解：
(1) 推导过程：
$\because △ APQ$和$△ ABC$都是等边三角形，
$\therefore AP=AQ=PQ$，$AC=AB$，$∠ PAQ=∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ PAQ-∠ PAB=∠ CAB-∠ PAB$，即$∠ QAB=∠ PAC$。
在$△ APC$和$△ AQB$中：
$\begin{cases}AP=AQ \\∠ PAC=∠ QAB \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ APC ≌ △ AQB(\mathrm{SAS})$，得$PC=BQ$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ABC=60°$，
由$∠ APB-∠ ABC=90°$，得$∠ APB=150°$，
又$\because ∠ APQ=60°$，$\therefore ∠ QPB=∠ APB-∠ APQ=90°$，
即$△ QPB$是直角三角形，由勾股定理得$PQ^2+BP^2=BQ^2$。
将$PQ=AP$，$BQ=CP$代入，得$AP^2+BP^2=CP^2$。
(2) 数量关系：$2AP^2+BP^2=CP^2$，理由如下：
以$AP$为腰，在$AP$左侧作等腰直角三角形$APQ$，$∠ PAQ=90°$，$AQ=AP$，连接$BQ$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ PAQ=90°$，$\therefore ∠ QAB=∠ PAC$。
在$△ QAB$和$△ PAC$中：
$\begin{cases}AQ=AP \\∠ QAB=∠ PAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ QAB ≌ △ PAC(\mathrm{SAS})$，得$BQ=CP$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ ABC=45°$，
由$∠ APB-∠ ABC=90°$，得$∠ APB=135°$，
又$\because ∠ APQ=45°$，$\therefore ∠ QPB=∠ APB-∠ APQ=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ QAP$中，由勾股定理得$PQ^2=AQ^2+AP^2=2AP^2$，
在$\mathrm{Rt}△ QBP$中，$PQ^2+BP^2=BQ^2$，代入得$2AP^2+BP^2=CP^2$。
(3) $k=\sqrt{3}$。
(1) 将点$C(1,1)$代入$y=kx-5k$，得：
$k - 5k = 1$
解得$k=-\frac{1}{4}$，因此直线$l_2$的表达式为$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$。
令$x=0$，得$y=\frac{5}{4}$，即点$B$坐标为$(0,\frac{5}{4})$，$OB=\frac{5}{4}$。
$△ BCO$的面积以$OB$为底，点$C$的横坐标为高：
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1=\frac{5}{8}$
(2) 在$y=kx-5k$中，令$y=0$，得$kx-5k=0$，由$k≠0$解得$x=5$，即$A(5,0)$，$OA=5$。
联立$y=x$与$y=kx-5k$，解得交点$C$的坐标为$(\frac{-5k}{1-k},\frac{-5k}{1-k})$。
由$S_{△ BOC}=\frac{3}{5}S_{△ AOC}$，且$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OB · x_C$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA · y_C$，结合$x_C=y_C$，可得：
$\frac{OB}{OA}=\frac{3}{5}$
代入$OA=5$，得$OB=3$。
令$x=0$，得$y=-5k=3$，解得$k=-\frac{3}{5}$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+3$。
---
20. 解：
(1) 推导过程：
$\because △ APQ$和$△ ABC$都是等边三角形，
$\therefore AP=AQ=PQ$，$AC=AB$，$∠ PAQ=∠ CAB=60°$，
$\therefore ∠ PAQ-∠ PAB=∠ CAB-∠ PAB$，即$∠ QAB=∠ PAC$。
在$△ APC$和$△ AQB$中：
$\begin{cases}AP=AQ \\∠ PAC=∠ QAB \\AC=AB\end{cases}$
$\therefore △ APC ≌ △ AQB(\mathrm{SAS})$，得$PC=BQ$。
$\because △ ABC$是等边三角形，$\therefore ∠ ABC=60°$，
由$∠ APB-∠ ABC=90°$，得$∠ APB=150°$，
又$\because ∠ APQ=60°$，$\therefore ∠ QPB=∠ APB-∠ APQ=90°$，
即$△ QPB$是直角三角形，由勾股定理得$PQ^2+BP^2=BQ^2$。
将$PQ=AP$，$BQ=CP$代入，得$AP^2+BP^2=CP^2$。
(2) 数量关系：$2AP^2+BP^2=CP^2$，理由如下：
以$AP$为腰，在$AP$左侧作等腰直角三角形$APQ$，$∠ PAQ=90°$，$AQ=AP$，连接$BQ$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$AB=AC$，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ BAC=∠ PAQ=90°$，$\therefore ∠ QAB=∠ PAC$。
在$△ QAB$和$△ PAC$中：
$\begin{cases}AQ=AP \\∠ QAB=∠ PAC \\AB=AC\end{cases}$
$\therefore △ QAB ≌ △ PAC(\mathrm{SAS})$，得$BQ=CP$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$\therefore ∠ ABC=45°$，
由$∠ APB-∠ ABC=90°$，得$∠ APB=135°$，
又$\because ∠ APQ=45°$，$\therefore ∠ QPB=∠ APB-∠ APQ=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ QAP$中，由勾股定理得$PQ^2=AQ^2+AP^2=2AP^2$，
在$\mathrm{Rt}△ QBP$中，$PQ^2+BP^2=BQ^2$，代入得$2AP^2+BP^2=CP^2$。
(3) $k=\sqrt{3}$。
解析
第19题
【分析】
(1) 要求△BCO的面积，需先确定点B坐标和点C的横坐标。已知点C在直线$l_2$上，将C(1,1)代入$l_2$解析式可求出k，得到$l_2$的完整表达式，再令x=0即可求出B点坐标；△BCO以OB为底，点C的横坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可。
(2) 先求直线$l_2$与x轴交点A的坐标：令$l_2$解析式中y=0，可直接解得x=5，即A为定点(5,0)。再联立$l_1$和$l_2$的解析式求交点C的坐标，可得C的横、纵坐标相等。根据两个三角形的面积关系，结合面积公式化简可得到OB与OA的比值，求出OB的长度后即可求k，进而得到$l_2$的解析式。
【解析】
(1) 将点C(1,1)代入$y=kx-5k$，得：
$k - 5k = 1$
解得$k=-\frac{1}{4}$，因此直线$l_2$的表达式为$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$。
令$x=0$，得$y=\frac{5}{4}$，即点$B$坐标为$(0,\frac{5}{4})$，$OB=\frac{5}{4}$。
△BCO的面积以OB为底，点C的横坐标为高：
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1=\frac{5}{8}$
(2) 在$y=kx-5k$中，令$y=0$，得$kx-5k=0$，由$k≠0$解得$x=5$，即$A(5,0)$，$OA=5$。
联立$\begin{cases}y=x \\ y=kx-5k\end{cases}$，解得交点C的坐标为$(\frac{-5k}{1-k},\frac{-5k}{1-k})$，即$x_C=y_C$。
已知$S_{△ BOC}=\frac{3}{5}S_{△ AOC}$，其中$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OB · x_C$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA · y_C$，代入$x_C=y_C$化简得：
$\frac{OB}{OA}=\frac{3}{5}$
代入$OA=5$，得$OB=3$。
令$x=0$，得$y=-5k=3$，解得$k=-\frac{3}{5}$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+3$。
【答案】
(1) $\frac{5}{8}$；(2) $y=-\frac{3}{5}x+3$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，解题的核心是准确求出直线与坐标轴的交点、两直线的交点坐标，结合三角形面积公式建立等量关系求解，是一次函数的常规综合题型。
【难度系数】
0.65
---
第20题
【分析】
本题是几何类比探究题，核心方法是旋转构造全等三角形，将分散的三条线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理推导线段关系。
(1) 按照题干给出的思路，先作等边△APQ，利用SAS证△APC≌△AQB得到PC=BQ，再结合已知角的关系推导出∠QPB=90°，在Rt△QPB中用勾股定理，再等量代换即可得到结论。
(2) 类比(1)的构造方法，以AP为腰作等腰直角△APQ，同样用SAS证△QAB≌△PAC得到BQ=CP，再推导∠QPB=90°，结合等腰直角三角形的三边关系和勾股定理即可得到AP、BP、CP的数量关系。
(3) 延续前两问的构造思路，作顶角为120°的等腰△APQ，可得PQ=√3 AP，代入$(kAP)^2 + BP^2 = CP^2$即可直接得到k的值。
【解析】
(1) 推导过程：
∵△APQ和△ABC都是等边三角形，
∴AP=AQ=PQ，AC=AB，∠PAQ=∠CAB=60°，
∴∠PAQ-∠PAB=∠CAB-∠PAB，即∠QAB=∠PAC。
在△APC和△AQB中：
$\begin{cases}AP=AQ \\∠PAC=∠QAB \\AC=AB\end{cases}$
∴△APC ≌ △AQB(SAS)，得PC=BQ。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由∠APB-∠ABC=90°，得∠APB=150°，
又
∵∠APQ=60°，
∴∠QPB=∠APB-∠APQ=90°，
即△QPB是直角三角形，由勾股定理得$PQ^2+BP^2=BQ^2$。
将PQ=AP，BQ=CP代入，得$AP^2+BP^2=CP^2$。
(2) 数量关系：$2AP^2+BP^2=CP^2$，理由如下：
以AP为腰，在AP左侧作等腰直角三角形APQ，∠PAQ=90°，AQ=AP，连接BQ。
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠PAQ=90°，
∴∠QAB=∠PAC。
在△QAB和△PAC中：
$\begin{cases}AQ=AP \\∠QAB=∠PAC \\AB=AC\end{cases}$
∴△QAB ≌ △PAC(SAS)，得BQ=CP。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
由∠APB-∠ABC=90°，得∠APB=135°，
又
∵∠APQ=45°，
∴∠QPB=∠APB-∠APQ=90°。
在Rt△QAP中，由勾股定理得$PQ^2=AQ^2+AP^2=2AP^2$，
在Rt△QBP中，$PQ^2+BP^2=BQ^2$，代入得$2AP^2+BP^2=CP^2$。
(3) 以AP为腰，在AP左侧作等腰△APQ，使∠PAQ=120°，AQ=AP，同理可证△QAB≌△PAC得BQ=CP，且∠QPB=90°，在△APQ中，PQ=√3 AP，代入勾股定理得$(√3 AP)^2 + BP^2 = CP^2$，故k=√3。
【答案】
(1) 推导见解析；(2) $2AP^2+BP^2=CP^2$；(3) $\sqrt{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，特殊三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类题型，核心考查类比构造辅助线的能力，通过旋转构造全等将三条待研究的线段转化到同一个直角三角形中，再结合勾股定理求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
【分析】
(1) 要求△BCO的面积，需先确定点B坐标和点C的横坐标。已知点C在直线$l_2$上，将C(1,1)代入$l_2$解析式可求出k，得到$l_2$的完整表达式，再令x=0即可求出B点坐标；△BCO以OB为底，点C的横坐标的绝对值为高，代入三角形面积公式计算即可。
(2) 先求直线$l_2$与x轴交点A的坐标：令$l_2$解析式中y=0，可直接解得x=5，即A为定点(5,0)。再联立$l_1$和$l_2$的解析式求交点C的坐标，可得C的横、纵坐标相等。根据两个三角形的面积关系，结合面积公式化简可得到OB与OA的比值，求出OB的长度后即可求k，进而得到$l_2$的解析式。
【解析】
(1) 将点C(1,1)代入$y=kx-5k$，得：
$k - 5k = 1$
解得$k=-\frac{1}{4}$，因此直线$l_2$的表达式为$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{4}$。
令$x=0$，得$y=\frac{5}{4}$，即点$B$坐标为$(0,\frac{5}{4})$，$OB=\frac{5}{4}$。
△BCO的面积以OB为底，点C的横坐标为高：
$S_{△ BCO}=\frac{1}{2} × OB × |x_C|=\frac{1}{2} × \frac{5}{4} × 1=\frac{5}{8}$
(2) 在$y=kx-5k$中，令$y=0$，得$kx-5k=0$，由$k≠0$解得$x=5$，即$A(5,0)$，$OA=5$。
联立$\begin{cases}y=x \\ y=kx-5k\end{cases}$，解得交点C的坐标为$(\frac{-5k}{1-k},\frac{-5k}{1-k})$，即$x_C=y_C$。
已知$S_{△ BOC}=\frac{3}{5}S_{△ AOC}$，其中$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}· OB · x_C$，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}· OA · y_C$，代入$x_C=y_C$化简得：
$\frac{OB}{OA}=\frac{3}{5}$
代入$OA=5$，得$OB=3$。
令$x=0$，得$y=-5k=3$，解得$k=-\frac{3}{5}$。
因此直线$l_2$的函数表达式为$y=-\frac{3}{5}x+3$。
【答案】
(1) $\frac{5}{8}$；(2) $y=-\frac{3}{5}x+3$
【知识点】
一次函数的性质，一次函数交点问题，三角形面积计算
【点评】
本题考查一次函数的综合应用，解题的核心是准确求出直线与坐标轴的交点、两直线的交点坐标，结合三角形面积公式建立等量关系求解，是一次函数的常规综合题型。
【难度系数】
0.65
---
第20题
【分析】
本题是几何类比探究题，核心方法是旋转构造全等三角形，将分散的三条线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理推导线段关系。
(1) 按照题干给出的思路，先作等边△APQ，利用SAS证△APC≌△AQB得到PC=BQ，再结合已知角的关系推导出∠QPB=90°，在Rt△QPB中用勾股定理，再等量代换即可得到结论。
(2) 类比(1)的构造方法，以AP为腰作等腰直角△APQ，同样用SAS证△QAB≌△PAC得到BQ=CP，再推导∠QPB=90°，结合等腰直角三角形的三边关系和勾股定理即可得到AP、BP、CP的数量关系。
(3) 延续前两问的构造思路，作顶角为120°的等腰△APQ，可得PQ=√3 AP，代入$(kAP)^2 + BP^2 = CP^2$即可直接得到k的值。
【解析】
(1) 推导过程：
∵△APQ和△ABC都是等边三角形，
∴AP=AQ=PQ，AC=AB，∠PAQ=∠CAB=60°，
∴∠PAQ-∠PAB=∠CAB-∠PAB，即∠QAB=∠PAC。
在△APC和△AQB中：
$\begin{cases}AP=AQ \\∠PAC=∠QAB \\AC=AB\end{cases}$
∴△APC ≌ △AQB(SAS)，得PC=BQ。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
由∠APB-∠ABC=90°，得∠APB=150°，
又
∵∠APQ=60°，
∴∠QPB=∠APB-∠APQ=90°，
即△QPB是直角三角形，由勾股定理得$PQ^2+BP^2=BQ^2$。
将PQ=AP，BQ=CP代入，得$AP^2+BP^2=CP^2$。
(2) 数量关系：$2AP^2+BP^2=CP^2$，理由如下：
以AP为腰，在AP左侧作等腰直角三角形APQ，∠PAQ=90°，AQ=AP，连接BQ。
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠PAQ=90°，
∴∠QAB=∠PAC。
在△QAB和△PAC中：
$\begin{cases}AQ=AP \\∠QAB=∠PAC \\AB=AC\end{cases}$
∴△QAB ≌ △PAC(SAS)，得BQ=CP。
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
由∠APB-∠ABC=90°，得∠APB=135°，
又
∵∠APQ=45°，
∴∠QPB=∠APB-∠APQ=90°。
在Rt△QAP中，由勾股定理得$PQ^2=AQ^2+AP^2=2AP^2$，
在Rt△QBP中，$PQ^2+BP^2=BQ^2$，代入得$2AP^2+BP^2=CP^2$。
(3) 以AP为腰，在AP左侧作等腰△APQ，使∠PAQ=120°，AQ=AP，同理可证△QAB≌△PAC得BQ=CP，且∠QPB=90°，在△APQ中，PQ=√3 AP，代入勾股定理得$(√3 AP)^2 + BP^2 = CP^2$，故k=√3。
【答案】
(1) 推导见解析；(2) $2AP^2+BP^2=CP^2$；(3) $\sqrt{3}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，特殊三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题属于几何探究类题型，核心考查类比构造辅助线的能力，通过旋转构造全等将三条待研究的线段转化到同一个直角三角形中，再结合勾股定理求解，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
