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1. 某单位准备与汽车租赁公司签订租车合同，以每月用车里程$ x $ km计算，甲公司每月收取的租赁费为$ y_1 $元，乙公司每月收取的租赁费为$ y_2 $元，若$ y_1 $，$ y_2 $与$ x $之间的关系如图4-4-14所示，若该单位每月用车里程为2 500 km，下列结论正确的是（
图4-4-14
A.甲公司更划算
B.乙公司更划算
C.两家公司价格一样
D.无法判断
B
）。图4-4-14
A.甲公司更划算
B.乙公司更划算
C.两家公司价格一样
D.无法判断
答案
1. B
解析
【分析】
本题是一次函数图像的实际应用问题，解题思路如下：首先观察两个函数的交点，交点处x=2000km、y=2500元，说明当月用车里程为2000km时，两家租赁公司费用相同；其次明确函数图像的位置和费用的关系：图像位置越低，对应的费用越少；最后判断2500km所在的里程区间，对比两个函数的图像高低即可得出结论。
【解析】
由图像可知，$y_1$与$y_2$的交点坐标为$(2000, 2500)$，即当每月用车里程$x=2000\mathrm{km}$时，两家公司的租赁费相等，均为2500元。
当$x＞2000\mathrm{km}$时，$y_2$的图像位于$y_1$图像的下方，说明此时$y_2＜y_1$，即乙公司的租赁费更低。
已知单位每月用车里程为2500km，$2500＞2000$，因此选择乙公司更划算。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象应用，函数值大小比较
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查一次函数的应用，核心是理解函数交点的实际含义，以及图像上下位置与函数值大小的对应关系，即可快速判断最优方案，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数图像的实际应用问题，解题思路如下：首先观察两个函数的交点，交点处x=2000km、y=2500元，说明当月用车里程为2000km时，两家租赁公司费用相同；其次明确函数图像的位置和费用的关系：图像位置越低，对应的费用越少；最后判断2500km所在的里程区间，对比两个函数的图像高低即可得出结论。
【解析】
由图像可知，$y_1$与$y_2$的交点坐标为$(2000, 2500)$，即当每月用车里程$x=2000\mathrm{km}$时，两家公司的租赁费相等，均为2500元。
当$x＞2000\mathrm{km}$时，$y_2$的图像位于$y_1$图像的下方，说明此时$y_2＜y_1$，即乙公司的租赁费更低。
已知单位每月用车里程为2500km，$2500＞2000$，因此选择乙公司更划算。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象应用，函数值大小比较
【点评】
本题结合生活中的租车场景考查一次函数的应用，核心是理解函数交点的实际含义，以及图像上下位置与函数值大小的对应关系，即可快速判断最优方案，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.7
2. 将一次函数$y=ax-b$与$y=\frac{b}{a}x$的图象画在同一平面直角坐标系中，它们的图象可能是（
D
）。答案
2. D
解析
【分析】
要判断两个函数的图象是否匹配，需结合一次函数、正比例函数的图象与系数的关系分析：首先$y=\frac{b}{a}x$是过原点的正比例函数，其斜率由$\frac{b}{a}$的正负决定；$y=ax-b$是一次函数，斜率由$a$的正负决定，与y轴的截距由$-b$的正负决定。我们可以先根据过原点的正比例函数的斜率判断$a、b$的符号关系，再验证一次函数的斜率、截距是否符合该符号关系，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：过原点的正比例函数斜率为负，即$\frac{b}{a}＜0$，说明$a、b$异号。图中一次函数斜率为负，即$a＜0$，可得$b＞0$，则一次函数的截距$-b＜0$，应与y轴交于负半轴，但图中一次函数交y轴正半轴，不符合，排除A。
2. 分析选项B：过原点的正比例函数斜率为负，即$\frac{b}{a}＜0$，说明$a、b$异号。图中一次函数斜率为正，即$a＞0$，可得$b＜0$，则一次函数的截距$-b＞0$，应与y轴交于正半轴，但图中一次函数交y轴负半轴，不符合，排除B。
3. 分析选项C：过原点的正比例函数斜率为正，即$\frac{b}{a}＞0$，说明$a、b$同号。图中一次函数斜率为负，即$a＜0$，可得$b＜0$，则一次函数的截距$-b＞0$，应与y轴交于正半轴，但图中一次函数交y轴负半轴，不符合，排除C。
4. 分析选项D：过原点的正比例函数斜率为负，即$\frac{b}{a}＜0$，说明$a、b$异号。图中一次函数斜率为正，即$a＞0$，可得$b＜0$，则一次函数的截距$-b＞0$，与y轴交于正半轴，完全符合性质。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；正比例函数图象性质
【点评】
本题考查函数图象与系数的对应关系，解题核心是根据正比例函数的图象先确定参数的符号关系，再验证一次函数的斜率、截距是否匹配，采用排除法能快速得到正确结果，需要熟练掌握函数图象的相关性质。
【难度系数】
0.7
要判断两个函数的图象是否匹配，需结合一次函数、正比例函数的图象与系数的关系分析：首先$y=\frac{b}{a}x$是过原点的正比例函数，其斜率由$\frac{b}{a}$的正负决定；$y=ax-b$是一次函数，斜率由$a$的正负决定，与y轴的截距由$-b$的正负决定。我们可以先根据过原点的正比例函数的斜率判断$a、b$的符号关系，再验证一次函数的斜率、截距是否符合该符号关系，逐一排除错误选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：过原点的正比例函数斜率为负，即$\frac{b}{a}＜0$，说明$a、b$异号。图中一次函数斜率为负，即$a＜0$，可得$b＞0$，则一次函数的截距$-b＜0$，应与y轴交于负半轴，但图中一次函数交y轴正半轴，不符合，排除A。
2. 分析选项B：过原点的正比例函数斜率为负，即$\frac{b}{a}＜0$，说明$a、b$异号。图中一次函数斜率为正，即$a＞0$，可得$b＜0$，则一次函数的截距$-b＞0$，应与y轴交于正半轴，但图中一次函数交y轴负半轴，不符合，排除B。
3. 分析选项C：过原点的正比例函数斜率为正，即$\frac{b}{a}＞0$，说明$a、b$同号。图中一次函数斜率为负，即$a＜0$，可得$b＜0$，则一次函数的截距$-b＞0$，应与y轴交于正半轴，但图中一次函数交y轴负半轴，不符合，排除C。
4. 分析选项D：过原点的正比例函数斜率为负，即$\frac{b}{a}＜0$，说明$a、b$异号。图中一次函数斜率为正，即$a＞0$，可得$b＜0$，则一次函数的截距$-b＞0$，与y轴交于正半轴，完全符合性质。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质；正比例函数图象性质
【点评】
本题考查函数图象与系数的对应关系，解题核心是根据正比例函数的图象先确定参数的符号关系，再验证一次函数的斜率、截距是否匹配，采用排除法能快速得到正确结果，需要熟练掌握函数图象的相关性质。
【难度系数】
0.7
3. 小深一家打算在周末租用新能源汽车自驾出游，已知甲、乙两家公司收取费用$y_1$（元）、$y_2$（元）与用车时间$x$（h）的关系如图4-4-15所示。设$y_1=k_1x+b_1$，$y_2=k_2x+b_2$。
(1)$k_1$的含义是
(2)当使用时间$x$（h）大于
(1)$k_1$的含义是
甲公司租车每增加1 h所收取的费用
，$b_1$的含义是甲公司租车的起步价
；(2)当使用时间$x$（h）大于
$\frac{16}{3}$
时，选择甲公司的车更划算。答案
3. (1) 甲公司租车每增加1 h所收取的费用 甲公司租车的起步价 (2) $\frac{16}{3}$
解析
【分析】
(1) 对于一次函数$y=kx+b$，$k$表示自变量每增加1个单位时因变量的变化量，$b$表示自变量为0时因变量的取值。本题中自变量是用车时间$x$（单位：h），因变量是甲公司的租车费用$y_1$（单位：元），结合实际意义即可得出$k_1$、$b_1$的含义。
(2) 选择甲公司更划算即甲公司的费用$y_1$低于乙公司的费用$y_2$，首先根据图象给出的点求出两个一次函数的解析式，联立解析式求出费用相等时的$x$值，再结合两个函数的增长趋势，即可得出$y_1＜y_2$时$x$的取值范围。
【解析】
(1) 一次函数$y_1=k_1x+b_1$中，$k_1$是$x$的系数，代表用车时间每增加1h，甲公司收取费用的增加量，即甲公司租车每增加1 h所收取的费用；$b_1$是$x=0$时的函数值，代表用车时间为0时的收费，即甲公司租车的起步价。
(2) 根据图象上的已知点可求得两个函数的解析式，令$y_1=y_2$，解得$x=\frac{16}{3}$，此时两家公司租车费用相同；观察函数图象或结合函数增长趋势可知，当$x＞\frac{16}{3}$时，$y_1＜y_2$，即甲公司费用更低，更划算。
【答案】
(1) 甲公司租车每增加1 h所收取的费用 甲公司租车的起步价 (2) $\frac{16}{3}$
【知识点】
一次函数的实际意义；一次函数与不等式；一次函数的图象
【点评】
本题结合生活中租车的实际场景，考查一次函数的相关知识，既要求理解函数解析式中参数的实际含义，又要求掌握利用函数关系比较费用大小的方法，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 对于一次函数$y=kx+b$，$k$表示自变量每增加1个单位时因变量的变化量，$b$表示自变量为0时因变量的取值。本题中自变量是用车时间$x$（单位：h），因变量是甲公司的租车费用$y_1$（单位：元），结合实际意义即可得出$k_1$、$b_1$的含义。
(2) 选择甲公司更划算即甲公司的费用$y_1$低于乙公司的费用$y_2$，首先根据图象给出的点求出两个一次函数的解析式，联立解析式求出费用相等时的$x$值，再结合两个函数的增长趋势，即可得出$y_1＜y_2$时$x$的取值范围。
【解析】
(1) 一次函数$y_1=k_1x+b_1$中，$k_1$是$x$的系数，代表用车时间每增加1h，甲公司收取费用的增加量，即甲公司租车每增加1 h所收取的费用；$b_1$是$x=0$时的函数值，代表用车时间为0时的收费，即甲公司租车的起步价。
(2) 根据图象上的已知点可求得两个函数的解析式，令$y_1=y_2$，解得$x=\frac{16}{3}$，此时两家公司租车费用相同；观察函数图象或结合函数增长趋势可知，当$x＞\frac{16}{3}$时，$y_1＜y_2$，即甲公司费用更低，更划算。
【答案】
(1) 甲公司租车每增加1 h所收取的费用 甲公司租车的起步价 (2) $\frac{16}{3}$
【知识点】
一次函数的实际意义；一次函数与不等式；一次函数的图象
【点评】
本题结合生活中租车的实际场景，考查一次函数的相关知识，既要求理解函数解析式中参数的实际含义，又要求掌握利用函数关系比较费用大小的方法，是一次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 环海公路旁依次有A,B,C三个景点，小明和小红骑自行车分别从景点A,B同时出发匀速前往景点C（到了景点C不继续往前骑行，也不返回）。如图4-4-16，$l_1$，$l_2$分别表示小明和小红与景点B的距离$s$(km)和骑行时间$t$(h)之间的关系。已知小红的速度为12 km/h，则图中$a$的值为
2.25
。答案
4. 2.25
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要结合一次函数图象的实际意义，先分析两人的运动过程，再提取图象中的关键信息计算小明的速度，最后根据两人从出发到到达C点的路程关系列方程求解a的值。具体思路如下：
1. 明确图象含义：横坐标t为骑行时间，纵坐标s为与景点B的距离。$l_1$对应从A出发的小明，$l_2$对应从B出发、速度为12km/h的小红。
2. 求小明的速度：从图象可知，t=0时小明距离B点13.5km（即AB=13.5km），t=0.75h时小明到达B点（s=0），利用速度=路程÷时间可求出小明的骑行速度。
3. 列方程求a：a为两人到达C点的总骑行时间。小红从B到C的路程为速度×时间=12a；小明从A到C的总路程为AB+BC=13.5+12a，也等于小明的速度×时间，据此列方程求解即可。
【解析】
解：由图象可知，小明从A到B的路程$AB=13.5\mathrm{km}$，用时$0.75\mathrm{h}$，
∴小明的速度为 $v_{\mathrm{明}} = \frac{13.5}{0.75} = 18 \, \mathrm{km/h}$。
设a为两人从出发到到达C点的骑行时间，
小红从B到C的路程为 $BC = 12a \, \mathrm{km}$，
小明从A到C的总路程为 $AB + BC = 13.5 + 12a \, \mathrm{km}$，同时总路程也可表示为 $18a \, \mathrm{km}$，
列方程得：
$18a = 13.5 + 12a$
移项得：$18a - 12a = 13.5$
合并同类项得：$6a = 13.5$
解得：$a = 13.5 ÷ 6 = 2.25$
【答案】
2.25
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程问题，解题关键是准确理解图象横纵坐标的实际意义，从图象中提取有效路程、时间信息，再结合行程公式列方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，我们需要结合一次函数图象的实际意义，先分析两人的运动过程，再提取图象中的关键信息计算小明的速度，最后根据两人从出发到到达C点的路程关系列方程求解a的值。具体思路如下：
1. 明确图象含义：横坐标t为骑行时间，纵坐标s为与景点B的距离。$l_1$对应从A出发的小明，$l_2$对应从B出发、速度为12km/h的小红。
2. 求小明的速度：从图象可知，t=0时小明距离B点13.5km（即AB=13.5km），t=0.75h时小明到达B点（s=0），利用速度=路程÷时间可求出小明的骑行速度。
3. 列方程求a：a为两人到达C点的总骑行时间。小红从B到C的路程为速度×时间=12a；小明从A到C的总路程为AB+BC=13.5+12a，也等于小明的速度×时间，据此列方程求解即可。
【解析】
解：由图象可知，小明从A到B的路程$AB=13.5\mathrm{km}$，用时$0.75\mathrm{h}$，
∴小明的速度为 $v_{\mathrm{明}} = \frac{13.5}{0.75} = 18 \, \mathrm{km/h}$。
设a为两人从出发到到达C点的骑行时间，
小红从B到C的路程为 $BC = 12a \, \mathrm{km}$，
小明从A到C的总路程为 $AB + BC = 13.5 + 12a \, \mathrm{km}$，同时总路程也可表示为 $18a \, \mathrm{km}$，
列方程得：
$18a = 13.5 + 12a$
移项得：$18a - 12a = 13.5$
合并同类项得：$6a = 13.5$
解得：$a = 13.5 ÷ 6 = 2.25$
【答案】
2.25
【知识点】
一次函数的应用、行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合一次函数图象考查行程问题，解题关键是准确理解图象横纵坐标的实际意义，从图象中提取有效路程、时间信息，再结合行程公式列方程求解，体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.65
5. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓售价相同的条件下，分别推出下列优惠方案：进入甲园，顾客需购买门票，采摘的草莓按六折优惠；进入乙园，顾客免门票，采摘的草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售。某顾客采摘 $ x $ kg 草莓，若在甲园采摘需总费用 $ y_1 $ 元，在乙园采摘需总费用 $ y_2 $ 元。$ y_1,y_2 $ 与 $ x $ 之间的关系如图 
所示。
给出下列结论：
①乙园草莓优惠前的销售价格是30元/kg；
②乙园超过5 kg后，超过部分的价格按五折优惠；
③甲园的门票费用是60元；
④顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多。
其中，正确的结论是
所示。给出下列结论：
①乙园草莓优惠前的销售价格是30元/kg；
②乙园超过5 kg后，超过部分的价格按五折优惠；
③甲园的门票费用是60元；
④顾客用280元在甲园采摘草莓比到乙园采摘草莓更多。
其中，正确的结论是
①②③
。（填序号）答案
5. ①②③
解析
【分析】
解题时先结合题意理解两个函数图象的实际意义：$y_1$是甲园总费用，$x=0$时的$y$值就是甲园门票费；$y_2$是乙园总费用，$0≤ x≤5$时乙园无优惠，可先算出草莓原价，再分别推导两个函数的解析式、计算乙园超过5kg后的单价，逐一验证4个结论即可。
【解析】
1. 验证结论①：乙园采摘量不超过5kg时无优惠，由图象可知$x=5\mathrm{kg}$时，$y_2=150$元，因此优惠前单价为$150÷5=30$元/kg，①正确。
2. 验证结论③：甲园需要购买门票，当$x=0$（未采摘草莓）时，$y_1=60$元，即甲园门票费用为60元，③正确。
3. 验证结论②：甲园采摘的草莓按六折优惠，因此甲园采摘单价为$30×0.6=18$元/kg，可得$y_1=18x+60$。再看乙园，$x=15\mathrm{kg}$时$y_2=300$元，前5kg费用为150元，超过5kg的10kg总费用为$300-150=150$元，超过部分单价为$150÷10=15$元/kg，$15÷30=0.5$，即超过部分按五折优惠，②正确。
4. 验证结论④：
280元在甲园采摘：令$18x+60=280$，解得$x=\frac{110}{9}\approx12.22\mathrm{kg}$；
280元在乙园采摘：前5kg花费150元，剩余$280-150=130$元可购买$\frac{130}{15}\approx8.67\mathrm{kg}$，总重量约为$5+8.67=13.67\mathrm{kg}$，$13.67＞12.22$，即乙园采摘的草莓更多，④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数的应用，函数图象分析，销售打折计算
【点评】
本题结合实际优惠方案考查一次函数的图象应用，解题核心是从图象中提取有效数值信息，结合单价、数量、总价的数量关系，分段分析不同区间的收费规则，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.65
解题时先结合题意理解两个函数图象的实际意义：$y_1$是甲园总费用，$x=0$时的$y$值就是甲园门票费；$y_2$是乙园总费用，$0≤ x≤5$时乙园无优惠，可先算出草莓原价，再分别推导两个函数的解析式、计算乙园超过5kg后的单价，逐一验证4个结论即可。
【解析】
1. 验证结论①：乙园采摘量不超过5kg时无优惠，由图象可知$x=5\mathrm{kg}$时，$y_2=150$元，因此优惠前单价为$150÷5=30$元/kg，①正确。
2. 验证结论③：甲园需要购买门票，当$x=0$（未采摘草莓）时，$y_1=60$元，即甲园门票费用为60元，③正确。
3. 验证结论②：甲园采摘的草莓按六折优惠，因此甲园采摘单价为$30×0.6=18$元/kg，可得$y_1=18x+60$。再看乙园，$x=15\mathrm{kg}$时$y_2=300$元，前5kg费用为150元，超过5kg的10kg总费用为$300-150=150$元，超过部分单价为$150÷10=15$元/kg，$15÷30=0.5$，即超过部分按五折优惠，②正确。
4. 验证结论④：
280元在甲园采摘：令$18x+60=280$，解得$x=\frac{110}{9}\approx12.22\mathrm{kg}$；
280元在乙园采摘：前5kg花费150元，剩余$280-150=130$元可购买$\frac{130}{15}\approx8.67\mathrm{kg}$，总重量约为$5+8.67=13.67\mathrm{kg}$，$13.67＞12.22$，即乙园采摘的草莓更多，④错误。
综上，正确结论为①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
一次函数的应用，函数图象分析，销售打折计算
【点评】
本题结合实际优惠方案考查一次函数的图象应用，解题核心是从图象中提取有效数值信息，结合单价、数量、总价的数量关系，分段分析不同区间的收费规则，逐一验证结论即可。
【难度系数】
0.65
