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4. 已知二次函数$y=ax^2$的图象的一部分(如图)。
（1）利用轴对称图形的性质，将函数$y=ax^2$（$a≠0$）的图象补画完整。
（2）利用轴对称图形的性质，画出函数$y=-ax^2$的图象。
（1）利用轴对称图形的性质，将函数$y=ax^2$（$a≠0$）的图象补画完整。
（2）利用轴对称图形的性质，画出函数$y=-ax^2$的图象。
答案
解：
由图可知点$(-2,2)$在函数$y=ax^2$的图象上，代入得：
$2=a· (-2)^2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
（1）二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，将已知左侧图象上的点$(-3,\frac{9}{2})$、$(-2,2)$、$(-1,\frac{1}{2})$分别作y轴的对称点$(3,\frac{9}{2})$、$(2,2)$、$(1,\frac{1}{2})$，用平滑曲线连接原点与上述对称点，补出y轴右侧的图象，即得到完整的$y=ax^2$的图象。
（2）函数$y=-ax^2=-\frac{1}{2}x^2$的图象与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于x轴对称，将$y=\frac{1}{2}x^2$图象上的所有点分别作x轴的对称点$(3,-\frac{9}{2})$、$(2,-2)$、$(1,-\frac{1}{2})$、$(-1,-\frac{1}{2})$、$(-2,-2)$、$(-3,-\frac{9}{2})$，用平滑曲线连接这些点，即可得到$y=-ax^2$的图象。
由图可知点$(-2,2)$在函数$y=ax^2$的图象上，代入得：
$2=a· (-2)^2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
（1）二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，将已知左侧图象上的点$(-3,\frac{9}{2})$、$(-2,2)$、$(-1,\frac{1}{2})$分别作y轴的对称点$(3,\frac{9}{2})$、$(2,2)$、$(1,\frac{1}{2})$，用平滑曲线连接原点与上述对称点，补出y轴右侧的图象，即得到完整的$y=ax^2$的图象。
（2）函数$y=-ax^2=-\frac{1}{2}x^2$的图象与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于x轴对称，将$y=\frac{1}{2}x^2$图象上的所有点分别作x轴的对称点$(3,-\frac{9}{2})$、$(2,-2)$、$(1,-\frac{1}{2})$、$(-1,-\frac{1}{2})$、$(-2,-2)$、$(-3,-\frac{9}{2})$，用平滑曲线连接这些点，即可得到$y=-ax^2$的图象。
解析
【分析】
解题时首先需要确定二次函数解析式中的参数a，可从给出的部分图象上选取已知坐标的点代入解析式计算。第(1)问中，二次函数$y=ax^2$的图象以y轴为对称轴，属于轴对称图形，只需将已知左侧图象的几个关键点关于y轴对称得到对应点，再用平滑曲线连接即可补全图象。第(2)问中，$y=-ax^2$与$y=ax^2$的图象关于x轴对称，同理将$y=ax^2$图象的关键点关于x轴对称得到对应点，连接后即可画出$y=-ax^2$的图象。
【解析】
首先观察图象可知点$(-2,2)$在$y=ax^2$的图象上，将点代入解析式求解a：
将$x=-2,y=2$代入$y=ax^2$，得$2=a· (-2)^2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(1) 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，取左侧图象上的关键点$(-3,\frac{9}{2})$、$(-2,2)$、$(-1,\frac{1}{2})$，分别作出这三个点关于y轴的对称点$(3,\frac{9}{2})$、$(2,2)$、$(1,\frac{1}{2})$，用平滑曲线依次连接原点和上述对称点，即可补全y轴右侧的图象，得到完整的$y=ax^2$的图象。
(2) 函数$y=-ax^2=-\frac{1}{2}x^2$的图象与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于x轴对称，取$y=\frac{1}{2}x^2$图象上的关键点$(3,\frac{9}{2})$、$(2,2)$、$(1,\frac{1}{2})$、$(-1,\frac{1}{2})$、$(-2,2)$、$(-3,\frac{9}{2})$，分别作出这些点关于x轴的对称点$(3,-\frac{9}{2})$、$(2,-2)$、$(1,-\frac{1}{2})$、$(-1,-\frac{1}{2})$、$(-2,-2)$、$(-3,-\frac{9}{2})$，用平滑曲线依次连接这些对称点，即可得到$y=-ax^2$的图象。
【答案】
(1) 补画得到完整的开口向上、以y轴为对称轴的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，作图步骤见解析；
(2) 画出开口向下、以y轴为对称轴的抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$，作图步骤见解析。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 轴对称的性质
3. 二次函数图象画法
【点评】
本题侧重考查二次函数图象的对称性和基础作图能力，解题的核心是先求出参数a的值，再利用轴对称的性质快速找到对应点作图，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要确定二次函数解析式中的参数a，可从给出的部分图象上选取已知坐标的点代入解析式计算。第(1)问中，二次函数$y=ax^2$的图象以y轴为对称轴，属于轴对称图形，只需将已知左侧图象的几个关键点关于y轴对称得到对应点，再用平滑曲线连接即可补全图象。第(2)问中，$y=-ax^2$与$y=ax^2$的图象关于x轴对称，同理将$y=ax^2$图象的关键点关于x轴对称得到对应点，连接后即可画出$y=-ax^2$的图象。
【解析】
首先观察图象可知点$(-2,2)$在$y=ax^2$的图象上，将点代入解析式求解a：
将$x=-2,y=2$代入$y=ax^2$，得$2=a· (-2)^2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
(1) 二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于y轴对称，取左侧图象上的关键点$(-3,\frac{9}{2})$、$(-2,2)$、$(-1,\frac{1}{2})$，分别作出这三个点关于y轴的对称点$(3,\frac{9}{2})$、$(2,2)$、$(1,\frac{1}{2})$，用平滑曲线依次连接原点和上述对称点，即可补全y轴右侧的图象，得到完整的$y=ax^2$的图象。
(2) 函数$y=-ax^2=-\frac{1}{2}x^2$的图象与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象关于x轴对称，取$y=\frac{1}{2}x^2$图象上的关键点$(3,\frac{9}{2})$、$(2,2)$、$(1,\frac{1}{2})$、$(-1,\frac{1}{2})$、$(-2,2)$、$(-3,\frac{9}{2})$，分别作出这些点关于x轴的对称点$(3,-\frac{9}{2})$、$(2,-2)$、$(1,-\frac{1}{2})$、$(-1,-\frac{1}{2})$、$(-2,-2)$、$(-3,-\frac{9}{2})$，用平滑曲线依次连接这些对称点，即可得到$y=-ax^2$的图象。
【答案】
(1) 补画得到完整的开口向上、以y轴为对称轴的抛物线$y=\frac{1}{2}x^2$，作图步骤见解析；
(2) 画出开口向下、以y轴为对称轴的抛物线$y=-\frac{1}{2}x^2$，作图步骤见解析。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2$的图象性质
2. 轴对称的性质
3. 二次函数图象画法
【点评】
本题侧重考查二次函数图象的对称性和基础作图能力，解题的核心是先求出参数a的值，再利用轴对称的性质快速找到对应点作图，属于基础类作图题。
【难度系数】
0.7
5. 已知点$A(2,8)$与点$B(-1,k)$都在二次函数$y=ax^2$的图象上，求$a,k$的值。
答案
$a=2,k=2$
解析
【分析】
要计算参数$a$和$k$的值，需利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质解题：首先将横、纵坐标均已知的点$A$代入$y=ax^2$，解一元一次方程求出$a$的值，确定完整的二次函数解析式；再将点$B$的横坐标代入已求出的解析式，即可计算出$k$的值。
【解析】
解：$\because$点$A(2,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上
$\therefore$把$x=2$，$y=8$代入$y=ax^2$，得：
$8=a×2^2$
即$4a=8$，解得$a=2$
$\therefore$二次函数解析式为$y=2x^2$
$\because$点$B(-1,k)$在二次函数$y=2x^2$的图象上
$\therefore$把$x=-1$代入$y=2x^2$，得：
$k=2×(-1)^2=2×1=2$
【答案】
$a=2,k=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握代入计算的方法就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
要计算参数$a$和$k$的值，需利用“二次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质解题：首先将横、纵坐标均已知的点$A$代入$y=ax^2$，解一元一次方程求出$a$的值，确定完整的二次函数解析式；再将点$B$的横坐标代入已求出的解析式，即可计算出$k$的值。
【解析】
解：$\because$点$A(2,8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上
$\therefore$把$x=2$，$y=8$代入$y=ax^2$，得：
$8=a×2^2$
即$4a=8$，解得$a=2$
$\therefore$二次函数解析式为$y=2x^2$
$\because$点$B(-1,k)$在二次函数$y=2x^2$的图象上
$\therefore$把$x=-1$代入$y=2x^2$，得：
$k=2×(-1)^2=2×1=2$
【答案】
$a=2,k=2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考察函数图象与解析式的对应关系，熟练掌握代入计算的方法就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
6. 某抛物线上部分点的坐标对应值如下表所示：
根据表格信息解答下列问题。
（1）该抛物线的开口方向是
（2）该抛物线的对称轴是
（3）求该抛物线的函数表达式。
根据表格信息解答下列问题。
（1）该抛物线的开口方向是
向上
。（2）该抛物线的对称轴是
直线$x=0$
。（3）求该抛物线的函数表达式。
答案
（1）向上 （2）直线$x=0$ （3）$y=\frac{1}{2}x^2$
解析
【分析】
解题思路如下：1. 判断开口方向：观察表格中x的绝对值变化时y的变化趋势，离对称轴越远y值越大说明开口向上；2. 求对称轴：找到函数值相等的两组点，两点横坐标的平均值就是对称轴；3. 求函数表达式：已知顶点坐标为(0,0)，可设顶点式$y=ax^2$，代入表格中任意一个非顶点的点即可求出a的值，得到解析式。
【解析】
（1）观察表格数据：当x的绝对值逐渐增大时，对应的y值逐渐增大，说明抛物线顶点$(0,0)$是最低点，因此抛物线开口向上。
（2）因为$x=-2$和$x=2$时对应的y值相等，$x=-1$和$x=1$时对应的y值相等，根据二次函数的对称性，对称轴为这两组点横坐标的中点，即$x=\frac{-2+2}{2}=0$，也就是直线$x=0$。
（3）由对称轴为直线$x=0$，且$x=0$时$y=0$，可知抛物线的顶点坐标为$(0,0)$，因此设二次函数的表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
将点$(1,\frac{1}{2})$代入表达式，得：
$\frac{1}{2}=a×1^2$
解得$a=\frac{1}{2}$，因此该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2$，代入其他点验证均符合表格数据。
【答案】
（1）向上 （2）直线$x=0$ （3）$y=\frac{1}{2}x^2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心是通过表格数据提取函数的对称特征、顶点位置等信息，再结合待定系数法求解解析式，要求学生熟练掌握二次函数的对称性和顶点式的应用。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：1. 判断开口方向：观察表格中x的绝对值变化时y的变化趋势，离对称轴越远y值越大说明开口向上；2. 求对称轴：找到函数值相等的两组点，两点横坐标的平均值就是对称轴；3. 求函数表达式：已知顶点坐标为(0,0)，可设顶点式$y=ax^2$，代入表格中任意一个非顶点的点即可求出a的值，得到解析式。
【解析】
（1）观察表格数据：当x的绝对值逐渐增大时，对应的y值逐渐增大，说明抛物线顶点$(0,0)$是最低点，因此抛物线开口向上。
（2）因为$x=-2$和$x=2$时对应的y值相等，$x=-1$和$x=1$时对应的y值相等，根据二次函数的对称性，对称轴为这两组点横坐标的中点，即$x=\frac{-2+2}{2}=0$，也就是直线$x=0$。
（3）由对称轴为直线$x=0$，且$x=0$时$y=0$，可知抛物线的顶点坐标为$(0,0)$，因此设二次函数的表达式为$y=ax^2(a≠0)$。
将点$(1,\frac{1}{2})$代入表达式，得：
$\frac{1}{2}=a×1^2$
解得$a=\frac{1}{2}$，因此该抛物线的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x^2$，代入其他点验证均符合表格数据。
【答案】
（1）向上 （2）直线$x=0$ （3）$y=\frac{1}{2}x^2$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的对称轴；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心是通过表格数据提取函数的对称特征、顶点位置等信息，再结合待定系数法求解解析式，要求学生熟练掌握二次函数的对称性和顶点式的应用。
【难度系数】
0.8
7. (多选题)下列关于二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象的说法中，正确的是（
A.它是轴对称图形，对称轴是y轴
B.它是中心对称图形，对称中心是$(0,0)$
C.它的顶点坐标是$(0,0)$，因此二次函数$y=ax^2$的图象有最高点
D.当$a＜0$时，它的开口向下，顶点是最高点
AD
）。A.它是轴对称图形，对称轴是y轴
B.它是中心对称图形，对称中心是$(0,0)$
C.它的顶点坐标是$(0,0)$，因此二次函数$y=ax^2$的图象有最高点
D.当$a＜0$时，它的开口向下，顶点是最高点
答案
AD
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象与性质，解题时需先回忆该类二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向、对称性等核心性质，再逐一分析每个选项。判断正误时要特别注意：$a$的正负未明确给出时，不能直接确定抛物线有最高点还是最低点，同时要准确区分轴对称和中心对称的定义。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象是抛物线，属于轴对称图形，对称轴为直线$x=0$，也就是$y$轴，因此A说法正确。
2. 选项B：中心对称图形是绕对称中心旋转$180°$后能与自身重合的图形。将抛物线$y=ax^2$绕原点$(0,0)$旋转$180°$后，得到的抛物线解析式为$y=-ax^2$，仅当$a=0$时和原图象重合，但题目规定$a≠0$，因此它不是中心对称图形，B说法错误。
3. 选项C：$y=ax^2$的顶点坐标确实是$(0,0)$，但当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点。由于$a$的正负未明确，不能直接说图象有最高点，因此C说法错误。
4. 选项D：当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，顶点$(0,0)$是图象的最高点，因此D说法正确。
综上，正确的选项为AD。
【答案】
AD
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的图象性质 2.轴对称图形判定 3.中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕最简单的二次函数图象性质设题，易错点在于忽略$a$的正负性对开口方向的影响，以及误判抛物线的中心对称性，掌握核心性质并细心审题即可得分。
【难度系数】
0.7
这道题考查二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象与性质，解题时需先回忆该类二次函数的对称轴、顶点坐标、开口方向、对称性等核心性质，再逐一分析每个选项。判断正误时要特别注意：$a$的正负未明确给出时，不能直接确定抛物线有最高点还是最低点，同时要准确区分轴对称和中心对称的定义。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：二次函数$y=ax^2(a≠0)$的图象是抛物线，属于轴对称图形，对称轴为直线$x=0$，也就是$y$轴，因此A说法正确。
2. 选项B：中心对称图形是绕对称中心旋转$180°$后能与自身重合的图形。将抛物线$y=ax^2$绕原点$(0,0)$旋转$180°$后，得到的抛物线解析式为$y=-ax^2$，仅当$a=0$时和原图象重合，但题目规定$a≠0$，因此它不是中心对称图形，B说法错误。
3. 选项C：$y=ax^2$的顶点坐标确实是$(0,0)$，但当$a＞0$时，抛物线开口向上，顶点是图象的最低点；当$a＜0$时，抛物线开口向下，顶点是图象的最高点。由于$a$的正负未明确，不能直接说图象有最高点，因此C说法错误。
4. 选项D：当$a＜0$时，抛物线$y=ax^2$开口向下，顶点$(0,0)$是图象的最高点，因此D说法正确。
综上，正确的选项为AD。
【答案】
AD
【知识点】
1.二次函数$y=ax^2$的图象性质 2.轴对称图形判定 3.中心对称图形判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点围绕最简单的二次函数图象性质设题，易错点在于忽略$a$的正负性对开口方向的影响，以及误判抛物线的中心对称性，掌握核心性质并细心审题即可得分。
【难度系数】
0.7
