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1.下列推理合理的是(
A.小强和小明的体重看起来不相等，那么他们的体重一定不相等
B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C.因为小强的妈妈是老师，所以小强的学习成绩一定很好
D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
D
)A.小强和小明的体重看起来不相等，那么他们的体重一定不相等
B.因为王老师是数学老师，所以王老师出的数学题一定没有问题
C.因为小强的妈妈是老师，所以小强的学习成绩一定很好
D.因为小强热情、开朗、爱交际，所以小强的朋友可能很多
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查推理合理性的判断，解题核心是区分推理中“一定”类的必然结论和“可能”类的或然结论是否符合逻辑、符合实际情况，我们可以逐一排查每个选项的表述是否存在绝对化的逻辑漏洞，最终选出合理的推理。
【解析】
对四个选项逐一分析：
A. 视觉判断体重存在误差，看起来体重不相等不代表实际一定不相等，“一定不相等”的表述过于绝对，推理不合理；
B. 数学老师也可能存在出题失误，“出的数学题一定没有问题”的表述过于绝对，推理不合理；
C. 妈妈是老师只能说明小强可能有更好的学习辅导条件，不代表成绩“一定很好”，表述过于绝对，推理不合理；
D. 热情、开朗、爱交际是有利于结交朋友的性格特质，因此“小强的朋友可能很多”是符合逻辑的或然结论，推理合理。
【答案】
D
【知识点】
推理合理性判定；必然与或然区分
【点评】
本题是基础的逻辑判断类题目，结合生活常识就能判断，解题关键是警惕推理中过于绝对的表述，区分必然成立的结论和合理的或然结论。
【难度系数】
0.9
这道题考查推理合理性的判断，解题核心是区分推理中“一定”类的必然结论和“可能”类的或然结论是否符合逻辑、符合实际情况，我们可以逐一排查每个选项的表述是否存在绝对化的逻辑漏洞，最终选出合理的推理。
【解析】
对四个选项逐一分析：
A. 视觉判断体重存在误差，看起来体重不相等不代表实际一定不相等，“一定不相等”的表述过于绝对，推理不合理；
B. 数学老师也可能存在出题失误，“出的数学题一定没有问题”的表述过于绝对，推理不合理；
C. 妈妈是老师只能说明小强可能有更好的学习辅导条件，不代表成绩“一定很好”，表述过于绝对，推理不合理；
D. 热情、开朗、爱交际是有利于结交朋友的性格特质，因此“小强的朋友可能很多”是符合逻辑的或然结论，推理合理。
【答案】
D
【知识点】
推理合理性判定；必然与或然区分
【点评】
本题是基础的逻辑判断类题目，结合生活常识就能判断，解题关键是警惕推理中过于绝对的表述，区分必然成立的结论和合理的或然结论。
【难度系数】
0.9
2.某公园计划砌一个如图
所示的喷水池，有人将其改为的形状。若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则图和所需的建筑材料用量
所示的喷水池，有人将其改为的形状。若外圆的直径不变，水池边沿的宽度和高度不变，则图和所需的建筑材料用量相等
（填“相等”或“不相等”）。答案
2.相等
解析
【分析】
要判断两个图形所需建筑材料用量是否相等，已知水池边沿的宽度和高度不变，因此用料多少由边沿的总长度（总周长）决定。我们可以先设外圆直径为D，分别计算两个图形的边沿总周长，对比周长大小即可得到结论。
【解析】
设外圆的直径为D：
1. 计算图①的边沿总周长：
图①是2个直径为D的等圆，总周长为：
$C_1=2×π D=2π D$
2. 计算图②的边沿总周长：
首先外圆的周长为$π D$；设图②内三个小圆的直径分别为$d_1、d_2、d_3$，由图形特征可知$d_1+d_2+d_3=D$，则三个小圆的周长总和为：
$π d_1+π d_2+π d_3=π(d_1+d_2+d_3)=π D$
因此图②的边沿总周长为：
$C_2=π D+π D=2π D$
可得$C_1=C_2$，结合边沿宽度、高度都相等的条件，可知两个图形所需建筑材料用量相等。
【答案】
相等
【知识点】
圆的周长计算，整体代入思想
【点评】
本题将实际用料问题转化为周长比较问题，解题时不要被图形的外观差异迷惑，抓住周长计算的本质规律，利用整体代入的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要判断两个图形所需建筑材料用量是否相等，已知水池边沿的宽度和高度不变，因此用料多少由边沿的总长度（总周长）决定。我们可以先设外圆直径为D，分别计算两个图形的边沿总周长，对比周长大小即可得到结论。
【解析】
设外圆的直径为D：
1. 计算图①的边沿总周长：
图①是2个直径为D的等圆，总周长为：
$C_1=2×π D=2π D$
2. 计算图②的边沿总周长：
首先外圆的周长为$π D$；设图②内三个小圆的直径分别为$d_1、d_2、d_3$，由图形特征可知$d_1+d_2+d_3=D$，则三个小圆的周长总和为：
$π d_1+π d_2+π d_3=π(d_1+d_2+d_3)=π D$
因此图②的边沿总周长为：
$C_2=π D+π D=2π D$
可得$C_1=C_2$，结合边沿宽度、高度都相等的条件，可知两个图形所需建筑材料用量相等。
【答案】
相等
【知识点】
圆的周长计算，整体代入思想
【点评】
本题将实际用料问题转化为周长比较问题，解题时不要被图形的外观差异迷惑，抓住周长计算的本质规律，利用整体代入的方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 有下列等式：
①$3^2 - 1^2 = 2×4$；②$5^2 - 3^2 = 2×8$；
③$7^2 - 5^2 = 2×12$；……
若字母n表示正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：
。
①$3^2 - 1^2 = 2×4$；②$5^2 - 3^2 = 2×8$；
③$7^2 - 5^2 = 2×12$；……
若字母n表示正整数，请把你观察到的规律用含n的式子表示出来：
。
答案
3.$(2n+1)^2-(2n-1)^2=2×4n$
解析
【分析】
我们可以分步观察等式的规律：第一步先看等式左边，给出的3个式子都是两个连续奇数的平方差，第1个式子的奇数是1、3，第2个是3、5，第3个是5、7，若n为正整数，第n个式子对应的较小奇数为$2n-1$，较大的相邻奇数就是$2n+1$，因此左边可表示为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$；第二步看等式右边，都是2乘一个数，第1个式子乘的是$4=4×1$，第2个乘的是$8=4×2$，第3个乘的是$12=4×3$，对应第n个式子乘的就是$4n$，因此右边可表示为$2×4n$；最后可以通过整式运算验证两边是否相等，确认规律正确。
【解析】
1. 分析等式左侧特征：
第n个等式的两个底数是连续奇数，较小奇数为$2n-1$，较大奇数为$2n+1$，因此左侧为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$。
2. 分析等式右侧特征：
右侧第一个因数恒为2，第二个因数是4的n倍，即$4n$，因此右侧为$2×4n$。
3. 验证规律：
将左侧展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1)\\&=8n\end{aligned}$
右侧$2×4n=8n$，左右两边相等，规律成立。
【答案】
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=2×4n$
【知识点】
数字规律探究；整式的运算；平方差公式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是分别观察等式左右两边的数字特征，找到其与正整数n的对应关系，最后可通过整式运算验证规律的正确性，能够锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
我们可以分步观察等式的规律：第一步先看等式左边，给出的3个式子都是两个连续奇数的平方差，第1个式子的奇数是1、3，第2个是3、5，第3个是5、7，若n为正整数，第n个式子对应的较小奇数为$2n-1$，较大的相邻奇数就是$2n+1$，因此左边可表示为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$；第二步看等式右边，都是2乘一个数，第1个式子乘的是$4=4×1$，第2个乘的是$8=4×2$，第3个乘的是$12=4×3$，对应第n个式子乘的就是$4n$，因此右边可表示为$2×4n$；最后可以通过整式运算验证两边是否相等，确认规律正确。
【解析】
1. 分析等式左侧特征：
第n个等式的两个底数是连续奇数，较小奇数为$2n-1$，较大奇数为$2n+1$，因此左侧为$(2n+1)^2 - (2n-1)^2$。
2. 分析等式右侧特征：
右侧第一个因数恒为2，第二个因数是4的n倍，即$4n$，因此右侧为$2×4n$。
3. 验证规律：
将左侧展开计算：
$\begin{aligned}(2n+1)^2 - (2n-1)^2&=(4n^2 + 4n + 1) - (4n^2 - 4n + 1)\\&=8n\end{aligned}$
右侧$2×4n=8n$，左右两边相等，规律成立。
【答案】
$(2n+1)^2-(2n-1)^2=2×4n$
【知识点】
数字规律探究；整式的运算；平方差公式
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是分别观察等式左右两边的数字特征，找到其与正整数n的对应关系，最后可通过整式运算验证规律的正确性，能够锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
4.在手工制作课上，小明和小华各自用铁丝制作楼梯模型，如图所示。他们制作模型所用的铁丝一样长吗？请通过计算说明理由。
答案
4.一样长。理由如下：
两个模型的周长都是(5+8)×2=26(cm)。
解析
【分析】
要判断两人制作模型所用铁丝是否一样长，本质是比较两个阶梯图形的周长是否相等。首先注意不要仅凭直观观察判断周长大小，需严谨计算：我们可以利用平移的方法转化不规则图形，将两个图形中水平方向的阶梯线段平移、竖直方向的阶梯线段平移后，两个图形都可以转化为长8cm、宽5cm的长方形，平移不改变线段的长度，因此两个图形的周长都等于该长方形的周长，计算出周长后即可比较大小。
【解析】
铁丝的长度等于对应楼梯模型的周长：
1. 对左侧模型：将所有水平的阶梯短边向下平移，所有竖直的阶梯短边向右平移，可得到长为8cm、宽为5cm的长方形，因此该模型周长为$(5+8)×2=26(\mathrm{cm})$；
2. 对右侧模型：将所有水平的阶梯短边向下平移，所有竖直的阶梯短边向左平移，同样可得到长为8cm、宽为5cm的长方形，因此该模型周长也为$(5+8)×2=26(\mathrm{cm})$。
两个模型周长相等，因此所用铁丝一样长。
【答案】
一样长。理由如下：
两个模型的周长都是(5+8)×2=26(cm)。
【知识点】
1. 平移法求周长
2. 长方形周长计算
3. 不规则图形周长转化
【点评】
本题核心考察转化的数学思想，通过平移将不规则的阶梯图形转化为规则的长方形计算周长，避免了逐一计算小段线段长度的繁琐，是求解不规则图形周长的常用方法，同时也让我们体会到直观观察不一定可靠，需要严谨计算验证结论。
【难度系数】
0.7
要判断两人制作模型所用铁丝是否一样长，本质是比较两个阶梯图形的周长是否相等。首先注意不要仅凭直观观察判断周长大小，需严谨计算：我们可以利用平移的方法转化不规则图形，将两个图形中水平方向的阶梯线段平移、竖直方向的阶梯线段平移后，两个图形都可以转化为长8cm、宽5cm的长方形，平移不改变线段的长度，因此两个图形的周长都等于该长方形的周长，计算出周长后即可比较大小。
【解析】
铁丝的长度等于对应楼梯模型的周长：
1. 对左侧模型：将所有水平的阶梯短边向下平移，所有竖直的阶梯短边向右平移，可得到长为8cm、宽为5cm的长方形，因此该模型周长为$(5+8)×2=26(\mathrm{cm})$；
2. 对右侧模型：将所有水平的阶梯短边向下平移，所有竖直的阶梯短边向左平移，同样可得到长为8cm、宽为5cm的长方形，因此该模型周长也为$(5+8)×2=26(\mathrm{cm})$。
两个模型周长相等，因此所用铁丝一样长。
【答案】
一样长。理由如下：
两个模型的周长都是(5+8)×2=26(cm)。
【知识点】
1. 平移法求周长
2. 长方形周长计算
3. 不规则图形周长转化
【点评】
本题核心考察转化的数学思想，通过平移将不规则的阶梯图形转化为规则的长方形计算周长，避免了逐一计算小段线段长度的繁琐，是求解不规则图形周长的常用方法，同时也让我们体会到直观观察不一定可靠，需要严谨计算验证结论。
【难度系数】
0.7
5. 提升题 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b(b≠0)。若将它的十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两个两位数的和能被11整除吗？差能被11整除吗？我们可以验证一下，例如，数字23对调后得到的新两位数是32，而23+32=55，32−23=9。因此我们断定，这两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除。上述验证过程是否正确？若不正确，请写出正确的验证过程。
答案
5.该验证过程不正确。上述验证过程只是一个特例，为了验证结论的正确性，可作如下证明：因为原两位数的十位数字为a，个位数字为b(b≠0)，
所以原两位数为10a+b，新两位数为10b+a。
因为(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)，是11的整数倍，
所以这两个两位数的和能被11整除。
因为10a+b−(10b+a)=9a−9b=9(a−b)，
又1≤a≤9，1≤b≤9，且a,b都为整数，
所以9(a−b)一定不是11的整数倍。
所以这两个两位数的差不能被11整除。
所以原两位数为10a+b，新两位数为10b+a。
因为(10a+b)+(10b+a)=11(a+b)，是11的整数倍，
所以这两个两位数的和能被11整除。
因为10a+b−(10b+a)=9a−9b=9(a−b)，
又1≤a≤9，1≤b≤9，且a,b都为整数，
所以9(a−b)一定不是11的整数倍。
所以这两个两位数的差不能被11整除。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确仅通过单个特例得到的结论不具有普遍性，不能作为严谨的证明，需要通过代数推导验证所有符合条件的两位数的情况。解题思路如下：第一步先指出原验证的缺陷是仅用个例推导普遍结论；第二步用含十位数字a、个位数字b的代数式分别表示原两位数和对调后的新两位数；第三步分别计算两个数的和与差，对结果因式分解后判断是否为11的整数倍，判断差的时候结合a、b都是1~9的正整数的取值范围分析即可。
【解析】
解：上述验证过程不正确，仅用一个特例得出的结论不具有普遍性，正确验证过程如下：
∵ 原两位数的十位数字为a，个位数字为b（b≠0），
∴ 原两位数为$10a + b$，对调后得到的新两位数为$10b + a$。
1. 验证两数的和是否能被11整除：
$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$，
$11(a + b)$是11的整数倍，因此这两个两位数的和能被11整除。
2. 验证两数的差是否能被11整除：
$(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$，
∵ $1≤ a≤9$，$1≤ b≤9$，且a、b均为整数，
∴ $9(a - b)$一定不是11的整数倍，因此这两个两位数的差不能被11整除。
【答案】
上述验证过程不正确。两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除，正确验证过程见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题重点考查数学证明的严谨性，明确个别特例无法代表普遍情况，只有通过字母表示数进行代数推导，才能得到适用于所有符合条件的情况的一般性结论，同时也考查了整式加减的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确仅通过单个特例得到的结论不具有普遍性，不能作为严谨的证明，需要通过代数推导验证所有符合条件的两位数的情况。解题思路如下：第一步先指出原验证的缺陷是仅用个例推导普遍结论；第二步用含十位数字a、个位数字b的代数式分别表示原两位数和对调后的新两位数；第三步分别计算两个数的和与差，对结果因式分解后判断是否为11的整数倍，判断差的时候结合a、b都是1~9的正整数的取值范围分析即可。
【解析】
解：上述验证过程不正确，仅用一个特例得出的结论不具有普遍性，正确验证过程如下：
∵ 原两位数的十位数字为a，个位数字为b（b≠0），
∴ 原两位数为$10a + b$，对调后得到的新两位数为$10b + a$。
1. 验证两数的和是否能被11整除：
$(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$，
$11(a + b)$是11的整数倍，因此这两个两位数的和能被11整除。
2. 验证两数的差是否能被11整除：
$(10a + b) - (10b + a) = 9a - 9b = 9(a - b)$，
∵ $1≤ a≤9$，$1≤ b≤9$，且a、b均为整数，
∴ $9(a - b)$一定不是11的整数倍，因此这两个两位数的差不能被11整除。
【答案】
上述验证过程不正确。两个两位数的和能被11整除，差不能被11整除，正确验证过程见解析。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算；整除的判定
【点评】
本题重点考查数学证明的严谨性，明确个别特例无法代表普遍情况，只有通过字母表示数进行代数推导，才能得到适用于所有符合条件的情况的一般性结论，同时也考查了整式加减的实际应用能力。
【难度系数】
0.6
