(3)一个等腰三角形一腰上的中线所在的直线把这个等腰三角形的周长分成21 cm和12 cm两部分，则该等腰三角形的腰长为 cm.

2(3). 14

【分析】
遇到等腰三角形腰上中线分周长的问题，我们可以通过设未知数简化计算：因为中线将腰分成相等的两段，所以设腰长为2x cm，底边长为y cm，中线分腰得到的两段均为x cm。由于题目未说明哪部分周长是21cm、哪部分是12cm，因此需要分两种情况讨论：①腰长加半腰长等于21cm；②腰长加半腰长等于12cm。两种情况求出边长后，必须用三角形三边关系验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的情况即可得到腰长。
【解析】
解：设等腰三角形的腰长为$2x$ cm，底边长为$y$ cm，腰上的中线将腰分为长度均为$x$ cm的两段，分两种情况讨论：
情况一：当腰长与半腰长的和为21 cm时，可列方程组：
$\begin{cases}2x + x = 21 \\ x + y = 12 \end{cases}$
解第一个方程得：$3x=21$，$x=7$
将$x=7$代入第二个方程得：$y=12-7=5$
此时腰长为$2x=2×7=14$ cm，三角形三边长为14 cm、14 cm、5 cm，满足$14+5＞14$，符合三角形三边关系，成立。
情况二：当腰长与半腰长的和为12 cm时，可列方程组：
$\begin{cases}2x + x = 12 \\ x + y = 21 \end{cases}$
解第一个方程得：$3x=12$，$x=4$
将$x=4$代入第二个方程得：$y=21-4=17$
此时腰长为$2x=2×4=8$ cm，三角形三边长为8 cm、8 cm、17 cm，$8+8=16＜17$，不符合三角形三边关系，舍去该情况。
综上，该等腰三角形的腰长为14 cm。
【答案】
14
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的常考题型，解题关键是合理设元、分情况讨论，易错点是忽略用三角形三边关系验证所得边长，导致多解错误。
【难度系数】
0.6

(4)如图，D是AB的中点，将$△ ABC$沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处. 若$∠ B=50°$，则$∠ BDF$的度数为.

2(4). $80°$

【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等，可得AD=DF；再结合D是AB中点的条件，可推出BD=DF，由此判定△BDF为等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等得到∠BFD的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠BDF的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可知，折叠前后对应边相等，因此$AD=DF$。
∵ D是AB的中点，
∴ $AD=BD$，
∴ $BD=DF$，即$△ BDF$是等腰三角形，
∴ $∠BFD=∠B=50°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠BDF=180°-∠B-∠BFD=180°-50°-50°=80°$。
【答案】
$80°$
【知识点】
折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，结合折叠变换和等腰三角形的相关性质求解角度，解题的关键是通过折叠和中点的条件推导出边相等，进而得到等腰三角形，再结合内角和计算角度，是几何中角度计算类的常见题型。
【难度系数】
0.7

(5)如图，在$△ ABC$中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，连接BD，DE。若$∠ A＝30°$，$AB＝AC$，则$∠ BDE$的度数为。

第2(5)题

2(5). $67.5°$

【分析】
首先由已知AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，结合∠A的度数可先求出△ABC的两个底角度数；再根据作图规则“以B为圆心、BC长为半径画弧”可得BC=BD=BE，即△BCD、△BDE均为等腰三角形，先通过△BCD的等腰性质求出∠CBD的度数，进而得到△BDE的顶角∠EBD的度数，最后结合三角形内角和定理与等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠BDE的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠A=30°$
∴$∠ABC=∠ACB=\frac{180°-∠A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
由作图可知，同圆半径相等，即$BC=BD=BE$
在$△ BCD$中，$BC=BD$，则$∠BDC=∠ACB=75°$
∴$∠CBD=180°-∠BDC-∠ACB=180°-75°-75°=30°$
∴$∠EBD=∠ABC-∠CBD=75°-30°=45°$
在$△ BDE$中，$BD=BE$，$△ BDE$为等腰三角形
∴$∠BDE=∠BED=\frac{180°-∠EBD}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$
【答案】
$67.5°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用类题目，解题的关键是从作图条件中挖掘出相等的线段，得到多个等腰三角形，再逐步推导角度即可，计算时注意角度运算的准确性。
【难度系数】
0.7

3. 已知等腰三角形ABC的腰AB上的高CD与另一腰AC的夹角为$30°$. 求该等腰三角形顶角的度数.

3. 解：当高CD在$△ ABC$的内部时，如图①所示. 此时顶角的度数为$60°$.
当高CD在$△ ABC$的外部时，如图②所示. 此时顶角的度数为$120°$.

【分析】
本题未明确等腰三角形的具体形状，腰AB上的高CD的位置存在两种可能：高在三角形内部（对应锐角等腰三角形）、高在三角形外部（对应钝角等腰三角形），因此需要分类讨论求解。解题时先根据高的定义得到直角，再利用直角三角形两锐角互余的性质计算相关角度，最后结合顶角的位置求出顶角度数。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当高CD在$△ ABC$的内部时，如图①所示：
∵CD是AB边上的高，
∴$∠ ADC=90°$，
已知$∠ ACD=30°$，在$Rt△ ACD$中，两锐角互余，
∴顶角$∠ A=90°-∠ ACD=90°-30°=60°$。
2. 当高CD在$△ ABC$的外部时，如图②所示：
∵CD是AB边上的高，
∴$∠ CDA=90°$，
已知$∠ ACD=30°$，在$Rt△ ACD$中，$∠ CAD=90°-∠ ACD=90°-30°=60°$，
此时顶角$∠ BAC$是$∠ CAD$的邻补角，
∴$∠ BAC=180°-∠ CAD=180°-60°=120°$。
综上，该等腰三角形顶角的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
当高CD在$△ ABC$的内部时，如图①所示. 此时顶角的度数为$60°$.
当高CD在$△ ABC$的外部时，如图②所示. 此时顶角的度数为$120°$.

【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余、分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的典型应用题型，解题的关键是明确等腰三角形腰上的高可能在三角形内部也可能在外部，易错点是忽略钝角三角形的高在外部的情况，导致漏解。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$△ ABC$ 是等边三角形，D是AC的中点，延长BC到点E，使 $CE=CD$. 求 $∠ BDE$ 的度数.

4. 解：$\because △ ABC$ 是等边三角形，D为AC的中点，
$\therefore ∠ ACB=60°$，$BD⊥ AC$.
$\therefore ∠ BDC=90°$.
$\because CE=CD$,
$\therefore ∠ E=∠ CDE$.
$\because ∠ ACB=∠ E+∠ CDE$,
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°$.
$\therefore ∠ BDE = ∠ BDC + ∠ CDE = 90°+30°=120°$.

【分析】
要计算∠BDE的度数，我们可以按照以下思路逐步推导：①首先利用等边三角形的性质，结合D是AC中点的条件，根据等边三角形“三线合一”的性质，可得BD垂直于AC，先求出∠BDC的度数；②再由CE=CD可知△CDE是等腰三角形，根据“等腰三角形两底角相等”的性质，结合三角形外角等于不相邻两个内角和的规律，可求出∠CDE的度数；③最后观察图形可知∠BDE是∠BDC与∠CDE的和，将两个角度相加就能得到最终结果。
【解析】
解：$\because △ ABC$ 是等边三角形，D为AC的中点，
$\therefore ∠ ACB=60°$，$BD⊥ AC$.
$\therefore ∠ BDC=90°$.
$\because CE=CD$,
$\therefore ∠ E=∠ CDE$.
$\because ∠ ACB=∠ E+∠ CDE$,
$\therefore ∠ CDE=∠ E=30°$.
$\therefore ∠ BDE = ∠ BDC + ∠ CDE = 90°+30°=120°$.
【答案】
$120°$
【知识点】
等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握特殊三角形的相关性质，结合图形理清所求角和已知角之间的和差关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.7