登录
6. 如图，在一次数学竞赛中，小明画了三个不一样的三角形，却都被墨迹污染了。其中，能画出和原来完全一样的三角形的是 （
A.只有①
B.①和②
C.①和③
D.①②③
B
）A.只有①
B.①和②
C.①和③
D.①②③
答案
6. B
解析
【分析】
要画出与原三角形完全一样的三角形，本质是判断每个三角形未被污染的部分是否满足三角形全等的判定条件，满足即可确定唯一的三角形，就能还原原图。我们逐个分析三个三角形的残留元素：①号残留两个内角及两角的夹边，符合角边角判定条件；②号残留两条边及两边的夹角，符合边角边判定条件；③号仅残留一个内角，夹该角的两条边均被污染了一部分，无法确定边长，无符合的全等判定条件。
【解析】
结合三角形全等的判定定理逐一分析：
1. 三角形①：未被污染的部分包含两个内角，以及这两个内角的夹边，根据“角边角（ASA）”的全等判定定理，可唯一确定与原三角形全等的三角形，因此可以画出和原来完全一样的三角形。
2. 三角形②：未被污染的部分包含两条边，以及这两条边的夹角，根据“边角边（SAS）”的全等判定定理，可唯一确定与原三角形全等的三角形，因此可以画出和原来完全一样的三角形。
3. 三角形③：仅未被污染1个内角，夹这个角的两条边都有部分被墨迹遮挡，无法确定两条边的完整长度，不满足任何三角形全等的判定条件，因此不能画出和原来完全一样的三角形。
综上，能画出和原来完全一样的三角形的是①和②，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的应用
【点评】
本题是三角形全等判定的生活化应用类题目，解题的核心是熟练掌握三角形全等的判定定理，结合图形准确识别每个三角形残留的已知元素是否符合判定要求。
【难度系数】
0.7
要画出与原三角形完全一样的三角形，本质是判断每个三角形未被污染的部分是否满足三角形全等的判定条件，满足即可确定唯一的三角形，就能还原原图。我们逐个分析三个三角形的残留元素：①号残留两个内角及两角的夹边，符合角边角判定条件；②号残留两条边及两边的夹角，符合边角边判定条件；③号仅残留一个内角，夹该角的两条边均被污染了一部分，无法确定边长，无符合的全等判定条件。
【解析】
结合三角形全等的判定定理逐一分析：
1. 三角形①：未被污染的部分包含两个内角，以及这两个内角的夹边，根据“角边角（ASA）”的全等判定定理，可唯一确定与原三角形全等的三角形，因此可以画出和原来完全一样的三角形。
2. 三角形②：未被污染的部分包含两条边，以及这两条边的夹角，根据“边角边（SAS）”的全等判定定理，可唯一确定与原三角形全等的三角形，因此可以画出和原来完全一样的三角形。
3. 三角形③：仅未被污染1个内角，夹这个角的两条边都有部分被墨迹遮挡，无法确定两条边的完整长度，不满足任何三角形全等的判定条件，因此不能画出和原来完全一样的三角形。
综上，能画出和原来完全一样的三角形的是①和②，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形全等的判定，全等三角形的应用
【点评】
本题是三角形全等判定的生活化应用类题目，解题的核心是熟练掌握三角形全等的判定定理，结合图形准确识别每个三角形残留的已知元素是否符合判定要求。
【难度系数】
0.7
7. 实数都可以用数轴上的点来表示. 如图, 在数轴上表示$\sqrt{8}$的点可能是（
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
B
）A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
答案
7. B
解析
【分析】
要确定数轴上表示$\sqrt{8}$的点，首先需要估算$\sqrt{8}$的取值范围，我们可以通过找与8相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{8}$介于哪两个整数之间，再判断它更靠近哪个整数，最后对应数轴上的点即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{8}$的范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜8＜9$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$。
第二步：判断$\sqrt{8}$的近似位置
因为8和9的差为1，和4的差为4，所以$\sqrt{8}$更接近3。
第三步：对应数轴上的点
观察数轴：点A在1~2之间，点B在2~3之间且靠近3，点C、D都在3的右侧，因此表示$\sqrt{8}$的点是点B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查无理数的估算及数轴的相关知识，解题的核心是利用相邻整数的平方确定无理数的取值范围，再结合数轴找到对应点，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
要确定数轴上表示$\sqrt{8}$的点，首先需要估算$\sqrt{8}$的取值范围，我们可以通过找与8相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{8}$介于哪两个整数之间，再判断它更靠近哪个整数，最后对应数轴上的点即可。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{8}$的范围
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜8＜9$，根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{4}＜\sqrt{8}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{8}＜3$。
第二步：判断$\sqrt{8}$的近似位置
因为8和9的差为1，和4的差为4，所以$\sqrt{8}$更接近3。
第三步：对应数轴上的点
观察数轴：点A在1~2之间，点B在2~3之间且靠近3，点C、D都在3的右侧，因此表示$\sqrt{8}$的点是点B。
【答案】
B
【知识点】
无理数的估算；实数与数轴的对应关系
【点评】
本题考查无理数的估算及数轴的相关知识，解题的核心是利用相邻整数的平方确定无理数的取值范围，再结合数轴找到对应点，属于基础类题目。
【难度系数】
0.8
8. 已知关于$x$的方程$\frac{x-a}{x-2}+\frac{2a}{2-x}=2$的解为非负数，则$a$的取值范围为（
A.$a≤\frac{4}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$
B.$a≥\frac{2}{3}$且$a≠\frac{4}{3}$
C.$a≤\frac{4}{3}$且$a≠-\frac{2}{3}$
D.$a≥\frac{1}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$
A
）A.$a≤\frac{4}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$
B.$a≥\frac{2}{3}$且$a≠\frac{4}{3}$
C.$a≤\frac{4}{3}$且$a≠-\frac{2}{3}$
D.$a≥\frac{1}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$
答案
8. A
解析
【分析】
本题是含参数的分式方程求参数取值范围的问题，解题思路分为三步：首先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数a表示的方程的解；其次根据“解为非负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；最后结合分式方程分母不能为0（即解不能是增根x=2）的隐含条件，排除不符合要求的a值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先对原方程变形，将分母统一：
原方程$\frac{x-a}{x-2}+\frac{2a}{2-x}=2$可化为$\frac{x-a}{x-2}-\frac{2a}{x-2}=2$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（此时需注意$x≠2$，否则分母为0无意义），去分母得：
$x - a - 2a = 2(x - 2)$
整理得：$x - 3a = 2x - 4$
移项、合并同类项得：$-x = 3a - 4$
系数化为1得：$x = 4 - 3a$
根据题意，方程的解为非负数，因此：
$x≥0$，即$4 - 3a≥0$
解不等式得：$a≤\frac{4}{3}$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠2$，因此：
$4 - 3a≠2$
解得：$a≠\frac{2}{3}$
综上，a的取值范围是$a≤\frac{4}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题属于分式方程的常考题型，解题时需注意两个核心限制条件：一是题目给出的解的取值要求，二是分式方程本身隐含的分母不为0的要求，很容易因忽略增根的排除导致错解，做题时要养成检验的习惯。
【难度系数】
0.7
本题是含参数的分式方程求参数取值范围的问题，解题思路分为三步：首先将分式方程去分母转化为整式方程，求出用参数a表示的方程的解；其次根据“解为非负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；最后结合分式方程分母不能为0（即解不能是增根x=2）的隐含条件，排除不符合要求的a值，最终得到a的完整取值范围。
【解析】
首先对原方程变形，将分母统一：
原方程$\frac{x-a}{x-2}+\frac{2a}{2-x}=2$可化为$\frac{x-a}{x-2}-\frac{2a}{x-2}=2$
方程两边同时乘以最简公分母$x-2$（此时需注意$x≠2$，否则分母为0无意义），去分母得：
$x - a - 2a = 2(x - 2)$
整理得：$x - 3a = 2x - 4$
移项、合并同类项得：$-x = 3a - 4$
系数化为1得：$x = 4 - 3a$
根据题意，方程的解为非负数，因此：
$x≥0$，即$4 - 3a≥0$
解不等式得：$a≤\frac{4}{3}$
又因为分式方程分母不能为0，即$x≠2$，因此：
$4 - 3a≠2$
解得：$a≠\frac{2}{3}$
综上，a的取值范围是$a≤\frac{4}{3}$且$a≠\frac{2}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的解法；分式方程的增根；解一元一次不等式
【点评】
本题属于分式方程的常考题型，解题时需注意两个核心限制条件：一是题目给出的解的取值要求，二是分式方程本身隐含的分母不为0的要求，很容易因忽略增根的排除导致错解，做题时要养成检验的习惯。
【难度系数】
0.7
9. 在$△ ABC$和$△ A_1B_1C_1$中，$∠ B=∠ B_1=30°$，$AB=A_1B_1=6$，$AC=A_1C_1=4$。已知$∠ C=n°$，则$∠ C_1$的度数为（
A.$30°$
B.$n°$
C.$n°$或$180° - n°$
D.$n°$或$150° - n°$
C
）A.$30°$
B.$n°$
C.$n°$或$180° - n°$
D.$n°$或$150° - n°$
答案
9. C
解析
【分析】
首先观察题目给出的条件：两个三角形有一组角相等，两组边相等，且相等的角是其中一组相等边的对角，属于SSA的情形，而SSA不能判定两个三角形全等，因此需要分两种情况讨论：第一种是两个三角形全等的情况，此时对应角相等；第二种是两个三角形不全等的情况，结合作图和等腰三角形的性质可推出此时∠C和∠C₁互补，据此即可得出∠C₁的可能度数。
【解析】
已知△ABC和△A₁B₁C₁满足∠B=∠B₁=30°，AB=A₁B₁=6，AC=A₁C₁=4，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA无法判定两个三角形全等，分两种情况讨论：
1. 当△ABC≌△A₁B₁C₁时，根据全等三角形对应角相等，可得∠C₁=∠C=n°；
2. 当两个三角形不全等时，可通过作图分析：作∠B=30°，在∠B的一条边上截取BA=6，以A为圆心、长度4为半径画弧，弧会与∠B的另一条边交于两个不同的点C、C'，此时AC=AC'=4，△ABC和△ABC'满足AB公共、∠B公共、AC=AC'，但二者不全等。在△ACC'中，AC=AC'，所以∠ACC'=∠AC'C，又因为∠ACB + ∠ACC'=180°，因此∠ACB + ∠AC'B=180°，即此时如果∠C=n°，那么对应的∠C₁=180°-n°。
综上，∠C₁的度数为n°或180°-n°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题重点考查SSA不能判定三角形全等的知识点，解题时要注意分类讨论，避免只考虑全等的单一情况而漏解，通过作图辅助分析可以更直观地发现两种三角形的存在形态，帮助理清角的数量关系。
【难度系数】
0.7
首先观察题目给出的条件：两个三角形有一组角相等，两组边相等，且相等的角是其中一组相等边的对角，属于SSA的情形，而SSA不能判定两个三角形全等，因此需要分两种情况讨论：第一种是两个三角形全等的情况，此时对应角相等；第二种是两个三角形不全等的情况，结合作图和等腰三角形的性质可推出此时∠C和∠C₁互补，据此即可得出∠C₁的可能度数。
【解析】
已知△ABC和△A₁B₁C₁满足∠B=∠B₁=30°，AB=A₁B₁=6，AC=A₁C₁=4，属于两边及其中一边的对角对应相等（SSA），SSA无法判定两个三角形全等，分两种情况讨论：
1. 当△ABC≌△A₁B₁C₁时，根据全等三角形对应角相等，可得∠C₁=∠C=n°；
2. 当两个三角形不全等时，可通过作图分析：作∠B=30°，在∠B的一条边上截取BA=6，以A为圆心、长度4为半径画弧，弧会与∠B的另一条边交于两个不同的点C、C'，此时AC=AC'=4，△ABC和△ABC'满足AB公共、∠B公共、AC=AC'，但二者不全等。在△ACC'中，AC=AC'，所以∠ACC'=∠AC'C，又因为∠ACB + ∠ACC'=180°，因此∠ACB + ∠AC'B=180°，即此时如果∠C=n°，那么对应的∠C₁=180°-n°。
综上，∠C₁的度数为n°或180°-n°，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 补角的性质
【点评】
本题重点考查SSA不能判定三角形全等的知识点，解题时要注意分类讨论，避免只考虑全等的单一情况而漏解，通过作图辅助分析可以更直观地发现两种三角形的存在形态，帮助理清角的数量关系。
【难度系数】
0.7
10. 如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE=90°，且AC=7 cm，CE=8 cm，点P从点A开始以2 cm/s的速度沿AC向终点C运动，同时，点Q从点E开始以3 cm/s的速度在线段EC上做往返运动(即沿E→C→E运动)，当点P到达终点时，点P，Q同时停止运动。过点P，Q作BD的垂线，垂足分别为M，N。设运动的时间为t s，当以P，C，M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为 (
A.1
B.1或3
C.2或4
D.1或4
B
)A.1
B.1或3
C.2或4
D.1或4
答案
10. B
解析
【分析】
首先根据垂直关系推导角的互余关系，可得△PCM和△QCN的两组对应角相等，因此两三角形全等只需满足斜边PC=CQ即可。再分析两个动点的运动阶段：点P从A向C运动，速度固定；点Q先从E向C运动，到达C后返回E，因此需要分Q往返的两个阶段分别列CQ的表达式，结合PC的表达式列方程求解，最后验证解是否在对应运动时间范围内即可。
【解析】
∵PM⊥BD，QN⊥BD，
∴∠PMC=∠CNQ=90°
∵∠ACE=90°，
∴∠PCM+∠QCN=90°
又
∵∠CQN+∠QCN=90°，
∴∠PCM=∠CQN
根据AAS全等判定，要使△PCM≌△CQN，只需PC=CQ。
点P运动总时长为$7÷2=3.5\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤3.5$；
点Q从E到C的时长为$8÷3=\frac{8}{3}\ \mathrm{s}$，分两种情况讨论：
1. 当$0≤ t≤\frac{8}{3}$时，Q沿$E\to C$运动：
$PC=7-2t$，$CQ=8-3t$
令$7-2t=8-3t$，解得$t=1$，符合该阶段时间范围。
2. 当$\frac{8}{3}＜t≤3.5$时，Q沿$C\to E$运动：
$PC=7-2t$，$CQ=3t-8$
令$7-2t=3t-8$，解得$t=3$，符合该阶段时间范围。
综上，$t$的值为1或3。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的常考题型，解题的核心是找准动点运动的不同阶段，根据全等条件建立等量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据垂直关系推导角的互余关系，可得△PCM和△QCN的两组对应角相等，因此两三角形全等只需满足斜边PC=CQ即可。再分析两个动点的运动阶段：点P从A向C运动，速度固定；点Q先从E向C运动，到达C后返回E，因此需要分Q往返的两个阶段分别列CQ的表达式，结合PC的表达式列方程求解，最后验证解是否在对应运动时间范围内即可。
【解析】
∵PM⊥BD，QN⊥BD，
∴∠PMC=∠CNQ=90°
∵∠ACE=90°，
∴∠PCM+∠QCN=90°
又
∵∠CQN+∠QCN=90°，
∴∠PCM=∠CQN
根据AAS全等判定，要使△PCM≌△CQN，只需PC=CQ。
点P运动总时长为$7÷2=3.5\ \mathrm{s}$，即$0≤ t≤3.5$；
点Q从E到C的时长为$8÷3=\frac{8}{3}\ \mathrm{s}$，分两种情况讨论：
1. 当$0≤ t≤\frac{8}{3}$时，Q沿$E\to C$运动：
$PC=7-2t$，$CQ=8-3t$
令$7-2t=8-3t$，解得$t=1$，符合该阶段时间范围。
2. 当$\frac{8}{3}＜t≤3.5$时，Q沿$C\to E$运动：
$PC=7-2t$，$CQ=3t-8$
令$7-2t=3t-8$，解得$t=3$，符合该阶段时间范围。
综上，$t$的值为1或3。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，动点问题，一元一次方程的应用
【点评】
本题是全等三角形与动点结合的常考题型，解题的核心是找准动点运动的不同阶段，根据全等条件建立等量关系，避免漏解。
【难度系数】
0.6
11. 已知x没有平方根，且|x|=64，则x的立方根是
-4
。答案
11. -4
解析
【分析】
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，题目明确x没有平方根，可先判断出x是负数；再结合绝对值的定义，绝对值为64的数有64和-64，结合x为负数的结论就能确定x的具体值；最后根据立方根的定义计算x的立方根即可。
【解析】
1. 根据平方根的性质：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。已知x没有平方根，可得$x ＜ 0$；
2. 由$\vert x\vert=64$可知，$x=64$或$x=-64$，结合$x＜0$的结论，可确定$x=-64$；
3. 计算x的立方根：因为$(-4)^3=-64$，所以-64的立方根是-4，即x的立方根为-4。
【答案】
-4
【知识点】
平方根的性质，绝对值的性质，立方根的计算
【点评】
本题易错点是忽略“x没有平方根”的限制条件，误将x取为64导致结果错误，解题时要注意区分平方根和立方根的性质，负数没有平方根但存在立方根。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平方根的性质：只有非负数才有平方根，题目明确x没有平方根，可先判断出x是负数；再结合绝对值的定义，绝对值为64的数有64和-64，结合x为负数的结论就能确定x的具体值；最后根据立方根的定义计算x的立方根即可。
【解析】
1. 根据平方根的性质：正数有2个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根。已知x没有平方根，可得$x ＜ 0$；
2. 由$\vert x\vert=64$可知，$x=64$或$x=-64$，结合$x＜0$的结论，可确定$x=-64$；
3. 计算x的立方根：因为$(-4)^3=-64$，所以-64的立方根是-4，即x的立方根为-4。
【答案】
-4
【知识点】
平方根的性质，绝对值的性质，立方根的计算
【点评】
本题易错点是忽略“x没有平方根”的限制条件，误将x取为64导致结果错误，解题时要注意区分平方根和立方根的性质，负数没有平方根但存在立方根。
【难度系数】
0.8
