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15. 把1、-2、3、4、-5、6、7、-8、9填入如图所示的方格内，使得每行、每列、每一条对角线上的三个数都满足：
① 三个数的乘积是负数；
② 三个数的绝对值的和都相等。
① 三个数的乘积是负数；
② 三个数的绝对值的和都相等。
答案
15. 按行填写,空格中依次为: -2, 9, 4; 7, -5, 3; 6, 1, -8
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：1. 先梳理已知数字特征：给出的9个数中有3个负数（-2、-5、-8）、6个正数；根据有理数乘法符号规则，三个数乘积为负说明负因数个数为奇数，结合总共只有3个负数，可推出每行、每列、每条对角线都恰好只含1个负数。2. 计算所有数的绝对值总和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，三行的绝对值和相等，因此每行的绝对值和为45÷3=15，对应三阶幻方的每行和要求。3. 三阶幻方的中心数为5，对应绝对值为5的负数-5，因此中间方格填-5；剩余两个负数放在对角线端点位置，再根据每行绝对值和为15，填入对应的正数即可。
【解析】
步骤1：统计数字特征：负数共3个：-2、-5、-8，正数共6个。根据“几个非零数相乘，负因数个数为奇数时积为负”，结合仅3个负数，可得每行、每列、每条对角线恰好有1个负数。
步骤2：计算所有数的绝对值之和：$|1|+|-2|+|3|+|4|+|-5|+|6|+|7|+|-8|+|9|=45$，因三行绝对值和相等，故每行、每列、对角线的绝对值和为$45÷3=15$。
步骤3：确定中心数：三阶幻方中心位置的数为5，对应绝对值为5的负数-5，因此中间方格填-5。
步骤4：填剩余数字：将剩余两个负数-2、-8放在对角线端点，再根据绝对值和为15填入正数：
第一行：第一个数填-2，剩余两数绝对值和为$15-2=13$，选9和4，即第一行依次为-2、9、4；
第二行：中间为-5，剩余两数绝对值和为$15-5=10$，选7和3，即第二行依次为7、-5、3；
第三行：最后一个数填-8，剩余两数绝对值和为$15-8=7$，选6和1，即第三行依次为6、1、-8。
验证：所有行、列、对角线乘积均为负，绝对值和均为15，符合要求。
【答案】
按行填写，空格中依次为：-2，9，4；7，-5，3；6，1，-8
【知识点】
有理数乘法符号规律，绝对值运算，三阶幻方
【点评】
本题将有理数的相关运算和三阶幻方的特点结合，需要先通过乘积的符号要求确定负数的位置，再结合绝对值和的要求推导其余数字，既考察基础运算能力，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：1. 先梳理已知数字特征：给出的9个数中有3个负数（-2、-5、-8）、6个正数；根据有理数乘法符号规则，三个数乘积为负说明负因数个数为奇数，结合总共只有3个负数，可推出每行、每列、每条对角线都恰好只含1个负数。2. 计算所有数的绝对值总和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，三行的绝对值和相等，因此每行的绝对值和为45÷3=15，对应三阶幻方的每行和要求。3. 三阶幻方的中心数为5，对应绝对值为5的负数-5，因此中间方格填-5；剩余两个负数放在对角线端点位置，再根据每行绝对值和为15，填入对应的正数即可。
【解析】
步骤1：统计数字特征：负数共3个：-2、-5、-8，正数共6个。根据“几个非零数相乘，负因数个数为奇数时积为负”，结合仅3个负数，可得每行、每列、每条对角线恰好有1个负数。
步骤2：计算所有数的绝对值之和：$|1|+|-2|+|3|+|4|+|-5|+|6|+|7|+|-8|+|9|=45$，因三行绝对值和相等，故每行、每列、对角线的绝对值和为$45÷3=15$。
步骤3：确定中心数：三阶幻方中心位置的数为5，对应绝对值为5的负数-5，因此中间方格填-5。
步骤4：填剩余数字：将剩余两个负数-2、-8放在对角线端点，再根据绝对值和为15填入正数：
第一行：第一个数填-2，剩余两数绝对值和为$15-2=13$，选9和4，即第一行依次为-2、9、4；
第二行：中间为-5，剩余两数绝对值和为$15-5=10$，选7和3，即第二行依次为7、-5、3；
第三行：最后一个数填-8，剩余两数绝对值和为$15-8=7$，选6和1，即第三行依次为6、1、-8。
验证：所有行、列、对角线乘积均为负，绝对值和均为15，符合要求。
【答案】
按行填写，空格中依次为：-2，9，4；7，-5，3；6，1，-8
【知识点】
有理数乘法符号规律，绝对值运算，三阶幻方
【点评】
本题将有理数的相关运算和三阶幻方的特点结合，需要先通过乘积的符号要求确定负数的位置，再结合绝对值和的要求推导其余数字，既考察基础运算能力，也锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1.（陕西中考）－3的倒数是 【 】
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.－3
D.3
A.$-\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.－3
D.3
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。求一个数的倒数，就是用1除以这个数。首先判断符号：负数的倒数仍然是负数，因此可以先排除正数选项B、D；再计算1除以-3的结果，就能得到正确答案，注意区分倒数和相反数的概念，避免误选。
【解析】
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数。
设-3的倒数为$x$，则满足：$-3 × x = 1$
根据有理数除法法则，解得：$x = 1 ÷ (-3) = -\frac{1}{3}$
因此-3的倒数是$-\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
倒数的概念；有理数除法运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对倒数定义的理解应用，解题时需注意负数的倒数符号为负，不要将倒数和相反数的概念混淆，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数。求一个数的倒数，就是用1除以这个数。首先判断符号：负数的倒数仍然是负数，因此可以先排除正数选项B、D；再计算1除以-3的结果，就能得到正确答案，注意区分倒数和相反数的概念，避免误选。
【解析】
根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数。
设-3的倒数为$x$，则满足：$-3 × x = 1$
根据有理数除法法则，解得：$x = 1 ÷ (-3) = -\frac{1}{3}$
因此-3的倒数是$-\frac{1}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
倒数的概念；有理数除法运算
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对倒数定义的理解应用，解题时需注意负数的倒数符号为负，不要将倒数和相反数的概念混淆，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
2.（天津中考）计算$(-21)÷(-7)$的结果是 【 】
A.$-3$
B.$3$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$
A.$-3$
B.$3$
C.$-\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
拿到这道有理数除法计算题，我们可以按照“先定符号，再算绝对值”的思路解题：首先回忆有理数除法的符号法则，同号两数相除结果为正，异号两数相除结果为负，本题中被除数和除数都是负数，属于同号相除，因此结果一定是正数，可先排除带负号的A、C选项；接下来计算两个数绝对值的商，21除以7得3，就能得到最终结果。
【解析】
根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
计算过程如下：
$(-21)÷(-7)=+(21÷7)=3$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法法则
【点评】
本题是有理数运算的基础题，重点考查对有理数除法法则的掌握，只要牢记先判断符号、再计算绝对值的运算顺序，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
拿到这道有理数除法计算题，我们可以按照“先定符号，再算绝对值”的思路解题：首先回忆有理数除法的符号法则，同号两数相除结果为正，异号两数相除结果为负，本题中被除数和除数都是负数，属于同号相除，因此结果一定是正数，可先排除带负号的A、C选项；接下来计算两个数绝对值的商，21除以7得3，就能得到最终结果。
【解析】
根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
计算过程如下：
$(-21)÷(-7)=+(21÷7)=3$
因此选B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法法则
【点评】
本题是有理数运算的基础题，重点考查对有理数除法法则的掌握，只要牢记先判断符号、再计算绝对值的运算顺序，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 下列计算中，正确的是 【 】
A.$3÷ \dfrac{1}{3}=1$
B.$(-\dfrac{1}{4})÷ (-\dfrac{1}{4})=1$
C.$0÷ (-\dfrac{3}{5})=-\dfrac{3}{5}$
D.$-2÷ (-8)÷ (-16)=1$
A.$3÷ \dfrac{1}{3}=1$
B.$(-\dfrac{1}{4})÷ (-\dfrac{1}{4})=1$
C.$0÷ (-\dfrac{3}{5})=-\dfrac{3}{5}$
D.$-2÷ (-8)÷ (-16)=1$
答案
B
解析
【分析】
本题考查有理数除法的相关计算，解题思路是先回忆有理数除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；③0除以任何一个不等于0的数，都得0。接下来逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断正误，最终选出正确选项。
【解析】
根据有理数除法法则逐个分析选项：
A选项：$3÷ \dfrac{1}{3}=3× 3=9≠ 1$，故A错误；
B选项：两个负数相除，同号得正，再把绝对值相除，即$(-\dfrac{1}{4})÷ (-\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}÷ \dfrac{1}{4}=1$，故B正确；
C选项：0除以任何非0数结果都为0，即$0÷ (-\dfrac{3}{5})=0≠ -\dfrac{3}{5}$，故C错误；
D选项：三个负数相除，负因数个数为奇数，最终结果为负，计算绝对值：$2÷ 8÷ 16=\dfrac{2}{8× 16}=\dfrac{1}{64}$，所以结果为$-\dfrac{1}{64}≠ 1$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法法则、0的除法运算、有理数乘除混合运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对有理数除法运算规则的掌握，计算时要先判断运算结果的符号，再计算绝对值，尤其要注意0参与除法运算的特殊性，避免因符号判断错误或者记错运算规则失分。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数除法的相关计算，解题思路是先回忆有理数除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；③0除以任何一个不等于0的数，都得0。接下来逐一计算每个选项的结果，和选项给出的结果对比判断正误，最终选出正确选项。
【解析】
根据有理数除法法则逐个分析选项：
A选项：$3÷ \dfrac{1}{3}=3× 3=9≠ 1$，故A错误；
B选项：两个负数相除，同号得正，再把绝对值相除，即$(-\dfrac{1}{4})÷ (-\dfrac{1}{4})=\dfrac{1}{4}÷ \dfrac{1}{4}=1$，故B正确；
C选项：0除以任何非0数结果都为0，即$0÷ (-\dfrac{3}{5})=0≠ -\dfrac{3}{5}$，故C错误；
D选项：三个负数相除，负因数个数为奇数，最终结果为负，计算绝对值：$2÷ 8÷ 16=\dfrac{2}{8× 16}=\dfrac{1}{64}$，所以结果为$-\dfrac{1}{64}≠ 1$，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法法则、0的除法运算、有理数乘除混合运算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对有理数除法运算规则的掌握，计算时要先判断运算结果的符号，再计算绝对值，尤其要注意0参与除法运算的特殊性，避免因符号判断错误或者记错运算规则失分。
【难度系数】
0.8
4. 下列化简中，正确的是 【 】
A.$\dfrac{-12}{-3}=-4$
B.$-\dfrac{10}{5}=-2$
C.$\dfrac{-75}{0}=0$
D.$\dfrac{-18}{12}=\dfrac{3}{2}$
A.$\dfrac{-12}{-3}=-4$
B.$-\dfrac{10}{5}=-2$
C.$\dfrac{-75}{0}=0$
D.$\dfrac{-18}{12}=\dfrac{3}{2}$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查有理数除法的相关知识，解题思路是：先回忆有理数除法的运算规则和0的运算性质，再逐个验证四个选项的计算是否正确，最终选出正确答案。有理数除法核心规则有两点：一是两数相除，同号得正、异号得负，再把绝对值相除；二是0不能作为除数，除数为0时式子无意义，按照这两个规则逐一判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{-12}{-3}$是两个负数相除，同号得正，绝对值相除得$12÷3=4$，所以结果应为$4$，A错误。
B选项：$-\dfrac{10}{5}=-(10÷5)=-2$，计算正确，B符合要求。
C选项：分数的分母为0，0不能作除数，该式无意义，C错误。
D选项：$\dfrac{-18}{12}$是异号两数相除，结果为负，绝对值约分后得$\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$，所以最终结果应为$-\dfrac{3}{2}$，D错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法法则；0不能作除数
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查有理数除法的基本规则，易错点为运算时符号判断错误，或是忽略0不能作除数的性质，熟练掌握基础运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这道题考查有理数除法的相关知识，解题思路是：先回忆有理数除法的运算规则和0的运算性质，再逐个验证四个选项的计算是否正确，最终选出正确答案。有理数除法核心规则有两点：一是两数相除，同号得正、异号得负，再把绝对值相除；二是0不能作为除数，除数为0时式子无意义，按照这两个规则逐一判断选项即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\dfrac{-12}{-3}$是两个负数相除，同号得正，绝对值相除得$12÷3=4$，所以结果应为$4$，A错误。
B选项：$-\dfrac{10}{5}=-(10÷5)=-2$，计算正确，B符合要求。
C选项：分数的分母为0，0不能作除数，该式无意义，C错误。
D选项：$\dfrac{-18}{12}$是异号两数相除，结果为负，绝对值约分后得$\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$，所以最终结果应为$-\dfrac{3}{2}$，D错误。
综上，正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
有理数除法法则；0不能作除数
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查有理数除法的基本规则，易错点为运算时符号判断错误，或是忽略0不能作除数的性质，熟练掌握基础运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
8
5. 如果两个有理数的商是－1，那么下列说法中正确的是 【 】
A.这两个数相等
B.这两个数互为相反数
C.这两个数互为倒数
D.这两个数中一个数是另一个数的相反数的倒数
5. 如果两个有理数的商是－1，那么下列说法中正确的是 【 】
A.这两个数相等
B.这两个数互为相反数
C.这两个数互为倒数
D.这两个数中一个数是另一个数的相反数的倒数
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先根据“两个有理数的商为-1”的条件，设出两个数列出除法关系式，推导两个数的数量关系，再结合相反数、倒数的定义逐一判断每个选项的正误即可，需要注意除数不能为0的隐含限制。
【解析】
设这两个有理数分别为$a$、$b$，其中$b≠0$（除数不能为0）。
根据题意可得：$a÷ b=-1$，变形得$a=-b$。
对各选项逐一分析：
A. 由$a=-b$可知两数符号相反、绝对值相等，并不相等，该选项错误；
B. 只有符号不同的两个数互为相反数，$a=-b$符合相反数的定义，该选项正确；
C. 互为倒数的两个数乘积为1，此处$a× b=-b^2≠1$，不符合倒数的定义，该选项错误；
D. 若一个数是另一个数相反数的倒数，则$a=-\frac{1}{b}$，即$ab=-1$，与推导得到的$a=-b$不符，该选项错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的除法；相反数的定义；倒数的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考察有理数除法运算和相反数、倒数的概念区分，解题关键是先根据商的结果推导两数的数量关系，再结合对应概念判断，注意不要忽略除数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“两个有理数的商为-1”的条件，设出两个数列出除法关系式，推导两个数的数量关系，再结合相反数、倒数的定义逐一判断每个选项的正误即可，需要注意除数不能为0的隐含限制。
【解析】
设这两个有理数分别为$a$、$b$，其中$b≠0$（除数不能为0）。
根据题意可得：$a÷ b=-1$，变形得$a=-b$。
对各选项逐一分析：
A. 由$a=-b$可知两数符号相反、绝对值相等，并不相等，该选项错误；
B. 只有符号不同的两个数互为相反数，$a=-b$符合相反数的定义，该选项正确；
C. 互为倒数的两个数乘积为1，此处$a× b=-b^2≠1$，不符合倒数的定义，该选项错误；
D. 若一个数是另一个数相反数的倒数，则$a=-\frac{1}{b}$，即$ab=-1$，与推导得到的$a=-b$不符，该选项错误。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的除法；相反数的定义；倒数的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，核心考察有理数除法运算和相反数、倒数的概念区分，解题关键是先根据商的结果推导两数的数量关系，再结合对应概念判断，注意不要忽略除数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
