(1)如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ B=50°$，则$∠ C$的度数为 ()


A.$80°$
B.$60°$
C.$50°$
D.$40°$

1(1). C

【分析】
首先从题目条件入手，已知△ABC中AB=AC，可判定该三角形是等腰三角形，回忆等腰三角形的核心性质：等边对等角，即两条相等的边对应的内角相等。其中AB边对应∠C，AC边对应∠B，因此∠C与∠B度数相等，结合已知∠B=50°，就能直接得出∠C的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得：∠C=∠B，
又
∵∠B=50°，
∴∠C=50°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形性质、等边对等角
【点评】
本题是基础类题型，直接考查等腰三角形基础性质的应用，无复杂推导，掌握对应性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

(2)如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，D是BC的中点，$∠ B=36°$，则$∠ BAD$的度数为 ()


A.$108°$
B.$72°$
C.$54°$
D.$36°$

1(2). C

【分析】
首先由AB=AC可判定△ABC是等腰三角形，已知D是BC中点，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可推出AD是BC边上的高，即∠ADB=90°；接下来在△ABD中，已知两个角的度数，利用三角形内角和为180°，即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵D是BC的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AD⊥BC，即∠ADB=90°，
在△ABD中，根据三角形内角和定理：
∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-90°-36°=54°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础题型，核心考查等腰三角形三线合一性质的应用，只要熟练掌握等腰三角形的相关性质，结合三角形内角和定理就能快速得出结果，是等腰三角形章节的常见考题。
【难度系数】
0.8

(3)如图，$△ ABC$是等边三角形，$AD ⊥ BC$于点D，点E在AC上，且$AE=AD$，则$∠ DEC$的度数为（）

第1(3)题

A.$105°$
B.$95°$
C.$85°$
D.$75°$

1(3). A

【分析】
解题时先从已知的等边三角形和AD⊥BC的条件入手，首先利用等边三角形三线合一的性质求出∠DAC的度数；再根据AD=AE得出△ADE是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出∠AED的度数；最后根据∠AED和∠DEC互为邻补角、和为180°，即可求出∠DEC的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵AD⊥BC，根据等边三角形三线合一的性质，AD平分∠BAC，
∴$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$，
又
∵AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形，
∴$∠ AED=∠ ADE=\frac{180°-∠ DAC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
∵∠AED和∠DEC互为邻补角，和为180°，
∴$∠ DEC=180°-75°=105°$。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的基础综合题，解题的关键是熟练运用等边三角形三线合一、等腰三角形两底角相等的性质逐步推导角度，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

(4)在$△ ABC$中，$AB=AC$，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为$40°$，则底角$∠ B$的度数为（）

A.$20°$
B.$60°$或$20°$
C.$65°$或$25°$
D.$60°$

1(4). C

【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，底角∠B=∠C。解题关键是注意题干中“AB的垂直平分线与AC所在直线相交”的“所在直线”表述，需分两种情况讨论：①交点在线段AC上（此时△ABC为锐角三角形）；②交点在CA的延长线上（此时△ABC为钝角三角形）。先结合垂直平分线的直角特征求出顶角∠BAC的度数，再利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和180°计算底角∠B的度数即可。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当AB的垂直平分线与线段AC相交时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，由题意得∠ADE=40°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠AED=90°。
在Rt△ADE中，∠A=90°-∠ADE=90°-40°=50°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°。
2. 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时：
设AB的垂直平分线交AB于点E，交CA的延长线于点D，由题意得∠ADE=40°。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠AED=90°。
在Rt△ADE中，∠DAB=90°-∠ADE=90°-40°=50°，
∴顶角∠BAC=180°-∠DAB=180°-50°=130°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠B=(180°-∠BAC)÷2=(180°-130°)÷2=25°。
综上，底角∠B的度数为65°或25°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题易因忽略“AC所在直线”的表述，遗漏交点在CA延长线上的情况导致漏解，解题时遇到“所在直线”类表述要注意分类讨论，全面考虑所有可能的相交情况。
【难度系数】
0.6

(1)如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是$BC$上一点.

①$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ B=$.
②若$AD$平分$∠ BAC$，
则$BD=$，$AD⊥$.
③若$BD=CD$，
则$AD$平分，$⊥ BC$.
④若$AD⊥ BC$，
则平分$∠ BAC$，$=CD$.
(2)已知等腰三角形一边的长为4 cm，
另一边的长为7 cm，则这个等腰三角形的
周长为 cm.

2(1) ①$∠ C$ ②$CD$，$BC$ ③$∠ BAC$，$AD$ ④$AD$，$BD$
2(2). 15或18

【分析】
本题分为两小问，第(1)问围绕等腰三角形的核心性质设计，解题时要回忆等腰三角形“等边对等角”以及“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，对应不同的已知条件填写对应结论即可；第(2)问是等腰三角形周长计算，需要先分类讨论哪条边是腰、哪条边是底，再用三角形三边关系验证能否构成三角形，最后计算周长。
【解析】
(1)①根据等腰三角形“等边对等角”的性质，已知$AB=AC$，即$△ ABC$是等腰三角形，两个底角相等，因此$∠ B=∠ C$；
②已知$AD$平分$∠ BAC$，即$AD$是等腰$△ ABC$顶角的平分线，根据“三线合一”，$AD$同时是底边上的中线和底边上的高，因此$BD=CD$，$AD⊥ BC$；
③已知$BD=CD$，即$AD$是等腰$△ ABC$底边上的中线，根据“三线合一”，$AD$同时是顶角的平分线和底边上的高，因此$AD$平分$∠ BAC$，$AD⊥ BC$；
④已知$AD⊥ BC$，即$AD$是等腰$△ ABC$底边上的高，根据“三线合一”，$AD$同时是顶角的平分线和底边上的中线，因此$AD$平分$∠ BAC$，$BD=CD$。
(2)分两种情况讨论：
情况1：若等腰三角形的腰长为4 cm，底边长为7 cm，此时三边长为4 cm、4 cm、7 cm，满足$4+4＞7$，符合三角形三边关系，周长$=4+4+7=15\ \mathrm{cm}$；
情况2：若等腰三角形的腰长为7 cm，底边长为4 cm，此时三边长为7 cm、7 cm、4 cm，满足$7+4＞7$，符合三角形三边关系，周长$=7+7+4=18\ \mathrm{cm}$。
综上，这个等腰三角形的周长为15或18 cm。
【答案】
(1)①$∠ C$；②$CD$，$BC$；③$∠ BAC$，$AD$；④$AD$，$BD$
(2)$15$或$18$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的基础考察题，重点要求熟练掌握等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”的性质，在解决边长未明确腰和底的等腰三角形周长问题时，要养成分类讨论的习惯，同时注意用三边关系验证是否能构成三角形，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.85