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8. 如图,有一座抛物线形拱桥,正常水位时,桥下水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$,拱顶与水面的距离$OC=4\ \mathrm{m}$。
(1) 建立如图直角坐标系,求抛物线的函数表达式。
(2) 随着水位的上升,桥下水面的宽度逐渐减小。为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于$16\ \mathrm{m}$。在正常水位基础上,水面至多上升多少米,能确保船只顺利航行?
(1) 建立如图直角坐标系,求抛物线的函数表达式。
(2) 随着水位的上升,桥下水面的宽度逐渐减小。为保证过往船只顺利航行,桥下水面宽度不得小于$16\ \mathrm{m}$。在正常水位基础上,水面至多上升多少米,能确保船只顺利航行?
答案
（1）$y=-\frac{1}{25}x^2(-10≤ x≤10)$。
（2）把$x=8$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得$y=-2.56$。所以水位最多上升$4-2.56=1.44(\mathrm{m})$。
（2）把$x=8$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得$y=-2.56$。所以水位最多上升$4-2.56=1.44(\mathrm{m})$。
解析
【分析】
(1) 观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线的顶点式为$y=ax^2(a≠0)$；由已知$AB=20\ \mathrm{m}$、$OC=4\ \mathrm{m}$，可得点B坐标为$(10,-4)$，将该点代入解析式即可求出a的值，得到抛物线表达式。
(2) 当水面宽度为$16\ \mathrm{m}$时，水面最外侧的点横坐标为$\pm8$，将$x=8$代入已求出的解析式得到此时水面对应的y值，用正常水位的y值（-4）减去该y值，即可得到水面最多上升的高度。
【解析】
(1) 设抛物线的函数表达式为$y=ax^2(a≠0)$，
∵ 正常水位时桥下水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$，拱顶与水面距离$OC=4\ \mathrm{m}$，
∴ 点B的坐标为$(10,-4)$，
将$(10,-4)$代入$y=ax^2$，得：
$-4=a×10^2$，
解得$a=-\frac{1}{25}$，
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2(-10≤ x≤10)$。
(2) 若桥下水面宽度不得小于$16\ \mathrm{m}$，则此时水面对应点的最大横坐标为$\frac{16}{2}=8$，
将$x=8$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×8^2=-2.56$，
正常水位时水面的纵坐标为$-4$，因此水面上升的最大高度为：
$-2.56-(-4)=1.44(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{25}x^2(-10≤ x≤10)$
(2) $\boldsymbol{1.44\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数图象的性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用问题，解题核心是先根据坐标系特点合理设出函数解析式，结合已知条件求出解析式后，再将实际问题转化为二次函数的求值问题求解，解题时要注意坐标实际意义的转化。
【难度系数】
0.7
(1) 观察坐标系可知抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，因此可设抛物线的顶点式为$y=ax^2(a≠0)$；由已知$AB=20\ \mathrm{m}$、$OC=4\ \mathrm{m}$，可得点B坐标为$(10,-4)$，将该点代入解析式即可求出a的值，得到抛物线表达式。
(2) 当水面宽度为$16\ \mathrm{m}$时，水面最外侧的点横坐标为$\pm8$，将$x=8$代入已求出的解析式得到此时水面对应的y值，用正常水位的y值（-4）减去该y值，即可得到水面最多上升的高度。
【解析】
(1) 设抛物线的函数表达式为$y=ax^2(a≠0)$，
∵ 正常水位时桥下水面宽$AB=20\ \mathrm{m}$，拱顶与水面距离$OC=4\ \mathrm{m}$，
∴ 点B的坐标为$(10,-4)$，
将$(10,-4)$代入$y=ax^2$，得：
$-4=a×10^2$，
解得$a=-\frac{1}{25}$，
∴ 抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{25}x^2(-10≤ x≤10)$。
(2) 若桥下水面宽度不得小于$16\ \mathrm{m}$，则此时水面对应点的最大横坐标为$\frac{16}{2}=8$，
将$x=8$代入$y=-\frac{1}{25}x^2$，得：
$y=-\frac{1}{25}×8^2=-2.56$，
正常水位时水面的纵坐标为$-4$，因此水面上升的最大高度为：
$-2.56-(-4)=1.44(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $y=-\frac{1}{25}x^2(-10≤ x≤10)$
(2) $\boldsymbol{1.44\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用；二次函数图象的性质
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的典型应用问题，解题核心是先根据坐标系特点合理设出函数解析式，结合已知条件求出解析式后，再将实际问题转化为二次函数的求值问题求解，解题时要注意坐标实际意义的转化。
【难度系数】
0.7
9. 已知$a＞0$，一次函数$y=ax+a$的图象$l$与二次函数$y=2ax^2$，$y=ax^2$的图象相交于$A,B,C,D$四点，如图所示。
（1）观察图形，判断一次函数$y=ax+a$与二次函数$y=2ax^2$的图象交于哪两点。
（2）小明说“无论$a$取何值，点$C$和点$D$的横坐标不变，分别是$-\dfrac{1}{2}$与$1$”。你认为他说得对吗？请说明理由。
（3）若点$C$的纵坐标是$1$，求点$A,B,D$的坐标。
（1）观察图形，判断一次函数$y=ax+a$与二次函数$y=2ax^2$的图象交于哪两点。
（2）小明说“无论$a$取何值，点$C$和点$D$的横坐标不变，分别是$-\dfrac{1}{2}$与$1$”。你认为他说得对吗？请说明理由。
（3）若点$C$的纵坐标是$1$，求点$A,B,D$的坐标。
答案
（1）直线$l$与二次函数$y=2ax^2$的图象交于点$C,D$。
（2）小明的说法正确。因为点$C$和点$D$既在直线$l$上，又在抛物线上，则它们的坐标$(x,y)$满足$\begin{cases}y=ax+a,\\y=2ax^2,\end{cases}$得$2ax^2=ax+a$。因为$a＞0$，故$2x^2-x-1=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$。
（3）若点$C$的纵坐标是$1$，将$(-\frac{1}{2},1)$代入$y=ax+a$，得$a=2$，所以$y=2ax^2=4x^2$。当$x=1$时，$y=4$，得$D(1,4)$。由$\begin{cases}y=2x+2,\\y=2x^2,\end{cases}$解得$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。所以$A(\frac{1-\sqrt{5}}{2},3-\sqrt{5}),B(\frac{1+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5})$。
（2）小明的说法正确。因为点$C$和点$D$既在直线$l$上，又在抛物线上，则它们的坐标$(x,y)$满足$\begin{cases}y=ax+a,\\y=2ax^2,\end{cases}$得$2ax^2=ax+a$。因为$a＞0$，故$2x^2-x-1=0$，解得$x_1=-\frac{1}{2},x_2=1$。
（3）若点$C$的纵坐标是$1$，将$(-\frac{1}{2},1)$代入$y=ax+a$，得$a=2$，所以$y=2ax^2=4x^2$。当$x=1$时，$y=4$，得$D(1,4)$。由$\begin{cases}y=2x+2,\\y=2x^2,\end{cases}$解得$x_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。所以$A(\frac{1-\sqrt{5}}{2},3-\sqrt{5}),B(\frac{1+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5})$。
解析
【分析】
（1）根据二次函数性质：$a＞0$时，二次项系数越大，抛物线开口越窄。$y=2ax^2$的二次项系数大于$y=ax^2$，因此开口更窄，对应与直线$l$的交点是更靠近$y$轴的$C、D$两点。
（2）要判断交点横坐标是否和$a$无关，只需联立一次函数与$y=2ax^2$的解析式，消去$y$得到关于$x$的方程，利用$a＞0$的条件消去参数$a$，求解一元二次方程即可判断横坐标是否固定。
（3）已知点$C$的纵坐标，结合第二问得到的$C$的横坐标，代入一次函数可求出$a$的值，再分别联立一次函数与对应二次函数的解析式，求解即可得到$A、B、D$三点的坐标。
【解析】
（1）二次函数的二次项系数决定开口大小：$a＞0$时，系数越大开口越窄。$y=2ax^2$的二次项系数$2a＞a$，因此其图象开口更窄，结合图形可知，它与一次函数$y=ax+a$的交点为$C、D$两点。
（2）小明的说法正确，理由如下：
联立一次函数与$y=2ax^2$的解析式，得$\begin{cases}y=ax+a\\y=2ax^2\end{cases}$，
消去$y$可得：$2ax^2=ax+a$，
$\because a＞0$，方程两边同时除以$a$得：$2x^2 - x - 1 = 0$，
因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$，
因此无论$a$取何正值，点$C、D$的横坐标固定为$-\dfrac{1}{2}$和$1$，小明说法正确。
（3）由（2）可知点$C$的横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，已知其纵坐标为$1$，将$(-\dfrac{1}{2},1)$代入$y=ax+a$得：
$1=a×(-\dfrac{1}{2})+a$，解得$a=2$，
因此一次函数解析式为$y=2x+2$，二次函数$y=2ax^2=4x^2$，$y=ax^2=2x^2$。
①求点$D$坐标：$D$的横坐标为$1$，代入$y=4x^2$得$y=4×1^2=4$，故$D(1,4)$；
②求$A、B$坐标：$A、B$是$y=2x+2$与$y=2x^2$的交点，联立得$\begin{cases}y=2x+2\\y=2x^2\end{cases}$，
消去$y$得$2x^2=2x+2$，整理为$x^2 - x - 1 = 0$，
由求根公式得$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
当$x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$时，$y=2×\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+2=3-\sqrt{5}$，即$A(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},3-\sqrt{5})$；
当$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$时，$y=2×\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+2=3+\sqrt{5}$，即$B(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5})$。
【答案】
（1）交于点$C、D$；
（2）小明说得对，理由见解析；
（3）$A(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},3-\sqrt{5})$，$B(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5})$，$D(1,4)$。
【知识点】
函数交点求解，二次函数图象性质，一元二次方程解法
【点评】
本题围绕一次函数与二次函数的交点问题展开，既考察了二次函数开口大小和二次项系数的关系，也考察了联立解析式转化为方程求解的核心方法，第二问的参数消去是解题的关键，整体考察的知识点比较基础，有助于巩固函数与方程结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
（1）根据二次函数性质：$a＞0$时，二次项系数越大，抛物线开口越窄。$y=2ax^2$的二次项系数大于$y=ax^2$，因此开口更窄，对应与直线$l$的交点是更靠近$y$轴的$C、D$两点。
（2）要判断交点横坐标是否和$a$无关，只需联立一次函数与$y=2ax^2$的解析式，消去$y$得到关于$x$的方程，利用$a＞0$的条件消去参数$a$，求解一元二次方程即可判断横坐标是否固定。
（3）已知点$C$的纵坐标，结合第二问得到的$C$的横坐标，代入一次函数可求出$a$的值，再分别联立一次函数与对应二次函数的解析式，求解即可得到$A、B、D$三点的坐标。
【解析】
（1）二次函数的二次项系数决定开口大小：$a＞0$时，系数越大开口越窄。$y=2ax^2$的二次项系数$2a＞a$，因此其图象开口更窄，结合图形可知，它与一次函数$y=ax+a$的交点为$C、D$两点。
（2）小明的说法正确，理由如下：
联立一次函数与$y=2ax^2$的解析式，得$\begin{cases}y=ax+a\\y=2ax^2\end{cases}$，
消去$y$可得：$2ax^2=ax+a$，
$\because a＞0$，方程两边同时除以$a$得：$2x^2 - x - 1 = 0$，
因式分解得$(2x+1)(x-1)=0$，解得$x_1=-\dfrac{1}{2}$，$x_2=1$，
因此无论$a$取何正值，点$C、D$的横坐标固定为$-\dfrac{1}{2}$和$1$，小明说法正确。
（3）由（2）可知点$C$的横坐标为$-\dfrac{1}{2}$，已知其纵坐标为$1$，将$(-\dfrac{1}{2},1)$代入$y=ax+a$得：
$1=a×(-\dfrac{1}{2})+a$，解得$a=2$，
因此一次函数解析式为$y=2x+2$，二次函数$y=2ax^2=4x^2$，$y=ax^2=2x^2$。
①求点$D$坐标：$D$的横坐标为$1$，代入$y=4x^2$得$y=4×1^2=4$，故$D(1,4)$；
②求$A、B$坐标：$A、B$是$y=2x+2$与$y=2x^2$的交点，联立得$\begin{cases}y=2x+2\\y=2x^2\end{cases}$，
消去$y$得$2x^2=2x+2$，整理为$x^2 - x - 1 = 0$，
由求根公式得$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+4}}{2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，
当$x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$时，$y=2×\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}+2=3-\sqrt{5}$，即$A(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},3-\sqrt{5})$；
当$x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$时，$y=2×\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}+2=3+\sqrt{5}$，即$B(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5})$。
【答案】
（1）交于点$C、D$；
（2）小明说得对，理由见解析；
（3）$A(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2},3-\sqrt{5})$，$B(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},3+\sqrt{5})$，$D(1,4)$。
【知识点】
函数交点求解，二次函数图象性质，一元二次方程解法
【点评】
本题围绕一次函数与二次函数的交点问题展开，既考察了二次函数开口大小和二次项系数的关系，也考察了联立解析式转化为方程求解的核心方法，第二问的参数消去是解题的关键，整体考察的知识点比较基础，有助于巩固函数与方程结合的解题思想。
【难度系数】
0.7
