登录
6. 用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图4-4-18①。经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图4-4-18②中的线段AB，AC。根据以上信息，回答下列问题：
(1)在目前电量20％的情况下，用充电器给该手机充满电，快速充电器比普通充电器少用
(2)求线段AB，AC对应的函数表达式。
(3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时10％，手机充满电正常使用4 h后，若接下来用快速充电器充电，则需要
图4-4-18
(1)在目前电量20％的情况下，用充电器给该手机充满电，快速充电器比普通充电器少用
2
h。(2)求线段AB，AC对应的函数表达式。
(3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时10％，手机充满电正常使用4 h后，若接下来用快速充电器充电，则需要
0.5
h才能充满。图4-4-18
答案
6. (1) 2
(2) 线段AB对应的函数表达式为$y=80x+20(0≤ x≤1)$，线段AC对应的函数表达式为$y=\frac{80}{3}x+20(0≤ x≤3)$。
(3) 0.5
(2) 线段AB对应的函数表达式为$y=80x+20(0≤ x≤1)$，线段AC对应的函数表达式为$y=\frac{80}{3}x+20(0≤ x≤3)$。
(3) 0.5
解析
【分析】
(1) 观察函数图象，直接读取快速、普通充电器将电量从20%充至100%的对应时间，作差即可得到结果。
(2) 用待定系数法求一次函数表达式：线段AB过A(0,20)、B(1,100)，线段AC过A(0,20)、C(3,100)，分别设函数为y=kx+b，代入两点坐标求解k、b，同时标注自变量取值范围。
(3) 先计算手机充满电使用4h后的剩余电量，结合快速充电器的每小时充电量，计算补充电量所需的充电时间即可。
【解析】
(1) 由图②可知，快速充电器充满电需1h，普通充电器充满电需3h，因此快速充电器比普通充电器少用：$3-1=2\ \mathrm{h}$。
(2) 设线段AB对应的函数表达式为$y=k_1x+b_1$，
将$A(0,20)$、$B(1,100)$代入得：
$\begin{cases}b_1=20\\k_1 + b_1=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=80\\b_1=20\end{cases}$
因此线段AB对应的函数表达式为$y=80x+20(0≤ x≤1)$。
设线段AC对应的函数表达式为$y=k_2x+b_2$，
将$A(0,20)$、$C(3,100)$代入得：
$\begin{cases}b_2=20\\3k_2 + b_2=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=\frac{80}{3}\\b_2=20\end{cases}$
因此线段AC对应的函数表达式为$y=\frac{80}{3}x+20(0≤ x≤3)$。
(3) 手机充满电后正常使用4h，剩余电量为：$100\% - 10\%×4=60\%$，
需要补充的电量为：$100\% - 60\%=40\%$，
由快速充电的函数可知每小时充电80%，因此所需时间为：$40\%÷80\%=0.5\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) 线段AB：$\boldsymbol{y=80x+20(0≤ x≤1)}$，线段AC：$\boldsymbol{y=\frac{80}{3}x+20(0≤ x≤3)}$
(3) $\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数图像
【点评】
本题结合手机充电的生活场景考查一次函数相关知识，解题核心是准确从函数图像中提取坐标信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合题意完成计算，题目设置贴近生活，能有效考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 观察函数图象，直接读取快速、普通充电器将电量从20%充至100%的对应时间，作差即可得到结果。
(2) 用待定系数法求一次函数表达式：线段AB过A(0,20)、B(1,100)，线段AC过A(0,20)、C(3,100)，分别设函数为y=kx+b，代入两点坐标求解k、b，同时标注自变量取值范围。
(3) 先计算手机充满电使用4h后的剩余电量，结合快速充电器的每小时充电量，计算补充电量所需的充电时间即可。
【解析】
(1) 由图②可知，快速充电器充满电需1h，普通充电器充满电需3h，因此快速充电器比普通充电器少用：$3-1=2\ \mathrm{h}$。
(2) 设线段AB对应的函数表达式为$y=k_1x+b_1$，
将$A(0,20)$、$B(1,100)$代入得：
$\begin{cases}b_1=20\\k_1 + b_1=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1=80\\b_1=20\end{cases}$
因此线段AB对应的函数表达式为$y=80x+20(0≤ x≤1)$。
设线段AC对应的函数表达式为$y=k_2x+b_2$，
将$A(0,20)$、$C(3,100)$代入得：
$\begin{cases}b_2=20\\3k_2 + b_2=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=\frac{80}{3}\\b_2=20\end{cases}$
因此线段AC对应的函数表达式为$y=\frac{80}{3}x+20(0≤ x≤3)$。
(3) 手机充满电后正常使用4h，剩余电量为：$100\% - 10\%×4=60\%$，
需要补充的电量为：$100\% - 60\%=40\%$，
由快速充电的函数可知每小时充电80%，因此所需时间为：$40\%÷80\%=0.5\ \mathrm{h}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$
(2) 线段AB：$\boldsymbol{y=80x+20(0≤ x≤1)}$，线段AC：$\boldsymbol{y=\frac{80}{3}x+20(0≤ x≤3)}$
(3) $\boldsymbol{0.5}$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，一次函数图像
【点评】
本题结合手机充电的生活场景考查一次函数相关知识，解题核心是准确从函数图像中提取坐标信息，熟练运用待定系数法求函数解析式，再结合题意完成计算，题目设置贴近生活，能有效考查知识的迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 小明到某景区游玩,他从景区入口处步行到达小憩屋,休息片刻后继续前行,此时观光车从景区入口处出发,沿相同路线与小明先后到达观景点。如图4-4-19中折线OABC和线段DE分别表示小明和观光车离开景区入口的距离y(m)与小明步行时间x(min)之间的关系。根据图象解决下列问题:
(1)观光车的行驶速度为
(2)求线段BC对应的函数表达式;
(3)当观光车到达观景点时,小明距观景点还有多远?
图4-4-19
(1)观光车的行驶速度为
300
m/min,点D的坐标为(13,0)
;(2)求线段BC对应的函数表达式;
(3)当观光车到达观景点时,小明距观景点还有多远?
图4-4-19
答案
7. (1) 300 (13,0)
(2) 解:设线段BC对应的函数表达式为$y=kx+b$($k,b$为常数,且$k≠0$)。将$B(13,1\ 200)$和$C(31,3\ 000)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$13k+b=1\ 200$,$31k+b=3\ 000$,所以$k=100$,$b=-100$,所以线段BC对应的函数表达式为$y=100x-100(13≤ x≤31)$。
(3) 解:当$x=23$时,$y=100×23-100=2\ 200$,$3\ 000-2\ 200=800(\mathrm{m})$。所以当观光车到达观景点时,小明距观景点还有800 m。
(2) 解:设线段BC对应的函数表达式为$y=kx+b$($k,b$为常数,且$k≠0$)。将$B(13,1\ 200)$和$C(31,3\ 000)$的坐标分别代入$y=kx+b$，得$13k+b=1\ 200$,$31k+b=3\ 000$,所以$k=100$,$b=-100$,所以线段BC对应的函数表达式为$y=100x-100(13≤ x≤31)$。
(3) 解:当$x=23$时,$y=100×23-100=2\ 200$,$3\ 000-2\ 200=800(\mathrm{m})$。所以当观光车到达观景点时,小明距观景点还有800 m。
解析
【分析】
首先解决第(1)问：观察图像可知，观光车在19min时行驶了1800m，23min时行驶了3000m，根据速度=路程÷时间可算出观光车速度；再根据观光车行驶1800m所需时间，倒推出观光车出发的时间，即可得到点D的坐标。
第(2)问求线段BC的函数表达式，采用待定系数法，先确定B、C两点的坐标，再代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出k、b即可，注意标注自变量的取值范围。
第(3)问：先确定观光车到达观景点的时间是23min，将$x=23$代入BC段的函数解析式求出此时小明走的路程，再用总路程3000m减去小明已走路程，即可得到小明距观景点的距离。
【解析】
(1) 观光车的行驶速度：$(3000 - 1800)÷(23 - 19) = 1200÷4 = 300(\mathrm{m/min})$
观光车行驶1800m所需时间：$1800÷300 = 6(\mathrm{min})$，则观光车出发时间为$19 - 6 = 13(\mathrm{min})$，故点D的坐标为$(13, 0)$。
(2) 设线段BC对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k≠0$，$13≤x≤31$）。
由图像可知，点B坐标为$(13, 1200)$，点C坐标为$(31, 3000)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}13k + b = 1200 \\31k + b = 3000 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$18k = 1800$，解得$k = 100$。
将$k = 100$代入$13k + b = 1200$，得$13×100 + b = 1200$，解得$b = -100$。
故线段BC对应的函数表达式为$y = 100x - 100(13≤x≤31)$。
(3) 由图像可知，观光车到达观景点的时间为小明出发后23min，将$x = 23$代入$y = 100x - 100$得：
$y = 100×23 - 100 = 2200(\mathrm{m})$
则小明距观景点的距离为$3000 - 2200 = 800(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $300$；$(13,0)$
(2) $y = 100x - 100(13≤x≤31)$
(3) $800\ \mathrm{m}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程图像分析
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图像中横、纵坐标的含义，以及特殊交点、端点代表的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先解决第(1)问：观察图像可知，观光车在19min时行驶了1800m，23min时行驶了3000m，根据速度=路程÷时间可算出观光车速度；再根据观光车行驶1800m所需时间，倒推出观光车出发的时间，即可得到点D的坐标。
第(2)问求线段BC的函数表达式，采用待定系数法，先确定B、C两点的坐标，再代入一次函数一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组求出k、b即可，注意标注自变量的取值范围。
第(3)问：先确定观光车到达观景点的时间是23min，将$x=23$代入BC段的函数解析式求出此时小明走的路程，再用总路程3000m减去小明已走路程，即可得到小明距观景点的距离。
【解析】
(1) 观光车的行驶速度：$(3000 - 1800)÷(23 - 19) = 1200÷4 = 300(\mathrm{m/min})$
观光车行驶1800m所需时间：$1800÷300 = 6(\mathrm{min})$，则观光车出发时间为$19 - 6 = 13(\mathrm{min})$，故点D的坐标为$(13, 0)$。
(2) 设线段BC对应的函数表达式为$y = kx + b$（$k≠0$，$13≤x≤31$）。
由图像可知，点B坐标为$(13, 1200)$，点C坐标为$(31, 3000)$，将两点坐标代入解析式得：
$\begin{cases}13k + b = 1200 \\31k + b = 3000 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$18k = 1800$，解得$k = 100$。
将$k = 100$代入$13k + b = 1200$，得$13×100 + b = 1200$，解得$b = -100$。
故线段BC对应的函数表达式为$y = 100x - 100(13≤x≤31)$。
(3) 由图像可知，观光车到达观景点的时间为小明出发后23min，将$x = 23$代入$y = 100x - 100$得：
$y = 100×23 - 100 = 2200(\mathrm{m})$
则小明距观景点的距离为$3000 - 2200 = 800(\mathrm{m})$。
【答案】
(1) $300$；$(13,0)$
(2) $y = 100x - 100(13≤x≤31)$
(3) $800\ \mathrm{m}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；行程图像分析
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的应用，解题核心是读懂函数图像中横、纵坐标的含义，以及特殊交点、端点代表的实际意义，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 甲、乙两地之间有一车站丙(离乙地较近)，一辆货车从甲地出发经丙站驶往乙地，一辆轿车从乙地出发经丙站驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，图4-4-20分别是货车、轿车行驶时离丙站的路程$y(\mathrm{km})$与行驶时间$x(\mathrm{h})$之间的函数图象。
(1)货车与轿车的行驶速度分别是多少？
(2)求$a$的值，并写出它所代表的意义。
(3)求两车相遇的时间，以及此时货车到车站丙的距离。
图4-4-20
(1)货车与轿车的行驶速度分别是多少？
(2)求$a$的值，并写出它所代表的意义。
(3)求两车相遇的时间，以及此时货车到车站丙的距离。
图4-4-20
答案
8. 解:(1)由题中图象可得,货车从甲地出发,6 h到达丙站,两地距离360 km,所以货车速度为$360÷6=60(\mathrm{km/h})$。2 h后货车到达乙地,所以乙、丙两地距离为$60×2=120(\mathrm{km})$。所以甲、乙两地距离为$360+120=480(\mathrm{km})$。轿车从乙地出发6 h后到达甲地,所以轿车速度为$480÷6=80(\mathrm{km/h})$。
(2)$a$是轿车在未出发时距离丙站的距离,故$a$表示乙、丙两地距离,由(1)知,$a=120$。
(3)设两车相遇的时间为$t$ h,由题意得$60t+80t=480$,解得$t=\frac{24}{7}$,此时货车所走的距离为$60×\frac{24}{7}=\frac{1\ 440}{7}(\mathrm{km})$,所以货车到车站丙的距离为$360-\frac{1\ 440}{7}=\frac{1\ 080}{7}(\mathrm{km})$。答:两车出发$\frac{24}{7}$ h后相遇,此时货车到车站丙的距离为$\frac{1\ 080}{7}\ \mathrm{km}$。
(2)$a$是轿车在未出发时距离丙站的距离,故$a$表示乙、丙两地距离,由(1)知,$a=120$。
(3)设两车相遇的时间为$t$ h,由题意得$60t+80t=480$,解得$t=\frac{24}{7}$,此时货车所走的距离为$60×\frac{24}{7}=\frac{1\ 440}{7}(\mathrm{km})$,所以货车到车站丙的距离为$360-\frac{1\ 440}{7}=\frac{1\ 080}{7}(\mathrm{km})$。答:两车出发$\frac{24}{7}$ h后相遇,此时货车到车站丙的距离为$\frac{1\ 080}{7}\ \mathrm{km}$。
解析
【分析】
(1) 求两车速度需先从图象提取路程和对应时间：货车初始离丙站360km（即甲地到丙站距离），6h到达丙站，根据“速度=路程÷时间”可求货车速度；货车从丙站到乙地用时为8-6=2h，结合货车速度可算出丙站到乙地的距离，进一步得到甲乙两地总路程；轿车从乙地到甲地全程用时6h，用总路程除以行驶时间即可得轿车速度。
(2) 轿车初始位置在乙地，x=0时离丙站的距离为a，因此a就是乙、丙两地的距离，可直接由第(1)问的计算结果得到a的值。
(3) 两车同时出发相向而行，相遇时两车行驶路程之和等于甲乙两地总路程，设相遇时间为t h，根据“货车行驶路程+轿车行驶路程=总路程”列一元一次方程求解t；再计算t时间内货车行驶的路程，用甲地到丙站的360km减去货车行驶路程，即可得到此时货车到丙站的距离。
【解析】
解：(1) 由图象可知，甲地到丙站的距离为360km，货车从甲地到丙站行驶时间为6h，
货车速度：$360÷6=60(\mathrm{km/h})$。
货车从丙站到乙地的行驶时间为$8-6=2(\mathrm{h})$，则丙站到乙地的距离为$60×2=120(\mathrm{km})$，
甲、乙两地总路程：$360+120=480(\mathrm{km})$。
轿车从乙地到甲地行驶时间为6h，轿车速度：$480÷6=80(\mathrm{km/h})$。
(2) a是轿车从乙地出发时离丙站的距离，即乙、丙两地的距离，由(1)得$a=120$，代表乙、丙两地之间的距离为120km。
(3) 设两车出发$t$ h后相遇，根据题意列方程：
$60t+80t=480$
解得$t=\frac{24}{7}$。
此时货车行驶的路程为$60×\frac{24}{7}=\frac{1440}{7}(\mathrm{km})$，
货车到丙站的距离为$360-\frac{1440}{7}=\frac{1080}{7}(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) 货车速度为$\boldsymbol{60\mathrm{km/h}}$，轿车速度为$\boldsymbol{80\mathrm{km/h}}$；
(2) $\boldsymbol{a=120}$，表示乙、丙两地的距离为120km；
(3) 两车出发$\boldsymbol{\frac{24}{7}\mathrm{h}}$后相遇，此时货车到车站丙的距离为$\boldsymbol{\frac{1080}{7}\mathrm{km}}$。
【知识点】
一次函数图象应用，行程相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合函数图象考查行程类实际应用，解题核心是准确理解图象各部分的实际含义，将图象信息转化为行程问题的数量关系，再结合相遇问题的等量关系求解，侧重考查信息提取能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求两车速度需先从图象提取路程和对应时间：货车初始离丙站360km（即甲地到丙站距离），6h到达丙站，根据“速度=路程÷时间”可求货车速度；货车从丙站到乙地用时为8-6=2h，结合货车速度可算出丙站到乙地的距离，进一步得到甲乙两地总路程；轿车从乙地到甲地全程用时6h，用总路程除以行驶时间即可得轿车速度。
(2) 轿车初始位置在乙地，x=0时离丙站的距离为a，因此a就是乙、丙两地的距离，可直接由第(1)问的计算结果得到a的值。
(3) 两车同时出发相向而行，相遇时两车行驶路程之和等于甲乙两地总路程，设相遇时间为t h，根据“货车行驶路程+轿车行驶路程=总路程”列一元一次方程求解t；再计算t时间内货车行驶的路程，用甲地到丙站的360km减去货车行驶路程，即可得到此时货车到丙站的距离。
【解析】
解：(1) 由图象可知，甲地到丙站的距离为360km，货车从甲地到丙站行驶时间为6h，
货车速度：$360÷6=60(\mathrm{km/h})$。
货车从丙站到乙地的行驶时间为$8-6=2(\mathrm{h})$，则丙站到乙地的距离为$60×2=120(\mathrm{km})$，
甲、乙两地总路程：$360+120=480(\mathrm{km})$。
轿车从乙地到甲地行驶时间为6h，轿车速度：$480÷6=80(\mathrm{km/h})$。
(2) a是轿车从乙地出发时离丙站的距离，即乙、丙两地的距离，由(1)得$a=120$，代表乙、丙两地之间的距离为120km。
(3) 设两车出发$t$ h后相遇，根据题意列方程：
$60t+80t=480$
解得$t=\frac{24}{7}$。
此时货车行驶的路程为$60×\frac{24}{7}=\frac{1440}{7}(\mathrm{km})$，
货车到丙站的距离为$360-\frac{1440}{7}=\frac{1080}{7}(\mathrm{km})$。
【答案】
(1) 货车速度为$\boldsymbol{60\mathrm{km/h}}$，轿车速度为$\boldsymbol{80\mathrm{km/h}}$；
(2) $\boldsymbol{a=120}$，表示乙、丙两地的距离为120km；
(3) 两车出发$\boldsymbol{\frac{24}{7}\mathrm{h}}$后相遇，此时货车到车站丙的距离为$\boldsymbol{\frac{1080}{7}\mathrm{km}}$。
【知识点】
一次函数图象应用，行程相遇问题，一元一次方程应用
【点评】
本题结合函数图象考查行程类实际应用，解题核心是准确理解图象各部分的实际含义，将图象信息转化为行程问题的数量关系，再结合相遇问题的等量关系求解，侧重考查信息提取能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
