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7. 随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活。某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变。已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作。甲、乙两台机器人分拣快递的总数量$y$(件)与乙机器人工作时间$x$(min)之间的函数关系如图4-4-10所示。
(1)甲机器人停工保养的时间为
(2)求AB所在直线对应的函数表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为
(1)甲机器人停工保养的时间为
20
min；甲、乙两台机器人同时工作时，每分钟分拣快递55
件；(2)求AB所在直线对应的函数表达式；
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为
110
min。答案
7.(1)20 55
(2)解:因为甲、乙两台机器人同时工作时,每分钟分拣快递55件,所以$y=2\ 700+55(x-60)=55x-600$。
(3)110
(2)解:因为甲、乙两台机器人同时工作时,每分钟分拣快递55件,所以$y=2\ 700+55(x-60)=55x-600$。
(3)110
解析
【分析】
(1) 先解读图像各段含义：0~40min为甲乙同时工作阶段，40~60min甲停工保养、仅乙单独工作，60min后甲保养结束，甲乙再次同时工作。甲停工时间直接用60减40计算；先根据40~60min的工作量差算出乙的工作效率，再根据0~40min的总工作量算出甲乙同时工作的效率。
(2) AB段对应60min后甲乙同时工作的阶段，已知A点坐标为(60,2700)，同时工作的效率为每分钟55件，可通过待定系数法或者“总工作量=已有工作量+新增工作量”的关系推导函数表达式。
(3) 总数量5450件属于AB段的工作范围，将y=5450代入AB段的函数表达式，解方程即可求出乙的工作时间。
【解析】
(1) 甲停工保养的时长为：$60-40=20$（min）
40~60min仅乙工作，20分钟分拣的快递数量为：$2700-2200=500$（件），因此乙的效率为$500÷20=25$（件/分钟）
0~40min甲乙同时工作，40分钟共分拣2200件，因此同时工作的效率为$2200÷40=55$（件/分钟）
(2) 设AB所在直线的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$
AB段甲乙同时工作，效率为55件/分钟，因此$k=55$
将A点坐标$(60,2700)$代入表达式得：
$2700=55×60+b$
解得$b=-600$
因此AB所在直线的函数表达式为$y=55x-600$
(3) 将$y=5450$代入$y=55x-600$得：
$5450=55x-600$
$55x=6050$
解得$x=110$
【答案】
(1)$20$，$55$
(2)$y=55x-600$
(3)$110$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，工程问题
【点评】
本题结合实际工作场景考查一次函数的应用，核心是读懂分段函数各段的实际意义，结合工作效率、时间、总量的关系求解，是一次函数的常见考法，需要掌握图像信息提取方法。
【难度系数】
0.7
(1) 先解读图像各段含义：0~40min为甲乙同时工作阶段，40~60min甲停工保养、仅乙单独工作，60min后甲保养结束，甲乙再次同时工作。甲停工时间直接用60减40计算；先根据40~60min的工作量差算出乙的工作效率，再根据0~40min的总工作量算出甲乙同时工作的效率。
(2) AB段对应60min后甲乙同时工作的阶段，已知A点坐标为(60,2700)，同时工作的效率为每分钟55件，可通过待定系数法或者“总工作量=已有工作量+新增工作量”的关系推导函数表达式。
(3) 总数量5450件属于AB段的工作范围，将y=5450代入AB段的函数表达式，解方程即可求出乙的工作时间。
【解析】
(1) 甲停工保养的时长为：$60-40=20$（min）
40~60min仅乙工作，20分钟分拣的快递数量为：$2700-2200=500$（件），因此乙的效率为$500÷20=25$（件/分钟）
0~40min甲乙同时工作，40分钟共分拣2200件，因此同时工作的效率为$2200÷40=55$（件/分钟）
(2) 设AB所在直线的函数表达式为$y=kx+b\ (k≠0)$
AB段甲乙同时工作，效率为55件/分钟，因此$k=55$
将A点坐标$(60,2700)$代入表达式得：
$2700=55×60+b$
解得$b=-600$
因此AB所在直线的函数表达式为$y=55x-600$
(3) 将$y=5450$代入$y=55x-600$得：
$5450=55x-600$
$55x=6050$
解得$x=110$
【答案】
(1)$20$，$55$
(2)$y=55x-600$
(3)$110$
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式，工程问题
【点评】
本题结合实际工作场景考查一次函数的应用，核心是读懂分段函数各段的实际意义，结合工作效率、时间、总量的关系求解，是一次函数的常见考法，需要掌握图像信息提取方法。
【难度系数】
0.7
8. 小李驾车运送货物到某地，汽车出发前油箱有油50 L，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升（加油时间忽略不计），油箱中剩余油量y(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图4-4-11所示。
请根据图象回答下列问题：
(1)汽车行驶
(2)已知加油前、后汽车都以50 km/h的速度匀速行驶，如果加油站距目的地180 km，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由。
请根据图象回答下列问题：
(1)汽车行驶
3
h后加油，中途加油31
L。(2)已知加油前、后汽车都以50 km/h的速度匀速行驶，如果加油站距目的地180 km，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由。
答案
8.(1)3 31
(2)解:油箱中的油够用。
理由:由题图可知汽车每小时用油$(50-14)÷3=12(\mathrm{L})$,所以汽车要准备油$180÷50×12=43.2(\mathrm{L})$,因为$45\ \mathrm{L}＞43.2\ \mathrm{L}$,所以油箱中的油够用。
(2)解:油箱中的油够用。
理由:由题图可知汽车每小时用油$(50-14)÷3=12(\mathrm{L})$,所以汽车要准备油$180÷50×12=43.2(\mathrm{L})$,因为$45\ \mathrm{L}＞43.2\ \mathrm{L}$,所以油箱中的油够用。
解析
【分析】
(1)观察函数图像可知，剩余油量随行驶时间下降到t=3h时突然上升，说明此时汽车加油，因此行驶3h后加油；加油前油箱剩14L，加油后油箱有45L，二者的差值就是中途加油量。
(2)要判断油是否够用，首先计算汽车每小时耗油量：用加油前的总耗油量除以行驶时间即可得到；再计算行驶180km需要的时间，结合每小时耗油量算出所需总油量，和加油后的45L比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)由图像可得，t=3时油箱剩余油量出现拐点，因此汽车行驶3h后加油；
中途加油量为：$45-14=31(\mathrm{L})$。
(2)油箱中的油够用，理由如下：
先计算汽车每小时耗油量：加油前3小时共耗油$50-14=36(\mathrm{L})$，因此每小时耗油量为$36÷3=12(\mathrm{L})$；
行驶180km需要的时间为：$180÷50=3.6(\mathrm{h})$；
行驶这段路程需要的油量为：$3.6×12=43.2(\mathrm{L})$；
因为加油后油箱有油45L，$45＞43.2$，因此油箱中的油够用。
【答案】
(1)3；31
(2)油箱中的油够用，理由见解析。
【知识点】
函数图像信息提取，行程问题计算，实际问题量化分析
【点评】
本题结合生活中的行车加油场景，考查从函数图像中提取有效信息解决实际问题的能力，解题关键是理解图像拐点的实际意义，理清耗油量、行驶时间、行驶路程之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
(1)观察函数图像可知，剩余油量随行驶时间下降到t=3h时突然上升，说明此时汽车加油，因此行驶3h后加油；加油前油箱剩14L，加油后油箱有45L，二者的差值就是中途加油量。
(2)要判断油是否够用，首先计算汽车每小时耗油量：用加油前的总耗油量除以行驶时间即可得到；再计算行驶180km需要的时间，结合每小时耗油量算出所需总油量，和加油后的45L比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)由图像可得，t=3时油箱剩余油量出现拐点，因此汽车行驶3h后加油；
中途加油量为：$45-14=31(\mathrm{L})$。
(2)油箱中的油够用，理由如下：
先计算汽车每小时耗油量：加油前3小时共耗油$50-14=36(\mathrm{L})$，因此每小时耗油量为$36÷3=12(\mathrm{L})$；
行驶180km需要的时间为：$180÷50=3.6(\mathrm{h})$；
行驶这段路程需要的油量为：$3.6×12=43.2(\mathrm{L})$；
因为加油后油箱有油45L，$45＞43.2$，因此油箱中的油够用。
【答案】
(1)3；31
(2)油箱中的油够用，理由见解析。
【知识点】
函数图像信息提取，行程问题计算，实际问题量化分析
【点评】
本题结合生活中的行车加油场景，考查从函数图像中提取有效信息解决实际问题的能力，解题关键是理解图像拐点的实际意义，理清耗油量、行驶时间、行驶路程之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 如图4-4-12，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为(1,4)，(4,4)。若直线$y=kx+2-3k$与线段AB相交，则k的取值范围是
9. 如图4-4-12，在平面直角坐标系中，点A，点B的坐标分别为(1,4)，(4,4)。若直线$y=kx+2-3k$与线段AB相交，则k的取值范围是
$k≤-1$或$k≥2$
。答案
9. $k≤-1$或$k≥2$
解析
【分析】
首先观察线段AB的特征：点A(1,4)、B(4,4)纵坐标相同，因此AB是平行于x轴的线段，线段上所有点满足y=4，且横坐标x的取值范围是1≤x≤4。要找直线$y=kx+2-3k$与线段AB相交时k的范围，我们可以先计算直线刚好经过A、B两个端点时的k值，再结合一次函数的图像走势判断k的取值范围，方法简单直观，符合八年级知识要求。
【解析】
1. 求直线过点A时的k值
将A(1,4)代入直线方程$y=kx+2-3k$，得：
$\begin{aligned}4 &= k×1 + 2 - 3k \\4 &= 2 - 2k \\2k &= -2 \\k &= -1\end{aligned}$
2. 求直线过点B时的k值
将B(4,4)代入直线方程$y=kx+2-3k$，得：
$\begin{aligned}4 &= k×4 + 2 - 3k \\4 &= k + 2 \\k &= 2\end{aligned}$
3. 结合图像判断取值范围
将直线方程变形为$y = k(x-3) + 2$，可知直线恒过定点P(3,2)，该点位于线段AB的下方：
当$k≥2$时，直线绕P点逆时针旋转，会与线段AB相交；
当$k≤-1$时，直线绕P点顺时针旋转，会与线段AB相交；
当$-1＜k＜2$时，直线仅与AB的延长线相交，不符合要求。
因此k的取值范围是$k≤-1$或$k≥2$。
【答案】
$k≤-1$或$k≥2$
【知识点】
一次函数图像性质，一次函数过定点，函数与线段交点
【点评】
本题考查一次函数与线段交点的范围求解，核心是先求出直线过线段两端点的临界k值，再结合数形结合思想判断范围，能有效锻炼学生的图像分析能力。
【难度系数】
0.6
首先观察线段AB的特征：点A(1,4)、B(4,4)纵坐标相同，因此AB是平行于x轴的线段，线段上所有点满足y=4，且横坐标x的取值范围是1≤x≤4。要找直线$y=kx+2-3k$与线段AB相交时k的范围，我们可以先计算直线刚好经过A、B两个端点时的k值，再结合一次函数的图像走势判断k的取值范围，方法简单直观，符合八年级知识要求。
【解析】
1. 求直线过点A时的k值
将A(1,4)代入直线方程$y=kx+2-3k$，得：
$\begin{aligned}4 &= k×1 + 2 - 3k \\4 &= 2 - 2k \\2k &= -2 \\k &= -1\end{aligned}$
2. 求直线过点B时的k值
将B(4,4)代入直线方程$y=kx+2-3k$，得：
$\begin{aligned}4 &= k×4 + 2 - 3k \\4 &= k + 2 \\k &= 2\end{aligned}$
3. 结合图像判断取值范围
将直线方程变形为$y = k(x-3) + 2$，可知直线恒过定点P(3,2)，该点位于线段AB的下方：
当$k≥2$时，直线绕P点逆时针旋转，会与线段AB相交；
当$k≤-1$时，直线绕P点顺时针旋转，会与线段AB相交；
当$-1＜k＜2$时，直线仅与AB的延长线相交，不符合要求。
因此k的取值范围是$k≤-1$或$k≥2$。
【答案】
$k≤-1$或$k≥2$
【知识点】
一次函数图像性质，一次函数过定点，函数与线段交点
【点评】
本题考查一次函数与线段交点的范围求解，核心是先求出直线过线段两端点的临界k值，再结合数形结合思想判断范围，能有效锻炼学生的图像分析能力。
【难度系数】
0.6
10. 某班准备在某超市购买签字笔 $ x $ 支($ x ≥ 80 $)，该超市给出两种优惠方案，顾客只能选择其中一种方案。
方案A:按总价打九折，该方案的函数图象如图4-4-13①所示。
方案B:购买数量 $ x ≥ 100 $ 时，超过的部分打折扣，其余部分不打折，该方案的函数图象如图4-4-13②所示。
设方案A所需的总费用为 $ y_1 $ 元，方案B所需的总费用为 $ y_2 $ 元。
(1)请分别求出 $ y_1, y_2 $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2)每支笔的原价是多少元？方案B中的折扣是多少折？
(3)该班选择哪种方案更划算？请说明理由。
方案A:按总价打九折，该方案的函数图象如图4-4-13①所示。
方案B:购买数量 $ x ≥ 100 $ 时，超过的部分打折扣，其余部分不打折，该方案的函数图象如图4-4-13②所示。
设方案A所需的总费用为 $ y_1 $ 元，方案B所需的总费用为 $ y_2 $ 元。
(1)请分别求出 $ y_1, y_2 $ 与 $ x $ 之间的关系式。
(2)每支笔的原价是多少元？方案B中的折扣是多少折？
(3)该班选择哪种方案更划算？请说明理由。
答案
10. 解:(1)设$y_1=k_1x(k_1≠0),y_2=k_2x+b(k_2≠0)$。
把$(50,225)$代入$y_1=k_1x$,得$225=50k_1$,解得$k_1=4.5$,$y_1=4.5x$。
把$(0,150)$代入$y_2=k_2x+b$,得$b=150$,即$y_2=k_2x+150$,把$(100,500)$代入$y_2=k_2x+150$,得$500=100k_2+150$,解得$k_2=3.5$,$y_2=3.5x+150$。
(2)因为方案A打了九折,由(1)知$y_1=4.5x$,所以每支笔原价为$4.5÷90\%=5$(元)。
设方案B中折扣为$a$折,所以$y_2=100×5+5×\frac{a}{10}×(x-100)=\frac{a}{2}x+500-50a$,
因为$y_2=3.5x+150$,所以$500-50a=150$,解得$a=7$,所以方案B中折扣为七折。
(3)当$4.5x=3.5x+150$时,解得$x=150$,
当$x=150$时,选择两种方案一样划算;
当$80≤ x＜150$时,选择方案A更划算;
当$x＞150$时,选择方案B更划算。
把$(50,225)$代入$y_1=k_1x$,得$225=50k_1$,解得$k_1=4.5$,$y_1=4.5x$。
把$(0,150)$代入$y_2=k_2x+b$,得$b=150$,即$y_2=k_2x+150$,把$(100,500)$代入$y_2=k_2x+150$,得$500=100k_2+150$,解得$k_2=3.5$,$y_2=3.5x+150$。
(2)因为方案A打了九折,由(1)知$y_1=4.5x$,所以每支笔原价为$4.5÷90\%=5$(元)。
设方案B中折扣为$a$折,所以$y_2=100×5+5×\frac{a}{10}×(x-100)=\frac{a}{2}x+500-50a$,
因为$y_2=3.5x+150$,所以$500-50a=150$,解得$a=7$,所以方案B中折扣为七折。
(3)当$4.5x=3.5x+150$时,解得$x=150$,
当$x=150$时,选择两种方案一样划算;
当$80≤ x＜150$时,选择方案A更划算;
当$x＞150$时,选择方案B更划算。
解析
【分析】
(1) 求函数关系式时，方案A的函数是正比例函数，设为$y_1=k_1x$，将图象给出的点$(50,225)$代入即可求出$k_1$，得到$y_1$的解析式；方案B当$x≥100$时是一次函数，设为$y_2=k_2x+b$，将图象给出的两点$(0,150)$、$(100,500)$分别代入求出$k_2$和$b$，就能得到$y_2$的解析式。
(2) 方案A是总价打九折，因此$y_1=0.9×\mathrm{原价}×x$，结合求出的$y_1$的系数即可算出原价；再根据方案B的优惠规则写出$y_2$关于原价和折扣的表达式，和已求出的$y_2$解析式对比系数就能算出折扣。
(3) 判断哪种方案划算，本质是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$三种情况求解$x$的范围，再结合$x≥80$的取值范围得出结论即可。
【解析】
(1) 设方案A的函数解析式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，
将点$(50,225)$代入解析式，得$225=50k_1$，解得$k_1=4.5$，
因此$y_1=4.5x$。
设方案B当$x≥100$时的函数解析式为$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，
将点$(0,150)$代入，得$b=150$，即$y_2=k_2x+150$，
再将点$(100,500)$代入$y_2=k_2x+150$，得$500=100k_2+150$，解得$k_2=3.5$，
因此$y_2=3.5x+150(x≥100)$。
(2) 已知方案A按总价打九折，因此$y_1=0.9×\mathrm{原价}×x$，结合$y_1=4.5x$，可得：
$\mathrm{原价}=4.5÷90\%=5$（元）。
设方案B的折扣为$a$折，根据方案B的优惠规则：100支按原价，超过100支的部分打$a$折，可得：
$y_2=100×5 + 5×\frac{a}{10}×(x-100)=\frac{a}{2}x + 500 - 50a$，
和$y_2=3.5x+150$对比常数项，得$500-50a=150$，解得$a=7$，即方案B打七折。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$y_1=y_2$时，$4.5x=3.5x+150$，解得$x=150$，此时两种方案费用相同；
② 当$y_1＜y_2$时，$4.5x＜3.5x+150$，解得$x＜150$，结合$x≥80$，即当$80≤x＜150$时，方案A费用更低；
③ 当$y_1＞y_2$时，$4.5x＞3.5x+150$，解得$x＞150$，此时方案B费用更低。
【答案】
(1) $y_1=4.5x$，$y_2=3.5x+150(x≥100)$；
(2) 每支笔原价为5元，方案B的折扣是七折；
(3) 当购买150支时，两种方案一样划算；当购买数量满足$80≤x＜150$时，选择方案A更划算；当购买数量$x＞150$时，选择方案B更划算。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；不等式应用
【点评】
本题结合生活中的优惠方案问题，考查一次函数的实际应用，需要学生能从函数图象中提取有效信息，掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时会通过分类讨论比较函数值大小选择最优方案，对读图能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 求函数关系式时，方案A的函数是正比例函数，设为$y_1=k_1x$，将图象给出的点$(50,225)$代入即可求出$k_1$，得到$y_1$的解析式；方案B当$x≥100$时是一次函数，设为$y_2=k_2x+b$，将图象给出的两点$(0,150)$、$(100,500)$分别代入求出$k_2$和$b$，就能得到$y_2$的解析式。
(2) 方案A是总价打九折，因此$y_1=0.9×\mathrm{原价}×x$，结合求出的$y_1$的系数即可算出原价；再根据方案B的优惠规则写出$y_2$关于原价和折扣的表达式，和已求出的$y_2$解析式对比系数就能算出折扣。
(3) 判断哪种方案划算，本质是比较$y_1$和$y_2$的大小，分$y_1=y_2$、$y_1＜y_2$、$y_1＞y_2$三种情况求解$x$的范围，再结合$x≥80$的取值范围得出结论即可。
【解析】
(1) 设方案A的函数解析式为$y_1=k_1x(k_1≠0)$，
将点$(50,225)$代入解析式，得$225=50k_1$，解得$k_1=4.5$，
因此$y_1=4.5x$。
设方案B当$x≥100$时的函数解析式为$y_2=k_2x+b(k_2≠0)$，
将点$(0,150)$代入，得$b=150$，即$y_2=k_2x+150$，
再将点$(100,500)$代入$y_2=k_2x+150$，得$500=100k_2+150$，解得$k_2=3.5$，
因此$y_2=3.5x+150(x≥100)$。
(2) 已知方案A按总价打九折，因此$y_1=0.9×\mathrm{原价}×x$，结合$y_1=4.5x$，可得：
$\mathrm{原价}=4.5÷90\%=5$（元）。
设方案B的折扣为$a$折，根据方案B的优惠规则：100支按原价，超过100支的部分打$a$折，可得：
$y_2=100×5 + 5×\frac{a}{10}×(x-100)=\frac{a}{2}x + 500 - 50a$，
和$y_2=3.5x+150$对比常数项，得$500-50a=150$，解得$a=7$，即方案B打七折。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$y_1=y_2$时，$4.5x=3.5x+150$，解得$x=150$，此时两种方案费用相同；
② 当$y_1＜y_2$时，$4.5x＜3.5x+150$，解得$x＜150$，结合$x≥80$，即当$80≤x＜150$时，方案A费用更低；
③ 当$y_1＞y_2$时，$4.5x＞3.5x+150$，解得$x＞150$，此时方案B费用更低。
【答案】
(1) $y_1=4.5x$，$y_2=3.5x+150(x≥100)$；
(2) 每支笔原价为5元，方案B的折扣是七折；
(3) 当购买150支时，两种方案一样划算；当购买数量满足$80≤x＜150$时，选择方案A更划算；当购买数量$x＞150$时，选择方案B更划算。
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数应用；不等式应用
【点评】
本题结合生活中的优惠方案问题，考查一次函数的实际应用，需要学生能从函数图象中提取有效信息，掌握待定系数法求函数解析式的方法，同时会通过分类讨论比较函数值大小选择最优方案，对读图能力和逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
