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1. 按要求填表：
答案
$y=2(x-1)^2-2$,向上,直线$x=1$,$(1,-2)$;$y=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{2}$,向上,直线$x=-\frac{1}{2}$,$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$;$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}$,向下,直线$x=2$,$(2,\frac{1}{2})$
解析
【分析】
要解决本题，需先通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式$y=a(x-m)^2+k$的形式，再根据顶点式的性质判断图象特征：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=m$；3. 顶点坐标为$(m,k)$，逐个处理三个二次函数即可。
【解析】
1. 对$y=2x^2-4x$配方：
先提取二次项系数2：$y=2(x^2-2x)$
括号内配完全平方：$y=2(x^2-2x+1-1)=2[(x-1)^2-1]=2(x-1)^2-2$
其中$a=2＞0$，故开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 对$y=2x^2+2x-1$配方：
先提取二次项系数2：$y=2(x^2+x)-1$
括号内配完全平方：$y=2(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-1=2[(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}]-1=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{2}$
其中$a=2＞0$，故开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$。
3. 对$y=-\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{3}{2}$配方：
先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$：$y=-\frac{1}{2}(x^2-4x)-\frac{3}{2}$
括号内配完全平方：$y=-\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-4]-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}$
其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，故开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$。
【答案】
第一行：$y=2(x-1)^2-2$，向上，直线$x=1$，$(1,-2)$；
第二行：$y=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{2}$，向上，直线$x=-\frac{1}{2}$，$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$；
第三行：$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}$，向下，直线$x=2$，$(2,\frac{1}{2})$
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查配方法的应用以及二次函数顶点式与图象特征的对应关系，熟练掌握配方法步骤是快速解题的关键，掌握本题能为后续二次函数的综合应用打好基础。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需先通过配方法将二次函数的一般式化为顶点式$y=a(x-m)^2+k$的形式，再根据顶点式的性质判断图象特征：1. 开口方向由$a$的符号决定，$a＞0$开口向上，$a＜0$开口向下；2. 对称轴为直线$x=m$；3. 顶点坐标为$(m,k)$，逐个处理三个二次函数即可。
【解析】
1. 对$y=2x^2-4x$配方：
先提取二次项系数2：$y=2(x^2-2x)$
括号内配完全平方：$y=2(x^2-2x+1-1)=2[(x-1)^2-1]=2(x-1)^2-2$
其中$a=2＞0$，故开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-2)$。
2. 对$y=2x^2+2x-1$配方：
先提取二次项系数2：$y=2(x^2+x)-1$
括号内配完全平方：$y=2(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4})-1=2[(x+\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}]-1=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{2}$
其中$a=2＞0$，故开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{1}{2}$，顶点坐标为$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$。
3. 对$y=-\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{3}{2}$配方：
先提取二次项系数$-\frac{1}{2}$：$y=-\frac{1}{2}(x^2-4x)-\frac{3}{2}$
括号内配完全平方：$y=-\frac{1}{2}(x^2-4x+4-4)-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}[(x-2)^2-4]-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}$
其中$a=-\frac{1}{2}＜0$，故开口向下，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,\frac{1}{2})$。
【答案】
第一行：$y=2(x-1)^2-2$，向上，直线$x=1$，$(1,-2)$；
第二行：$y=2(x+\frac{1}{2})^2-\frac{3}{2}$，向上，直线$x=-\frac{1}{2}$，$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$；
第三行：$y=-\frac{1}{2}(x-2)^2+\frac{1}{2}$，向下，直线$x=2$，$(2,\frac{1}{2})$
【知识点】
配方法；二次函数一般式化顶点式；二次函数的图象性质
【点评】
本题属于二次函数的基础题型，核心考查配方法的应用以及二次函数顶点式与图象特征的对应关系，熟练掌握配方法步骤是快速解题的关键，掌握本题能为后续二次函数的综合应用打好基础。
【难度系数】
0.7
2. 说出下列函数的图象是由怎样的$y=ax^2(a≠0)$型抛物线经过怎样的平移后得到的。
(1) $y=-2(x+3)^2$；
(2) $y=(x-\sqrt{2})^2+\sqrt{3}$；
(3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}$；
(4) $y=-2(x-1)(x+3)$。
(1) $y=-2(x+3)^2$；
(2) $y=(x-\sqrt{2})^2+\sqrt{3}$；
(3) $y=\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}$；
(4) $y=-2(x-1)(x+3)$。
答案
(1) 由$y=-2x^2$的图象向左平移3个单位得到。
(2) 由$y=x^2$的图象先向右平移$\sqrt{2}$个单位,再向上平移$\sqrt{3}$个单位得到。
(3) 由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向左平移3个单位,再向下平移7个单位得到。
(4) 由$y=-2x^2$的图象先向左平移1个单位,再向上平移8个单位得到。
(2) 由$y=x^2$的图象先向右平移$\sqrt{2}$个单位,再向上平移$\sqrt{3}$个单位得到。
(3) 由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向左平移3个单位,再向下平移7个单位得到。
(4) 由$y=-2x^2$的图象先向左平移1个单位,再向上平移8个单位得到。
解析
【分析】
解决这类问题的核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，所有二次函数都可以转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题思路如下：①首先确定目标函数的二次项系数$a$，找到对应的原型抛物线$y=ax^2$；②若目标函数不是顶点式，先通过配方、展开等方法转化为顶点式；③对比$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2+k$：$h＞0$时向右平移$h$个单位，$h＜0$时向左平移$|h|$个单位；$k＞0$时向上平移$k$个单位，$k＜0$时向下平移$|k|$个单位。
【解析】
(1) 函数$y=-2(x+3)^2$的二次项系数$a=-2$，对应原型为$y=-2x^2$，其顶点式可写为$y=-2[x-(-3)]^2+0$，因此是由$y=-2x^2$的图象向左平移3个单位得到。
(2) 函数$y=(x-\sqrt{2})^2+\sqrt{3}$的二次项系数$a=1$，对应原型为$y=x^2$，本身就是顶点式，其中$h=\sqrt{2}$，$k=\sqrt{3}$，因此是由$y=x^2$的图象先向右平移$\sqrt{2}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位得到。
(3) 先将$y=\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x^2+6x)-\frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}[(x+3)^2-9]-\frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}(x+3)^2-\frac{9}{2}-\frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}(x+3)^2-7\end{aligned}$
二次项系数$a=\frac{1}{2}$，对应原型为$y=\frac{1}{2}x^2$，顶点式可写为$y=\frac{1}{2}[x-(-3)]^2+(-7)$，因此是由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向左平移3个单位，再向下平移7个单位得到。
(4) 先将$y=-2(x-1)(x+3)$展开后配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2+2x-3)\\&=-2(x^2+2x)+6\\&=-2[(x+1)^2-1]+6\\&=-2(x+1)^2+2+6\\&=-2(x+1)^2+8\end{aligned}$
二次项系数$a=-2$，对应原型为$y=-2x^2$，顶点式可写为$y=-2[x-(-1)]^2+8$，因此是由$y=-2x^2$的图象先向左平移1个单位，再向上平移8个单位得到。
【答案】
(1) 由$y=-2x^2$的图象向左平移3个单位得到。
(2) 由$y=x^2$的图象先向右平移$\sqrt{2}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位得到。
(3) 由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向左平移3个单位，再向下平移7个单位得到。
(4) 由$y=-2x^2$的图象先向左平移1个单位，再向上平移8个单位得到。
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数配方，二次函数形式转化
【点评】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题关键是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，遇到一般式、交点式时要先转化为顶点式再判断平移方式，是二次函数图象部分的基础重点题型。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心是掌握二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规则，所有二次函数都可以转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$的形式，解题思路如下：①首先确定目标函数的二次项系数$a$，找到对应的原型抛物线$y=ax^2$；②若目标函数不是顶点式，先通过配方、展开等方法转化为顶点式；③对比$y=ax^2$和$y=a(x-h)^2+k$：$h＞0$时向右平移$h$个单位，$h＜0$时向左平移$|h|$个单位；$k＞0$时向上平移$k$个单位，$k＜0$时向下平移$|k|$个单位。
【解析】
(1) 函数$y=-2(x+3)^2$的二次项系数$a=-2$，对应原型为$y=-2x^2$，其顶点式可写为$y=-2[x-(-3)]^2+0$，因此是由$y=-2x^2$的图象向左平移3个单位得到。
(2) 函数$y=(x-\sqrt{2})^2+\sqrt{3}$的二次项系数$a=1$，对应原型为$y=x^2$，本身就是顶点式，其中$h=\sqrt{2}$，$k=\sqrt{3}$，因此是由$y=x^2$的图象先向右平移$\sqrt{2}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位得到。
(3) 先将$y=\frac{1}{2}x^2+3x-\frac{5}{2}$配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(x^2+6x)-\frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}[(x+3)^2-9]-\frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}(x+3)^2-\frac{9}{2}-\frac{5}{2}\\&=\frac{1}{2}(x+3)^2-7\end{aligned}$
二次项系数$a=\frac{1}{2}$，对应原型为$y=\frac{1}{2}x^2$，顶点式可写为$y=\frac{1}{2}[x-(-3)]^2+(-7)$，因此是由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向左平移3个单位，再向下平移7个单位得到。
(4) 先将$y=-2(x-1)(x+3)$展开后配方化为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2(x^2+2x-3)\\&=-2(x^2+2x)+6\\&=-2[(x+1)^2-1]+6\\&=-2(x+1)^2+2+6\\&=-2(x+1)^2+8\end{aligned}$
二次项系数$a=-2$，对应原型为$y=-2x^2$，顶点式可写为$y=-2[x-(-1)]^2+8$，因此是由$y=-2x^2$的图象先向左平移1个单位，再向上平移8个单位得到。
【答案】
(1) 由$y=-2x^2$的图象向左平移3个单位得到。
(2) 由$y=x^2$的图象先向右平移$\sqrt{2}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位得到。
(3) 由$y=\frac{1}{2}x^2$的图象先向左平移3个单位，再向下平移7个单位得到。
(4) 由$y=-2x^2$的图象先向左平移1个单位，再向上平移8个单位得到。
【知识点】
二次函数图象平移，二次函数配方，二次函数形式转化
【点评】
本题考查二次函数图象的平移变换，解题关键是熟练掌握“左加右减、上加下减”的平移规律，遇到一般式、交点式时要先转化为顶点式再判断平移方式，是二次函数图象部分的基础重点题型。
【难度系数】
0.7
3. 已知二次函数$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的图象经过点$(-1,3)$，求$a$的值，并写出该函数的表达式。
答案
$a=1$或$-3$。当$a=1$时,$y=x^2-x+1$;当$a=-3$时,$y=x^2+7x+9$。
解析
【分析】
要解决该问题，首先回忆函数图象与点的关系：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数的解析式。因此第一步将点(-1,3)的x=-1、y=3代入给定的二次函数解析式，得到关于a的一元二次方程；第二步解这个一元二次方程得到a的两个取值；第三步分别将a的取值代回原二次函数解析式，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的图象经过点$(-1,3)$，
∴ 将$x=-1$，$y=3$代入解析式得：
$3=(-1)^2+(1-2a)×(-1)+a^2$
化简右侧：
$3=1 - (1-2a) + a^2$
$3=1-1+2a+a^2$
整理得一元二次方程：
$a^2+2a-3=0$
因式分解得：
$(a+3)(a-1)=0$
解得：$a_1=1$，$a_2=-3$。
将a的值代回原函数式：
① 当$a=1$时，$y=x^2+(1-2×1)x+1^2=x^2-x+1$；
② 当$a=-3$时，$y=x^2+(1-2×(-3))x+(-3)^2=x^2+7x+9$。
【答案】
$a=1$或$-3$。当$a=1$时,$y=x^2-x+1$;当$a=-3$时,$y=x^2+7x+9$。
【知识点】
二次函数点坐标特征、解一元二次方程、求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，解题的关键是正确代入点坐标得到参数方程，计算难度较低，求解一元二次方程时注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.8
要解决该问题，首先回忆函数图象与点的关系：若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足函数的解析式。因此第一步将点(-1,3)的x=-1、y=3代入给定的二次函数解析式，得到关于a的一元二次方程；第二步解这个一元二次方程得到a的两个取值；第三步分别将a的取值代回原二次函数解析式，即可得到对应的函数表达式。
【解析】
∵ 二次函数$y=x^2+(1-2a)x+a^2$的图象经过点$(-1,3)$，
∴ 将$x=-1$，$y=3$代入解析式得：
$3=(-1)^2+(1-2a)×(-1)+a^2$
化简右侧：
$3=1 - (1-2a) + a^2$
$3=1-1+2a+a^2$
整理得一元二次方程：
$a^2+2a-3=0$
因式分解得：
$(a+3)(a-1)=0$
解得：$a_1=1$，$a_2=-3$。
将a的值代回原函数式：
① 当$a=1$时，$y=x^2+(1-2×1)x+1^2=x^2-x+1$；
② 当$a=-3$时，$y=x^2+(1-2×(-3))x+(-3)^2=x^2+7x+9$。
【答案】
$a=1$或$-3$。当$a=1$时,$y=x^2-x+1$;当$a=-3$时,$y=x^2+7x+9$。
【知识点】
二次函数点坐标特征、解一元二次方程、求二次函数解析式
【点评】
本题属于二次函数基础题型，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，解题的关键是正确代入点坐标得到参数方程，计算难度较低，求解一元二次方程时注意不要漏解即可。
【难度系数】
0.8
