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4. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=BC$，$BE ⊥ CE$于点$E$，$AD ⊥ CE$于点$D$。
(1)求证：$△ BEC ≌ △ CDA$。
(2)若$BE=2$，$CE=5$，求$DE$的长。
(1)求证：$△ BEC ≌ △ CDA$。
(2)若$BE=2$，$CE=5$，求$DE$的长。
答案
4. (1)证明：
∵∠BCE+∠DCA=90°，
∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC 和△CDA 中，
∵$\begin{cases} ∠BEC=∠CDA, \\ ∠BCE=∠CAD, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)
∵△BEC≌△CDA，
∴CD=BE=2.
∴DE=CE-CD=5-2=3.
∵∠BCE+∠DCA=90°，
∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC 和△CDA 中，
∵$\begin{cases} ∠BEC=∠CDA, \\ ∠BCE=∠CAD, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2)
∵△BEC≌△CDA，
∴CD=BE=2.
∴DE=CE-CD=5-2=3.
解析
【分析】
（1）要证明△BEC≌△CDA，首先观察已知条件：BE⊥CE、AD⊥CE，可得两个三角形都有直角，即∠BEC=∠CDA=90°；同时已知BC=AC，只需再找到一组相等的对应角即可判定全等。结合∠ACB=90°，可得∠BCE与∠DCA互余，在Rt△CDA中∠CAD与∠DCA也互余，根据同角的余角相等即可得到∠BCE=∠CAD，满足AAS全等判定的条件。
（2）求DE的长时，可利用全等三角形对应边相等的性质，先得到CD=BE，再根据DE=CE-CD代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BCE+∠DCA=90°，
∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC 和△CDA 中，
$\begin{cases} ∠BEC=∠CDA, \\ ∠BCE=∠CAD, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2) 解：
∵△BEC≌△CDA，
∴CD=BE=2.
∴DE=CE-CD=5-2=3.
【答案】
(1) △BEC ≌ △ CDA得证；
(2) DE的长为3。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 余角的性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的核心是利用“同角的余角相等”找到全等所需的对应等角，逻辑清晰，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△BEC≌△CDA，首先观察已知条件：BE⊥CE、AD⊥CE，可得两个三角形都有直角，即∠BEC=∠CDA=90°；同时已知BC=AC，只需再找到一组相等的对应角即可判定全等。结合∠ACB=90°，可得∠BCE与∠DCA互余，在Rt△CDA中∠CAD与∠DCA也互余，根据同角的余角相等即可得到∠BCE=∠CAD，满足AAS全等判定的条件。
（2）求DE的长时，可利用全等三角形对应边相等的性质，先得到CD=BE，再根据DE=CE-CD代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵∠BCE+∠DCA=90°，
∠DAC+∠DCA=90°，
∴∠BCE=∠CAD.
在△BEC 和△CDA 中，
$\begin{cases} ∠BEC=∠CDA, \\ ∠BCE=∠CAD, \\ BC=CA, \end{cases}$
∴△BEC≌△CDA(AAS).
(2) 解：
∵△BEC≌△CDA，
∴CD=BE=2.
∴DE=CE-CD=5-2=3.
【答案】
(1) △BEC ≌ △ CDA得证；
(2) DE的长为3。
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 余角的性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用题，解题的核心是利用“同角的余角相等”找到全等所需的对应等角，逻辑清晰，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 某中学八年级(1)班的学生到野外开展数学活动，为了测量一池塘附近A，B两点之间的距离，同学们设计了如下两种方案.
方案一：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点C，再连接AC并延长至点D，连接BC并延长至点E，使DC=AC，EC=BC，最后量出DE的长就是A，B之间的距离.
方案二：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取点C，D，使BC=CD，然后过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，最后量出DE的长就是A，B之间的距离.
(1)方案一是否可行？请说明理由.
(2)方案二是否可行？请说明理由.
(3)小明说：“在方案二中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将‘BF⊥AB，DE⊥BF’换成条件‘AB//DE’也可以.”你认为小明的说法正确吗？如果正确，请说明理由.
方案一：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点C，再连接AC并延长至点D，连接BC并延长至点E，使DC=AC，EC=BC，最后量出DE的长就是A，B之间的距离.
方案二：如图②，先过点B作AB的垂线BF，再在BF上取点C，D，使BC=CD，然后过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，最后量出DE的长就是A，B之间的距离.
(1)方案一是否可行？请说明理由.
(2)方案二是否可行？请说明理由.
(3)小明说：“在方案二中，并不一定需要BF⊥AB，DE⊥BF，将‘BF⊥AB，DE⊥BF’换成条件‘AB//DE’也可以.”你认为小明的说法正确吗？如果正确，请说明理由.
答案
5. 解：(1)方案一可行.
理由：在△ABC 和△DEC 中，
∵$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEC(SAS).
∴AB=DE，即量出DE 的长就是A，B之间的距离.
(2)方案二可行.
理由：
∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC 和△EDC 中，
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=DE，即量出DE 的长就是A，B之间的距离.
(3)小明的说法正确.
理由：
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠EDC.
在△ABC 和△EDC 中，
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=DE，即量出DE 的长就是A，B之间的距离.
理由：在△ABC 和△DEC 中，
∵$\begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
∴△ABC≌△DEC(SAS).
∴AB=DE，即量出DE 的长就是A，B之间的距离.
(2)方案二可行.
理由：
∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°.
在△ABC 和△EDC 中，
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=DE，即量出DE 的长就是A，B之间的距离.
(3)小明的说法正确.
理由：
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠EDC.
在△ABC 和△EDC 中，
∵$\begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
∴△ABC≌△EDC(ASA).
∴AB=DE，即量出DE 的长就是A，B之间的距离.
解析
【分析】
本题的核心是通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，将无法直接测量的AB长度转化为可测量的DE长度，因此只需判断各方案给出的条件能否证明△ABC与△DEC全等即可。(1)方案一给出两边相等及一组对顶角相等，可通过SAS判定全等；(2)方案二给出两个直角相等、一组边相等及一组对顶角相等，可通过ASA判定全等；(3)将垂直条件换成AB//DE时，可利用平行线性质得到一组对应角相等，依然满足ASA全等判定条件。
【解析】
(1)方案一可行。
理由：在△ABC 和△DEC 中，
$\because \begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=DE$，即量出DE的长就是A，B之间的距离。
(2)方案二可行。
理由：
$\because BF⊥AB，DE⊥BF$，
$\therefore ∠ABC=∠EDC=90°$。
在△ABC 和△EDC 中，
$\because \begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=DE$，即量出DE的长就是A，B之间的距离。
(3)小明的说法正确。
理由：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ABC=∠EDC$。
在△ABC 和△EDC 中，
$\because \begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=DE$，即量出DE的长就是A，B之间的距离。
【答案】
(1)方案一可行；(2)方案二可行；(3)小明的说法正确，三种方案中DE的长都等于A、B之间的距离。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是结合已知条件构造全等三角形，将不可测线段转化为可测线段，考查了学生对全等三角形判定、性质的掌握程度和运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题的核心是通过构造全等三角形，利用全等三角形对应边相等的性质，将无法直接测量的AB长度转化为可测量的DE长度，因此只需判断各方案给出的条件能否证明△ABC与△DEC全等即可。(1)方案一给出两边相等及一组对顶角相等，可通过SAS判定全等；(2)方案二给出两个直角相等、一组边相等及一组对顶角相等，可通过ASA判定全等；(3)将垂直条件换成AB//DE时，可利用平行线性质得到一组对应角相等，依然满足ASA全等判定条件。
【解析】
(1)方案一可行。
理由：在△ABC 和△DEC 中，
$\because \begin{cases} AC=DC, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEC(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AB=DE$，即量出DE的长就是A，B之间的距离。
(2)方案二可行。
理由：
$\because BF⊥AB，DE⊥BF$，
$\therefore ∠ABC=∠EDC=90°$。
在△ABC 和△EDC 中，
$\because \begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=DE$，即量出DE的长就是A，B之间的距离。
(3)小明的说法正确。
理由：
$\because AB// DE$，
$\therefore ∠ABC=∠EDC$。
在△ABC 和△EDC 中，
$\because \begin{cases} ∠ABC=∠EDC, \\ BC=DC, \\ ∠ACB=∠ECD, \end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ EDC(\mathrm{ASA})$。
$\therefore AB=DE$，即量出DE的长就是A，B之间的距离。
【答案】
(1)方案一可行；(2)方案二可行；(3)小明的说法正确，三种方案中DE的长都等于A、B之间的距离。
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是全等三角形在实际测量中的典型应用，解题的关键是结合已知条件构造全等三角形，将不可测线段转化为可测线段，考查了学生对全等三角形判定、性质的掌握程度和运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
