登录
二、拓展性作业
9. 如图4-4-21，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC与x轴相交于点C(-1,0)，若光线AB满足的函数关系式为$y=-\dfrac{2}{3}x + b$，则b的值为
9. 如图4-4-21，从光源A发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线BC与x轴相交于点C(-1,0)，若光线AB满足的函数关系式为$y=-\dfrac{2}{3}x + b$，则b的值为
$\frac{2}{3}$
。答案
9. $\frac{2}{3}$
解析
【分析】
本题可结合光的反射规律与轴对称的性质求解：首先平面镜为y轴，根据反射定律，反射光线上的点C关于y轴的对称点一定在入射光线AB所在的直线上；接下来先求出点C关于y轴对称的点的坐标，再将该点坐标代入光线AB的函数关系式，即可解出b的值。
【解析】
1. 根据光的反射规律，点C(-1,0)关于y轴（平面镜）的对称点在入射光线AB所在的直线上；
2. 关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此C(-1,0)的对称点为C'(1,0)；
3. 将C'(1,0)代入AB的函数关系式$y=-\dfrac{2}{3}x + b$，得：
$0 = -\dfrac{2}{3} × 1 + b$
解得$b=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一次函数点的坐标特征，轴对称的性质，光的反射规律
【点评】
本题是跨学科综合题，结合了物理光的反射规律与数学一次函数、轴对称的知识，解题核心是利用轴对称将反射光线上的点转化为入射光线上的点，代入解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
本题可结合光的反射规律与轴对称的性质求解：首先平面镜为y轴，根据反射定律，反射光线上的点C关于y轴的对称点一定在入射光线AB所在的直线上；接下来先求出点C关于y轴对称的点的坐标，再将该点坐标代入光线AB的函数关系式，即可解出b的值。
【解析】
1. 根据光的反射规律，点C(-1,0)关于y轴（平面镜）的对称点在入射光线AB所在的直线上；
2. 关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，因此C(-1,0)的对称点为C'(1,0)；
3. 将C'(1,0)代入AB的函数关系式$y=-\dfrac{2}{3}x + b$，得：
$0 = -\dfrac{2}{3} × 1 + b$
解得$b=\dfrac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
一次函数点的坐标特征，轴对称的性质，光的反射规律
【点评】
本题是跨学科综合题，结合了物理光的反射规律与数学一次函数、轴对称的知识，解题核心是利用轴对称将反射光线上的点转化为入射光线上的点，代入解析式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
10.【新定义】
如图4-4-22①，在平面直角坐标系中，直线$l$与坐标轴不平行，点$P$为直线$l$外一点。过点$P$分别作$PE// x$轴交直线$l$于点$E$，作$PF// y$轴交直线$l$于点$F$，我们称折线$EPF$为点$P$关于直线$l$的“$L$路径”，“$L$路径”的长度称为点$P$关于直线$l$的“$L$距离”，记为$L_{P-l}$，即$L_{P-l}=PE+PF$。
【定义理解】
(1)如图4-4-22②，若直线$l$的表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$，与$x$轴和$y$轴分别交于$A$，$B$两点，求$L_{O-l}$(点$O$为坐标原点)。
【定义运用】
(2)如图4-4-22③，将直线$l:y=\frac{1}{3}x-1$向左平移$n$个单位长度后得到直线$m:y=\frac{1}{3}(x+n)-1$，与$x$轴和$y$轴分别交于$D$，$C$两点，当$L_{O-m}=L_{O-l}$时(点$O$为坐标原点)，求平移距离$n$的值。
【定义拓展】
(3)在(2)的条件下，坐标轴上是否存在点$Q$，使得$△ QAB$为等腰三角形，且点$Q$关于直线$l$的“$L$路径”与直线$m$有交点？若存在，请直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。
如图4-4-22①，在平面直角坐标系中，直线$l$与坐标轴不平行，点$P$为直线$l$外一点。过点$P$分别作$PE// x$轴交直线$l$于点$E$，作$PF// y$轴交直线$l$于点$F$，我们称折线$EPF$为点$P$关于直线$l$的“$L$路径”，“$L$路径”的长度称为点$P$关于直线$l$的“$L$距离”，记为$L_{P-l}$，即$L_{P-l}=PE+PF$。
【定义理解】
(1)如图4-4-22②，若直线$l$的表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$，与$x$轴和$y$轴分别交于$A$，$B$两点，求$L_{O-l}$(点$O$为坐标原点)。
【定义运用】
(2)如图4-4-22③，将直线$l:y=\frac{1}{3}x-1$向左平移$n$个单位长度后得到直线$m:y=\frac{1}{3}(x+n)-1$，与$x$轴和$y$轴分别交于$D$，$C$两点，当$L_{O-m}=L_{O-l}$时(点$O$为坐标原点)，求平移距离$n$的值。
【定义拓展】
(3)在(2)的条件下，坐标轴上是否存在点$Q$，使得$△ QAB$为等腰三角形，且点$Q$关于直线$l$的“$L$路径”与直线$m$有交点？若存在，请直接写出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
10. 解:(1)直线$l$的表达式为$y=\frac{1}{3}x-1$,与$x$轴和$y$轴分别交于$A$,$B$两点,当$x=0$时,得$y=-1$,当$y=0$时,得$0=\frac{1}{3}x-1$,解得$x=3$,所以$A(3,0)$,$B(0,-1)$,所以$OA=3$,$OB=1$,所以$L_{O-l}=OA+OB=4$。
(2)直线$m:y=\frac{1}{3}(x+n)-1$,与$x$轴和$y$轴分别交于$D$,$C$两点,当$x=0$时,得$y=\frac{1}{3}n-1$,当$y=0$时,得$0=\frac{1}{3}(x+n)-1$,解得$x=3-n$,所以$C(0,\frac{1}{3}n-1)$,$D(3-n,0)$,所以$OC=\frac{1}{3}n-1$,$OD=n-3$,因为$L_{O-m}=L_{O-l}=4$,所以$\frac{1}{3}n-1+n-3=4$,解得$n=6$。
(3)坐标轴上存在点$Q$,使得$△ QAB$为等腰三角形,且点$Q$关于直线$l$的“$L$路径”与直线$m$有交点。点$Q$的坐标为$(-3,0)$或$(0,1)$或$(0,\sqrt{10}-1)$或$(0,4)$。
(2)直线$m:y=\frac{1}{3}(x+n)-1$,与$x$轴和$y$轴分别交于$D$,$C$两点,当$x=0$时,得$y=\frac{1}{3}n-1$,当$y=0$时,得$0=\frac{1}{3}(x+n)-1$,解得$x=3-n$,所以$C(0,\frac{1}{3}n-1)$,$D(3-n,0)$,所以$OC=\frac{1}{3}n-1$,$OD=n-3$,因为$L_{O-m}=L_{O-l}=4$,所以$\frac{1}{3}n-1+n-3=4$,解得$n=6$。
(3)坐标轴上存在点$Q$,使得$△ QAB$为等腰三角形,且点$Q$关于直线$l$的“$L$路径”与直线$m$有交点。点$Q$的坐标为$(-3,0)$或$(0,1)$或$(0,\sqrt{10}-1)$或$(0,4)$。
解析
【分析】
1. 第(1)问：先理解“L距离”的定义，对于原点O，过O作平行x轴的直线就是x轴，交直线l于A；过O作平行y轴的直线就是y轴，交直线l于B，因此$L_{O-l}=OA+OB$，只需求出直线l与两坐标轴的交点坐标，计算线段长度和即可。
2. 第(2)问：先根据平移规律得到直线m的解析式，同理求出m与x轴、y轴的交点坐标，$L_{O-m}$为两个交点到原点的距离和，结合$L_{O-m}=L_{O-l}=4$列方程求解n即可，注意向左平移时n为正数，坐标取绝对值计算。
3. 第(3)问：先由n=6确定直线m的解析式，再分情况讨论坐标轴上使△QAB为等腰三角形的点Q：分AB为腰（A为顶点、B为顶点）、AB为底两种情况，分别在x轴、y轴上找出所有符合条件的Q点，再验证每个Q点的“L路径”是否与直线m有交点，筛选出符合要求的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=\frac{1}{3}x-1$：
令$x=0$，得$y=-1$，即$B(0,-1)$，故$OB=1$；
令$y=0$，得$\frac{1}{3}x-1=0$，解得$x=3$，即$A(3,0)$，故$OA=3$。
根据“L距离”定义，$L_{O-l}=OA+OB=3+1=4$。
(2) 直线$m$的解析式为$y=\frac{1}{3}(x+n)-1$：
令$x=0$，得$y=\frac{1}{3}n-1$，即$C(0,\frac{1}{3}n-1)$，故$OC=\frac{1}{3}n-1$（$n＞0$且$C$在y轴正半轴）；
令$y=0$，得$\frac{1}{3}(x+n)-1=0$，解得$x=3-n$，即$D(3-n,0)$，故$OD=n-3$（$D$在x轴负半轴）。
由$L_{O-m}=L_{O-l}=4$，列方程：
$\frac{1}{3}n-1 + n-3 = 4$
解得：$\frac{4}{3}n=8$，即$n=6$。
(3) 由$n=6$得直线$m$的解析式为$y=\frac{1}{3}x+1$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，分类讨论：
① Q在x轴上：若$BQ=AB$，解得$Q(-3,0)$，验证其“L路径”与m有交点，符合要求，其余情况均不符合；
② Q在y轴上：若$AQ=AB$得$Q(0,1)$，若$BQ=AB$得$Q(0,\sqrt{10}-1)$，若$AQ=BQ$得$Q(0,4)$，均符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{n=6}$
(3) 存在，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-3,0)}$、$\boldsymbol{(0,1)}$、$\boldsymbol{(0,\sqrt{10}-1)}$、$\boldsymbol{(0,4)}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，新定义运算，等腰三角形的判定
【点评】
本题以新定义为背景，综合考查一次函数的平移、坐标轴交点求解、等腰三角形分类讨论等内容，既要求准确理解新定义的本质，又需要熟练运用分类讨论思想避免漏解，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
1. 第(1)问：先理解“L距离”的定义，对于原点O，过O作平行x轴的直线就是x轴，交直线l于A；过O作平行y轴的直线就是y轴，交直线l于B，因此$L_{O-l}=OA+OB$，只需求出直线l与两坐标轴的交点坐标，计算线段长度和即可。
2. 第(2)问：先根据平移规律得到直线m的解析式，同理求出m与x轴、y轴的交点坐标，$L_{O-m}$为两个交点到原点的距离和，结合$L_{O-m}=L_{O-l}=4$列方程求解n即可，注意向左平移时n为正数，坐标取绝对值计算。
3. 第(3)问：先由n=6确定直线m的解析式，再分情况讨论坐标轴上使△QAB为等腰三角形的点Q：分AB为腰（A为顶点、B为顶点）、AB为底两种情况，分别在x轴、y轴上找出所有符合条件的Q点，再验证每个Q点的“L路径”是否与直线m有交点，筛选出符合要求的坐标。
【解析】
(1) 对于直线$l:y=\frac{1}{3}x-1$：
令$x=0$，得$y=-1$，即$B(0,-1)$，故$OB=1$；
令$y=0$，得$\frac{1}{3}x-1=0$，解得$x=3$，即$A(3,0)$，故$OA=3$。
根据“L距离”定义，$L_{O-l}=OA+OB=3+1=4$。
(2) 直线$m$的解析式为$y=\frac{1}{3}(x+n)-1$：
令$x=0$，得$y=\frac{1}{3}n-1$，即$C(0,\frac{1}{3}n-1)$，故$OC=\frac{1}{3}n-1$（$n＞0$且$C$在y轴正半轴）；
令$y=0$，得$\frac{1}{3}(x+n)-1=0$，解得$x=3-n$，即$D(3-n,0)$，故$OD=n-3$（$D$在x轴负半轴）。
由$L_{O-m}=L_{O-l}=4$，列方程：
$\frac{1}{3}n-1 + n-3 = 4$
解得：$\frac{4}{3}n=8$，即$n=6$。
(3) 由$n=6$得直线$m$的解析式为$y=\frac{1}{3}x+1$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，分类讨论：
① Q在x轴上：若$BQ=AB$，解得$Q(-3,0)$，验证其“L路径”与m有交点，符合要求，其余情况均不符合；
② Q在y轴上：若$AQ=AB$得$Q(0,1)$，若$BQ=AB$得$Q(0,\sqrt{10}-1)$，若$AQ=BQ$得$Q(0,4)$，均符合要求。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4}$
(2) $\boldsymbol{n=6}$
(3) 存在，点$Q$的坐标为$\boldsymbol{(-3,0)}$、$\boldsymbol{(0,1)}$、$\boldsymbol{(0,\sqrt{10}-1)}$、$\boldsymbol{(0,4)}$
【知识点】
一次函数的图象与性质，新定义运算，等腰三角形的判定
【点评】
本题以新定义为背景，综合考查一次函数的平移、坐标轴交点求解、等腰三角形分类讨论等内容，既要求准确理解新定义的本质，又需要熟练运用分类讨论思想避免漏解，能很好地考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
