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12. 若$\sqrt{7}$的整数部分是$a$，小数部分为$b$，则$a-b$的值为
$4-\sqrt{7}$
。答案
12. $4-\sqrt{7}$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt{7}$的取值范围，进而确定它的整数部分$a$和小数部分$b$，最后代入代数式$a-b$计算即可。第一步先找和7相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{7}$在哪两个相邻整数之间；第二步根据整数部分、小数部分的定义求出$a$和$b$；第三步代入式子计算结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
2. 确定$a$和$b$的值：
由$2＜\sqrt{7}＜3$可知，$\sqrt{7}$的整数部分$a=2$；
小数部分是原数减去整数部分，因此$b=\sqrt{7}-a=\sqrt{7}-2$。
3. 计算$a-b$：
将$a=2$，$b=\sqrt{7}-2$代入得：
$a-b=2-(\sqrt{7}-2)=2-\sqrt{7}+2=4-\sqrt{7}$。
【答案】
$4-\sqrt{7}$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的基础题型，解题关键是掌握无理数的估算方法，正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要估算出$\sqrt{7}$的取值范围，进而确定它的整数部分$a$和小数部分$b$，最后代入代数式$a-b$计算即可。第一步先找和7相邻的两个完全平方数，确定$\sqrt{7}$在哪两个相邻整数之间；第二步根据整数部分、小数部分的定义求出$a$和$b$；第三步代入式子计算结果。
【解析】
1. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$4＜7＜9$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{7}＜3$。
2. 确定$a$和$b$的值：
由$2＜\sqrt{7}＜3$可知，$\sqrt{7}$的整数部分$a=2$；
小数部分是原数减去整数部分，因此$b=\sqrt{7}-a=\sqrt{7}-2$。
3. 计算$a-b$：
将$a=2$，$b=\sqrt{7}-2$代入得：
$a-b=2-(\sqrt{7}-2)=2-\sqrt{7}+2=4-\sqrt{7}$。
【答案】
$4-\sqrt{7}$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题是无理数相关的基础题型，解题关键是掌握无理数的估算方法，正确区分无理数的整数部分和小数部分，计算时注意去括号的符号规则即可。
【难度系数】
0.8
13. 已知分式$\frac{5x-2}{x+m}$(其中，m为常数)满足下表中的信息，则m的值为
2
，q的值为4
，答案
13. 2，4
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步，根据分式无意义时分母为0的性质，利用x=-2时分式无意义的条件，先求出常数m的值；第二步，将求得的m代入原分式，再根据x=q时分式的值为3，列出关于q的分式方程，求解并检验即可得到q的值。
【解析】
1. 求m的值：
分式无意义的条件是分母等于0，当x=-2时分式$\frac{5x-2}{x+m}$无意义，因此此时分母$x+m=0$，代入x=-2得：
$-2 + m = 0$
解得$m=2$。
2. 求q的值：
将$m=2$代入原分式，得分式为$\frac{5x-2}{x+2}$。
当x=q时分式的值为3，此时分母$q+2≠0$，可列方程：
$\frac{5q - 2}{q + 2}=3$
方程两边同乘$(q+2)$去分母得：
$5q - 2 = 3(q + 2)$
展开并整理：
$5q - 2 = 3q + 6$
$5q - 3q = 6 + 2$
$2q = 8$
解得$q=4$。
检验：当$q=4$时，分母$4+2=6≠0$，符合分式有意义的条件，因此$q=4$是方程的解。
【答案】
2，4
【知识点】
分式有意义的条件，解分式方程
【点评】
本题是分式基础性质的典型应用题，解题的核心是牢记分式有无意义的判断规则，解分式方程后要注意检验分母是否不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：第一步，根据分式无意义时分母为0的性质，利用x=-2时分式无意义的条件，先求出常数m的值；第二步，将求得的m代入原分式，再根据x=q时分式的值为3，列出关于q的分式方程，求解并检验即可得到q的值。
【解析】
1. 求m的值：
分式无意义的条件是分母等于0，当x=-2时分式$\frac{5x-2}{x+m}$无意义，因此此时分母$x+m=0$，代入x=-2得：
$-2 + m = 0$
解得$m=2$。
2. 求q的值：
将$m=2$代入原分式，得分式为$\frac{5x-2}{x+2}$。
当x=q时分式的值为3，此时分母$q+2≠0$，可列方程：
$\frac{5q - 2}{q + 2}=3$
方程两边同乘$(q+2)$去分母得：
$5q - 2 = 3(q + 2)$
展开并整理：
$5q - 2 = 3q + 6$
$5q - 3q = 6 + 2$
$2q = 8$
解得$q=4$。
检验：当$q=4$时，分母$4+2=6≠0$，符合分式有意义的条件，因此$q=4$是方程的解。
【答案】
2，4
【知识点】
分式有意义的条件，解分式方程
【点评】
本题是分式基础性质的典型应用题，解题的核心是牢记分式有无意义的判断规则，解分式方程后要注意检验分母是否不为0，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
14. 如图，已知$AB=AD$，$CB=CD$，$∠ B=35°$，$∠ BAD=46°$，则$∠ ACD$的度数为
$122°$
。答案
14. $122°$
解析
【分析】
解题时先观察已知边的关系，发现有两组边对应相等，且两个三角形共享公共边AC，因此可先通过SSS判定定理证明△ABC和△ADC全等，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠D和∠DAC的度数，最后结合三角形内角和定理计算∠ACD的度数即可。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已知})\\ CB=CD(\mathrm{已知})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore∠ B=∠ D=35°$，$∠ BAC=∠ DAC$
$\because∠ BAD=46°$，$\therefore∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×46°=23°$
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACD=180°-∠ D-∠ DAC=180°-35°-23°=122°$
【答案】
$122°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（SSS）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，核心是通过公共边构造全等三角形，将已知角的条件转化到目标三角形中，再结合内角和定理求解，解题思路直观，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知边的关系，发现有两组边对应相等，且两个三角形共享公共边AC，因此可先通过SSS判定定理证明△ABC和△ADC全等，利用全等三角形对应角相等的性质，得到∠D和∠DAC的度数，最后结合三角形内角和定理计算∠ACD的度数即可。
【解析】
在$△ ABC$和$△ ADC$中：
$\{\begin{array}{l}AB=AD(\mathrm{已知})\\ CB=CD(\mathrm{已知})\\ AC=AC(\mathrm{公共边})\end{array} $
$\therefore△ ABC≌△ ADC(\mathrm{SSS})$
$\therefore∠ B=∠ D=35°$，$∠ BAC=∠ DAC$
$\because∠ BAD=46°$，$\therefore∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=\frac{1}{2}×46°=23°$
在$△ ADC$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ ACD=180°-∠ D-∠ DAC=180°-35°-23°=122°$
【答案】
$122°$
【知识点】
1. 全等三角形的判定（SSS）
2. 全等三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是几何基础题，核心是通过公共边构造全等三角形，将已知角的条件转化到目标三角形中，再结合内角和定理求解，解题思路直观，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
15. 对于任意实数$a$，用$[a]$表示不超过$a$的最大整数，如$[4]=4$，$[\sqrt{5}]=2$.
(1)$[\sqrt{3}]=$
(2)现对44进行如下操作：
这样对44进行3次操作后变为1.
①对10进行
②若对正整数$m$进行3次操作后的结果是1，则$m$的最大值是
(1)$[\sqrt{3}]=$
1
.(2)现对44进行如下操作：
这样对44进行3次操作后变为1.
①对10进行
2
次操作后变为1.②若对正整数$m$进行3次操作后的结果是1，则$m$的最大值是
255
.答案
15. (1) 1 (2)① 2 ② 255
解析
【分析】
首先明确符号$[a]$的含义：$[a]$表示不超过$a$的最大整数，即向下取整。解题时先掌握无理数估算的方法，判断算术平方根介于哪两个相邻整数之间，再根据取整规则计算。
(1) 估算$\sqrt{3}$的大小，直接按定义取整即可；
(2) ①按照示例的操作规则，逐步对10进行取整操作，数出到结果为1的操作次数；
②求$m$的最大值采用倒推法：先确定第三次操作前的数的取值范围，再依次倒推第二次、第一次操作前的数的取值范围，最终得到$m$的最大值。
【解析】
(1) 因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以不超过$\sqrt{3}$的最大整数是1，即$[\sqrt{3}]=1$。
(2) ① 对10进行操作：
第一次：$3＜\sqrt{10}＜4$，故$[\sqrt{10}]=3$；
第二次：$1＜\sqrt{3}＜2$，故$[\sqrt{3}]=1$，所以共需要2次操作后变为1。
② 采用倒推法计算：
第三次操作后结果为1，设第三次操作前的数为$x$，则$[\sqrt{x}]=1$，可得$1≤\sqrt{x}＜2$，两边平方得$1≤ x＜4$，即第二次操作的结果最大为3；
设第二次操作前的数为$y$，则$[\sqrt{y}]=3$，可得$3≤\sqrt{y}＜4$，两边平方得$9≤ y＜16$，即第一次操作的结果最大为15；
设正整数$m$是第一次操作前的数，则$[\sqrt{m}]=15$，可得$15≤\sqrt{m}＜16$，两边平方得$225≤ m＜256$，所以正整数$m$的最大值是255。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) ① $\boxed{2}$；② $\boxed{255}$
【知识点】
新定义运算，无理数大小估算，不等式应用
【点评】
本题结合新定义考查无理数的估算，正向计算操作次数难度较低，求解最大值时使用倒推法，需要准确把握取整规则对应的不等关系，逻辑清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
首先明确符号$[a]$的含义：$[a]$表示不超过$a$的最大整数，即向下取整。解题时先掌握无理数估算的方法，判断算术平方根介于哪两个相邻整数之间，再根据取整规则计算。
(1) 估算$\sqrt{3}$的大小，直接按定义取整即可；
(2) ①按照示例的操作规则，逐步对10进行取整操作，数出到结果为1的操作次数；
②求$m$的最大值采用倒推法：先确定第三次操作前的数的取值范围，再依次倒推第二次、第一次操作前的数的取值范围，最终得到$m$的最大值。
【解析】
(1) 因为$1＜\sqrt{3}＜2$，所以不超过$\sqrt{3}$的最大整数是1，即$[\sqrt{3}]=1$。
(2) ① 对10进行操作：
第一次：$3＜\sqrt{10}＜4$，故$[\sqrt{10}]=3$；
第二次：$1＜\sqrt{3}＜2$，故$[\sqrt{3}]=1$，所以共需要2次操作后变为1。
② 采用倒推法计算：
第三次操作后结果为1，设第三次操作前的数为$x$，则$[\sqrt{x}]=1$，可得$1≤\sqrt{x}＜2$，两边平方得$1≤ x＜4$，即第二次操作的结果最大为3；
设第二次操作前的数为$y$，则$[\sqrt{y}]=3$，可得$3≤\sqrt{y}＜4$，两边平方得$9≤ y＜16$，即第一次操作的结果最大为15；
设正整数$m$是第一次操作前的数，则$[\sqrt{m}]=15$，可得$15≤\sqrt{m}＜16$，两边平方得$225≤ m＜256$，所以正整数$m$的最大值是255。
【答案】
(1) $\boxed{1}$；(2) ① $\boxed{2}$；② $\boxed{255}$
【知识点】
新定义运算，无理数大小估算，不等式应用
【点评】
本题结合新定义考查无理数的估算，正向计算操作次数难度较低，求解最大值时使用倒推法，需要准确把握取整规则对应的不等关系，逻辑清晰即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
三、解答题(本大题共6个小题，共60分)
16. (本小题满分8分)
先化简，再求值：$\frac{a}{a^2 + 2a + 1} ÷ (1 - \frac{1}{a + 1})$。其中，$a=-2$。
16. (本小题满分8分)
先化简，再求值：$\frac{a}{a^2 + 2a + 1} ÷ (1 - \frac{1}{a + 1})$。其中，$a=-2$。
答案
16. 原式$=\frac{a}{(a+1)^2} ÷ \frac{a}{a+1}$
$=\frac{a}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a}$
$=\frac{1}{a+1}.$
当$a=-2$时，原式$=\frac{1}{-2+1}=-1.$
$=\frac{a}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a}$
$=\frac{1}{a+1}.$
当$a=-2$时，原式$=\frac{1}{-2+1}=-1.$
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：首先化简分式，再代入已知数值计算结果。化简时，第一步先对第一个分式的分母用完全平方公式因式分解，再计算括号内的分式减法，将1通分为分母是a+1的分式，和$\frac{1}{a+1}$相减得到差；第二步将分式除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，再约去分子分母的公因式，得到最简分式，最后确认a=-2能使原分式所有分母不为0后，代入最简分式计算即可。
【解析】
先对原式化简：
第一步，因式分解并计算括号内的运算：
原式$=\frac{a}{(a+1)^2} ÷ (\frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1})$
$=\frac{a}{(a+1)^2} ÷ \frac{a}{a+1}$
第二步，将除法转化为乘法，约分：
$=\frac{a}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a}$
$=\frac{1}{a+1}$
第三步，代入$a=-2$计算：
当$a=-2$时，原式$=\frac{1}{-2+1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、分式四则运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式通分、约分、除法转乘法的运算规则，解题时遵循“先化简，再求值”的原则能大幅降低计算出错概率，同时要注意代入的数值必须保证原式中所有分母均不为0。
【难度系数】
0.8
这是一道分式化简求值题，解题思路分为两步：首先化简分式，再代入已知数值计算结果。化简时，第一步先对第一个分式的分母用完全平方公式因式分解，再计算括号内的分式减法，将1通分为分母是a+1的分式，和$\frac{1}{a+1}$相减得到差；第二步将分式除法转化为乘法，即乘以除数的倒数，再约去分子分母的公因式，得到最简分式，最后确认a=-2能使原分式所有分母不为0后，代入最简分式计算即可。
【解析】
先对原式化简：
第一步，因式分解并计算括号内的运算：
原式$=\frac{a}{(a+1)^2} ÷ (\frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1})$
$=\frac{a}{(a+1)^2} ÷ \frac{a}{a+1}$
第二步，将除法转化为乘法，约分：
$=\frac{a}{(a+1)^2} · \frac{a+1}{a}$
$=\frac{1}{a+1}$
第三步，代入$a=-2$计算：
当$a=-2$时，原式$=\frac{1}{-2+1}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式化简求值、完全平方公式、分式四则运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，重点考查分式通分、约分、除法转乘法的运算规则，解题时遵循“先化简，再求值”的原则能大幅降低计算出错概率，同时要注意代入的数值必须保证原式中所有分母均不为0。
【难度系数】
0.8
